新教材2024版高中數(shù)學第二章直線和圓的方程2.5直線與圓圓與圓的位置關(guān)系2.5.1直線與圓的位置關(guān)系課件新人教A版選擇性必修第一冊

第二章直線和圓的方程2.5直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系2.5.1直線與圓的位置關(guān)系學習目標素養(yǎng)要求1.結(jié)合教材實例了解直線與圓的位置關(guān)系數(shù)學抽象2.會解決關(guān)于直線與圓的位置關(guān)系的問題數(shù)學運算3.會解決直線與圓相切、弦長等相關(guān)的問題，能利用直線與圓的位置關(guān)系解決簡單的應用性問題數(shù)學運算、直觀想象4.能用直線和圓的方程解決一些簡單的實際問題數(shù)學建模、數(shù)學運算|自學導引|直線Ax＋By＋C＝0和圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系及判斷1．幾何法判定依據(jù)圓心到直線的距離d與圓半徑r進行大小比較判定結(jié)論d＞r____________d＝r____________d＜r____________相離相切相交2．代數(shù)法判定依據(jù)將直線方程代入圓的方程，消元得關(guān)于x(或y)的一元二次方程的判別式Δ判定結(jié)論Δ＞0____________Δ＝0____________Δ＜0____________相交相切相離1．思維辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)過圓外一點可作兩條圓的切線． (

)(2)如果一條直線被圓截得的弦長最長，則此直線過圓心．(

)(3)過半徑外端的直線與圓相切． (

)(4)若C為圓O內(nèi)一點，則過點C的直線與圓O相交． (

)【答案】(1)√

(2)√

(3)×

(4)√【預習自測】【解析】(1)過圓外一點可作兩條圓的切線．(2)直線被圓截，所得最長弦為直徑．(3)過半徑外端與半徑垂直的直線與圓相切．(4)過圓內(nèi)一點的直線一定與圓相交，此說法正確．2．直線y＝x＋1與圓x2＋y2＝1的位置關(guān)系是 (

)A．相切 B．相交但直線不過圓心C．直線過圓心 D．相離【答案】B

3．已知直線x＝a(a＞0)和圓(x－1)2＋y2＝4相切，那么a的值是 (

)A．5

B．4

C．3

D．2【答案】C

【解析】因為|a－1|＝2，又因為a＞0，所以a＝3．【答案】4

坐標法解決平面幾何問題的“三步曲”第一步：建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担米鴺撕头匠瘫硎締栴}中的幾何要素，如點、直線、圓，把平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；第二步：通過代數(shù)運算，解決代數(shù)問題；第三步：把代數(shù)運算的結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論【預習自測】1．一輛卡車寬1.6m，要經(jīng)過一個半圓形隧道(半徑為3.6m)，則這輛卡車的平頂車篷篷頂距地面高度不得超過 (

)A．1.4m

B．3.5m

C．3.6m

D．2.0m【答案】B2．設(shè)村莊外圍所在曲線的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路所在直線方程可用x－y＋2＝0表示，則從村莊外圍到小路的最短距離為________.|課堂互動|題型1直線與圓的位置關(guān)系的判斷當m為何值時，直線mx－y－1＝0與圓x2＋y2－4x＝0相交、相切、相離？直線與圓的位置關(guān)系的判定有兩種方法(1)代數(shù)法：通過直線方程與圓的方程所組成的方程組，根據(jù)解的個數(shù)來研究，若有兩組不同的實數(shù)解，即Δ＞0，則相交；若有兩組相同的實數(shù)解，即Δ＝0，則相切；若無實數(shù)解，即Δ＜0，則相離．(2)幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑r的大小來判斷．當d＜r時，直線與圓相交；當d＝r時，直線與圓相切；當d＞r時，直線與圓相離．提醒：利用幾何法來判定直線與圓的位置關(guān)系時，一定要明確圓心的坐標．1．判斷下列直線與圓的位置關(guān)系，若有公共點，求出公共點的坐標．(1)直線：x＋y＝0，圓：x2＋y2＋2x＋4y－4＝0；(2)直線：y＝x＋5，圓：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0；(3)直線：x＋y＝3，圓：x2＋y2－4x＋2y＋4＝0．題型2直線與圓相切的有關(guān)問題過點M(2,4)向圓(x－1)2＋(y＋3)2＝1引切線，求其切線的方程．解：由于(2－1)2＋(4＋3)2＝50＞1，故點M在圓外．當切線斜率存在時，設(shè)切線方程是y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0．【例題遷移1】(改變問法)若本例中的條件不變，如何求其切線長？【例題遷移2】(變換條件)若將本例中的點M的坐標改為(1，－2)，其他條件不變，又如何求其切線的方程？解：由于(1－1)2＋(－2＋3)2＝1，故點M在圓上．由已知圓心坐標為C(1，－3)，此時直線MC的斜率不存在，故切線的斜率為0，所以切線的方程為y＝－2．(2)點(x0，y0)在圓外．①設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，由圓心到直線的距離等于半徑建立方程，可求得k，即可求得切線方程．②當用此法只求出一個方程時，另一個方程應為x＝x0，因為在上面解法中不包括斜率不存在的情況．③過圓外一點的切線有兩條．一般不用聯(lián)立方程組的方法求解．提醒：已知一點求圓的切線方程時，切勿漏掉斜率不存在的情況．2．過點A(4，－3)作圓C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的切線，求此切線的方程．解：因為(4－3)2＋(－3－1)2＝17＞1，所以點A在圓外．(1)若所求切線的斜率存在，設(shè)切線斜率為k，則切線方程為y＋3＝k(x－4)．【答案】(x－2)2＋(y＋1)2＝4

