2015年數(shù)學(xué)高考數(shù)列壓軸題預(yù)測及詳解

2015年數(shù)學(xué)高考數(shù)列壓軸題預(yù)測及詳解

2

1.已知數(shù)歹ij｛a”｝為等差數(shù)歹U，每相鄰兩項(xiàng)小，以+i分別為方程工2-4人工+——=0,(k

ck

是正整數(shù))的兩根.

⑴求｛冊｝的通項(xiàng)公式；

(2)求C|+c2+---+cn+…之和；

(3)對于以上的數(shù)列｛a,J和｛品｝，整數(shù)981是否為數(shù)列｛—%｝中的項(xiàng)？若是，則

C.

求出相應(yīng)的項(xiàng)數(shù)；若不是，則說明理由.

2.已知二次函數(shù)y=/(x)的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為f(x)=6x-2,數(shù)列他“｝的

前n項(xiàng)和為S“，點(diǎn)(",5“)(〃€"*)均在函數(shù)>=/(x)的圖像上.

(I)求數(shù)列｛6｝的通項(xiàng)公式；

3/2

(II)設(shè)a=」一，7；是數(shù)列出,｝的前n項(xiàng)和，求使得Tn<—對所有〃eN*都

%%+120

成立的最小正整數(shù)m.

3.已知函數(shù)/(x)=(x—1)2,數(shù)列｛4｝是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列｛%｝是公比為。的等

比數(shù)列(qWl,qeR),若q=/(d+1),1=(q+l),b3=

(1)求數(shù)列｛4｝和｛"｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛c“｝的前n項(xiàng)和為S,，對〃eN+都有幺土R■+…+%=%川求

瓦+&b,

lim^i±L.

…S2n

4.各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛&｝的前〃項(xiàng)和S”函數(shù)/(x)=gpx?-(p+q)x+qlnx.

(其中P、(?均為常數(shù)，且P>qX)),當(dāng)x=%時(shí)，函數(shù)f(x)取得極小值，點(diǎn)

(〃,25“)56/7*)均在函數(shù)了=20/一幺+/'*)+4的圖象上，(其中F'(x)是函數(shù)

x

/(-￥)的導(dǎo)函數(shù))

(1)求國的值;

(2)求數(shù)列｛*｝的通項(xiàng)公式；

4s

n

⑶記bn=—°.q，求數(shù)列｛么｝的前n項(xiàng)和T,,.

”+3

5.已知函數(shù)/(x)在(-1,1)上有意義,/《)=-1,且任意的x、ye(-1,1)都有

小)+—(譚).

I2x

(1)若數(shù)列｛%｝滿足項(xiàng)=—=(〃€"),求〃X“).

21+玉

⑵求1+2+心…+八+小"上的值.

6.已知函數(shù)f(x)=log”x(a>0月一aHl),若數(shù)列

2,/⑷),/(4),…J&),2〃+4(〃eN*)成等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)為；

(2)若a=2,令b,=a,「f(a”),求數(shù)列｛勿｝前n項(xiàng)和5,；

(3)在(2)的條件下對任意〃eN*,都有〃>/-'(0，求實(shí)數(shù)/的取值范圍.

7.已知函數(shù)/(x)=ax?+bx+c(a,b,ceR),當(dāng)時(shí)，If(x)l<1

(1)證明：力KI

(2)若/(O)=TJ(x)=l,求實(shí)數(shù)a的值。

(3)若a=0,6=0,c=—2,記/(x)的圖象為C,當(dāng)xe(0,oo)時(shí)，過曲線上點(diǎn)

(x0,/(x0))作曲線的切線4交x軸于點(diǎn)々區(qū),0),過點(diǎn)(/，/(七))作切線4交x軸

于點(diǎn)舄(*2,0)，...依次類推，得到數(shù)列X1,無2，%3…，X"，…，求limz

“T8

8.設(shè)函數(shù)/(x)=lnx,g(x)=ax---2f(x).

