新教材2024版高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何章末檢測新人教A版選擇性必修第一冊

第一章章末檢測一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在空間直角坐標(biāo)系中，點P(－2，1，4)關(guān)于x軸的對稱點的坐標(biāo)是 ()A.(－2，－1，－4) B.(－2，1，－4)C.(2，－1，4) D.(2，1，－4)【答案】A【解析】關(guān)于x軸對稱的點橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)互為相反數(shù).故選A.2.已知a＝(1，2，－y)，b＝(x，1，2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，則 ()A.x＝eq\f(1,3)，y＝1 B.x＝eq\f(1,2)，y＝－4C.x＝2，y＝－eq\f(1,4) D.x＝1，y＝－1【答案】B【解析】由題意可得，a＋2b＝(1＋2x，4，4－y)，2a－b＝(2－x，3，－2y－2).∵(a＋2b)∥(2a－b)，∴?λ∈R，使a＋2b＝λ(2a－b)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋2x＝λ(2－x)，,4＝3λ，,4－y＝λ(－2y－2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(4,3)，,x＝\f(1,2)，,y＝－4.))故選B.3.已知空間三點O(0，0，0)，A(－1，1，0)，B(0，1，1)，在直線OA上有一點H滿足BH⊥OA，則點H的坐標(biāo)為 ()A.(－2，2，0) B.(2，－2，0)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)，0)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)，0))【答案】C【解析】由eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－1，1，0)，且點H在直線OA上，可設(shè)H(－λ，λ，0)，則eq\o(BH,\s\up6(→))＝(－λ，λ－1，－1).又因為BH⊥OA，所以eq\o(BH,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))＝0，即(－λ，λ－1，－1)·(－1，1，0)＝0，即λ＋λ－1＝0，解得λ＝eq\f(1,2)，所以Heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)，0)).4.在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，向量eq\o(AB1,\s\up6(→))，eq\o(AD1,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))是 ()A.有相同起點的向量 B.等長的向量C.不共面向量 D.共面向量【答案】D【解析】因為eq\o(AD1,\s\up6(→))－eq\o(AB1,\s\up6(→))＝eq\o(B1D1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))，所以eq\o(AB1,\s\up6(→))，eq\o(AD1,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))共面.5.已知E，F(xiàn)分別是棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1的棱BC，CC1的中點，則截面AEFD1與底面ABCD所成二面角的正弦值是 ()A.eq\f(2,3) B.eq\f(\r(2),3) C.eq\f(\r(5),3) D.eq\f(2\r(3),3)【答案】C【解析】以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則A(1，0，0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，0))，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))，D1(0，0，1)，所以eq\o(AD1,\s\up6(→))＝(－1，0，1)，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1，0)).設(shè)平面AEFD1的法向量n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AD1,\s\up6(→))＝0，,n·\o(AE,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋z＝0，,－\f(x,2)＋y＝0，))所以x＝2y＝z.取y＝1，則n＝(2，1，2).而平面ABCD的一個法向量u＝(0，0，1)，因為cos〈n，u〉＝eq\f(2,3)，所以所求二面角的正弦值為eq\f(\r(5),3).6.如圖，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別在B1B和D1D上，且BE＝eq\f(1,3)BB1，DF＝eq\f(2,3)DD1.若eq\o(EF,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AA1,\s\up6(→))，則x＋y＋z＝ ()A.－1 B.0 C.eq\f(1,3) D.1【答案】C【解析】因為eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))－(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(DD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(BB1,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))，所以x＝－1，y＝1，z＝eq\f(1,3)，所以x＋y＋z＝eq\f(1,3).7.