復變函數(shù)期末試卷

南昌大學2005～2006學年第一學期期末試卷一.填空(每題2分，共10分)。1.設，則.2.設c為沿原點z=0到點z=1+i的直線段,則2.3.函數(shù)f(z)=在點z=0處的留數(shù)為__________________4.若冪級數(shù)處收斂，則該級數(shù)在z=2處的斂散性為.5.設冪級數(shù)的收斂半徑為R，那么冪級數(shù)的收斂半徑為.二.單項選擇題(每題2分，共40分)。1．復數(shù)的輻角為（B）A．a(chǎn)rctanB．-arctanC．π-arctanD．π+arctan2．方程所表示的平面曲線為（）A．圓B．直線C．橢圓D．雙曲線3．復數(shù)的三角表示式為（C）A．B．C．D．4．設z=cosi，則（A）A．Imz=0B．Rez=πC．|z|=0D．a(chǎn)rgz=π5．復數(shù)對應的點在（A）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限6．設w=Ln(1-i),則Imw等于（B）A．B．C．D．7.設函數(shù)f(z)=u+iv在點z0處可導的充要條件是(D)A.u,v在點z0處有偏導數(shù) C.u,v在點z0處滿足柯西—黎曼方程B.u,v在點z0處可微D.u,v在點z0處可微，且滿足柯西—黎曼方程 8．若函數(shù)f(z)在正向簡單閉曲線C所包圍的區(qū)域D內(nèi)解析，在C上連續(xù)，且z=a為D內(nèi)任一點，n為正整數(shù)，則積分等于（D）A．B．C．D．設C為正向圓周｜z+1|=2,n為正整數(shù)，則積分等于（C）A.1B．2πiC．0D．10．設C為正向圓周|z|=2，則積分等于（A）A．0B．2πiC．4πiD．8πi11．設函數(shù)f(z)=，則f（z）等于（D）A．B．C．D．12．設積分路線C為z=-1到z=1的上半單位圓周，則等于（D）A．B．C．D．13．冪級數(shù)的收斂區(qū)域為（B）A．B．C．D．是函數(shù)f(z)=的（D）A.一階極點B．可去奇點C．一階零點D．本性奇點z=-1是函數(shù)的（A）A.3級極點B．4級極點C．5級極點D．6級極點冪極數(shù)的收斂半徑為（D）A.0B．1C．2D．＋設Q（z）在點z=0處解析，,則Res[f(z),0]等于（B）A．Q（0）B．－Q（0）C．Q′（0）D．－Q′（0）18．下列積分中，積分值不為零的是（D）A．C．B．D．19.級數(shù)是(B)A.收斂 B.發(fā)散C.絕對收斂 D.條件收斂20.在|z|<1內(nèi)解析且在（-1，1）內(nèi)具有展開式的函數(shù)只能是（A）A. B.C.D.三．計算及應用題（每題10分，共50分）。1．求函數(shù)在z=1處的泰勒展開式及內(nèi)展開為洛朗級數(shù).2．設.=2*Pi*i*z0^3-2*pi*sin(z0)3．.給定積分.試就下列不同情形，寫出此積分的值：(1)C為正向圓周|z|=1，(2)C為正向圓周|z-2|=1,(3)C為正向圓周|z|=3.4．已知解析函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的虛部v(x,y)=x3-3xy2,并且f(i)=0,求f(z).5.討論的可導性與解析性.南昌大學2006～2007學年第一學期期末考試試卷填空題(每空3分，共15分)1、復數(shù)的模＝_____________________。2、=________________。3、設C為正向圓周=2，則=___________________________。4、Z=1是的____________級零點。5、設，則________________。