2023-2024學(xué)年內(nèi)蒙古部分名校高一上學(xué)期期中聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第Page\*MergeFormat1頁(yè)共NUMPAGES\*MergeFormat13頁(yè)2023-2024學(xué)年內(nèi)蒙古部分名校高一上學(xué)期期中聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先解一元二次不等式，再根據(jù)交集定義計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋?故選：B.2．“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】直接根據(jù)特稱命題的否是是全稱命題得到答案.【詳解】存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，“，”的否定是：，.故選：C．3．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】先解方程，再結(jié)合充分不必要條件定義判斷即可.【詳解】由，解得或2，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.4．設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)指、對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性結(jié)合中間值“0”、“1”分析判斷.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，則，即，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且，則，即，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且，則，即，所以.故選：B.5．函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理即可得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上都是增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以的零點(diǎn)所在的區(qū)間為.故選：C.6．某工廠準(zhǔn)備建造一個(gè)長(zhǎng)方體無蓋的蓄水池，其容積為7200立方米，深度為2米.已知池底每平方米的造價(jià)為200元，池壁每平方米的造價(jià)為80元，則該蓄水池的最低造價(jià)為（

）A．793200元 B．745800元 C．739200元 D．758400元【答案】D【分析】根據(jù)已知條件列式，再應(yīng)用基本不等式求解即可.【詳解】設(shè)蓄水池底面長(zhǎng)為米，寬為米，總造價(jià)為元，則，得.根據(jù)題意可得.因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故該蓄水池的最低造價(jià)為758400元.故選：D.7．函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及特殊值法排除即可求解.【詳解】的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)?，所以為奇函?shù)，排除選項(xiàng).因?yàn)椋耘懦x項(xiàng).當(dāng)時(shí)，，則，排除選項(xiàng)D.故選：C8．已知定義在上的函數(shù)滿足，對(duì)任意的，且，恒成立，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，得到，令，推得在上單調(diào)遞減，把不等式轉(zhuǎn)化為，結(jié)合，得到，即可求解.【詳解】由題意知：，可得，且，即，令，不妨設(shè)，可得，則，即，所以在上單調(diào)遞減，則不等式，且，轉(zhuǎn)化為，因?yàn)?，所以，則，解得，所以不等式的解集為.故選：D.二、多選題9．若冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義求出冪函數(shù)的解析式，再把點(diǎn)的坐標(biāo)代入冪函數(shù)解析式中即可求出.【詳解】由題意得，則，所以過點(diǎn)，由，得．故選：BC.10．下列命題為真命題的是（

）A．對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形 B．若，是任意實(shí)數(shù)，則C．若是奇數(shù)，則是奇數(shù) D．若，，則【答案】ACD【分析】舉反例得到B錯(cuò)誤，根據(jù)定義判斷AC正確，確定，，D正確，得到答案.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，則A是真命題．對(duì)選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，，則B是假命題．對(duì)選項(xiàng)C：x是奇數(shù)，所以x不能被2整除，所以不能被2整除，即是奇數(shù)，則C是真命題．對(duì)選項(xiàng)D：由，，得，則，則D是真命題．故選：ACD.11．已知定義在上的函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，則（

）A． B．C． D．為奇函數(shù)【答案】ABD【分析】根據(jù)題意，令令，可判定A正確；令，可判定B正確；令，求得，再令，可判定C錯(cuò)誤；令，求得，再令，得到，可判定D正確.【詳解】由題意知，定義在上的函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，對(duì)于A中，令，得，所以A正確；對(duì)于B中，令，得，則，所以B正確；對(duì)于C中，令，得，再令，得，可得，所以C錯(cuò)誤.對(duì)于D中，令，得，則，再令，得，則為奇函數(shù)，所以D正確.故選：ABD.12．已知函數(shù)若關(guān)于的方程有四個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值可能為（

