實(shí)際問題與與二次函數(shù)

PAGE《實(shí)際問題與與二次函數(shù)》練習(xí)1.某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，售價(jià)為每件50元，每個(gè)月可賣出210件；如果每件商品的售價(jià)每上漲1元，則每個(gè)月少賣10件（每件售價(jià)不能高于65元）．設(shè)每件商品的售價(jià)上漲x元（x為正整數(shù)），每個(gè)月的銷售利潤(rùn)為y元．（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量x的取值范圍；（2）每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí)，每個(gè)月可獲得最大利潤(rùn)？最大的月利潤(rùn)是多少元？（3）每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí)，每個(gè)月的利潤(rùn)恰為2200元？根據(jù)以上結(jié)論，請(qǐng)你直接寫出售價(jià)在什么范圍時(shí)，每個(gè)月的利潤(rùn)不低于2200元？2.（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量x的取值范圍；（2）每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí)，每個(gè)月可獲得最大利潤(rùn)？最大的月利潤(rùn)是多少元？（3）當(dāng)每件商品的售價(jià)高于60元時(shí)，定價(jià)為多少元使得每個(gè)月的利潤(rùn)恰為2250元？3.某公司經(jīng)銷一種綠茶，每千克成本為50元，市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)在一段時(shí)間內(nèi)，銷售量w（千克）隨銷售單價(jià)x（元/千克）的變化而變化，具體關(guān)系式為：w=﹣2x+240．（1）請(qǐng)寫出這種綠茶在這段時(shí)間內(nèi)的銷售利潤(rùn)y(元)與銷售單價(jià)x（元/千克）之間的函數(shù)關(guān)系式．（2）當(dāng)銷售單價(jià)x（元/千克）定為多少時(shí)能使銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？（3）如果物價(jià)部門規(guī)定這種綠茶的銷售單價(jià)不得高于90元/千克，公司想要在這段時(shí)間內(nèi)獲得2250元的銷售利潤(rùn)，銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？

4.施工隊(duì)要修建一個(gè)橫斷面為拋物線的公路隧道，其高度為6米，寬度OM為12米．現(xiàn)以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，OM所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系（如圖1所示）．（1）求出這條拋物線的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）隧道下的公路是雙向行車道(正中間是一條寬1米的隔離帶)，其中的一條行車道能否行駛寬2.5米、高5米的特種車輛？請(qǐng)通過計(jì)算說明；（3）施工隊(duì)計(jì)劃在隧道門口搭建一個(gè)矩形“腳手架”CDAB，使A、D點(diǎn)在拋物線上。B、C點(diǎn)在地面OM線上（如圖2所示）．為了籌備材料，需求出“腳手架”三根木桿AB、AD、DC的長(zhǎng)度之和的最大值是多少，請(qǐng)你幫施工隊(duì)計(jì)算一下.DyDyPxOMABC圖25.某汽車城銷售某種型號(hào)的汽車，每輛進(jìn)價(jià)為25萬元，市場(chǎng)調(diào)研表明：當(dāng)銷售價(jià)為29萬元時(shí)，平均每周能售出8輛，而當(dāng)銷售價(jià)每降低0.5萬元時(shí)，平均每周能多售出4輛，如果設(shè)每輛汽車降價(jià)萬元，平均每周的銷售利潤(rùn)為萬元。（1）（2）銷售部經(jīng)理說通過降價(jià)促銷，可以使每周最大利潤(rùn)突破50萬元，他的說法對(duì)嗎？（3）要使每周的銷售利潤(rùn)不低于48萬元，那么銷售單價(jià)應(yīng)該定在哪個(gè)范圍內(nèi)？

6.星光中學(xué)課外活動(dòng)小組準(zhǔn)備圍建一個(gè)矩形生物苗圃園，其中一邊靠墻，另外三邊用長(zhǎng)為30米的籬笆圍成。已知墻長(zhǎng)為18米（如圖所示），設(shè)這個(gè)苗圃園垂直于墻的一邊的長(zhǎng)為x米。（1）若平行于墻的一邊長(zhǎng)為y米，直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式及其自變量x的取值范圍；（2）垂直于墻的一邊的長(zhǎng)為多少米時(shí)，這個(gè)苗圃園的面積最大，并求出這個(gè)最大值；（3）當(dāng)這個(gè)苗圃園的面積不小于88平方米時(shí)，試結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出x的取值范圍。7.如圖，小河上有一拱橋，拱橋及河道的截面輪廓線由拋物線的一部分ACB和矩形的三邊AE，ED，DB組成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，拋物線的頂點(diǎn)C到ED的距離是11米，以ED所在的直線為x軸，拋物線的對(duì)稱軸為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．（1）求拋物線的解析式；（2）已知從某時(shí)刻開始的40小時(shí)內(nèi)，水面與河底ED的距離h（單位：米）隨時(shí)間t（單位：時(shí)）的變化滿足函數(shù)關(guān)系h=﹣（t﹣19）2+8（0≤t≤40），且當(dāng)水面到頂點(diǎn)C的距離不大于5米時(shí)，需禁止船只通行，請(qǐng)通過計(jì)算說明：在這一時(shí)段內(nèi)，需多少小時(shí)禁止船只通行？