二、單項選擇題（每題3分，共15分）1、當?shù)扔谑裁磳崝?shù)時，等式成立（）（A）(B)（C）(D)2、函數(shù)把Z平面上的曲線映射成為平面上的（）（A）一條過原點的直線（B）一個過原點的圓（C）上半平面（D）方程為的圓3、設為正向圓周：，則的值為（）（A）0（B）（C）-1(D)-4、是的（）（A）可去奇點（B）一級極點（C）本性奇點(D)零點5、下列函數(shù)處處解析的是（）（A）（B）（C）(D)三、（10分）設z=四、（10分）將復數(shù)化成三角形式與指數(shù)形式，并求它的輻角主值。五、（10分）設函數(shù).問常數(shù)取何值時，在復平面內(nèi)處處解析？六、（10分）證明為調(diào)和函數(shù)，并求其共軛調(diào)和函數(shù)和由它們構(gòu)成的解析函數(shù)。七、（12分）計算下面積分的值，其中C為正向圓周|z|=3（1）（2）八、（10分）將內(nèi)展開為洛朗級數(shù)九、（8分）用留數(shù)計算實積分南昌大學2007～2008學年第一學期期末考試試卷一、填空題(每空3分，共15分)1．（1＋i）3＋（1－i）3＝____________2.e=。3．＝其中C為正向圓周：＝4。4．＝（其中n為正整數(shù)）。5.Res=__________二、選擇題(每題3分，共15分)1．下列函數(shù)極限存在的是（）A．B.C.D.(－)2．將Z平面上的曲線x2+y2=4映射成W平面上的曲線u2+v2=的映射函數(shù)f(z)為()A．W=B.W=Z2C.W=D.W=3．下列命題正確的是（）A．如果在z0連續(xù)，那么存在B．如果存在，那么在z0解析C．如果在z0解析，那么存在D．如果z0是的奇點，那么在z0不可導4．下列級數(shù)絕對收斂的是（）A．B.C.D.5．是f(z)=的（）A．可去奇點B.一級極點C.本性奇點D.二級極點三、計算題(每題10分，共70分)1.已知為調(diào)和函數(shù)，求滿足f(2)=-i的解析函數(shù)f(z)=u+iv。2．設f(z)=(1)試求f(1)；(2)當時，試求f(z)。3.求函數(shù)f(z)=在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開式。4.計算積分dz，C為正向圓周：＝5。5.計算。6.求+，其中和的起點和終點相同，都是0和1＋i，但路徑不同，是連接這兩點的直線段，是經(jīng)過z=1的折線段。7.設級數(shù)收斂，而發(fā)散，證明的收斂半徑為1。南昌大學2008～2009學年第一學期期末考試試卷一、填空題(每空3分，共15分)1．設，則Imz＝。2.方程lnz=的解為。3．設C為正向圓周|z|=1，則＝。4．冪級數(shù)的收斂半徑為。5.奇點類型是。二．選擇題(每題3分，共15分)1．復數(shù)的輻角為（）A.arctanB．-arctanC．π-arctanD．π+arctan2.設z=cosi，則（）A．Imz=0B．Rez=πC．|z|=0D．a(chǎn)rgz=π3．設函數(shù)f(z)=，則f（z）等于（）A．B．C．D．4．設Q（z）在點z=0處解析，,則Res[f(z),0]等于（）A．Q（0）B．－Q（0）C．Q′（0）D．－Q′（0）5．是函數(shù)f(z)=的（）A.一級極點B．可去奇點C．一級零點D．本性奇點三．計算題(每題10分，共70分)1.求的共軛調(diào)和函數(shù)v(x,y)，并使v(0,0)＝1。2．求其中C為不經(jīng)過z=-1的任意簡單閉曲線，n為整數(shù)。3.試求函數(shù)f(z)=在點z=0處的泰勒級數(shù)，并指出其收斂區(qū)域。4.利用留數(shù)計算積分dz，其中C為正向圓周：＝4.5.設.6.將內(nèi)展開為洛朗級數(shù)。7.若復數(shù)的模相等且++=0.證明:構(gòu)成等邊三角形的三個頂點。07-08復變答案一．1．-42.3.4.5.二．1．C