15.3分式方程（重難點突破）解析版

15.3分式方程（重難點）【知識點一、分式方程及解分式方程】1.分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．注意：“分母中含有未知數(shù)”是分式方程與整式方程的根本區(qū)別，也是判定一個方程為分式方程的依據(jù)．2．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程，具體做法是去分母，即方程兩邊同乘以各分式的最簡公分母．（2）解分式方程的步驟：①找最簡公分母，當分母是多項式時，先分解因式；②去分母，方程兩邊都乘最簡公分母，約去分母，化為整式方程；③解整式方程；④驗根．注意：解分式方程過程中，易錯點有：①去分母時要把方程兩邊的式子作為一個整體，記得不要漏乘整式項；②忘記驗根，最后的結果還要代回方程的最簡公分母中，只有最簡公分母不是零的解才是原方程的解．3．增根在方程變形時，有時可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根叫做方程的增根．由于可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程要驗根，其方法是將根代入最簡公分母中，使最簡公分母為零的根是增根，否則是原方程的根．【知識點二、分式方程的應用】1.分式方程的應用主要涉及工程問題，有工作量問題、行程問題等．每個問題中涉及到三個量的關系，如：工作時間＝工作量工作效率，時間＝路程2.列分式方程解應用題的一般步驟：①設未知數(shù)；②找等量關系；③列分式方程；④解分式方程；⑤檢驗（一驗分式方程，二驗實際問題）；⑥答．考點1：去分母例1．下列等式分別是四位同學解方程xx-1+2xA．x-2x=1 B．x-2x=-1 C．x+2x=x-1 D．x-2x=x-1【答案】D【分析】根據(jù)方程兩邊同乘x-1即可．【詳解】解：去分母得：x-2x=x-1，故選：D．【點睛】本題考查了解分式方程—去分母，方程兩邊同乘x-1進行去分母是解題的關鍵．【變式訓練1-1】解分式方程x3-x-4=6A．x-4=6 B．x-43-x=-6 C．x-2x-3【答案】B【分析】分式方程整理后，找出最簡公分母，去分母得到結果，即可作出判斷．【詳解】解：x3-x-4=6方程兩邊同時乘以3-x得：x-43-x故選B．【點睛】本題主要考查解分式方程，解題關鍵在于利用轉化的思想，解分式方程注意要檢驗．【變式訓練1-2】將關于x的分式方程3x-2A．32-x-2x-2C．-3-2x-2=5 D【答案】B【分析】根據(jù)分式方程去分母的方法，方程兩邊同時乘以x-2即可得出答案．【詳解】解：∵分式方程3x-2∴去分母后得出：3-2x-2故選：B．【點睛】本題考查分式方程，掌握分式方程去分母的方法是解題的關鍵．【變式訓練1-3】將方程1x-1+3=3x1-x去分母，兩邊同乘A．1+3=3x1-x B．1+3x-1=-3x C．x-1+3=-3x【答案】B【分析】根據(jù)解分式方程的去分母的方法即可得．【詳解】解：1x-1兩邊同乘x-1去分母，得1+3x-1故選：B．【點睛】本題考查了解分式方程，熟練掌握去分母的方法是解題關鍵．【變式訓練1-4】解分式方程1x-2-2=1+xA．1-2x-2=1+x BC．1-2x-2=-1-x D【答案】C【分析】先確定分式的最簡公分母為x-2，再把等式的左右兩側同時乘以x-2即可．【詳解】解：等式兩邊同時乘以x-2得，1-2x-2∴1-2x-2故選：C．【點睛】本題考查解分式方程，熟練找出分式中分母的最簡公分母是解題的關鍵．考點2：解分式方程例2．分式方程1x+1A．x=1 B．x=3 C．x=-4 D．