2023年數(shù)農(nóng)真題及答案解析

2023年全國(guó)探討生考試數(shù)農(nóng)試題及答案詳解

一、選擇題：1U8小題,每小題4分,共32分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.

1,

y=———+1

⑴設(shè)曲線e'T水平漸近線的條數(shù)為&,鉛直漸近線的條數(shù)為匕，則()

(&)a=08=1(B)a=18=09)a=1b=1①)a=2b=-1

⑵設(shè)連續(xù)函數(shù)/③滿(mǎn)足石1’(')蟲(chóng)=4瘡，則/㈤的一個(gè)原函數(shù)歹(?=()

(A)(x+1)尸⑻-(x+1)尸⑹(x-W

⑶設(shè)數(shù)列，4」單調(diào)噌加，%=S\,■$T(”=2,3,…)，則數(shù)列國(guó)，有界是數(shù)列口，收斂的

)

(A)充分非必要條件(B)必要非充分條件

(O充分必要條件(D)既非充分也非必要條件

-2,X,3'4—x

⑷設(shè)函Q(“)連續(xù)，交換二次積分次序A見(jiàn)加加+L呵私y(tǒng))dy

j：dy『f(x，y)<^

(A)(B)

fdy『7ay)dx

(0(D)

,0](0、p、5

%=0%=1%=一[%=1

,I"MJ,其中%,”,。3,J為任意常數(shù),

⑸設(shè)

則下列向量組線性相關(guān)的為()

aaaa

(A)%,%,%⑻%,2,4(C)°i,%，4(D)2,%，%

(6)下列矩陣中不能相似于對(duì)角矩陣的為

0P0P0P2]

1212

(A)I。"(B)I。J(c)IJ(D)IJ

I'MP1>24.<[I=

(7)設(shè)隨機(jī)變量*與P相互獨(dú)立，切都服從區(qū)間川內(nèi)上的均勻分布，則1~

11冗冗

(A)4⑻2(c)I(D)4

⑻設(shè)石，馬，工3,%為來(lái)自總體兇‘°'d19>°’的藺單隨機(jī)樣本，則統(tǒng)計(jì)壁病7W的分布為

⑷曾心,2)⑻,⑵。/⑶(D)9Q,2)

二、填空題：9U14小題,每小題4分，共24分.請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上.

3

lim?+Xi'=

(9)X

(10)函數(shù)J=?，21nx~11的極值點(diǎn)X=

(11)曲線y=g與x=4及y=°圍成的平面圖形繞X軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)的體積歷

龍“冗_(dá)開(kāi)、_

(12)設(shè)函數(shù)2=胸皿"“，貝IJ85'5

(1n

月=

(13)設(shè)(T2人4是A的伴隨矩陣，將A的第二列加到第一列得矩陣B,貝=

P(A)=1P(B)='W川詼=

(14)設(shè)兒&是兩個(gè)互不相容的隨機(jī)事件，設(shè)2,3,則〈I

三、解答題：15?23小題，共94分.請(qǐng)格解答寫(xiě)在答題紙指定位置上.

解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

(15)(本題滿(mǎn)分10分)

求曲線cos，/》，+lnx,=x+1在點(diǎn)，0」，處的切線方程.

|(16)(本題滿(mǎn)分10分)

設(shè)函數(shù)"'X111axiL-H,求不定積分3工也

(17)(本題滿(mǎn)分10分)

X+—

求函數(shù)〃"，=庇2的極值

(18)(本題滿(mǎn)分n分)

y'--^—=\nxI

求微分方程xlnx滿(mǎn)足條件力x-e的解.

(19)(本題滿(mǎn)分11分)

||?3/+2yidxdy

計(jì)售二重積分i>，其中。由直線x=一兀x=兀丁=2及曲線y=sinx圍成.

（20）（本題滿(mǎn)分11分）

0、

00—1

00

設(shè)（a001J,1O）

（1）計(jì)算行列式I?；

（2）當(dāng)實(shí)數(shù)。為何值時(shí)，方程組力*=￡有無(wú)窮多解，并求其通解.

（21）（本題滿(mǎn)分10分）

a-15

-10-1

1bl11為月的屬于特征值-2的特征向量

（1）求4危的值;

（2）求可逆矩陣尸和對(duì)角矩陣Q,使得尸-"*=Q.