x

(1)若g(x)在定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍:

(2)證明:?/(x)<x-l(x>0)；

_ln2In3ln/z2n2-n-1、,*小

r+―T-+---+—------(〃zeN,/?>2)

2232n24("+1)

9.某公司按現(xiàn)有能力，每月收入為70萬元，公司分析部門測算，若不進(jìn)行改革，入世后因

競爭加劇收入將逐月減少.分析測算得入世第一個(gè)月收入將減少3萬元，以后逐月多減少2

萬元，如果進(jìn)行改革，即投入技術(shù)改造300萬元，且入世后每月再投入1萬元進(jìn)行員工培訓(xùn)I,

則測算得自入世后第?個(gè)月起累計(jì)收入T.與時(shí)間n(以月為單位)的關(guān)系為T0=an+b,且入

世第一個(gè)月時(shí)收入將為90萬元，第二個(gè)月時(shí)累計(jì)收入為170萬元，問入世后經(jīng)過幾個(gè)月，

該公司改革后的累計(jì)純收入高于不改革時(shí)的累計(jì)純收入.

10.已知奇函數(shù)/(x)=,(X€<).

(I)試確定實(shí)數(shù)a的值，并證明f(x)為R上的增函數(shù)；

(II)記a=/[log(2n=a+a+???+a,求limS“；

n9}2n”一?8

(III)若方程/。)=。在(-8,o)上有解，試證—l<3/(a)<0.

,3

11.已知/(x)=x-sinx,數(shù)列｛x,J滿足$=))2xn+]+COSXM-7U=0o(HGN*)

(1)判斷并證明函數(shù)/(X)的單調(diào)性;

TT7T

(2)數(shù)列｛>,,｝滿足y“S,,為｛y,J的前〃項(xiàng)和。證明：5?<

12.已知數(shù)列｛*｝的前〃項(xiàng)和為S“，若」=2,”?““+]=S“+〃(〃+1),

(1)證明數(shù)列｛”“｝為等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；

(2)令T“=V,①當(dāng)〃為何正整數(shù)值時(shí)，T?>Tn+l：②若對一切正整數(shù)〃，總有T.<m,

求用的取值范圍。

13.如圖，將圓分成〃個(gè)區(qū)域，用3種不同顏色給每一個(gè)區(qū)域染色，要求相鄰區(qū)域顏色互異,

把不同的染色方法種數(shù)記為。求

（j）6，4，4，a4.

（II）為與"向（”22）的關(guān)系式；

（III）數(shù)列｛""｝的通項(xiàng)公式凡，并證明）。

14.設(shè)｛冊｝也,｝是兩個(gè)數(shù)列，點(diǎn)加（1,2）,4“（2,勺）8“（t士,2）為直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn).

nn

（I）對”eN*,若三點(diǎn)共線，求數(shù)列｛6｝的通項(xiàng)公式；

ab+a

（H）若數(shù)列｛0｝滿足：log2c?=''^2+-+V?（其中｛c,J是第三項(xiàng)為8,公比

+〃2+…+

為4的等比數(shù)列.求證：點(diǎn)列6（1，仇），一（2,3）,…《（〃,"）在同一條直線上，并求

出此直線的方程.

2

15.已知數(shù)歹ij｛an｝,｛b?｝中，?,=r(r>0),a2=t,且x=JF是函數(shù)

/(x)=g(a“T一%*一(%-%+i)x的一個(gè)極值點(diǎn)。

(1)求數(shù)列｛”“｝的通項(xiàng)公式；

(2)若點(diǎn)P?的坐標(biāo)為eN*),過函數(shù)g(x)=ln(l+x2)圖象上的點(diǎn)(%,g(a“))

的切線始終與op“平行(點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn))；求證：當(dāng)g<t<2時(shí)，不等式