x=-3【答案】C【分析】方程兩邊都乘x+1x-2【詳解】解：1x+1方程兩邊都乘x+1x-2，得x-2=2x+2解得：x=-4，檢驗：當x=-4時，x+1x-2所以分式方程的解是x=-4．故選：C．【點睛】本題考查了解分式方程，能把分式方程轉化成整式方程是解此題的關鍵．【變式訓練2-1】分式方程2x-3=3A．x=6 B．x=9 C．x=-6 D．x=-9【答案】B【分析】觀察可得方程最簡公分母為x(x-3)，去分母，轉化為整式方程求解，結果要檢驗．【詳解】解：兩邊同乘x(x-3)，得2x=3(x-3)，整理、解得：x=9．檢驗：將x=9代入x(x-3)=54≠0，∴方程的解為x=9，故選：B．【點睛】本題考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要驗根．【變式訓練2-2】．方程12+x=2A．x=-2 B．x=5 C．x=13 D【答案】B【分析】先將分式方程化為一般方程，再根據(jù)一元一次方程的步驟計算即可，最后要檢驗是否符合．【詳解】解：1去分母，得3x-1=2去括號，得3x-1=4+2x移項、合并同類項，得x=5經(jīng)檢驗，x=5是原方程的解故選：B．【點睛】本題考查了解分式方程，將分式方程轉化為一般方程是解題的關鍵，解分式方程最后要記得檢驗．【變式訓練2-3】方程12x-1=3A．x=45 B．x=-45 C．【答案】A【分析】根據(jù)解分式方程的步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1、檢驗，進行計算即可得到答案．【詳解】解：去分母得：x+1=32x-1去括號得：x+1=6x-3，移項得：x-6x=-3-1，合并同類項得：-5x=-4，系數(shù)化為1得：x=4檢驗，當x=45時，∴x=4故選：A．【點睛】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟是解此題的關鍵．【變式訓練2-4】．分式方程1x-3=2A．x=7 B．x=4 C．x=-7 D．x=-4【答案】A【分析】先去分母變分式方程為整式方程，然后再解整式方程，最后對方程的解進行檢驗即可．【詳解】解：1x-3去分母得：x+1=2x-6，解得：x=7，檢驗：把x=7代入x-3x+1得：7-3∴x=7是原方程的解，故選：A．【點睛】本題主要考查了解分式方程，解題的關鍵是熟練掌握解分式方程的一般步驟，準確計算，注意最后要對方程的解進行檢驗．考點3：無解例3．若關于x的分式方程xx+2+1=n-1x+2無解，則A．-1 B．0 C．1 D．3【答案】A【分析】解分式方程，可得x=n-32，根據(jù)題意可知分式方程的增根為x=-2，即有【詳解】解：xx+2去分母，得x+x+2=n-1，合并同類項、系數(shù)化為1，得x=n-3由題意可知，分式方程的增根為x=-2，即有n-32=-2，解得故選：A．【點睛】本題主要考查了解分式方程以及分式方程的增根的知識，通過分析確定該分式方程的增根為x=2是解題關鍵．【變式訓練3-1】．若關于x的方程2m+xx-3﹣1＝2x無解，則m的值為（A．-32 B．-12或-23 C．【答案】D【分析】根據(jù)分式方程無解來進行求解．【詳解】解：將原分式方程去分母得x（∴2mx+x=-6，當2m+1≠0時，∴x=-6∵該分式方程無解，∴將x=-62m+1?6代入-62m+1解得m=-3當2m+1=0時，∴m=-1綜上所述，m=-32或m=-12時，關于x的方程2m+xx-3故選：D．【點睛】本題主要考查了分式方程的解法和無解的條件，理解分式方程無解的條件是解答關鍵．【變式訓練3-2】．若關于x的方程x-1x-3=mA．﹣3 B．﹣1 C．2 D．﹣2【答案】C【分析】先去分母得到整式方程x﹣1＝m﹣（x﹣3），整理得m﹣2x＝﹣4，由于x的方程x-1x-3=mx-3-1無解，則x﹣3＝0，即x＝3，然后把x＝3代入m﹣2x【詳解】去分母得x﹣1＝m﹣（x﹣3），整理得m﹣2x＝﹣4，∵關于x的方程x-1x-3∴x﹣3＝0，即x＝3，∴m﹣2×3＝﹣4，∴m＝2．