（22）（本題滿(mǎn)分10分）

設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為A4>U，的指數(shù)分布，且2,

（I）求參數(shù)才；

2012年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)農(nóng)答案解析

一、選抨題:1U8小題,每小題4分，共32分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)選項(xiàng)符合題

目要求的,請(qǐng)珞所選項(xiàng)前的字母填在著厚紙指定位置上

(1)設(shè)曲線>=」一+1水平漸近線的條數(shù)為。，鉛直漸近線的條數(shù)為人則()

e-1

(A)。=0,5=1(B)a=1,b=0(C)a=l,i=l(D)a=2,h=-l

【答案】(D)

【解析】y=-7-+1,由limy二QO,X=0為鉛直漸近線，由limv=l,limy=-l+l=0,

e-Ix-*o

為=1,尸=0為水平漸近線，故a=2,b=l

⑵設(shè)連續(xù)函數(shù)/(X)滿(mǎn)足，『/(，)d/=4xe=*,則/(X)的一個(gè)原函數(shù)尸(x)=()

(A)(x+1^-*(B)-(x+l>**(C)(D)-(r-l>'*

【答案】B

【解析】

兩邊求導(dǎo)，則有?/(2幻?2=4/'

可化簡(jiǎn)為=討論/(幻是否等于/(*).

月選項(xiàng)：[(*+1族"j錯(cuò)誤

:[-(x+1)e**]'=-e'1[~(x+l)+i]=e'*x正確

C.[e*(x-D]=e-*[l-x+l]=e*(2-x)錯(cuò)誤

。:卜(x—]卜7]'=，'[*-1-1)%-'5-2)借誤

⑶設(shè)數(shù)列阻｝單調(diào)增加，4=，，a”=S”-S“T(〃=2,3」“)，則數(shù)列｛S.｝有界是數(shù)列㈤｝收斂

的()

(A)充分非必要條件(B)必要非充分條件

(C)充分必要條件①)既非充分也非必要條件

【答案】(B)

【解析】因?yàn)?>0,所以｛S.｝單調(diào)不減.

若⑸｝有界，則強(qiáng)存在，則=理(S"-S”T)=°，即數(shù)列｛$”｝有界是數(shù)列㈤｝收斂

的充分條件.

反之，若也｝收斂,則⑸｝不一定有界.

例如，取*=L則收斂，且S”=”無(wú)上界.故選⑻.

⑷設(shè)函數(shù)/(x,y)連續(xù)，交換二次積分次序f<kf/(x,yMy+fdxf"/(x,y)d.y=()

(A)fdy￡'/(x,y)tk(B)fdy『"/(x,y)dr

(C)fdyf'/(xL(D)fdj工J(Ky)dx

【答案】C

【解析】交換枳分順序

'-1'

a4=1，其中qg,c?C4為任意常數(shù)，則下列向量

組線性相關(guān)的為()

(A)a,,a2,a3(B)alta2,a4(C)%,%,5(D)叼&必

【答案】C

【解析】

01-1

??1—1

0-11=qx=o,

—I1

qqq

故外,%,%必定線性相關(guān)，從而應(yīng)選C.

(6)下列矩蟀中不能相似于對(duì)角矩陣的為

【答案】A

【解析】

8的兩個(gè)不同特征值是1,2,故3可以相似對(duì)角化:

2-1

|2￡-C|=A2-32+l=0,其A=5>0,有兩個(gè)不同的特征值，故C可以相似

對(duì)角化；

。是秩為1的矩陣，特征值為3.0,故?？梢韵嗨茖?duì)角化;

2

而乂的特征值為4=4=1，對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)特征向量只有|：|，故/不可以相似對(duì)角化.

⑺設(shè)隨機(jī)變量x與y相互獨(dú)立，且都服從區(qū)間(o,i)上的均勻分布，則戶(hù){"+片，1}=()

(A)，⑻！(C)—(D)--

4284

【答案】D

【解析】X與，的概率密度函數(shù)分別為

,[1,04x41fl,0<y<l

&(*)={A?