111-

—+—+…—<2"—22對"wN*成立。

瓦%bn

16.函數(shù)/*)=(4一1)2*21)的反函數(shù)為/T(X),數(shù)列｛4｝滿足：

%=L=廣'(%)("€N*),數(shù)列出｝滿足:

:/?.-1+K-2+…+^b-^n=瘋i-(/〃€一泗、)，

(1)求數(shù)列｛《｝和也)的通項(xiàng)公式；

(2)記q=f'[n(lg2+lg/)-lg(^-n)](r>0且f*1),若對任意的〃eN*,恒有c“<cn+I

成立，求實(shí)數(shù)，的取值范圍.

17.已知曲線y=x'-x,過曲線上一點(diǎn)P”（x”，y”）（異于原點(diǎn)）作切線/“。

（I）求證：直線/〃與曲線丫=/一》交于另一點(diǎn)匕+|（%“+],>,+]）；

（II）在（I）的結(jié)論中，求出x7與x“的遞推關(guān)系。若芭=1,求數(shù)列卜“｝的通項(xiàng)公式；

（III）在（II）的條件下，記&='?+3+，+?..+」_,問是否存在自然數(shù)m,M,

X\X3X5X2n-\

使得不等式水RWM對一切ncN+恒成立，若存在，求出M—m的最小值；否則請說明理由。

18.設(shè)數(shù)列｛6｝滿足％=f(f<1),%+i=型?，(〃=L2,……)

(I)用數(shù)學(xué)歸納法證明：——['、(〃=1,2,……)；

n-(n-l)r

(II)求lim吧……"向

〃T8〃！

19.某地為了防止水土流失，植樹造林，綠化荒沙地，每年比上一年多植相同畝數(shù)的林木,

但由于自然環(huán)境和人為因素的影響，每年都有相同畝數(shù)的土地沙化，具體情況為下表所示:

1998年1999年2000年

新植畝數(shù)100014001800

沙地畝數(shù)252002400022400

而一旦植完，則不會(huì)被沙化：

問：(1)每年沙化的畝數(shù)為多少？

(11)到那一年可綠化完全部荒沙地?

2

20.已知f(x)=(x-l),g(x)=10(x-l),數(shù)歹ij｛an｝滿足a,=2

9

(an+1-an)g(an)+f(an)=0,bn=-(n+2)(an-1).

(I)求證：數(shù)列｛a0一1｝是等比數(shù)列；

(ID當(dāng)n取何值時(shí)，，取最大值，并求出最大值；

tmtm+1

(III)若——<——對任意meN*恒成立，求實(shí)數(shù)，的取值范圍.

b?,bm+l

21.以數(shù)列｛%｝的任意相鄰兩項(xiàng)為坐標(biāo)的點(diǎn)?(氏€N)均在一次函數(shù)y=2x+k

的圖象上,數(shù)列｛2｝滿足條件：b?=an+i-a?(〃eN，4H0),

(1)求證：數(shù)列｛2｝是等比數(shù)列；

(2)設(shè)數(shù)列｛七｝,仍“｝的前n項(xiàng)和分別為S.,,Tn,若$6=n，S5=-9,求比的值.

22.已知函數(shù)/(x)=logax(a>0且aHl),若數(shù)列

2,7(a,),/(a2),-,/(??),2n+4(〃eN*)成等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)a.；

(2)若a=2,令2=a“?/(4)，求數(shù)列也,｝前〃項(xiàng)和S“；

⑶在⑵的條件下對任意〃eN*,都有求實(shí)數(shù)f的取值范圍.

23.設(shè)g(x)=px-幺一2/(x).其中/(x)=lnx,且g(e)=-2(e為自然對數(shù)的底

X

數(shù)).

