5.3.2函數(shù)的極值與最大（?。┲嫡n件（1）-高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

函數(shù)的極值與最大（?。┲?1)函數(shù)的極值與最大（小）值(1)課堂引入

一般地，函數(shù)f(x)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)f′(x)的正負(fù)之間具有如下的關(guān)系：

在某個(gè)區(qū)間（a，b）上，如果f′(x)＞０，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞增；

在某個(gè)區(qū)間（a，b）上，如果f′(x)＜０，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞減．探究新知

問(wèn)題1如果函數(shù)在某些點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0，那么在這些點(diǎn)處函數(shù)有什么性質(zhì)呢？探究新知觀察下圖，我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)t=a時(shí)，高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員距水面的高度最大．探究新知可以看出，h′(a)＝０；在t=a的附近，當(dāng)t<a時(shí)，函數(shù)h(t)單調(diào)遞增，h′(t)>0；當(dāng)t>a時(shí)，函數(shù)h(t)單調(diào)遞減，h′(t)<0．探究新知

當(dāng)t在a的附近從小到大經(jīng)過(guò)a時(shí)，h′(t)先正后負(fù)，且h′(t)連續(xù)變化，于是有h′(a)=0．探究新知

問(wèn)題3

對(duì)于一般的函數(shù)y=f(x)，是否也有同樣的性質(zhì)呢？探究新知

如圖，函數(shù)y=f(x)在x=a，b，c，d，e等點(diǎn)的函數(shù)值與這些點(diǎn)附近的函數(shù)值有什么關(guān)系？y=f(x)在這些點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值是多少？

在這些點(diǎn)附近，y=f(x)的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性有什么

規(guī)律？探究新知

以x=a，b兩點(diǎn)為例，可以發(fā)現(xiàn)，函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x=a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f′(a)=0；探究新知

類似地，函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x=b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f′(b)=0；

而且在點(diǎn)x=b附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0．探究新知

我們把a(bǔ)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)

y=f(x)的極小值；b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值．極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為

極值點(diǎn)，極小值和極大值統(tǒng)稱為極值(extremum)．探究新知問(wèn)題4

極大值一定大于極小值嗎？探究新知問(wèn)題4

極大值一定大于極小值嗎？

極值反映了函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況，刻畫了函數(shù)的局部性質(zhì)．探究新知

問(wèn)題5

導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn)嗎？探究新知

問(wèn)題5

導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn)嗎？導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)不一定是函數(shù)的極值點(diǎn)．函數(shù)f(x)=x3，f′(x)=3x2.x=0時(shí)，f′(0)=0；x

0時(shí)，f′(x)>0.f(x)=x3是增函數(shù)，0不是函數(shù)f(x)=x3的極值點(diǎn)．探究新知

問(wèn)題5

導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn)嗎？

一般地，函數(shù)y=f(x)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0是函數(shù)y=f(x)在這點(diǎn)取極值的必要條件，而非充分條件．知識(shí)應(yīng)用

分析：一般地，可按如下方法求函數(shù)y=f(x)的極值.

解方程f′(x)=0，當(dāng)f′(x0)=0時(shí)：(1)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0，那么f(x0)是極大值；(2)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0，那么f(x0)是極小值．知識(shí)應(yīng)用

當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表所示知識(shí)應(yīng)用x(

∞，

2)

2(

2，2)2(2，+∞)知識(shí)應(yīng)用x(

∞，

2)

2(

2，2)2(2，+∞)f′(x)+0

0+知識(shí)應(yīng)用x(

∞，

2)

2(

2，2)2(2，+∞)f′(x)+0

0+f(x)單調(diào)遞增單調(diào)遞減

單調(diào)遞增知識(shí)應(yīng)用x(

∞，

2)

2(

2，2)2(2，+∞)f′(x)+0

0+f(x)單調(diào)遞增單調(diào)遞減

單調(diào)遞增

知識(shí)應(yīng)用

知識(shí)應(yīng)用

小結(jié)