故選：C．【點睛】本題考查分式方程的解，將分式方程轉化為整式方程是求解本題的關鍵．【變式訓練3-3】．已知關于x的分式方程2x+1+51-x=mx2A．－4 B．－10 C．－4或－10 D．±1【答案】C【分析】由分式方程有意義有x≠±1，方程無解即系分式方程求得的解剛好是±1，進而求得m的值．【詳解】解：分式方程兩邊同乘以x2-1，得：解得：x=-7-m由分式方程有意義，有：x+1≠01-x≠0x2-1≠0∵分式方程無解，∴x=-7-m解得m=-4或m=-10．故選：C．【點睛】本題考查分式方程的求解，明白方程無解即方程的解剛好使得分式方程無意義是解題的關鍵．【變式訓練3-4】．若關于x的方程mx-4-1-x4-x=0A．-2 B．2 C．-2 D．3【答案】D【分析】先把m當做已知數(shù)，求解該分式方程，再根據(jù)分式方程無解，則分母為0，即可解答．【詳解】解：mx-4去分母，得：m+1-x=x-4，移項，得：-x-x=-4-1-m，合并同類項，得：-2x=-5-m，化系數(shù)為1，得：x=5+m∵該方程無解，∴x-4=0，解得：x=4，∴5+m2=4，解得：故選：D．【點睛】本題主要考查了解分式方程，分式方程無解的條件，解題的關鍵是掌握解分式方程的方法和步驟，以及分式方程無解的條件．考點4：增根例4．若關于x的方程xx+5=2x-mx+5產(chǎn)生增根，則【答案】-5【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，將x=-5代入整式方程即可求出m的值．【詳解】解：x去分母得：x=2x-m，∵關于x的方程xx+5∴增根為x=-5，將x=-5代入得：-5=-10-m，解得：m=-5．故答案為：-5．【點睛】此題考查了分式方程的增根，增根問題可按如下步驟進行：①讓最簡公分母為0確定增根；②化分式方程為整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相關字母的值．【變式訓練4-1】．若分式方程mx2-4-x【答案】4或-8【分析】分式方程的增根：使分式方程最簡公分母為0的未知數(shù)的值，根據(jù)增根的含義可得答案．【詳解】解析：去分母得，m-2x-2∵方程mx∴最簡公分母x2-4=0，∴當x=2時，m=4；當x=-2時，m=-8．綜上，m的值為4或-8【點睛】本題考查了分式方程的增根，熟練掌握解分式方程的方法與分式方程的增根的含義是解題的關鍵．【變式訓練4-2】．關于x的分式方程3x+mx-1+1=5x-1有增根，則【答案】2【分析】根據(jù)分式方程的求解方法求出x=6-m4，再由x=1是方程的增根，得到等式【詳解】解：3x+m+x-1=5，4x=6-m，x=6-m∵關于x的分式方程3x+mx-1∴6-m4解得：m=2，故答案為：2．【點睛】此題考查了分式方程的增根，熟練掌握分式方程的求解方法，分式方程增根與分式方程根之間的聯(lián)系是解題的關鍵．【變式訓練4-3】．若關于x的方程ax+1x-1-1=0有增根，則a的值為【答案】-1【分析】增根是將分式方程化為整式方程后產(chǎn)生的不適合分式方程的根．所以應先確定增根的可能值，讓最簡公分母x-1=0，得到x=1，然后代入化為整式方程后的方程中算出未知字母的值．【詳解】解：方程兩邊都乘(x-1)，得ax+1-(x-1)=0，(a-1)x=-2，∵原方程有增根，∴最簡公分母x-1=0，即增根為x=1，把x=1代入整式方程，得a=-1；∴a=-1時，關于x的方程ax+1x-1故答案為：-1．