(1)求p與q的關(guān)系;

(2)若g(x)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求p的取值范圍;

(3)求證:(i)/(x)<x-l(x>0);

In2In3InnIn1-n-1

(ii)—7-+—+…+—y-<(〃eN*,n>2)

2232n24(〃+1)

b

24.已知函數(shù)/(x)=ax-2—21nx,/(l)=0.

x

(I)若函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；

(II)若函數(shù)/U)的圖象在x=1處的切線的斜率為0,且。向=f'(—1—)一〃2+1,

%—+1

已知ai=4,求證：&>2/7+2；

(ni)在(H)的條件下，試比較」一+」一+」一+…+」一與2的大小，并說

1+/1+?1+。31+5

明你的理山.

答案

1.解：

（1）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為4由題意得

a

k+%+i=4k

2（k是正整數(shù)）

4+%=4k

14+1+%+2=4優(yōu)+D(4)

(4)-(3)得ak+2-ak=4=2d:.d=2

由(3)得%+%+]=6+*+2=4〃，/.an=2n-\

八[。[+心=4gfd=2

另解:由(1)得I2得《(其余略)

。2+。3=8[(2)=1

(2)由⑵式得an-a”1=一

%

._2_2_J1

"anan+i(2"-1)(2〃+1)2n-l2n+1

c,+c,+???+c?=(1--)+(---)+-??+(-------5-)

12"3352n-l2〃+l

(10分)

「?G++…+%+…=lim(G+Q+…+g)=lim(l-------)=1

Q〃—>8"TOO2〃+1

(3)由(1)⑵得冬=(2n—1)2(2”+1)

g

：n是正整數(shù)，(2〃一(2〃+1)是隨n的增大而增大，

又衛(wèi)2=2891<981,—=1573>981

C5。6

???整數(shù)981不是數(shù)列｛2｝中的項(xiàng).

2.解：(I)設(shè)這二次函數(shù)F&)班x(aWO)，則f坳由于F'&)=6x—2得

a=3,b=-2f所以f(x)=3x-2x.

又因?yàn)辄c(diǎn)（小5〃）5￡%*）均在函數(shù)了=/。）的圖像上，所以S〃=3#—2L

2

當(dāng)〃22時(shí)，an=SnSn-i=(3n—2n)—(3(n-l)-2(n-l)]=6n—5.

2

當(dāng)〃=/時(shí)，ai=Si=3XI—2=6X1—5,所以，an=6n~5(neN*)

3=_______3________11

(ID由(I)得知勿6〃+1)

“"%+i(6H-5)[6(/?-1)-5]26n-5

故Tn==-(1)+(-------)+???+(------------------)=—(1--------).

占，2L77136/1-56〃+1」26〃+1

IIHI1m

因此，要使一(1--------[〃wN*)成立的處必須且僅須滿足上《一，即

26〃+120220

mKQ,所以滿足要求的最小正整數(shù)0為10.

3.解：(1)數(shù)列｛6,｝為等比數(shù)列，，%-4=2d.為等比數(shù)列，

乂%—q=于(d+1)—于(d—1)——(d—2)~,

???d2-(d-2)2=2d,解得d=2,a,=/(l)=0.

4=2(〃-1).又???也｝為等比數(shù)列，%=q2.

瓦

a_/(4_[_(q-2)2.0_2y_2

~r==-~i---?一瓦—=q

?qW1,qGR.,??q—2,仇=4.%=4(—2尸=(—2嚴(yán).

(2)由幺+幺+…+鼠=%+|①

仇玩b?

￡L+a+...+SzL=fl)i②

blb2b“_i

n+1

①-②得色=an+i-an=2.，c“=2b“=2-(-2)=8(-2)"-'.

b.

對于｛%｝，—=-2,q=8,知其為等比數(shù)列.

%

2

==S*產(chǎn)自1-(-2嚴(yán)],S2?=|[l-(-2)-].

1—(—Z)333

1-(-2嚴(yán)?

lim^i±L=lim=—2?

