高考數(shù)學總復習第六章 不 等 式第3課時 基本不等式

考情分析考點新知掌握基本不等式，能利用基本不等式推導不等式，能利用基本不等式求最大(小)值．了解基本不等式的證明過程.②會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題.1.(必修5P91習題7改編)若x>0，則x＋eq\f(2,x)的最小值為________．答案：2eq\r(2)解析：∵x>0，∴x＋eq\f(2,x)≥2eq\r(x·\f(2,x))＝2eq\r(2)，當且僅當x＝eq\r(2)時等號成立．2.(必修5P94復習題8改編)設x<0，則y＝3－3x－eq\f(4,x)的最小值為________．答案：3＋4eq\r(3)解析：∵x<0，∴y＝3－3x－eq\f(4,x)＝3＋(－3x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,x)))≥3＋2eq\r(（－3x）·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,x))))＝3＋4eq\r(3)，當且僅當x＝－eq\f(2\r(3),3)時等號成立，故所求最小值為3＋4eq\r(3).3.(必修5P88例2改編)若x>－3，則x＋eq\f(2,x＋3)的最小值為________．答案：2eq\r(2)－3解析：∵x＋3>0，∴x＋eq\f(2,x＋3)＝(x＋3)＋eq\f(2,x＋3)－3≥2eq\r(（x＋3）×\f(2,x＋3))－3＝2eq\r(2)－3.4.(必修5P91練習題2改編)設x，y∈R，且x＋y＝5，則3x＋3y的最小值是________．答案：18eq\r(3)解析：3x＋3y≥2eq\r(3x·3y)＝2eq\r(3x＋y)＝2eq\r(35)＝18eq\r(3)，當且僅當x＝y(tǒng)＝eq\f(5,2)時等號成立．5.(必修5P88例2改編)已知函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(a,x－2)(x>2)的圖象過點A(3，7)，則此函數(shù)的最小值是________．答案：6解析：∵函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(a,x－2)(x>2)的圖象過點A(3，7)，即7＝3＋a，∴a＝4.∵x－2>0，∴f(x)＝(x－2)＋eq\f(4,x－2)＋2≥2eq\r(（x－2）·\f(4,x－2))＋2＝6，當且僅當x＝4時等號成立，故此函數(shù)的最小值是6.1.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)對于正數(shù)a，b，我們把eq\f(a＋b,2)稱為a、b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)稱為a、b的幾何平均數(shù)．2.基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0；(2)等號成立的條件：當且僅當a＝b時取等號；(3)結(jié)論：兩個非負數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)不小于其幾何平均數(shù)．3.拓展：若a＞0，b＞0，eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))，當且僅當a＝b時等號成立．[備課札記]

題型1利用基本不等式證明不等式例1已知x>0，y>0，求證：eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)≥eq\f(4,x＋y).證明：原不等式等價于(x＋y)2≥4xy，即(x－y)2≥0，顯然成立．故原不等式得證．eq\a\vs4\al(變式訓練)(1)若a>b>c，求證：eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)≥eq\f(4,a－c)；(2)若a>b>c，求使得eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)≥eq\f(k,a－c)恒成立的k的最大值．證明：(1)令a－b＝x，b－c＝y(tǒng)，則a－c＝x＋y.原不等式等價于eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)≥eq\f(4,x＋y)，由作差法可證該不等式成立，故原不等式成立．(2)由(1)可知，eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)≥eq\f(4,a－c)恒成立，而eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)≥eq\f(k,a－c)，k的最大值為4.題型2利用基本不等式求最值例2(1)已知x<eq\f(5,4)，求函數(shù)y＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)的最大值；(2)已知x>0，y>0且eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，求x＋y的最小值．解：(1)x<eq\f(5,4)，∴4x－5<0.∴y＝4x－5＋eq\f(1,4x－5)＋3＝－[(5－4x)＋eq\f(1,（5－4x）)]＋3≤－2eq\r(（5－4x）\f(1,（5－4x）))＋3＝1，ymax＝1.(2)∵x>0，y>0且eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，∴x＋y＝(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(9,y)))＝10＋eq\f(9x,y)＋eq\f(y,x)≥10＋2eq\r(\f(9x,y)·\f(y,x))＝16，即x＋y的最小值為16.eq\a\vs4\al(備選變式（教師專享）)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x2＋2x＋a,x)，x∈[1，＋∞)．(1)當a＝4時，求函數(shù)f(x)的最小值；(2)若對任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍．解：(1)由a＝4，∴f(x)＝eq\f(x2＋2x＋4,x)＝x＋eq\f(4,x)＋2≥6，當x＝2時，取得等號．即當x＝2時，f(x)min＝6.(2)x∈[1，＋∞)，eq\f(x2＋2x＋a,x)>0恒成立，即x∈[1，＋∞)，x2＋2x＋a>0恒成立．等價于a>－x2－2x，當x∈[1，＋∞)時恒成立，令g(x)＝－x2－2x，x∈[1，＋∞)，∴a>g(x)max＝－1－2×1＝－3，即a>－3.∴a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，＋∞)).題型3利用基本不等式解應用題例3如圖，動物園要圍成相同面積的長方形虎籠四間．一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成．(1)現(xiàn)有可圍成36m長的材料，每間虎籠的長、寬各設計為多少時，可使每間虎籠的面積最大？(2)若使每間虎籠的面積為24m2，則每間虎籠的長、寬各設計為多少時，可使圍成的四間虎籠的鋼筋網(wǎng)總長最??？解：(1)設每間虎籠長為xm，寬為ym，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(4x＋6y＝36，,x>0，,y>0，)))面積S＝xy.