【點睛】本題考查了分式方程的增根，增根問題可按如下步驟進行：①讓最簡公分母為0確定增根；②化分式方程為整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相關字母的值．【變式訓練4-4】．關于x的方程mx-2+12-x=3【答案】1【分析】將原分式方程化為整式方程，根據(jù)方程有增根求解出增根的值，再把增根代入化簡后的整式方程中去即可求m的值．【詳解】解：m方程去分母，得：m-1=3x-6，∵分式方程有增根，∴x-2=0，解得：x=2，把x=2代入m-1=3x-6中，得：m-1=6-6，解得：m=1，故答案為：1．【點睛】本題考查了分式方程的增根，關鍵是求出增根的值，代入到分式方程化簡后的整式方程中去求未知參數(shù)的值．考點5：分式與不等式綜合含參運算例5．從-4、-1、-12、0、12、2、3這七個數(shù)中，隨機抽取一個數(shù)a，若數(shù)a使關于x的分式方程axx-2-3x-2【答案】2【分析】解分式方程、一元一次不等式組，再根據(jù)題目要求取值即可；【詳解】解：1解不等式①得x≤3，解不等式②得x>a-3∴該不等式組的解集為：a-37∵不等式組12∴-1≤a-3∴-4≤a<3，∴-4、-1、-12、0、12解：axax-3=-xa+1x=∵分式方程axx-2∴-12、0、12綜上符合題意的數(shù)有-12、0、12∴這七個數(shù)中滿足所有條件的a的值之和為-1故答案為：2．【點睛】本題主要考查分式方程、一元一次不等式組的應用，正確計算是解題的關鍵．【變式訓練5-1】．若關于x的方程a-xx-3+3=83-x有正整數(shù)解，且關于x的不等式組2x+2≤9+3x8x+17<a【答案】-16【分析】根據(jù)題意，確定a的取值范圍，即可解答。【詳解】解：a-xx-3a-x+3x-3-x+3x=-8+9-a，2x=1-a，x=1-a∵關于x的方程a-xx-3∴1-a2解得a<1且a≠-5，解2x+2x≥-5x<∵關于x的不等式組有且只有3個整數(shù)解，∴-3<a-17解得-7<a≤1，∴-7<a<1且a≠-5，則a的整數(shù)解為0,-1,-2,-3,-4,-6，所有整數(shù)a的和為-16，故答案為：-16。【點睛】本題主要考查了分式方程的解，不等式的解集，根據(jù)題意確定a的取值范圍是解題的關鍵?！咀兪接柧?-2】．若關于x的一元一次不等式組x+12≤32x-3>a有解且最多有3個整數(shù)解，且關于y的分式方程a2y-1+【答案】0【分析】根據(jù)不等式組有解且最多有3個整數(shù)解，求出a的取值范圍，再根據(jù)分式方程有非整數(shù)解，進行求解即可．【詳解】解：由x+12≤32x-3>a∵不等式組有解且最多有3個整數(shù)解，∴3+a2<x≤5，整數(shù)解最多時為：3，4，∴2≤3+a解得：1≤a<3，∵a2y-1解得：y=a-1∵方程有非整數(shù)解，1≤a<3，且a為整數(shù)，∴當a=1時，y=0，不符合題意；當a=2，此時y=12，故所有滿足條件的整數(shù)a的個數(shù)為0；故答案為：0．【點睛】本題考查解一元一次不等式組和分式方程．熟練掌握解一元一次不等式組和分式方程的步驟，正確的求出不等式組的解集和方程的解，是解題的關鍵．【變式訓練5-3】．若整數(shù)a使關于x的不等式組x-33+1>x-222x≥122x+a至少有兩個整數(shù)解，且使關于【答案】15【分析】先解不等式①得x<6，解不等式②得x≥a2，根據(jù)不等式組至少有兩個整數(shù)解可得a≤8，解分式方程可得y=a+12，根據(jù)y≠1和分式方程有正整數(shù)解可得a≠1，-1<a≤8且a+1是【詳解】解：x-33解不等式①得：x<6，解不等式②得：x≥a∵整數(shù)a使關于x的不等式組x-33∴a∴a≤8，∵a-5∴去分母得：a-5+4=2y-2，解得：y=a+1∵y≠1，∴a+1∴a≠1，∵分式方程有正整數(shù)解，∴a+1>0，且a+1是2的倍數(shù)，∴a>-1，∴-1<a≤8，∴0<a+1≤9，∴a+1=4或a+1=6或a+1=8，∴a=3或a=5或a=7，∴滿足條件的所有整數(shù)a的和為：3+5+7=15，故答案為：15．