8.要修建一個(gè)圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根2.25m的水管，在水管的頂端安一個(gè)噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達(dá)到最高，高度為3m．（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，使水管頂端的坐標(biāo)為（0，2.25），水柱的最高點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，3），求出此坐標(biāo)系中拋物形水柱對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫取值范圍）；（2）如圖，在水池底面上有一些同心圓軌道，每條軌道上安裝排水地漏，相鄰軌道之間的寬度為0.3m，最內(nèi)軌道的半徑為m，其上每0.3m的弧長(zhǎng)上安裝一個(gè)地漏，其它軌道上的個(gè)數(shù)相同，水柱落地處為最外軌道，其上不安裝地漏．求當(dāng)為多少時(shí)池中安裝的地漏的個(gè)數(shù)最多？9.某外商李經(jīng)理按市場(chǎng)價(jià)格10元/千克收購了2000千克香菇存放入冷庫中．據(jù)預(yù)測(cè)，香菇的市場(chǎng)價(jià)格每天每千克將上漲0.5元，但冷庫存放這批香菇時(shí)每天需要支出各種費(fèi)用合計(jì)340元，而且香菇在冷庫中最多保存110天，同時(shí)，平均每天有6千克的香菇損壞不能出售．（1）若存放x天后，將這批香菇一次性出售，設(shè)這批香菇的銷售總金額為y元，試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式（并寫出自變量x的范圍）．（2）李經(jīng)理想獲得利潤(rùn)22500元，需將這批香菇存放多少天后出售？（利潤(rùn)＝銷售總金額－收購成本－各種費(fèi)用）（3）李經(jīng)理將這批香菇存放多少天后出售可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？

10.如圖1，一座拱橋的輪廓是拋物線型，拱高6m，跨度20m，相鄰兩支柱間的距離均為5m．（1）如圖2，將拋物線放在所給的直角坐標(biāo)系中，求該拋物線的解析式（不需要寫出自變量x的取值范圍）；（2）求支柱EF的長(zhǎng)度；（3）拱橋下地平面是雙向行車道（正中間是一條寬2m的隔離帶），其中的一條行車道能否并排行駛寬2m、高3m的三輛汽車（汽車間的間隔忽略不計(jì)）？請(qǐng)說明你的理由．11.某小區(qū)為了改善居住環(huán)境，準(zhǔn)備修建一個(gè)矩形花園ABCD，為了節(jié)約材料并種植不同類花，決定花園一邊靠墻，三邊用柵欄圍住，中間用一段垂直于墻的柵欄隔成兩塊，已知所用柵欄的總長(zhǎng)為60米，墻長(zhǎng)為30米（如圖），設(shè)花園垂直于墻的一邊的長(zhǎng)為x米。（1）若平行于墻的一邊長(zhǎng)為y米，直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；（2）當(dāng)x為何值時(shí)，這個(gè)矩形花園的面積最大？最大值是多少？（柵欄占地面積忽略不計(jì)）；（3）當(dāng)這個(gè)花園的面積不小288平方米時(shí)，試結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出x的取值范圍。AABCD30m