在正方體ABCDA1B1C1D1中，點E，F(xiàn)，G分別為棱A1D1，D1D，A1B1的中點，給出下列命題：①AC1⊥EG；②GC∥ED；③B1F⊥平面BGC1；④EF和BB1所成角為eq\f(π,4).正確命題的個數(shù)是 ()A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】設(shè)正方體棱長為2，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，A(2，0，0)，C1(0，2，2)，G(2，1，2)，C(0，2，0)，E(1，0，2)，D(0，0，0)，B1(2，2，2)，F(xiàn)(0，0，1)，B(2，2，0).①eq\o(AC1,\s\up6(→))＝(－2，2，2)，eq\o(EG,\s\up6(→))＝(1，1，0)，eq\o(AC1,\s\up6(→))·eq\o(EG,\s\up6(→))＝－2＋2＋0＝0，所以AC1⊥EG，故①正確；②eq\o(GC,\s\up6(→))＝(－2，1，－2)，eq\o(ED,\s\up6(→))＝(－1，0，－2)，不存在實數(shù)λ使eq\o(GC,\s\up6(→))＝λeq\o(ED,\s\up6(→))，故GC∥ED不成立，故②錯誤；③eq\o(B1F,\s\up6(→))＝(－2，－2，－1)，eq\o(BG,\s\up6(→))＝(0，－1，2)，eq\o(BC1,\s\up6(→))＝(－2，0，2)，eq\o(B1F,\s\up6(→))·eq\o(BG,\s\up6(→))＝0，eq\o(B1F,\s\up6(→))·eq\o(BC1,\s\up6(→))＝2≠0，故B1F⊥平面BGC1不成立，故③錯誤；④eq\o(EF,\s\up6(→))＝(－1，0，－1)，eq\o(BB1,\s\up6(→))＝(0，0，2)，設(shè)EF和BB1所成角為θ，則cosθ＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(EF,\s\up6(→))·\o(BB1,\s\up6(→)),|\o(EF,\s\up6(→))|·|\o(BB1,\s\up6(→))|)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(－2,\r(2)×2)))＝eq\f(\r(2),2)，由于θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以θ＝eq\f(π,4)，故④正確.綜上所述，正確的命題有2個.故選C.8.如圖，該幾何體由半圓柱體與直三棱柱構(gòu)成，半圓柱體底面直徑BC＝4，AB＝AC，∠BAC＝90°，D為半圓弧的中點，若異面直線BD和AB1所成角的余弦值為eq\f(2,3)，則該幾何體的體積為()A.16＋8π B.32＋16πC.32＋8π D.16＋16π【答案】A【解析】設(shè)D在底面半圓上的射影為D1，如圖，連接AD1交BC于O，設(shè)A1D∩B1C1＝O1，依題意知半圓柱體底面直徑BC＝4，AB＝AC，∠BAC＝90°，D為半圓弧的中點，所以AD1⊥BC，A1D⊥B1C1且O，O1分別是下底面、上底面半圓的圓心，連接OO1，則OO1與上下底面垂直，所以O(shè)O1⊥OB，OO1⊥OA，因為OA⊥OB，以O(shè)B，OA，OO1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)幾何體的高為h(h>0)，則B(2，0，0)，D(0，－2，h)，A(0，2，0)，B1(2，0，h)，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－2，－2，h)，eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(2，－2，h)，由于異面直線BD和AB1所成的角的余弦值為eq\f(2,3)，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(BD,\s\up6(→))·\o(AB1,\s\up6(→)),|\o(BD,\s\up6(→))|·|\o(AB1,\s\up6(→))|)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(h2,\r(8＋h2)·\r(8＋h2))))＝eq\f(2,3)，即eq\f(h2,8＋h2)＝eq\f(2,3)，解得h＝4.所以幾何體的體積為eq\f(1,2)×π×22×4＋eq\f(1,2)×4×2×4＝16＋8π.故選A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列各選項中，不正確的是 ()A.若A，B，C，D是空間任意四點，則有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0B.對于非零向量a，b，〈a，b〉與〈a，－b〉相等C.若eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))共線，則AB∥CDD.對空間任意一點O與不共線的三點A，B，C，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x，y，z∈R)，則P，A，B，C四點共面【答案】BCD【解析】顯然A正確；若a，b為非零向量，則〈a，b〉與〈a，－b〉互補，故B錯誤；若eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))共線，則直線AB，CD可能重合，故C錯誤；只有當(dāng)x＋y＋z＝1時，P，A，B，C四點才共面，故D錯誤.10.若A，B，C，D為空間不同的四點，則下列各式的結(jié)果為零向量的是 ()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(BC,\s\up6(→))＋2eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))B.2eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(BC,\s\up6(→))＋3eq\o(CD,\s\up6(→))＋3eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))D.