【點睛】本題考查了分式方程的解，一元一次不等式的解，熟練掌握一元一次不等式組的解法、分式方程的解法，注意方程增根的討論是解題的關鍵．【變式訓練5-4】．若整數(shù)a使關于x的不等式組3x-a≤0x+23-x2>1的解集為x<【答案】0【分析】根據(jù)不等式組的解集確定a的取值范圍，再根據(jù)分式方程的解為正數(shù)，得出a的所有可能的值，再進行計算即可．【詳解】解：解不等式3x-a≤0得：x≤a解不等式x+23-x∵整數(shù)a使關于x的一元一次不等式組3x-a≤0x+2∴a≥-2，解分式方程a1-y+2y-1=4∵分式方程的解是正數(shù)，∴y=6-a∴-2≤a<6，且a≠2，∵a為整數(shù)，∴a=-2，∴符合條件的所有整數(shù)a的值之積為0，故答案為：0．【點睛】本題考查分式方程的整數(shù)解，解一元一次不等式組，掌握分式方程的解法、一元一次不等式組的解法，理解分式方程的整數(shù)解的意義是正確解答的前提．考點6：計算題例6．解方程：(1)x-5x-4(2)xx-3【答案】(1)無解(2)x=-1【分析】（1）方程兩邊同乘以（x-4），化為整式方程進行求解，然后進行檢驗，即可求解．（2）方程兩邊同乘以x-3x+2【詳解】（1）解：方程兩邊同時乘以（x-4）得x-5+2整理得：3x=12，解得：x=4，檢驗：當x=4時，x-4=0，∴x=4原方程的增根，原方程無解．（2）解：方程兩邊同時乘以x-3x+2x整理得：3x=-3，解得：x=-1，檢驗：當x=-1時，x-3x+2∴原方程的根為x=-1．【點睛】本題考查了解分式方程，掌握解法是解題的關鍵．【變式訓練6-1】．解下列方程(1)2x(2)7【答案】(1)x=-(2)x=3【分析】（1）因為1-2x=-(2x-1)，所以最簡公分母為(2x-1)，去分母把分式方程轉化為整式方程求解．（2）因為x2+x=x(x+1)，x2-x=x(x-1)，【詳解】（1）解：原方程變形為2x2x-1方程兩邊同乘以(2x-1)，得2x-5=3(2x-1)，解得x=-1檢驗：把x=-12代入(2x-1)，∴x=-1（2）原方程變形為7x(x+1)方程兩邊同乘以最簡公分母x(x+1)(x-1)，得7(x-1)+(x+1)=6x，解得x=3．檢驗：把x=3代入最簡公分母x(x+1)(x-1)，x(x+1)(x-1)≠0，∴x=3是原方程的解．【點睛】本題考查了解分式方程，基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解，一定注意要驗根．【變式訓練6-2】．解下列方程：(1)4(2)2x【答案】(1)x=10(2)無解【分析】（1）觀察方程可得最簡公分母為x(x-2)，兩邊同乘最簡公分母把分式方程化為整式方程即可得解；（2）觀察方程可得最簡公分母為(x-3)，兩邊同乘最簡公分母把分式方程化為整式方程即可得解．【詳解】（1）解：4x-2方程兩邊同乘以xx-2得4x=5x-10移項合并同類項得：x=10，檢驗：把x=10代入xx-2，x∴x=10是原方程的解；（2）解：2xx-3方程兩邊同時乘以x-3得：2x=x-3+6，移項合并同類項得：x=3，檢驗：把x=3代入x-3得：3-3=0，∴原方程無解．【點睛】本題考查分式方程的解法，解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解，注意解分式方程一定要驗根；熟練找到最簡公分母是解題的關鍵．【變式訓練6-3】．