12.某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，售價(jià)為每件60元時(shí)，每個(gè)月可賣出100件；如果每件商品的售價(jià)每上漲1元，則每個(gè)月少賣2件．設(shè)每件商品的售價(jià)為x元（x為正整數(shù)），每個(gè)月的銷售利潤(rùn)為y元．（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量x的取值范圍；（2）每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí)，每個(gè)月可獲得最大利潤(rùn)？最大的月利潤(rùn)是多少元？（3）當(dāng)售價(jià)的范圍是多少時(shí)，使得每件商品的利潤(rùn)率不超過80%且每個(gè)月的利潤(rùn)不低于2250元？13.某跳水運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行10米跳臺(tái)跳水訓(xùn)練時(shí)，身體（看成一點(diǎn)）在空中的運(yùn)動(dòng)路線是如圖所示坐標(biāo)系下經(jīng)過原點(diǎn)O的一條拋物線（圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)為已知條件）.在跳某個(gè)規(guī)定動(dòng)作時(shí)，正常情況下，該運(yùn)動(dòng)員在空中的最高處距水面米，入水處距池邊的距離為4米，運(yùn)動(dòng)員在距水面高度為5米以前，必須完成規(guī)定的翻騰動(dòng)作，并調(diào)整好入水姿勢(shì)，否則就會(huì)出現(xiàn)失誤．（1）求這條拋物線的解析式；O（2）在某次試跳中，測(cè)得運(yùn)動(dòng)員在空中的運(yùn)動(dòng)路線是（1）中的拋物線，且運(yùn)動(dòng)員在空中完成規(guī)定的翻騰動(dòng)作并調(diào)整好入水姿勢(shì)時(shí)，距池邊的水平距離為米，問此次跳水會(huì)不會(huì)失誤？并通過計(jì)算說明理由．O

14（1）若不進(jìn)行開發(fā)，求5年所獲利潤(rùn)的最大值是多少？（2）若按規(guī)劃實(shí)施，求5年所獲利潤(rùn)（扣除修路后）的最大值是多少？（3）根據(jù)（1）、（2），該方案是否具有實(shí)施價(jià)值？15.某科技開發(fā)公司研制出一種新型的產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為2400元，銷售單價(jià)定為3000元，在該產(chǎn)品的試銷期間，為了促銷，鼓勵(lì)商家購買該新型產(chǎn)品，公司決定商家一次購買這種新型產(chǎn)品不超過10件時(shí)，每件按3000元銷售；若一次購買該種產(chǎn)品超過10件時(shí)，每多購買一件，所購買的全部產(chǎn)品的銷售單價(jià)均降低10元，但銷售單價(jià)均不低于2600元．（1）商家一次購買這種產(chǎn)品多少件時(shí)，銷售單價(jià)恰好為2600元？（2）設(shè)商家一次購買這種產(chǎn)品x件，開發(fā)公司所獲得的利潤(rùn)為y元，求y（元）與x（件）之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．（3）該公司的銷售人員發(fā)現(xiàn)：當(dāng)商家一次購買產(chǎn)品的件數(shù)超過某一數(shù)量時(shí)，會(huì)出現(xiàn)隨著一次購買的數(shù)量的增多，公司所獲得的利潤(rùn)反而減少這一情況．為使商家一次購買的數(shù)量越多，公司所獲得的利潤(rùn)越大，公司應(yīng)將最低銷售單價(jià)調(diào)整為多少元？（其它銷售條件不變）

16.某公司生產(chǎn)的一種健身產(chǎn)品在市場(chǎng)上受到普遍歡迎，每年可在國(guó)內(nèi)、國(guó)外市場(chǎng)上全部售完．該公司的年產(chǎn)量為6千件，若在國(guó)內(nèi)市場(chǎng)銷售，平均每件產(chǎn)品的利潤(rùn)y1（元）與國(guó)內(nèi)銷售量x（千件）的關(guān)系為：y1=若在國(guó)外銷售，平均每件產(chǎn)品的利潤(rùn)y2（元）與國(guó)外的銷售數(shù)量t（千件）的關(guān)系為（1）用x的代數(shù)式表示t為：t=_________；當(dāng)0＜x≤4時(shí)，y2與x的函數(shù)關(guān)系為：y2=_________；當(dāng)_________＜x＜_________時(shí)y2=100；（2）求每年該公司銷售這種健身產(chǎn)品的總利潤(rùn)w（千元）與國(guó)內(nèi)銷售數(shù)量x（千件）的函數(shù)關(guān)系式，并指出x的取值范圍；（3）該公司每年國(guó)內(nèi)、國(guó)外的銷售量各為多少時(shí)，可使公司每年的總利潤(rùn)最大？最大值為多少？