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))【答案】BD【解析】A中，原式＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，不符合題意；B中，原式＝2(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→)))＋(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→)))＝0；C中，原式＝eq\o(CD,\s\up6(→))，不符合題意；D中，原式＝(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＋(eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))＝0.11.在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝2eq\r(3)，AD＝AA1＝2，P，Q，R分別是AB，BB1，A1C上的動點，下列結(jié)論正確的是 ()A.對于任意給定的點P，存在點Q使得D1P⊥CQB.對于任意給定的點Q，存在點R使得D1R⊥CQC.當(dāng)AR⊥A1C時，AR⊥D1RD.當(dāng)A1C＝3A1R時，D1R∥平面BDC1【答案】ABD【解析】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)P(2，a，0)，a∈[0，2eq\r(3)]，Q(2，2eq\r(3)，b)，b∈[0，2]，設(shè)eq\o(A1R,\s\up6(→))＝λeq\o(A1C,\s\up6(→))，得到R(2－2λ，2eq\r(3)λ，2－2λ)，λ∈[0，1]，eq\o(D1P,\s\up6(→))＝(2，a，－2)，eq\o(CQ,\s\up6(→))＝(2，0，b)，eq\o(D1P,\s\up6(→))·eq\o(CQ,\s\up6(→))＝4－2b，當(dāng)b＝2時，D1P⊥CQ，A正確；eq\o(D1R,\s\up6(→))＝(2－2λ，2eq\r(3)λ，－2λ)，eq\o(D1R,\s\up6(→))·eq\o(CQ,\s\up6(→))＝2(2－2λ)－2λb，取λ＝eq\f(2,2＋b)時，D1R⊥CQ，B正確；由AR⊥A1C，得eq\o(AR,\s\up6(→))·eq\o(A1C,\s\up6(→))＝(－2λ，2eq\r(3)λ，2－2λ)·(－2，2eq\r(3)，－2)＝4λ＋12λ－4＋4λ＝0，λ＝eq\f(1,5)，此時eq\o(AR,\s\up6(→))·eq\o(D1R,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5)，\f(2\r(3),5)，\f(8,5)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，\f(2\r(3),5)，－\f(2,5)))＝－eq\f(4,5)≠0，C錯誤；A1C＝3A1R，則Req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(2\r(3),3)，\f(4,3)))，eq\o(D1R,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(2\r(3),3)，－\f(2,3)))，設(shè)平面BDC1的法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(BD,\s\up6(→))＝0，,n·\o(DC1,\s\up6(→))＝0，))解得n＝(eq\r(3)，－1，eq\r(3))，故eq\o(D1R,\s\up6(→))·n＝0，故D1R∥平面BDC1，D正確.故選ABD.12.如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝1，點P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運動，并且總是保持AP⊥BD1，則以下四個結(jié)論正確的是 ()A.VPAA1D＝eq\f(1,3)B.點P必在線段B1C上C.AP⊥BC1D.AP∥平面A1C1D【答案】BD【解析】對于A，因為P在平面BCC1B1上，平面BCC1B1∥平面AA1D，所以P到平面AA1D的距離即為C到平面AA1D的距離，即為正方體棱長，所以VPAA1D＝eq\f(1,3)S△AA1D·CD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6)，A錯誤；對于B，以D為坐標(biāo)原點可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(1，0，0)，P(x，1，z)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，B1(1，1，1)，C(0，1，0)，C1(0，1，1)，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x－1，1，z)，eq\o(BD1,\s\up6(→))＝(－1，－1，1)，eq\o(B1C,\s\up6(→))＝(－1，0，－1)，因為AP⊥BD1，所以eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BD1,\s\up6(→))＝1－x－1＋z＝0，所以x＝z，即P(x，1，x)，所以eq\o(CP,\s\up6(→))＝(x，0，x)，所以eq\o(CP,\s\up6(→))＝－xeq\o(B1C,\s\up6(→))，即B1，P，C三點共線，所以P必在線段B1C上，B正確；對于C，因為eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x－1，1，x)，eq\o(BC1,\s\up6(→))＝(－1，0，1)，所以eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BC1,\s\up6(→))＝1－x＋x＝1，所以AP與BC1不垂直，C錯誤；對于D，因為A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，D(0，0，0)，所以eq\o(DA1,\s\up6(→))＝(1，0，1)，eq\o(DC1,\s\up6(→))＝(0，1，1)，設(shè)平面A1C1D的法向量n＝(a，b，c)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(DA1,\s\up6(→))＝a＋c＝0，,n·\o(DC1,\s\up6(→))＝b＋c＝0，))令a＝1，則c＝－1，b＝1，所以n＝(1，1，－1)，所以eq\o(AP,\s\up6(→))·n＝x－1＋1－x＝0，即eq\o(AP,\s\up6(→))⊥n，所以AP∥平面A1C1D，D正確.