解分式方程(1)2(2)1【答案】(1)x=-1(2)見詳解【分析】（1）根據(jù)解分式方程的步驟：去分母、移項、合并同類項、檢驗進行計算即可得到答案；（2）根據(jù)解分式方程的步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為一、檢驗進行計算即可得到答案．【詳解】（1）2去分母，得2x=x-1移項，得：2x-x=-1合并同類項，得：x=-1經(jīng)檢驗，x=-1是原分式方程的解；（2）1去分母，得1-去括號，得：1-x+1=-3x+6移項，得：-x+3x=6-1-1合并同類項，得：2x=4系數(shù)化為一，得：x=2經(jīng)檢驗，x=2是原分式方程的增根，∴原分式方程無解．【點睛】本題主要考查了分式方程的解法，熟練掌握解分式方程的步驟是解本題的關鍵．【變式訓練6-4】．解分式方程(1)12x(2)1【答案】(1)x=1(2)無解【分析】（1）去分母解整式方程，再檢驗即可；（2）去分母解整式方程，再檢驗即可．【詳解】（1）1去分母，得x+3=4x移項，合并，得3x=3解得x=1，檢驗：當x=1時，2xx+3∴分式方程的解為x=1（2）去分母，得-1=1-x-3移項，合并，得2x=4，解得x=2檢驗：當x=2時，x-2=0，即x=2是原分式方程的增根，∴分式方程無解．【點睛】此題考查了解分式方程，正確掌握分式方程的解法是解題的關鍵．考點7：應用題例7．幾個小伙伴打算去音樂廳觀看演出，他們準備用360元錢購買門票．下面是兩個小伙伴的對話：根據(jù)對話的內(nèi)容，請求演出票價為多少元．如果今天看演出，我們每人一張票，則會差兩張票的錢．過幾天就是“十一國慶節(jié)”了，那時候來看演出，票價會打六折，則正好能為每人買一張票．【答案】演出票價為120元【分析】設演出票價為x元，根據(jù)題意，列出方程，即可求解．【詳解】解：設演出票價為x元，根據(jù)題意得：3600.6x解得：x=120，經(jīng)檢驗：x=120是原方程的解，切符合題意，答：演出票價為120元．【點睛】本題考查了分式方程的應用，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數(shù)，找出合適的等量關系，列方程求解．【變式訓練7-1】．成都大運會期間，吉祥物“蓉寶”的周邊商品的銷量不斷上升．一家網(wǎng)店的店主統(tǒng)計了前兩周的“蓉寶”單肩包的銷售情況，發(fā)現(xiàn)第一周A型單肩包的銷量是100個，B型單肩包銷量是120個，總利潤是2800元；第二周A型單肩包的銷量是180個，B型單肩包的銷量是200個，總利潤是4800元．(1)請問1個A型單肩包、1個B型單肩包的利潤分別是多少元？(2)店主在第三周調整了價格，A型單肩包每個漲價a元，B型單肩包每個降價a元，統(tǒng)計后發(fā)現(xiàn)，調整后的這周A、B兩種型號單肩包的銷量一樣，并且A型單肩包的總利潤達2400元，B型單肩包的總利潤達2600元．求出a的值．【答案】(1)1個A型單肩包的利潤是10元，1個B型單肩包的利潤是15元(2)a=2【分析】（1）設1個A型單肩包的利潤是x元，1個B型單肩包的利潤是y元，根據(jù)題中第一周和第二周的銷量情況和總利潤，列二元一次方程即可解答；（2）根據(jù)兩種單肩包的銷量一樣，列分式方程，即可解答．【詳解】（1）解：設1個A型單肩包的利潤是x元，1個B型單肩包的利潤是y元，由題意可得100x+120y=2800180x+200y=4800解得x=10y=15∴1個A型單肩包的利潤是10元，1個B型單肩包的利潤是15元；（2）解：根據(jù)題意可得：240010+a解得a=2，經(jīng)檢驗，a=2是原方程的解，且符合題意，∴a=2．【點睛】本題考查了二元一次方程的應用，分式方程的應用，解題的關鍵是找準等量關系列方程．