專題1-10 數(shù)列放縮通項證明不等式與數(shù)列不等式恒成立問題（解析版）

專題110數(shù)列放縮拆分練習與數(shù)列不等式恒成立問題TOC\o"13"\n\h\z\u題型一求和后放縮題型二放縮通項再裂項相消求和題型三放縮成等比數(shù)列題型四根式的放縮題型五跳過第一項再放縮求和題型六利用重要不等式放縮題型七通過糖水不等式進行放縮題型八放縮后錯位相減求和題型九數(shù)列恒成立問題數(shù)列通項放縮問題是放縮問題的?？碱愋?，相較于求和之后再比較大小的題型而言，這一部分對放縮對象的處理需要一定的技巧，因而對很多學生來說具有挑戰(zhàn)性，是數(shù)列放縮中的難點.此節(jié)中，我將分為如下幾個點展開：第一，將通項放縮為可裂項的結構，然后裂項求和；第二，將通項放縮為等比結構（等差比結構）然后錯位相減求和，總之，處理的基本原則就是將不可求和放縮成可求和再求和放縮.當然，下面的這些常見的裂項公式與放縮公式需要注意.1．常見的裂項公式：必須記例如：或者等2.一個重要的指數(shù)恒等式：次方差公式這樣的話，可得：，就放縮出一個等比數(shù)列.3.糖水不等式分子分母同加常數(shù)：常見放縮公式：（太多了，不一定要全部記，自行選擇）一、等差型（1）；（2）；（3）；（4）；二、根式型（5）；（7）；（8）；（9）；三、指數(shù)型（10）；（11）；（12）；（13）．（14）．題型一求和后放縮已知，設，為數(shù)列的前項和.證明：【解析】，則，故，又，所以，即，又是單調(diào)遞增數(shù)列，則綜上，.已知為，證明：．【解析】，所以，隨著的變大，變大，故當時，取得最小值，最小值為，且，故.已知，設，記，證明：.【解析】，，，兩式相減得，所以.已知數(shù)列中，，，數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設數(shù)列的前項和為，證明.【解析】(1)當時，，當時，，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以數(shù)列通項公式為.(2)因為，所以，因為，所以.題型二放縮通項再裂項相消求和已知，若數(shù)列的前n項和為，求證：.【詳解】證明：由（1）得，所以，所以已知數(shù)列前n項積為，且，設，求證：．【詳解】．所以．又因為，所以．設求證：解析又（只將其中一個變成，進行部分放縮），，于是已知，設，數(shù)列的前項和為，求證：解：，可知當時，，不等式得證已知，記，，．證明：當時，．【解析】，，，所以，當時，．已知，若，為的前n項和，證明：．【解析】,,,，，.已知數(shù)列，設，求證：解：思路：，無法直接求和，所以考慮放縮成為可求和的通項公式（不等號：），若要放縮為裂項相消的形式，那么需要構造出“順序同構”的特點。觀察分母中有，故分子分母通乘以，再進行放縮調(diào)整為裂項相消形式。解：而所以已知，的前項和為，，，數(shù)列的前項和為，證明：.【詳解】，則，.，則.∴.∴題型三放縮成等比數(shù)列（2014全國2卷）已知，證明：.解析：，因為當時，，所以于是.所以.注：此處便是利用了重要的恒等式：次方差公式：當然，利用糖水不等式亦可放縮：，請讀者自行嘗試.已知，證明：【詳解】，所以已知，記，求證：．【解析】當時，；當時，，所以．記，證明：．【解析】，，，．已知，數(shù)列，證明：.【分析】當時，驗證所證不等式成立，當時，由放縮法可得出，再結合等比數(shù)列求和公式可證得原不等式成立，綜合可得出結論.【詳解】解：由，所以，，所以，，當時，，當時，.綜上所述，對任意的，.已知數(shù)列，，求證：對任意的且，有解：證明：已知，求證：對任意的，．【解析】，故，所以．題型四根式的放縮的整數(shù)部分是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】注意到，，據(jù)此可得答案.【詳解】因，則.又，則.故，即整數(shù)部分為4.2023屆·廣東省綜合素質(zhì)測試（光大聯(lián)考）已知正項數(shù)列的前n項和為，且滿足.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設數(shù)列的前n項和為，證明：【詳解】（1）當時，由，所以數(shù)列是等差數(shù)列；（2），由（1）可知數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為，所以，又因為數(shù)列是正項數(shù)列，所以，即，.已知數(shù)列的前項和，設數(shù)列的前項和，且滿足，求證：解：，（2021浙江卷）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項和為，則（