故選BD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.(2023年長沙長郡中學(xué)期末)已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(1，3，λ)，若a，b，c三向量共面，則實數(shù)λ＝________.【答案】1【解析】若向量a，b，c共面，則c＝xa＋yb，其中x，y∈R，即(1，3，λ)＝(2x，－x，3x)＋(－y，4y，－2y)＝(2x－y，－x＋4y，3x－2y)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝1，,－x＋4y＝3，,3x－2y＝λ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，,λ＝1.))14.下列命題：①已知λ∈R，則|λa|＝λ|a|；②在正方體ABCDA1B1C1D1中，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(B1C1,\s\up6(→))；③若兩個平面的法向量不垂直，則這兩個平面一定不垂直.其中正確的命題的序號是________.【答案】②③【解析】①|(zhì)λa|＝|λ||a|，故①錯誤；②正確；③若兩個平面垂直，則它們的法向量一定垂直，若兩個平面的法向量不垂直，則這兩個平面一定不垂直，故③正確.15.如圖，設(shè)O為?ABCD所在平面外任意一點，E為OC的中點，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))＋xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))，則x＋y＝________.【答案】－1【解析】eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(OE,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝－eq\f(3,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))，所以x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(3,2).所以x＋y＝－1.16.如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，點E在棱AB上移動，則直線D1E與A1D所成角的大小是________；若D1E⊥EC，則AE＝________.【答案】90°1【解析】在長方體ABCDA1B1C1D1中，如圖，以D為原點，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DD1所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，又因為AD＝AA1＝1，AB＝2，則D(0，0，0)，D1(0，0，1),A(1，0，0)，A1(1，0，1)，C(0，2，0)，設(shè)E(1，m，0)，0≤m≤2，則eq\o(D1E,\s\up6(→))＝(1，m，－1)，eq\o(A1D,\s\up6(→))＝(－1，0，－1)，所以eq\o(D1E,\s\up6(→))·eq\o(A1D,\s\up6(→))＝－1＋0＋1＝0，所以直線D1E與A1D所成角的大小是90°.因為eq\o(D1E,\s\up6(→))＝(1，m，－1)，eq\o(EC,\s\up6(→))＝(－1，2－m，0)，D1E⊥EC,所以eq\o(D1E,\s\up6(→))·eq\o(EC,\s\up6(→))＝－1＋m(2－m)＋0＝0，解得m＝1，所以AE＝1.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)已知向量a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，點A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2).(1)求|2a＋b|.(2)在直線AB上是否存在一點E，使得eq\o(OE,\s\up6(→))⊥b(O為原點)?解：(1)因為a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，所以2a＋b＝(0，－5，5).所以|2a＋b|＝eq\r(02＋(－5)2＋52)＝5eq\r(2).(2)假設(shè)存在點E，其坐標(biāo)為E(x，y，z)，則eq\o(AE,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，即(x＋3，y＋1，z－4)＝λ(1，－1，－2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝λ－3，,y＝－λ－1，,z＝－2λ＋4，))所以E(λ－3，－λ－1，－2λ＋4)，所以eq\o(OE,\s\up6(→))＝(λ－3，－λ－1，－2λ＋4).又因為b＝(－2，1，1)，eq\o(OE,\s\up6(→))⊥b，所以eq\o(OE,\s\up6(→))·b＝－2(λ－3)＋(－λ－1)＋(－2λ＋4)＝－5λ＋9＝0，所以λ＝eq\f(9,5)，所以Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，－\f(14,5)，\f(2,5))).