橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)-生用

PAGE1/6橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程典型例題一、知識要點：1、橢圓的定義:第一定義:平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離之和為等于常數(shù)(大于｜F1F2｜)的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做焦距.=1\*GB3①當(dāng)，點P無軌跡；=2\*GB3②當(dāng)時，點P的軌跡為線段；=3\*GB3③當(dāng)時，點P的軌跡為橢圓。第二定義:平面內(nèi)一個動點到一個定點的距離和它到相應(yīng)的定直線的距離的比是小于1的正常數(shù),這個動點的軌跡叫橢圓,定點是橢圓的焦點,定直線叫做橢圓的準(zhǔn)線.2、橢圓的方程與幾何性質(zhì):標(biāo)準(zhǔn)方程性質(zhì)參數(shù)關(guān)系焦點焦距范圍頂點對稱性關(guān)于x軸、y軸和原點對稱離心率準(zhǔn)線3、點和橢圓的位置關(guān)系。點和橢圓的方程為=1\*GB3①若，則點在橢圓內(nèi)；（證明直線與橢圓恒相交的問題）=2\*GB3②若，則點在橢圓上；=3\*GB3③若，則點在橢圓外；4、直線和橢圓的位置關(guān)系。直線：，橢圓的方程為。（若直線過軸上一點，最好設(shè)直線方程為；若直線過軸上一點，最好設(shè)直線方程為）將直線方程代入橢圓的方程得到關(guān)于一元二次方程，設(shè)它的判別式為Δ，=1\*GB3①相離Δ<0直線和橢圓無交點；=2\*GB3②相切Δ＝0直線和橢圓只有一個交點；=3\*GB3③相交Δ>0直線和橢圓有兩個交點；弦長為，則5、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的一般形式：=1\*GB3①若知道焦點的位置，可按焦點的位置設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。=2\*GB3②若不知道焦點的位置，可討論在軸軸上兩種情況，也可以直接設(shè)。=3\*GB3③和焦點相同的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；=4\*GB3④和離心率相同的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；6、橢圓的焦半徑公式已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,焦點F1，F(xiàn)2為橢圓的左右焦點，若點為橢圓上一點，其橫坐標(biāo)為，則，，（左加右減）7、焦點三角形應(yīng)注意以下關(guān)系：以焦點在軸上為例：P()為橢圓上一點，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝(1)定義知：r1＋r2＝2a；(2)余弦定理：＋－2r1r2cos＝(2c)2；(3)面積：＝r1r2sin＝·2c|y0|，=4\*GB2⑷，=5\*GB2⑸當(dāng)P在短軸的端點時，為最大，即從長軸的端點向短軸的端點移動，逐漸變大。（6）焦點在軸上時，若軸，則8、橢圓中點弦問題常用“點差法”求解。若橢圓焦點在軸上，弦的端點設(shè)為，中點為，把點代人圓錐曲線方程后相減得定值。（注意不要記），（設(shè)點不求點）注意中點應(yīng)在橢圓內(nèi)部。9、直線過橢圓的焦點時，=1\*GB3①直線垂直焦點所在的軸時弦長最短，且最短為，此時弦叫通經(jīng)，最長是長軸長；=2\*GB3②以橢圓弦長為直徑做圓，則此圓與相應(yīng)的準(zhǔn)線相離。二、例與練1、已知橢圓的一個焦點為（0，2）求的值．2、已知橢圓的中心在原點，且經(jīng)過點，，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程3、的底邊，和兩邊上中線長之和為30，求此三角形重心的軌跡和頂點的軌跡．4、已知點在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上，點到兩焦點的距離分別為和，過點作焦點所在軸的垂線，它恰好過橢圓的一個焦點，求橢圓方程．5、已知橢圓方程，長軸端點為，，焦點為，，是橢圓上一點，，．求：的面積（用、、表示）．6、已知動圓過定點，且在定圓的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動圓圓心的軌跡方程．7、已知橢圓，（1）求過點且被平分的弦所在直線的方程；（2）求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程；（3）過引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程；（4）橢圓上有兩點、，為原點，且有直線、斜率滿足，求線段中點的軌跡方程．8、已知橢圓及直線．（1）當(dāng)為何值時，直線與橢圓有公共點？（2）若直線被橢圓截得的弦長為，求直線的方程．9、以橢圓的焦點為焦點，過直線上一點作橢圓，要使所作橢圓的長軸最短，點應(yīng)在何處？并求出此時的橢圓方程．10、已知方程表示橢圓，求的取值范圍．11、已知表示焦點在軸上的橢圓，求的取值范圍．12、求中心在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過和兩點的橢圓方程．13、知圓，從這個圓上任意一點向軸作垂線段，求線段中點的軌跡．14、已知長軸為12，短軸長為6，焦點在軸上的橢圓，過它對的左焦點作傾斜解為的直線交橢圓于，兩點，求弦的長．15、橢圓上的點到焦點的距離為2，為的中點，則（為坐標(biāo)原點）的值為A．4B．2C．8D．16、已知橢圓，試確