）A． B． C．5 D．【答案】AB【分析】根據(jù)題意，分別求得函數(shù)在兩段區(qū)間上的單調(diào)性，畫出函數(shù)圖象，根據(jù)方程根的個(gè)數(shù)可知方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，滿足，即可得，可得，即可得出結(jié)論.【詳解】當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由，得；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，如下圖所示：令，當(dāng)或時(shí)，方程只有一解；當(dāng)時(shí)，方程有兩解；當(dāng)時(shí)，方程有三解.方程有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，等價(jià)于關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，且.令，因?yàn)?，所以，即，得，此時(shí)，故的取值范圍為.故選：AB三、填空題13．某校春季舉辦了一次田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)，某班有20名同學(xué)參賽，該學(xué)校秋季又舉辦了一次趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)，這個(gè)班有25名同學(xué)參賽．已知該班級(jí)這兩次運(yùn)動(dòng)會(huì)都參賽的有12人．則這兩次運(yùn)動(dòng)會(huì)中，這個(gè)班參賽的同學(xué)有人．【答案】【分析】直接根據(jù)集合的基本運(yùn)算的定義得到答案.【詳解】這兩次運(yùn)動(dòng)會(huì)中，這個(gè)班參賽的同學(xué)有人．故答案為：.14．已知正數(shù)，滿足，則的最大值為．【答案】【分析】直接利用均值不等式計(jì)算得到答案.【詳解】根據(jù)題意可得，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．故的最大值為1．故答案為：15．為了保護(hù)水資源，提倡節(jié)約用水，某城市對(duì)居民生活用水實(shí)行“階梯水價(jià)”.計(jì)費(fèi)方法如下表：每戶每月用水量水價(jià)不超過12立方米的部分4元/立方米超過12立方米但不超過18立方米的部分6元/立方米超過18立方米的部分8元/立方米若某戶居民本月交納的水費(fèi)為100元，則此戶居民本月用水量為立方米.【答案】20【分析】因?yàn)?，所以此戶居民本月用水量超過18立方米，設(shè)此戶居民本月用水量為立方米，列出方程求解即可.【詳解】因?yàn)椋源藨艟用癖驹掠盟砍^18立方米，設(shè)此戶居民本月用水量為立方米，且，則，解得.故答案為：20.16．已知實(shí)數(shù)滿足，則.【答案】36【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性利用試根可求得，，即可得.【詳解】易知函數(shù)為增函數(shù)，且，得；由函數(shù)為增函數(shù)，且，得；所以.故答案為：36四、計(jì)算題17．（1）求值：.（2）已知正數(shù)滿足，求的值.【答案】（1）3（2）【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可；（2）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】解：（1）原式.（2）因?yàn)?，所?所以.五、解答題18．已知關(guān)于x的不等式的解集是.(1)若，求b，c的值；(2)求不等式的解集.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)韋達(dá)定理即可求解；（2）由（1）用表示，代入得一元二次不等式，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)椴坏仁降慕饧?，所以所?因?yàn)椋?（2）由（1）可知，所以不等式等價(jià)于不等式.因?yàn)椴坏仁降慕饧?，所以，所以不等式等價(jià)于，解得或，即不等式的解集是.六、證明題19．已知函數(shù)．(1)判斷的奇偶性，并說明理由；(2)證明：．【答案】(1)為偶函數(shù)，理由見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，即可證得函數(shù)的奇偶性，得出結(jié)論；（2）當(dāng)，根據(jù)不等式性質(zhì)求出，再根據(jù)奇偶性得到結(jié)論．【詳解】（1）為偶函數(shù).的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)?，所以為偶函?shù)．（2）證明：當(dāng)時(shí)，，，則，，得，．又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以當(dāng)時(shí)，，故得證．七、解答題20．小釵計(jì)劃開始學(xué)習(xí)國(guó)畫，且無論任何情況都堅(jiān)持每天打卡.把小釵現(xiàn)在的國(guó)畫學(xué)習(xí)值看作天后小釵的國(guó)畫學(xué)習(xí)值為，已知10天后小釵的國(guó)畫學(xué)習(xí)值為1.22.（參考數(shù)據(jù)：取）(1)求的值，并寫出的解析式；(2)當(dāng)小釵的國(guó)畫學(xué)習(xí)值達(dá)到2.89時(shí)，試問小釵已經(jīng)堅(jiān)持學(xué)習(xí)國(guó)畫多少天？（結(jié)果保留整數(shù)）【答案】(1)，(2)54天【分析】（1）由題意可得，進(jìn)而結(jié)合指數(shù)與對(duì)數(shù)的相互轉(zhuǎn)化求解即可；（2）令，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可.【詳解】（1）依題意可得，即，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，即，則.（2）令，得，故當(dāng)小鋼的國(guó)畫學(xué)習(xí)值達(dá)到2.89時(shí)，小鋼已經(jīng)堅(jiān)持學(xué)習(xí)國(guó)畫54天.八、證明題21．已知函數(shù).(1)求的值；(2)設(shè)函數(shù)，證明：在上有唯一零點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）先計(jì)算得出，再分組求和得出函數(shù)值即可；（2）先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在定理即可得證.【詳解】（1）因?yàn)椋?（2）因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?，所以，所以，即在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).九、解答題22．已知函數(shù)且.(1)若的值域?yàn)?，求的取值范?(2)試判斷是否存在，使得在上單調(diào)遞增，且在上的最大值為1.若存在，求的值（用表示）；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）首先設(shè)函數(shù)的值域?yàn)?，根?jù)對(duì)數(shù)函數(shù)定義域和值域的關(guān)系，可得，討論的取值，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（2）分，和三個(gè)大類討論函數(shù)的單調(diào)性和最值，判斷是否存在實(shí)數(shù)的值.【詳解】（1）設(shè)函數(shù)的值域?yàn)?，因?yàn)榈闹涤驗(yàn)椋?當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋项}意.當(dāng)時(shí)，由，解得.綜上，的取值范圍為.（2）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋圆环项}意，舍去.當(dāng)時(shí)，，不