所以在直線AB上存在點Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，－\f(14,5)，\f(2,5)))，使eq\o(OE,\s\up6(→))⊥b.18.(12分)已知空間三點A(1，2，3)，B(2，－1，5)，C(3，2，－5)，試求：(1)△ABC的面積；(2)△ABC的AB邊上的高.解：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，－1，5)－(1，2，3)＝(1，－3，2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(3，2，－5)－(1，2，3)＝(2，0，－8)，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(14)，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(17)，cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(－14,\r(14)×2\r(17))＝－eq\r(\f(7,34))，sin〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\r(\f(27,34))，S△ABC＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|sin〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(1,2)eq\r(14)×2eq\r(17)×eq\r(\f(27,34))＝3eq\r(21).(2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(14)，設(shè)AB邊上的高為h，則eq\f(1,2)|AB|·h＝S△ABC＝3eq\r(21)，所以h＝3eq\r(6).19.(12分)在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2eq\r(2)，∠ABC＝90°，如圖1，把△ABD沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD(如圖2).(1)求證：CD⊥AB；(2)若點M為線段BC的中點，求點M到平面ACD的距離.(1)證明：由已知條件可得BD＝2，CD＝2，CD⊥BD.因為平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面ABD.又因為AB?平面ABD，所以CD⊥AB.(2)解：如圖，以點D為原點，DB所在的直線為x軸，DC所在的直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由已知可得A(1，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，M(1，1，0)，所以eq\o(CD,\s\up6(→))＝(0，－2，0)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－1，0，－1)，eq\o(MC,\s\up6(→))＝(－1，1，0).設(shè)平面ACD的法向量n＝(x，y，z)，則eq\o(CD,\s\up6(→))⊥n，eq\o(AD,\s\up6(→))⊥n，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2y＝0，,－x－z＝0，))令x＝1，得平面ACD的一個法向量n＝(1，0，－1)，所以點M到平面ACD的距離d＝eq\f(|n·\o(MC,\s\up6(→))|,|n|)＝eq\f(\r(2),2).20.(12分)如圖，在三棱錐SABC中，側(cè)面SAC與底面ABC垂直，E，O分別是SC，AC的中點，且SA＝SC＝eq\r(2)，BC＝eq\f(1,2)AC，∠ASC＝∠ACB＝90°.(1)求證：OE∥平面SAB.(2)若點F在線段BC上，問：無論點F在BC的何處，是否都有OE⊥SF？請證明你的結(jié)論.(1)證明：因為E，O分別是SC，AC的中點，所以O(shè)E∥SA.又因為OE?平面SAB，SA?平面SAB，所以O(shè)E∥平面SAB.(2)解：方法一，在△SAC中，因為OE∥AS，∠ASC＝90°，所以O(shè)E⊥SC.又因為平面SAC⊥平面ABC，∠BCA＝90°，BC?平面ABC，所以BC⊥平面SAC.又因為OE?平面SAC，所以BC⊥OE.因為SC∩BC＝C，所以O(shè)E⊥平面BSC.又因為SF?平面BSC，所以O(shè)E⊥SF.所以無論點F在BC的何處，都有OE⊥SF.方法二，連接SO.因為O是AC的中點，SA＝SC，所以SO⊥AC.又因為平面SAC⊥平面ABC，所以SO⊥平面ABC.同理可得BC⊥平面SAC.如圖，在平面ABC內(nèi)，過點O作OM⊥AC，以O(shè)為原點，OM，OC，OS所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則點O(0，0，0)，A(0，－1，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，S(0，0，1)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2)))，eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2))).由于點F∈BC，故可設(shè)點F(x，1，0)，則eq\o(SF,\s\up6(→))＝(x，1，－1)，eq\o(SF,\s\up6(→))·eq\o(OE,\s\up6(→))＝0恒成立，所以無論點F在BC的何處，都有OE⊥SF.21.(12分)如圖，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2，底面ABCD是直角梯形，∠A為直角，AB∥CD，AB＝4，AD＝2，DC＝2.(1)求線段BC1的長度；(2)求異面直線BC1與DC所成角的余弦值.解：(1)以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(2，0，0)，B(2，4，0)，C(0，