探究2已知直線和圓的方程求弦長過原點且傾斜角為60°的直線被圓x2＋y2－4y＝0所截得的弦長為________．解：由題意可知，若直線與圓相交，斜率須存在，設(shè)直線l的斜率為k，則方程可表示為y＋2＝k(x＋1)．又因為圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心為(1,1)，題型4直線與圓的方程的實際應用

黨的二十大報告提出要加快建設(shè)交通強國．我國已建成總長接近赤道長度的隧道(約4萬千米).這些隧道樣式多種多樣，它們或傍山而過，上方構(gòu)筑頂棚形成“明洞”，或掛于峭壁，每隔一段開出“天窗”形成掛壁公路，更多時候它們都隱伏于山體之中，只露出窄窄的出入口洞門．佛山某學生學過圓的知識后受此啟發(fā)，為山體隧道設(shè)計了一個圓弧形洞門樣式，如圖所示，路寬AB為16米，洞門最高處距路面4米．(1)建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，求圓弧AB的方程．(2)為使雙向行駛的車輛更加安全，該同學進一步優(yōu)化了設(shè)計方案，在路中間建立了2米寬的隔墻．某貨車裝滿貨物后整體呈長方體狀，寬2米，高3.6米，則此貨車能否通過該洞門？并說明理由．解：(1)以點D為坐標原點，AB，DC所在直線分別為x軸、y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，(2)此火車不能通過該洞口，由題意可知，隔墻在y軸右側(cè)1米，車寬2米，車高3.6米，所以貨車右側(cè)的最高點的坐標為(3，3.6)，因為32＋(3.6＋6)2>100，因此，該貨車不能通過該洞口．利用直線與圓的方程解決實際問題的步驟(1)認真審題，明確題意．(2)建立平面直角坐標系，用坐標表示點，用方程表示曲線，從而在實際問題中建立直線與圓的方程的模型．(3)利用直線與圓的方程的有關(guān)知識求解問題；④把代數(shù)結(jié)果還原為對實際問題的解釋．4．如圖，某海面上有O，A，B三個小島(面積大小忽略不計)，A島在O島的北偏東45°方向距O島40千米處，B島在O島的正東方向距O島20千米處，以O(shè)為坐標原點，O的正東方向為x軸的正方向，1千米為單位長度，建立平面直角坐標系，圓C經(jīng)過O，A，B三點．(1)求圓C的標準方程；(2)若圓C區(qū)域內(nèi)有未知暗礁，現(xiàn)有一船D在O島的南偏西30°方向距O島40千米處，正沿著北偏東60°行駛，若不改變方向，試問該船有沒有觸礁的危險？錦囊妙計活用隱圓的定義妙解壓軸題【思維導讀】(1)與圓有關(guān)的最值問題主要表現(xiàn)在求幾何圖形的長度、面積的最值，求點到直線的距離的最值，求相關(guān)參數(shù)的最值等方面．解決此類問題的主要思路是利用圓的幾何性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化．(2)直線與圓的綜合問題主要包括弦長問題，切線問題及組成圖形面積問題，解決方法主要依據(jù)圓的幾何性質(zhì)．命題意圖：考查圓的定義及直線與圓的位置關(guān)系．知識依托：到兩定點距離之比等于已知數(shù)的動點軌跡為直線或圓．點A，B為兩定點，動點P滿足|PA|＝λ|PB|.則λ＝1時，動點P的軌跡為直線；當λ＞0且λ≠1時，動點P的軌跡為圓，后世稱之為阿波羅尼斯圓．1．直線與圓的位置關(guān)系體現(xiàn)了圓的幾何性質(zhì)和代數(shù)方法的結(jié)合，“代數(shù)法”與“幾何法”是從不同的方面和思路來判斷的．2．求過一點的圓的切線方程時，首先要判斷此點是否在圓上，然后設(shè)出切線方程．注意：斜率不存在的情形．3．(1)求圓的弦長問題，注意應用圓的性質(zhì)解題，即用圓心與弦中點連線與弦垂直的性質(zhì)，可以用勾股定理或斜率之積為－1列方程來簡化運算．(2)過圓上一點作圓的切線有且只有一條；過圓外一點作圓的切線有且只有兩條，若僅求得一條，除了考慮運算過程是否正確外，還要考慮斜率不存在的情況，以防漏解．|素養(yǎng)達成|(2)求過圓外一點(x0，y0)的圓的切線方程：幾何法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0.由圓心到直線的距離等于半徑，可求得k，切線方程即可求出．并注意檢驗當k不存在時，直線x＝x0是否為圓的切線．代數(shù)法：設(shè)切線方程y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圓的方程，得到一個關(guān)于x的一元二次方程，由Δ＝0求得k，切線方程即可求出．并注意檢驗當k不存在時，直線x＝x0是否為圓的切線．

(2)代數(shù)法：①聯(lián)立直線方程和圓的方程，解方程組得A，B點坐標，再由兩點間的距離公式求弦長|AB|；②設(shè)直線l的方程為y＝kx＋b，聯(lián)立直線l的方程和圓的方程，消去一個未知數(shù)得一個一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解．1．(題型1)直線l：x－y＝1與圓C：x2＋y2－4x＝0的位置關(guān)系是 (

)A．相離 B．相切C．相交 D．無法確定【答案】C

2．(題型2)直線3x＋4y＝b與圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，則b＝

(

)A．－2或12 B．2或－12C．－2或－12 D．2或