1.解：（1）（且為整數(shù)）；（2）．，當(dāng)時(shí)，有最大值2402.5．，且為整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，（元），當(dāng)時(shí)，，（元）當(dāng)售價(jià)定為每件55或56元，每個(gè)月的利潤(rùn)最大，最大的月利潤(rùn)是2400元．（3）當(dāng)時(shí)，，解得：．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．當(dāng)售價(jià)定為每件51或60元，每個(gè)月的利潤(rùn)為2200元．當(dāng)售價(jià)不低于51或60元，每個(gè)月的利潤(rùn)為2200元．當(dāng)售價(jià)不低于51元且不高于60元且為整數(shù)時(shí)，每個(gè)月的利潤(rùn)不低于2200元（或當(dāng)售價(jià)分別為51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元時(shí)，每個(gè)月的利潤(rùn)不低于2200元）．2.解：（1）當(dāng)50≤x≤60時(shí)，y=（x﹣40）（100+60﹣x）=﹣x2+200x﹣6400；當(dāng)60＜x≤80時(shí)，y=（x﹣40）（100﹣2x+120）=﹣2x2+300x﹣8800；∴y=﹣x2+200x﹣6400（50≤x≤60且x為整數(shù)）y=﹣2x2+300x﹣8800（60＜x≤80且x為整數(shù)）（2）當(dāng)50≤x≤60時(shí)，y=﹣（x﹣100）2+3600；∵a=﹣1＜0，且x的取值在對(duì)稱軸的左側(cè)，∴y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x=60時(shí)，y有最大值2000；當(dāng)60＜x≤80時(shí)，y=﹣2（x﹣75）2+2450；∵a=﹣2＜0，∴當(dāng)x=75時(shí)，y有最大值2450．綜上所述每件商品的售價(jià)定為75元時(shí)，每個(gè)月可獲得最大利潤(rùn)，最大的月利潤(rùn)是2450元．（3）當(dāng)60＜x≤80時(shí)，y=﹣2（x﹣75）2+2450．當(dāng)y=2250元時(shí)，﹣2（x﹣75）2+2450=2250，解得：x1=65，x2=85；其中，x2=85不符合題意，舍去．∴當(dāng)每件商品的售價(jià)為65元時(shí)，每個(gè)月的利潤(rùn)恰為2250元．3.解：（1）y=（x﹣50）?w=（x﹣50）?（﹣2x+240）=﹣2x2+340x﹣12000，∴y與x的關(guān)系式為：y=﹣2x2+340x﹣12000．）（2）y=﹣2x2+340x﹣12000=﹣2（x﹣85）2+2450，∴當(dāng)x=85時(shí)，y的值最大值是2450．（3）當(dāng)y=2250時(shí)，可得方程﹣2（x﹣85）2+2450=2250解這個(gè)方程，得x1=75，x2=95根據(jù)題意，x2=95不合題意應(yīng)舍去∴當(dāng)銷售單價(jià)為75元時(shí)，可獲得銷售利潤(rùn)2250元．4.解:∵M(jìn)（12，0），P（6，6）．∴設(shè)這條拋物線的函數(shù)解析式為y=a（x-6）2+6，∵拋物線過O（0，0），∴a（0-6）2+6=0，解得a=-，∴這條拋物線的函數(shù)解析式為y=-（x-6）2+6，即y=-x2+2x．（2）當(dāng)x=6-0.5-2.5=3(或x=6+0.5+2.5=9)時(shí)y=4.5＜5∴不能行駛寬2.5米、高5米的特種車輛（3）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，-m2+2m），∴OB=m，AB=DC=-m2+2m根據(jù)拋物線的軸對(duì)稱，可得：OB=CM=m，∴BC=12-2m，即AD=12-2m∴L=AB+AD+DC=-m2+2m+12-2m-m2+2m=-m2+2m+12=-（m-3）2+15．∴當(dāng)m=3，即OB=3米時(shí)，三根木桿長(zhǎng)度之和L的最大值為15米．5.⑴⑵不對(duì)，，故當(dāng)降價(jià)1.5萬元時(shí)，每周利潤(rùn)最大為50萬元，不能突破50萬元。⑶當(dāng)時(shí)，，解得（圖略）觀察圖形知，當(dāng)時(shí)，即銷售價(jià)格在27萬元至28萬元之間時(shí)（含27萬、28萬元）該汽車城平均每周的利潤(rùn)不低于48萬元。6.解：（１）設(shè)ｙ＝３０－２ｘ（６≤ｘ＜１５）（２）設(shè)矩形苗圃園的面積為Ｓ，則Ｓ=ｘｙ＝ｘ（３０－２ｘ）＝－２ｘ＋３０ｘ∴Ｓ=-２(Ｘ-７．５)＋１１２．５由（１）知，６≤ｘ＜１５∴當(dāng)ｘ＝７．