"TOOSnT81—(—2產(chǎn)

4初ZTX￡，(、/、qp%2_(p+q)x+q(x-l)(px-t7)

4.解：(I)解：f(x)=px-(p+q)+-=----------------------=---------------,

XXX

令/(x)=。，得x-1或x=—,v0<—<1,

pP

當(dāng)產(chǎn)變4七時(shí)，f(x),F(x)的變化情況如下表：

1(1,+8)

(0,幺)qa1)

P7p

f(X)+0—0+

f(x)極大值、極小值

所以f(x)在產(chǎn)1處取得最小值，即己二1.

22

(II)y=2px一幺+f'(x)+q=2px+px-p,2Stl=2p?〃；+p?a〃一p,(neN"),

x

由于a=L所以2%=2p?a；+p?a[-p,得p=i.

2S〃=2a；+a“一]................①.

又：.2S〃_]=2%_]+Q〃_]—I..................................②。

①一②得2a〃=2(a；-。)+a〃-an_x,

?二2(。：-a；-)—(%+*—i)=0,/.(alt+an_x)(?！耙籥n_x-1-)=0,

由于a“>0,，％-a,”=！，所以｛a｝是以a=l,公差為』的等差數(shù)列,

22

[/八1〃+1

/.a=1+(〃-1)x—=-----.

“n22

八宜、rn(n-l)1n2+3n..4s〃“

EDs,=〃+^^、=—5―,由勿=rw=時(shí)，

224n+3

所以=q+2q2+3q，+...+(〃一l)q"“+nqn由p>q〉0,而p=1，故qW1,

34n+]

qTn=q?+2q+3q+...+(〃-l)q"+nq,

n｝n,t+]

(1—q)Tn=g+q2+,3+…+q'+q—nq〃*=—~~-nq

l-q

..................................M分

(1-/)"q

5.解:(1),/1+>21xI/.I^X"l<1Xx,=—.

""1+x；2

；」"/區(qū))=/(M

而/(k)=/(斗)=/(^^)=/(x?)+/(x?)=2/(x?).

1+x；l+x“x“

2，｛/(x“)｝是以-1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，故/,區(qū))=-2"T

"/u?)

(2)由題設(shè)，有〃0)+/(0)=/(3)=/(0),的(0)=0

1+0

Y-Y

又X€(-1,1),</1(%)+/(-%)=/(-—)=/(0)=0,

1-Xr

得/(-X)=—/(X),故知/'(X)在(—1,1)上為奇函數(shù).由

111

[=]=(:+1)(左+2)=m-I+2

2

k+3k+\―(k+l)(k+2)-1-11-,1

1-------------------------1-------------------------------

(k+l)(k+2)(k+1)(A+2)

得/+，)="/-)+/(-1二)=/(J?)-/(1二)

1k+2k+\k+2

于是?憶+;J"(；)〃,)=1/(

2〃+2〃+2

-——)+/(—^―)=0.

故l+/(.)+/([1)…+/(2

511n+3〃+ln+2

6.解：(1)由2〃+4=2+(〃+2一1)4求得4=2,所以/(。“)=2+("+1-1>2=2"+2,

求得%=/"+2.

2"2=(〃+1)"'"3,

(2)bn=an-f(an)=(2n+2)a

5?=2-25+3-27+4-29+--+(〃+1)?22n+3,錯(cuò)位相減得S?=(3〃+2)丁—26

所

(3)=--4>1,以｛a｝為遞增數(shù)列.bn中的最小項(xiàng)為

bn〃+l

b,=2-25=26,f-'(t)=2',所以r<6.