）A． B． C． D．解析：由，即根據(jù)累加法可得，，當且僅當時取等號，.一方面：.另一方面，由累乘法可得，當且僅當時取等號，由裂項求和法得：所以，即．故選：A．題型五跳過第一項再放縮求和已知，設數(shù)列，證明：．【解析】，則當時，，．從而得證．已知數(shù)列滿足且，求證：．【解析】數(shù)列滿足且，所以當時，，故，所以．已知，若，數(shù)列的前n項和為，證明：.【解析】，則.先證：當時，，，滿足；當時，，所以.故得證.再證：因為，所以.故不等式成立.已知，證明：．【解析】當時，，不等式成立；當時，，所以，不等式成立；當時，，所以，，所以，得證．題型六利用重要不等式放縮設求證解析此數(shù)列的通項為，，即注：=1\*GB3①應注意把握放縮的“度”：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式，若放成則得，就放過“度”了！=2\*GB3②根據(jù)所證不等式的結構特征來選取所需要的重要不等式，這里其中，等的各式及其變式公式均可供選題型七通過糖水不等式進行放縮求證利用假分數(shù)的一個性質(zhì)可得即題型八放縮后錯位相減求和2024屆·廣州·仲元中學?？家阎枪顬?的等差數(shù)列，其前8項和為是公比大于0的等比數(shù)列，，(1)求和的通項公式：(2)記，證明：【答案】(1)，(2)證明見解析【分析】（1）由等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)求解，（2）由放縮法與錯位相減法求和證明．【詳解】（1）對于等差數(shù)列，，而，解得，故，對于等比數(shù)列，，則，而公比，解得，故（2），則令，則，兩式相減得，得，故，原式得證題型九數(shù)列恒成立問題已知等差數(shù)列的前n項和記為（），滿足,數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，求的取值范圍.【答案】【分析】設等差數(shù)列的公差為，由已知可得，求得，由數(shù)列的單調(diào)性列不等式即可得的取值范圍；【詳解】設等差數(shù)列的公差為，由于，所以，解得，所以，若數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，則對于恒成立，所以在上恒成立，則，所以，又數(shù)列為遞增數(shù)列，所以，即，故的取值范圍為已知數(shù)列滿足：，.設，若對于任意的，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為【答案】【分析】由，可得，進而得到，結合，分和分類討論，確定數(shù)列的單調(diào)性，求出最大值，進而得解.【詳解】由數(shù)列滿足、得：是首項為，公比為的等比數(shù)列，∴，∴，∴，當時，，∴，當且僅當時取等號，，當時，，∴，當時，數(shù)列單調(diào)遞增，當時，數(shù)列單調(diào)遞減，則當或時，，而任意的，恒成立，則，∴實數(shù)的取值范圍為.已知數(shù)列{an}對任意m，n∈N*都滿足am+n=am+an，且a1=1，若命題“?n∈N*，λan≤+12”為真，則實數(shù)λ的最大值為.【答案】7【分析】先求出的通項公式，然后參變分離轉化為求最值【詳解】令m=1，則an+1=an+a1，an+1－an=a1=1，所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列，首項為1，公差為1，所以an=n，所以λan≤+12?λn≤n2+12?λ≤n+，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當或時，所以數(shù)列滿足，若對任意，所有的正整數(shù)n都有成立，則實數(shù)k的取值范圍是.【答案】【分析】先由題設求得，然后利用數(shù)列的單調(diào)性求得其最大值，把對任意，所有的正整數(shù)n都有成立轉化為對任意恒成立，再利用基本不等式求得的最小值，即可得到答案.【詳解】由，當時，，兩式相減可得：，∴，由，顯然成立，設，∴當時，，當時，，因此，，數(shù)列單調(diào)遞增，當時，數(shù)列單調(diào)遞減，由，，故當或時，數(shù)列取最大值，且最大值為，對任意，所有的正整數(shù)n都有成立，可得，因此，，即對任意恒成立，由，當且僅當，即時取最小值，則，∴實數(shù)k的取值范圍是.已知，若對于任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】先分離參數(shù)將問題轉化為對于任意恒成立，進而轉化為，構造，再作差判定單調(diào)性求出數(shù)列的最值，進而求出的取值范圍.【詳解】因為，且對于任意恒成立，所以對于任意恒成立，即，令，則，因為，，，且對于任意恒成立，所以，即，所以實數(shù)的取值范圍是設是數(shù)列的前項和，，若不等式對任意恒成立，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用，得到，，變形后得到是等差數(shù)列，首項為6，公差為4，從而求出，故代入整理得，利用作差法得到單調(diào)遞減，最小值為，列出不等式求出答案.【詳解】當時，，解得：，當時，，整理得，方程兩邊同除以，得，又，故是等差數(shù)列，首項為6，公差為4，所以，故，經(jīng)驗證，滿足要求，所以為，故，對任意恒成立，，當時，，故，單調(diào)遞減，當時，取得最大值，故，解得：，則的最小值為已知數(shù)列的前n項和為，滿足：，且，為方程的兩根，且.若對于任意，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】先利用等差數(shù)列通項公式求解，再利用數(shù)列的單調(diào)性求解數(shù)列的最大值，進而解決不等式恒成立問題即可.【詳解】由可知數(shù)列是等差數(shù)列，設其公差為，解方程得或，又，，，.由得，，設，則，由對于任意恒成立，所以只考慮的符號，設，，令解得，即在上單調(diào)遞增，令解得，即在上單調(diào)遞減，，，，當，，當，時，，即，，當，，即，即從，開始單調(diào)遞減，即，，即，的取值范圍為.已知，，設數(shù)列前項和，求使得不等式成立的的最小值.【答案】5.解：，則，則，兩式相