５時(shí)，Ｓ最大值＝１１２．５即當(dāng)矩形苗圃園垂直于墻的一邊的長(zhǎng)為７．５米時(shí)，這個(gè)苗圃園的面積最大，這個(gè)最大值為１１２．５．7.解：（1）設(shè)拋物線的為y=ax2+11，由題意得B（8，8），∴64a+11=8，解得a=﹣，∴y=﹣x2+11；（2）水面到頂點(diǎn)C的距離不大于5米時(shí)，即水面與河底ED的距離h至多為6，∴6=﹣（t﹣19）2+8，解得t1=35，t2=3，∴35﹣3=32（小時(shí)）．答：需32小時(shí)禁止船只通行．8.解：（1）如圖，依題意建立平面直角坐標(biāo)系，∵點(diǎn)（1，3）為拋物形水柱的頂點(diǎn)，∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣1）2+3，將點(diǎn)（0，2.25）代入，得2.25=a（0﹣1）2+3，解得a=﹣，因此，拋物形水柱對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為：y=﹣（x﹣1）2+3；（2）當(dāng)y=0時(shí)，﹣（x﹣1）2+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，根據(jù)實(shí)際，x=﹣1舍去，所以，x=3，即水柱落地點(diǎn)離池中心3m，設(shè)池中安裝地漏m個(gè)，依題意得m=?，即m=（3r﹣r2）=﹣（r﹣）2+50π，所以，當(dāng)r=1.5時(shí)，池中安裝的地漏的個(gè)數(shù)最多．9.（1）（（2）（3）10.解（1）設(shè)拋物線為y=ax2+6，過點(diǎn)B（10，0），∴100a+6=0，a=x2+6（2）對(duì)于拋物線，當(dāng)x=5時(shí)，，∴EF=10－m，（3）2×3+1=7，對(duì)于拋物線，當(dāng)x=7時(shí)，y=3.06，∵3.06m＞3m答：能并排行駛過寬2m，高3m的三輛汽車11.（1）y=-3x+60(10≤x＜20)（2）S=,當(dāng)x=10時(shí)，S有最大值300平方米；（3）12.解：y=[100﹣2（x﹣60）]（x﹣40）=﹣2x2+300x﹣8800；（60≤x≤110且x為正整數(shù)）（2）y=﹣2（x﹣75）2+2450，當(dāng)x=75時(shí)，y有最大值為2450元；（3）當(dāng)y=2250時(shí)，﹣2（x﹣75）2+2450=2250，解得x1=65，x2=85∵a=﹣2＜0，開口向下，當(dāng)y≥2250時(shí)，65≤x≤85∵每件商品的利潤(rùn)率不超過80%，則≤80%，則x≤72則65≤x≤72．13.（1）解：如圖所示，在給定的平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)最高點(diǎn)為A，入水點(diǎn)為B．∵A點(diǎn)距水面米，跳臺(tái)支柱10米，∴A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，∴O（0，0）B（2，-10）．設(shè)該拋物線的關(guān)系式為，(為常數(shù))過點(diǎn)O（0，0），B（2，-10），且函數(shù)的最大值為，則有：eq\b\lc\{(\a\al(c＝0，,4a＋2b＋c＝﹣10，,\f(4ac－b2,4a)＝\f(2,3)．))解得：∴所求拋物線的關(guān)系式為．（2）解：試跳會(huì)出現(xiàn)失誤.∵當(dāng)x＝時(shí)，y＝．此時(shí)，運(yùn)動(dòng)員距水面的高為10＝＜5，∴試跳會(huì)出現(xiàn)失誤．14.（1）∵每投入x萬元，可獲得利潤(rùn)P=﹣（x﹣60）2+41（萬元），∴當(dāng)x=60時(shí)，所獲利潤(rùn)最大，最大值為41萬元，∴若不進(jìn)行開發(fā)，5年所獲利潤(rùn)的最大值是：41×5=205（萬元）；（2）前兩年：0≤x≤50，此時(shí)因?yàn)镻隨x的增大而增大，所以x=50時(shí)，P值最大，即這兩年的獲利最大為：2×[﹣（50﹣60）2+41]=80（萬元），后三年：設(shè)每年獲利y，設(shè)當(dāng)?shù)赝顿Y額為a，則外地投資額為100﹣a，∴Q=﹣[100﹣（100﹣a）]2+[100﹣（100﹣a）]+160=﹣a2+a+160，∴y=P+Q=[﹣（a﹣60）2+41]+[﹣a2+a+160]=﹣a2+60a+165=﹣（a﹣30）2+1065，∴當(dāng)a=30時(shí)，y最大且為1065，∴這三年的獲利最大為1065×3=3195（萬元），∴5年所獲利潤(rùn)（扣除修路后）的最大值是：80+3195﹣50×2=3175（萬元）．（3）有很大的實(shí)施價(jià)值．規(guī)劃后5年總利潤(rùn)