太原理工大學(xué)線性代數(shù)試題及答案(二)

一．判斷題〔正確打√，錯(cuò)誤打×〕1.假設(shè)都是的解，那么是的一個(gè)解.(√)解答：因?yàn)槎际堑慕?，所以?于是,所以是的一個(gè)解.注:設(shè)都是的解，為任意常數(shù)，那么當(dāng)時(shí)，是的解；當(dāng)時(shí)，是的解.2.方程組根底解系的個(gè)數(shù)等于.(×)解答：正確定義：方程組根底解系所含解向量的個(gè)數(shù)等于.3.假設(shè)方程組有非零解，那么方程組必有無窮多解.(×)解答：正確命題：假設(shè)方程組有非零解，那么當(dāng)方程組有解時(shí)，必有無窮多解.反例：方程組有非零解，但方程組無解.4.與為同解方程組.(√)解答：設(shè)為的解，那么，于是，所以也是的解；反之,如果為的解,那么,記，于是，所以，所以，所以也是的解，所以與為同解方程組.注:此題也說明.5.方程組有無窮多個(gè)解的充分必要條件是至少有兩個(gè)不同的解.(√)解答：方法一如果方程組有無窮多個(gè)解，顯然至少有兩個(gè)不同的解.反之,如果方程組至少有兩個(gè)不同的解,那么,并且都是的解,其中為任意常數(shù),所以有無窮多個(gè)解,而有解,所以有無窮多個(gè)解.方法二非齊次方程組的解只有三種情形：無解、唯一解、無窮多解，所以有無窮多解的充分必要條件是至少有兩個(gè)不同的解.二.單項(xiàng)選擇題1.設(shè)為階方陣，且，是的兩個(gè)不同的解向量，為任意常數(shù)，那么的通解為(C).〔A〕；〔B〕；〔C〕；〔D〕.解答：因?yàn)闉殡A方陣,,所以的根底解系含個(gè)解向量.而是的線性無關(guān)解,所以的通解為.注意：(D)錯(cuò)誤的原因是假設(shè)，那么，不能做根底解系.2.當(dāng)(D)時(shí)，齊次線性方程組一定有非零解.〔A〕；〔B〕；〔C〕；〔D〕.解答：如果,,所以存在非零解.3.方程組的系數(shù)矩陣記為，假設(shè)存在三階方陣，使得，那么(A).〔A〕且；〔B〕且；〔C〕且；〔D〕且.解答：記,因?yàn)?所以,即都是的解,而,至少存在一個(gè),所以存在非零解,所以系數(shù)行列式,所以,此時(shí)的系數(shù)矩陣為,,所以的根底解系含個(gè)解向量，所以線性相關(guān)，所以.〔或者，假設(shè)那么存在，由可得,矛盾！〕注：意味著矩陣的列向量都是方程組的解向量.4.設(shè)為階奇異方陣，中有一元素的代數(shù)余子式，那么方程組的根底解系所含向量個(gè)數(shù)為(B).〔A〕；〔B〕；〔C〕；〔D〕.解答：因?yàn)闉槠娈惙疥?，所以，又因?yàn)?中有一元素的代數(shù)余子式，即中存在非零的階子式，所以,所以方程組的根底解系所含向量個(gè)數(shù)為.5.設(shè)是的三個(gè)解向量，，，，為任意常數(shù)，那么的通解為(C).〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕解答：顯然方程組有解，并且，所以．因此只要求出的一個(gè)非零解即可得到的通解．而,并且,所以的通解為,應(yīng)選〔C〕．6.〔2023考研題〕設(shè)為矩陣，是非齊次線性方程組的3個(gè)線性無關(guān)的解，為任意常數(shù)，那么的通解為(C).〔A〕；〔B〕；〔C〕；〔D〕.解答：由是非齊次線性方程組的3個(gè)線性無關(guān)的解，知是的根底解系，是的特解，所以選〔C〕．三．填空題1.設(shè)四階方陣且，那么方程組的一個(gè)解向量為.解答：因?yàn)椋苑匠探M的一個(gè)解向量為．2.方程的通解為.解答：因?yàn)橄禂?shù)矩陣,所以，，因此，顯然是的一個(gè)特解，所以的通解為．或者簡(jiǎn)單地：方程的通解為，其中為任意實(shí)數(shù)．3.設(shè)方程組有解，那么其增廣矩陣的行列式=0.解答：因?yàn)榉匠探M有解，所以，所以．或者因?yàn)榉匠探M有解，所以向量可由的列向量線性表示，所以．4.是3階矩陣，，假設(shè)的每行元素和都是零,那么方程組的通解為．解答：因?yàn)槭?階矩陣，,所以．又因?yàn)榈拿啃性睾投际橇?所以,于是方程組的通解為．5.方程組無解，那么-1.解答：由于所以當(dāng)時(shí)方程組有唯一解；1.求齊次線性方程組的一個(gè)根底解系.解答：方程組的系數(shù)矩陣，所以所以一個(gè)根底解系為，.．解答：因?yàn)樗?故方程組只有零解.3.求方程組與的非零公共解.解答：構(gòu)造方程組，因?yàn)榉匠探M系數(shù)矩陣，所以兩個(gè)方程組的非零公共解，其中.4.解矩陣方程.解答：設(shè)，由得到兩個(gè)方程組及，注意到兩個(gè)方程組的系數(shù)矩陣一樣，所以記，所以的通解為；的通解為.所以，其中是任意常數(shù).5．設(shè)，，.如果是方程組的一個(gè)解，求的通解.解答：由題知，得，故(1)假設(shè)，那么，，有無窮多解，通解為，為任意常數(shù).〔2〕假設(shè)，那么，有無窮多解，通解為，為任意常數(shù).6.，，，，討論當(dāng)為何值時(shí)：〔1〕可由線性表示，且表示法唯一;〔2〕可由線性表示，但表示法不唯一,并給出表示式；〔3〕不能由線性表示.解答：考慮方程組，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，可由線性表示，且表示法唯一.當(dāng)時(shí)，方程組變?yōu)?，通解為，所以，其中為任意?shí)數(shù).當(dāng)時(shí)，增廣矩陣為，增廣矩陣的秩為3，系數(shù)矩陣的秩為2，所以不能由線性表示.，.線性方程組存在兩個(gè)不同的解，〔1〕求；〔2〕求方程組的通解.解答：〔1〕因?yàn)榉匠探M存在兩個(gè)不同的解，所以，所以.當(dāng)時(shí)，，，方程組無解；舍去當(dāng)時(shí)因有解，所以.〔2〕當(dāng)，時(shí)，，通解為，即，為任意實(shí)數(shù).五．證明題1．設(shè)為矩陣，，為非齊次線性方程組的兩個(gè)不同解，為對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的一個(gè)非零解，證明：〔1〕向量組，線性無關(guān)；〔2〕假設(shè)，那么向量組，，線性相關(guān).證明〔1〕因?yàn)?，為非齊次線性方程組的兩個(gè)不同解，所以為的一個(gè)非零解.設(shè)，〔1〕〔1〕式兩邊左乘得，