一般地，我們可以通過(guò)如下步驟求函數(shù)y=f(x)的極值：

第１步，確定函數(shù)的定義域；

第２步，求出導(dǎo)數(shù)f′(x)的零點(diǎn)；

第３步，用f′(x)的零點(diǎn)將f(x)的定義域劃分為若干個(gè)區(qū)間，列表給出f′(x)在各區(qū)間上的正負(fù)，由此得出函數(shù)y=f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的極值.知識(shí)應(yīng)用知識(shí)應(yīng)用追問(wèn)：討論函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)的極值情況.知識(shí)應(yīng)用

小結(jié)

一般地，我們可以通過(guò)如下步驟求函數(shù)y=f(x)的極值：

第１步，確定函數(shù)的定義域；

第２步，求出導(dǎo)數(shù)f′(x)的零點(diǎn)；

第３步，用f′(x)的零點(diǎn)將f(x)的定義域劃分為若干個(gè)區(qū)間，列表給出f′(x)在各區(qū)間上的正負(fù)，由此得出函數(shù)y=f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的極值.知識(shí)應(yīng)用

解:函數(shù)定義域?yàn)?

∞，+∞).

因?yàn)閒(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)，

所以f′(x)=3ax2+2bx+c(a>0).

?=4b212ac.追問(wèn)：討論函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)的極值情況.知識(shí)應(yīng)用

(1)當(dāng)?>0時(shí)，設(shè)f′(x)=0的兩根為x1，x2(x1<x2).x(

∞，x1)x1(x1，x2)x2(x2，+∞)f′(x)+0

0+f(x)單調(diào)遞增f(x1)單調(diào)遞減f(x2)單調(diào)遞增當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表所示

因此，f(x)極大值為f(x1)，極小值為f(x2).知識(shí)應(yīng)用

(2)當(dāng)?=0時(shí)，設(shè)f′(x)=0的根為x0.x(

∞，x0)x0(x0，+∞)f′(x)+0+f(x)單調(diào)遞增f(x0)單調(diào)遞增當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表所示

因此，f(x)無(wú)極值.

f′(x)=3ax2+2bx+c=3a(x

x0)2≥0.知識(shí)應(yīng)用

(3)當(dāng)?<0時(shí)，f′(x)=0無(wú)實(shí)根.

因此，f(x)無(wú)極值.f′(x)>0恒成立，f(x)在區(qū)間(

∞，+∞)上單調(diào)遞增，

例函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示，試找出函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，并指出哪些是極大值點(diǎn)，哪些是極小值點(diǎn)．知識(shí)應(yīng)用

分析：一般地，我們可以通過(guò)如下步驟求函數(shù)y=f(x)的極值：

第１步，確定函數(shù)的定義域；

第２步，求出導(dǎo)數(shù)f′(x)的零點(diǎn)；

第３步，用f′(x)的零點(diǎn)將f(x)的定義域劃分為若干個(gè)區(qū)間，列表給出f′(x)在各區(qū)間上的正負(fù)，由此得出函數(shù)y=f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的極值.知識(shí)應(yīng)用

解：x2，x4是函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn).其中，x2是極大值點(diǎn)，x4是極小值點(diǎn).知識(shí)應(yīng)用

追問(wèn)：函數(shù)y=f′(x)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)分別是什么？知識(shí)應(yīng)用

分析：根據(jù)極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)的定義進(jìn)行判斷.知識(shí)應(yīng)用

解：x1，x5是函數(shù)y=f′(x)的極大值點(diǎn)，x3，x6是函數(shù)y=f′(x)的極小值點(diǎn).知識(shí)應(yīng)用課堂小結(jié)y=f′(x)的正負(fù)性y=f(x)的單調(diào)性y=f′(x)的零點(diǎn)y=f(x)的極值點(diǎn)注意判斷零點(diǎn)附近f′(x)的正負(fù)性導(dǎo)數(shù)的工具性作用課堂小結(jié)y=f′(x)的正負(fù)性y=f(x)的單調(diào)性y=f′(x)的零點(diǎn)y=f(x)的極值點(diǎn)注意判斷零點(diǎn)附近f′(x)的正負(fù)性導(dǎo)數(shù)的工具性作用數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化課后作業(yè)1.導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示．在標(biāo)記的點(diǎn)中，在哪一點(diǎn)處(1)導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)有極大值？(2)導(dǎo)函數(shù)y=