由于2x＋3y≥2eq\r(2x·3y)＝2eq\r(6xy)，所以2eq\r(6xy)≤18，得xy≤eq\f(27,2)，即S≤eq\f(27,2)，當且僅當2x＝3y時取等號．則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(2x＝3y,2x＋3y＝18)))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＝4.5，,y＝3，)))所以每間虎籠長、寬分別為4.5m、3m時，可使面積最大．(2)設圍成四間虎籠的鋼筋網(wǎng)總長為lm，則l＝4x＋6y，且xy＝24，所以l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥2×2eq\r(2x·3y)＝4eq\r(6xy)＝4×eq\r(6×24)＝48(m)，當且僅當2x＝3y時取等號．eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(xy＝24,2x＝3y)))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝4.)))故每間虎籠長、寬分別為6m、4m時，可使鋼筋網(wǎng)的總長最小為48m.eq\a\vs4\al(備選變式（教師專享）)某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為162m2的三級污水處理池，池的深度一定(平面圖如圖所示)，如果池四周圍墻建造單價為400元/m2，中間兩道隔墻建造單價為248元/m2，池底建造單價為80元/m2，水池所有墻的厚度忽略不計．(1)試設計污水處理池的長和寬，使總造價最低，并求出最低總造價；(2)若由于地形限制，該池的長和寬都不能超過16m，試設計污水池的長和寬，使總造價最低，并求出最低總造價．解：(1)設污水處理池的寬為xm，則長為eq\f(162,x)m.總造價為f(x)＝400×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋2·\f(162,x)))＋248×2x＋80×162＝1296x＋eq\f(1296×100,x)＋12960＝1296eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(100,x)))＋12960≥1296×2eq\r(x·\f(100,x))＋12960＝38880元．當且僅當x＝eq\f(100,x)(x>0)，即x＝10時取等號．∴當長為16.2m，寬為10m時總造價最低，最低總造價為38880元．(2)由限制條件知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<x≤16，,0<\f(162,x)≤16，))∴10eq\f(1,8)≤x≤16.設g(x)＋x＋eq\f(100,x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(∴10\f(1,8)≤x≤16))，由函數(shù)性質(zhì)易知g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10\f(1,8)，16))上是增函數(shù)，∴當x＝10eq\f(1,8)時(此時eq\f(162,x)＝16)，g(x)有最小值，即f(x)有最小值1296×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10\f(1,8)＋\f(800,81)))＋12960＝38882(元)．∴當長為16m，寬為10eq\f(1,8)m時，總造價最低，為38882元．1.(2013·上海)設常數(shù)a>0，若9x＋eq\f(a2,x)≥a＋1對一切正實數(shù)x成立，則a的取值范圍為________．答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，＋∞))解析：9x＋eq\f(a2,x)≥2eq\r(9x·\f(a2,x))＝6a，所以6a≥a＋1，即a≥eq\f(1,5).2.已知正實數(shù)x、y、z滿足2x(x＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z))＝y(tǒng)z，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,y)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,z)))的最小值為________．答案：eq\r(2)解析：∵2xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,y)＋\f(1,z)))＝y(tǒng)z，∴eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝eq\f(yz,2x)－x，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,y)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,z)))＝x2＋xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,y)＋\f(1,z)))＋eq\f(1,yz)＝eq\f(yz,2)＋eq\f(1,yz)≥eq\r(2).3.已知P是△ABC的邊BC上的任一點，且滿足eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，x、y∈R，則eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)的最小值是________．答案：9解析：因為B、C、P三點共線且eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，故x＞0，y＞0且x＋y＝1，所以eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)))(x＋y)＝5＋eq\f(y,x)＋eq\f(4x,y)≥9.4.若不等式4x2＋9y2≥2kxy對一切正數(shù)x、y恒成立，則整數(shù)k的最大值為________．答案：3解析：原不等式可化為eq\f(4x,y)＋eq\f(9y,x)≥2k而eq\f(4x,y)＋eq\f(9y,x)≥12，∴2k≤12，則整數(shù)k的最大值為3.5.設正項等差數(shù)列{an}的前2011項和等于2011，則eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a2010)的最小值為________．答案：2解析：由題意得S2011＝eq\f(2011（a1＋a2011）,2)＝2011，∴a1＋a2011＝2.又a2＋a2010＝a1＋a2011＝2，∴eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a2010)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＋\f(1,a2010)))(a2＋a2010)＝eq\f(1,2)(eq\f(a2010,a2)＋eq\f(a2,a2010))＋1≥2.1.a2＋b2≥2ab成立的條件是a，b∈R，而eq\f(a＋b,2)≥eq