7.解：]

(1).."=5[/(1)-/(一1)由題意1/(1)隆1//(—1)隆1

證明：

由.-.I^1=11/(1)-/(-1)|<1(|/(1)|+|/(-1)I)<1

f⑴=/2加遂，(三1近fQ夕土q=c=_1,力=2_a

f(x)=CLX~+(2_a)x_1

當(dāng)XG[—1,1]時(shí)l/(x)l<1nl/(—1)l<1

即I2a-3隆1=1WaW2

考察實(shí)數(shù)—=l-ie[-i,O]

la2a2

-r-.Cl-2CL_22/c、-2(Q—2)2

而/(=-)=a?(1T-)+(2-a)?(l^)T=

2〃2Q2a4a

4a

(3)當(dāng)a=\,b=0,c=一2時(shí)，f(x)=x2-2

函數(shù)f(x)在點(diǎn)(/J(%))處的切線方程為y=fM+fXx0)(x-x0)

令y=。得尤i=%。-J(xo)

/'(x。)

同理得馬"-的，…x.L”f(Xn)

f'M

—)

x“

12

上式兩邊取極限lim3+1=1im亍㈠”+_一)

M—>00RT8乙Xn

令X"=A

li/?m-><?

12

則A=—(A+—),A〉0

2A

x

：■A--X/2-EP]imn=

->co

o癡八、，/、,a2ax-2x+a

8.解：⑴g(x)=a+———=------------

xxx

?；g(x)在(0,+8)單調(diào),

/.ax2-2x+a^0或四？一2九+Q20在(0,+8)恒成立,

即心二或〃之工在(0,+00)恒成立,

x2+lx2+l

...aW0或。21.

(2)①設(shè)p(x)=/(x)-x+1,則

x

當(dāng)x=1時(shí)，Q'(X)=0

當(dāng)0<x<l時(shí)，<p'(x)>0.,.夕(x)遞增,當(dāng)%>1時(shí),<p\x)<0s(x)遞減,

???夕(x)1rax=9⑴=0

???e(x)=/(x)—x+1WO即/(x)<x-l(x>0)

②由①，ZW<i_l(x>o)

XX

又

n~n(n4-1)n/?4-1

〃

...左邊=!J-r*........+J,,?(+..2..).....

232n2

(1-+(1-+???+(1--y)

2~3n"

=,(〃-i)」d+M…+4)

222232n2

1111

<—----———J-???——)

334nn4-1

=l(n_l)_l(l__L)=2"J"7=右邊

222n+14(〃+1)

???原不等式成立

9.解：入世改革后經(jīng)過n個(gè)月的純收入為Tn-300-/?萬元

不改革時(shí)的純收入為70〃-[3〃+-2]

90=a+b。=80

(7分)

110=2a+bb=10

由題意建立不等式80〃+10—300-n>70n-3n-(n-1)/2

即〃2+i山一290〉。得〃>12?2

nGN,取〃=13

答：經(jīng)過13個(gè)月改革后的累計(jì)純收入高于不改革時(shí)的累計(jì)純收入.

10.解：(I)〃_吁。2'+,―2a2+"2得+(—

2-v+l2、+1

2

a=1,.\f(x)=1---------

'2、+1

設(shè)一00<再<X2<+00

小)一"2(2、,-2.

-(2』+心+1)

X2

2'<2處,2*1+1>0,2'+1>0.?./(x1)</(x2)

/(x)在R上單調(diào)遞增

(II)a=------?=__1_

"2"-1+12"-'

C1111、/c1、

=-(Z11+-+^-+^-+-+—)=-(2-^j-)

.1,limS?=-2

n—>oo

(HI)/(x)=1—<1

2'+1

又f(x)為奇函數(shù)，且在R上為單調(diào)增函數(shù)

當(dāng)—))物(x)e(-l,0)

欲使f(x)=(z在(-8,0)上有解

.?--1<?<0(10分)；./(一1)</9)</(0)即_；<”0<0

即-l<3/(a)<0.

