研究生高等代數(shù)復(fù)習題

研究生高等代數(shù)復(fù)習題1.設(shè)是數(shù)域上線性空間的線性變換且,證明（1）的特征值為1或0；（2）;（3）.2.已知是n維歐氏空間的正交變換，證明：的不變子空間的正交補也是的不變子空間．3.已知復(fù)系數(shù)矩陣，（1）求矩陣的行列式因子、不變因子和初等因子；（2）求矩陣的若當標準形.（15分）4.已知二次型，通過某個正交變換可化為標準形，（1）寫出二次型對應(yīng)的矩陣A及A的特征多項式，并確定的值；（2）求出作用的正交變換.5.為數(shù)域，，，，為向量空間的一組基，求在這組基下的坐標（寫成列向量的形式）.6.設(shè)為階方陣，，證明為冪等矩陣，則.7.若設(shè)W=,試證：W是的子空間，并求出W的一組基及維數(shù).8.設(shè)是一個n維歐氏空間，為中的正交向量組，令（1）證明：是的一個子空間；（2）證明：.9.試求矩陣的特征多項式、最小多項式.10.在線性空間中定義變換：（1）證明：是的線性變換.（2）求值域及核的基和維數(shù).11.證明二次型是半正定的.12.求的值，使是正定二次型.（12分）13.設(shè)（1）求A的不變因子.（2）求A的若當標準形.14.設(shè)的線性變換在標準基下的矩陣為，（1）求的特征值和特征向量，（2）求的一組標準正交基，使在此基下的矩陣為對角矩陣.15.設(shè)是四維線性空間的一組基，已知線性變換在這組基下的矩陣為（1）求線性變換的秩，（2）求線性變換核與值域.16.求正交變換使二次型化為標準形，并判定該二次型是否正定.17.設(shè)是5維的歐幾里得空間的一組標準正交基，，其中，求的一組標準正交基.18.設(shè)是矩陣，其中（1）求的值；（2）設(shè)，求W的維數(shù)及W的一組基.19.設(shè)是線性空間上的線性變換，滿足，求在基下的矩陣.20.設(shè)是維線性空間上的線性變換，是的一組基.如果是單射，則也是一組基.21.已知二次型，1）寫出二次型的矩陣A；2）求出A的特征值與特征向量；3）求一正交變換，將化為標準形.22.求方陣的不變因子、初等因子和若當標準形.23.設(shè)V是n維歐氏空間，n3,給定非零向量，令證明：（1）是正交變換；（2）如果是正交基，則存在不全為零實數(shù)使得是V上的恒等變換.24.是和的解空間,則.25.設(shè)和是線性空間中依據(jù)如下方式定義的兩個線性變換：，，求.26.設(shè)歐氏空間中有，．，，證明：如果，那么．27.求實二次型的規(guī)范形及符號差.（15分）28.設(shè)A是一個8階方陣，它的8個不變因子為1，1，1，1，1，，，，求A的所有的初等因子及A的若當標準形.（15分）29.設(shè)為數(shù)域上的維線性空間，且（１）證明：是的一組基；（２）若在基下的坐標為，求在基下的坐標.（14分）30.在三維空間中，已知線性變換在基下的矩陣是，求在基下的矩陣.31.在線性空間中，定義，，其中。（１）證明：是的內(nèi)積，因而按此內(nèi)積構(gòu)成一個歐氏空間，（２）求的一組標準正交基，（３）求矩陣，使得.32.設(shè)的兩個子空間為：,.求與的基與維數(shù).33.設(shè)是3維線性空間，為它的一個基.線性變換，求（１）在基下的矩陣；（２）求核和值域.34.設(shè)是實數(shù)域上所有階對稱陣所構(gòu)成的線性空間，對任意，定義，其中表示的跡.（１）證明：構(gòu)成一歐氏空間；（２）求使的子空間的維數(shù)；（３）求的正交補的維數(shù).35.試找出全體實2級矩陣所構(gòu)成的線性空間到的一個線性同構(gòu).36.求由向量生成的子空間與由向量生成的子空間的交的基和維數(shù).37.設(shè)，求(1)的不變因子、行列式因子、初等因子.(2)的標準形.38.設(shè)是數(shù)域上矩陣關(guān)于矩陣加法和數(shù)乘作成的線性空間，定義變換，.（1）證明：是上的對合線性變換，即是滿足（恒等變換）的線性變換；（2）求的特征值和特征向量.39.已知實二次型（1）假設(shè)是負定二次型，求的值；（2）當時，試用非退化線性變換化此二次型為標準形并寫出所用的線性變換的矩陣.40.設(shè)是3維歐氏空間V的一組基，這組基的度量矩陣為（1）令，證明是一個單位向量；（2）若與正交，求.41.已知,是的兩個子空間，求的一個基和維數(shù).42.V為定義在實數(shù)域上的函數(shù)構(gòu)成的線性空間，令證明：W1、W2皆為V的子空間，且.43.由三個函數(shù)1,生成的實線性空間記為,求線性變換T:,的跡，行列式和特征多項式.44.求-矩陣的初等因子和不變因子.45.設(shè)為n維歐氏空間V中一個單位向量，定義V的線性變換如下：證明：為第二類的正交變換（稱為鏡面反射）.46.已知關(guān)于基的坐標為（1，0，2），由基到基的過渡矩陣為，求關(guān)于基的坐標.47.在線性空間P2×2中，(1)求的維數(shù)與一組基；(2)求的維數(shù)與一組基.47’.設(shè)為維線性空間的一個線性變換，且(恒等變換)，證明:(1)的特征值只能是1或-1；(2).48.已知二次型通過正交變換化為標準形，求的值及所作的正交變換．49.中，線性變換關(guān)于基，，的矩陣為（1）求關(guān)于標準基的矩陣；（2）設(shè),,求關(guān)于基的坐標.（15分）50.設(shè)是的線性變換,（1）求值域的一個基和維數(shù)；（2）求核的一個基和維數(shù)．51.（1）實數(shù)域上3階對稱矩陣按合同關(guān)系可分為幾類；（2）某四元二次型有標準形，求其規(guī)范形.52.設(shè)（1）求A的最小多項式；（2）求A的初等因子；（3）求A的若當標準形.53.設(shè)，在中求與同時正交的單位向量（內(nèi)積按通常的定義）.54.已知的兩個子空間，，證明：．55.求下面矩陣的列空間在中的正交補的一個標準正交基.（15分）56.設(shè)為階方陣，，證明：為冪等矩陣當且僅當.57.設(shè)是數(shù)域P上線性空間V的線性變換