【變式訓練7-2】．為順利通過“河北省文明城市”驗收，我縣政府擬對城區(qū)部分排水管道公用設施全面更新改造，根據(jù)市政建設的需要，需在一個月內(nèi)完成工程．現(xiàn)有甲、乙兩個工程隊有意承包這項工程，經(jīng)調查知道，乙工程隊單獨完成此項工程的時間是甲工程隊單獨完成此項工程時間的2倍，若甲、乙兩工程隊合作只需10天完成．(1)甲、乙兩個工程隊單獨完成此項工程各需多少天？(2)若甲工程隊每天的工程費用是4.5萬元，乙工程隊每天的工程費用是2.5萬元，請你設計一種方案，既能按時完工，又能使工程費用最少．【答案】(1)甲工程隊單獨完成此項工程需15天，乙工程隊單獨完成此項工程需30天；(2)甲單獨完成既能按時完工，又能使工程費用最少；【分析】（1）設甲需要x天，則乙需要2x天，根據(jù)合作需要10天完成列方程求解即可得到答案；（2）由（1）得，甲乙兩隊單獨完成也能在規(guī)定時間內(nèi)完成工程量，分別計算合作完成與單獨完成的費用比較即可得到答案．【詳解】（1）解：設甲需要x天，則乙需要2x天，由題意可得，10(1解得：x=15，2x=2×15=30，答：甲工程隊單獨完成此項工程需15天，乙工程隊單獨完成此項工程需30天；（2）解：由（1）得，甲乙兩隊單獨完成也能在規(guī)定時間內(nèi)完成工程量，甲單獨完成需要費用：15×4.5=67.5；乙單獨完成需要費用：30×2.5=75，甲乙合作需要費用：10×(2.5+4.5)=70，∵75>70>67.5，∴甲單獨完成既能按時完工，又能使工程費用最少．【點睛】本題考查分式方程解決應用題，解題的關鍵是找到等量關系式，列出方程．【變式訓練7-3】．為了加快舊城改造項目進度，政府公開招標.現(xiàn)有甲、乙兩家工程公司中標，已知甲公司工程隊每隊比乙公司工程隊每隊每個月多改造2個小區(qū)，且甲公司每隊改造20個小區(qū)的時間與乙公司工程每隊改造12個小區(qū)的時間相同．(1)甲、乙兩家工程公司每隊每月分別可以改造多少個舊小區(qū)？(2)如果政府計劃安排甲、乙兩家公司共10支工程隊同時開始施工，一個月內(nèi)至少完成40個舊小區(qū)的改造項目，且工程總費用不超過185萬元，已知甲公司工程隊每月費用報價20萬元，乙公司工程隊每月費用報價15萬元，那么甲、乙兩家公司的工程隊應各安排多少支？【答案】(1)甲公司工程隊每隊每個月可以改造5個舊小區(qū)，乙公司工程隊每隊每個月可以改造3個舊小區(qū)(2)共有3種安排方案，見解析【分析】（1）設乙公司工程隊每隊每個月可以改造x個舊小區(qū)，則甲公司工程隊每隊每個月可以改造x+2個舊小區(qū)，根據(jù)甲公司每隊改造20個小區(qū)的時間與乙公司工程每隊改造12個小區(qū)的時間相同，可得出關于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后，可得出乙公司工程隊每隊每個月改造舊小區(qū)的個數(shù)，再將其代入x+2中，即可求出甲公司工程隊每隊每個月改造舊小區(qū)的個數(shù)；（2）設安排m支甲公司工程隊，則安排10-m支乙公司工程隊，根據(jù)“10支工程隊一個月內(nèi)至少完成40個舊小區(qū)的改造項目，且工程總費用不超過185萬元”，可得出關于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，再結合m為正整數(shù)，即可得出各安排方案．【詳解】（1）解：設乙公司工程隊每隊每個月可以改造x個舊小區(qū)，則甲公司工程隊每隊每個月可以改造x+2個舊小區(qū)，根據(jù)題意得：20x+2解得：x=3，經(jīng)檢驗，x=3是所列方程的解，且符合題意，∴x+2=3+2=5．答：甲公司工程隊每隊每個月可以改