1】解：⑴/'(x)=l-cosx>0,僅當(dāng)尤=2%乃(&€Z)時(shí),f(x)=O,故/(x)在R上

單調(diào)遞增。

(2)/(x)為奇函數(shù)，/(0)=0,

由(1)知當(dāng)x20時(shí)，/(x)之0,即x-sinx20,也就是sinx?x在［0,+8)上恒成立。

由已知得x,,+]_]=_gcosx“=]Sin(x“一])

所以lx“+]_gl=；lsin(x“一?-gl

r-r-IS|I兀IJ1I萬IJ1I兀1/J1]兀兀

所以I——1<-1x?i——I4fIx“2---K…4——rIx.——1I=--

“2222222'i122n+1

cJ/111、/I1、萬

S4%(——H-----+......H--------)=71?(----------)<-

"22232"+|22"12

12.解：(1)令〃=1,1?。2=。]+1，2,B|Ja2-ai=2

"?見用=S“+〃("+】)

由，

(?-1)???=S?_,+M(H-1)

=>〃,%+i一(〃一1)%=%+2〃=an+l-an=2(〃>2)

2(〃￡N*),

a2-at=2,：.an+l-an

即數(shù)列｛%｝是以2為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列，:.a”=2n

^S“n(n+1)(n+1Yw+2)nn乂

⑵①T"二寸==\2仆’即〃>2(〃eN)②：

S3

7]=甘=14=丁3=萬,又...〃>2時(shí)，Tn>T?+l

，各項(xiàng)中數(shù)值最大為±3，；對一切正整數(shù)〃，總有恒成立，因此3

2"2

13.

13.解：(I)當(dāng)〃=1時(shí)，不同的染色方法種數(shù)4=3

當(dāng)"=2時(shí)，不同的染色方法種數(shù)4=6,

當(dāng)”=3時(shí)，不同的染色方法種數(shù)為=6,

當(dāng)"=4時(shí)，分扇形區(qū)域1,3同色與異色兩種情形

.?.不同的染色方法種數(shù)&=3x1x2x2+3x2x1x1=18。

(II)依次對扇形區(qū)域1，2,3,…,〃，〃+1染色，不同的染色方法種數(shù)為3x2”,其中扇形

區(qū)域1與n+1不同色的有種，扇形區(qū)域1與?+1同色的有q種

.4,+4田=3X2"("22)

(III)=3X2"(〃N2)

2

?a2+a3=3x2

3

a3+a4=3x2

nl

an_x+an=3x2~

將上述〃-2個(gè)等式兩邊分別乘以(-1)'伙=2,3,…，"-1),再相加，得

l

a2+(-1)"'a,,=3x2-3x2'+…+3x(-1廣'x2"-=3x>[:]

.a?=T+2-(-1)-

??，

3,(n=1)

a""|2n+2-(-l)n,(?>2)

從而V7V7o

(III)證明：當(dāng)〃=1時(shí)，q=3>2xl

當(dāng)”=2時(shí)，a2=6>2x2,

當(dāng)〃*3時(shí)，

4=2”+2.(-1)"=(1+1)"+2.(-1)"

=l+"+C：+C：+-+C；2+〃+i+2.(-l)”

>2n+2+2-(-l)"

>2n

a—2

14.解：(I)因三點(diǎn)紇共線，.,.%——

2-1n-1.

---------1

n

得%=2+2(〃-1)故數(shù)列｛冊｝的通項(xiàng)公式為%=2〃

(II)由題意c“=84T=22"-3%+&+…+%=〃(2；2〃)=“(〃+])

。向+??,+%耳%仇

+a2b2+a2b2+???+dnbll

由題意得c〃=2。*2+…+冊，.?.22"-3=2例+小+…+冊

2n-3=----------------------------,ab+ab^+…a,/”=7?(n+l)(2n-3)

%+???+%｝]2

當(dāng)〃22時(shí)，anbn=n(n+1)(2〃-3)-(n-l)n(2n-5)=n(6n-8)

=2〃=3〃-4.當(dāng)上1時(shí)，bx=-1,也適合上式，:.bn=3n-4(ne)

(3

因?yàn)閮牲c(diǎn)PpPn的斜率K=&二匕=—0=3(〃eN*)為常數(shù)

〃一1n-\

所以點(diǎn)列巴(1,")，「2(2,為),…?("，勾)在同一條直線上，

且方程為：y—4=3(x—1),即3x—y—4=0.

15.解：⑴/'(V7)=On(%+]-%)=?%-a,i)(〃N2)

/7—n

：.L=t(n>2)

4一明

2+

???an+i-an=(t-t)t'-'^an+]-an=t"'-t

nn

3%=t-t-'，an_}-a.?=一討，CI)_67|=廣

n

an-a{=t-t,an=t"(t豐1)

f=l時(shí)，an-an_,=a?_,-an_2a2-a,-0

,,a.=1

綜上

an=f"(〃eN*)

(2)由0=g'3“)得，=

l+”“1+f

<0,

花手”+?)

/.----1------1-?,?H----<—[(2+2-+…+2")+(—I------F…4-----)]

b]b2bn2242"

11i------巴

=2n--(l+2-n)<2n---2-Vl-2-n=2n-22

22

16.解：(1)V/(x)=(Vx-1)2(x>1),A/(x)=(Vx+1)2(x>0),

；?4川=/T(/)=(向+1):，即向—瘋=1(〃eN*),

數(shù)歹U{J「}是以6=1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，

.?.禽=1+(〃-1)=〃，即=〃2(〃WN*)

0-1?4-2+…+鋁=禽=〃,

由于

222

%一5-1)

>?I+???+n-\(n>2)

2222”T

”,一〃

兩式相減得，當(dāng)“22忖,—1,即b-2"+n,

2"n

它對n=1也適合，hn=2"+"(〃eN*)

(2)C,=叫1g⑵)=1g(或_〃)]=叫1g⑵)=

由Q<C用,得nflg/<(n+l)r+1lgz

nn

①當(dāng)r>1吐由Igr>0,可得空----,?.?-----<1(〃EN*)，

〃+1n+l

/.t>"對一■切〃eN*都成立，

〃+1

此時(shí)￡>1

17

②當(dāng)0<t<1時(shí)，由1gt<0,可得〃>(〃+l)t,t<----，

〃+1

n1n

*/------>—(neA^*),0<r<------對一切〃eN”都成立

n+12n+1

.c1

??0<f<一

2

由①②可得，對一切〃eN*都有C“<。用的/的取值范圍為0</<；或/>1

17.解：(1)/=3/—1,/“：丁=(3%2—1)(工一/)+乙3一/，

y=(3x；—l)x—2x；,

V

y-Jr'—x,

(x-x.)(』+xnx-2x；)=0,

(X-X?)2(X+2X?)=0.

/.x=xn,x'=-2xn.

“與曲線交于另一點(diǎn)產(chǎn)“+1（-2居,-8%；+2x?）

(II)3=—2x”,

當(dāng)匹=1時(shí),x.=(—2)i

(III)R“>/?,=1,

n123n?

"14164，i

4/??=4+2+-+—+???+—@

"4164"-2

②-①得：3R"=4+1+；+：.<史<6.

163

1<R?<2,二.知—機(jī)的最小值為2-0=2

此時(shí)M=2,m=0

18.解：(1)(1)當(dāng)〃=1時(shí)，4]=，，命題成立。

即a_m一1)一k-2月

(2)假定〃=%時(shí)命題成立,以——

k(k+1)k(k+1)

那么,

-

2k-akk[(k-l)-(k-2y

2k—7\

k+1_(k+1)上一(A—1)“

=2僅T)Z(Z-2)，=

因此，當(dāng)"=Z+1時(shí).，命題也成立

綜合(1)(2)對任何自然數(shù)n命題都成立

〃〃))

23(2-f)[(T--2r]

(11)aI—19cij—

122-t3-2t9n-(n-l)z

+-(n-l)f]

an+\

(〃+1)-nt

1?2?3…4-l)z

+i

(n+1)-nt

n\