[0,其他[0,其他

又X與F相互獨(dú)立，所以X與]'的聯(lián)合密度函數(shù)為

10$kyW1

/(總》)=/。)-00=<'一；一，從而

0,其他

22

P{-Y+r<1}=JJf(x9y)dxdy=jjldrdy=5D=-

D的SI4

(8)設(shè)占.X,.X,為來(lái)自總體N(0,/)(b>0)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.則統(tǒng)計(jì)量二工；的

分布為

(A)N(0,2)(B)1(2)(C)/⑵(D)F(2,2)

【答案】(B)

【解析】???屈口川(°"2)，占口N(0,b)名口N(0,/),匕口N(0,"),且他們之間

相互獨(dú)立，二乂-占口N(0,2/),從而耳士?口N(0,l),7一口"(0,1),

J2b2?

Y

/Ng)，

即A_L=口“2)

3

二、填空題：9U14小題,每小題4分，共24分.請(qǐng)將答案寫(xiě)在谷耀年指定位置上.

3

(9)吧(0*+力=.

【答案】/

【解析】+x)；=lime，"叫=lime3,=/巴丁=/

(10)函數(shù)y=x2(21nx-l)的極值點(diǎn)￥=

【答案】1.

【解析】由y=/(21nx-l),得y'=2x(21nx-卜4xlnx,再由4xln*=0,得x=l,

y-41nx+4,y"(l)=4>0,；.R=1為極值點(diǎn).

(ID曲線y=與x=4及y=0圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)的體積/二—.

【答案】\9n

2

【解析】圖形如圖所示，曲線寫(xiě)為y=JTT,(14x44)

旋轉(zhuǎn)體/=[7T?(Jx-I=小=27T

?2

(12)設(shè)函數(shù)2=岬近”力，則當(dāng)I,,

砂**

4

【答案】?

2

【解析】

—=萬(wàn)/代”[sin(x-

dy

=-xe由cos(x-y)

n皿.nn、n

-I=—e22cost—+—)=—

dy(那2222

(11A

(13)設(shè)<4=、，A?是人的伴隨矩陣,將4的第二列加到第一列得矩陣8,則148=

1-12)

【答案】9

【解析】

/］0、

令尸=,由X與8的關(guān)系知5=.4P,則卜2|=卜’.4尸|=|卜忸||2|=卜『=9.

J1」

(14)設(shè)月，8是兩個(gè)互不相容的隨機(jī)事件，設(shè)尸(4)=1,尸(勿=；,則戶(hù)(川萬(wàn))=

2

【答案1-

4

【解析】又Z與8互不相容

產(chǎn)(研

1

)

二尸(那)=P(J)-0P(A_j_3

尸(I)1-尸(8)i」4

3

三、解答題，15?23小題，共94分.請(qǐng)將解答寫(xiě)在管厚年指定位置上解答成寫(xiě)出文字說(shuō)明、證

明過(guò)程或演算步驟.

(15)(本題滿(mǎn)分10分)

求曲線85(0)+111(>7)=》+|在點(diǎn)(0,1)處的切線方程.

【解析】方程兩邊關(guān)于x同時(shí)求導(dǎo)，得-sing力［2號(hào)+?！?」-(_/-1)=1,將x=0,

y—%

y=l代入上式，得y［四)=2,所以切線方程為1y-1=2(*-0),即2x-1y+1=0

5

(16)(本題滿(mǎn)分10分)

設(shè)函數(shù)/(x)=max，,./,/},求不定枳分

A3,X>1,

【解析】因?yàn)?(jr)=max|l,A-2,x31.所以/(x)=?1,-l<x<1,

A-2,X<-1.

所以，當(dāng)“21時(shí)/(x)=J/(x)dx=Jx3dA,=+G；

當(dāng)-1<x<1時(shí)，尸(x)=J/(x)dx=Jklr=x+C2；

當(dāng)-1時(shí),尸(k)=j/(x)dx=J/小=g*3+G

由原函數(shù)的連續(xù)性，可知liniF(^)=lim^(x),即：+￡=&+1，(1)

lim產(chǎn)(x)=limF(x),即C2-1=C3-L

Q)

X+l+X+「3

32

由⑴(2)得G=c?+7G=。2一三.

—Jd21、

442

所以，F(xiàn)（x）=<

x+C2,一Ivxvl,

一丁---kCj,xW-1.

1332

(17)(本題滿(mǎn)分10分)

上史

求函數(shù)/(蒼y)=xe2的極值

M-二-二―

【解析】令一=e2+x?e2?(-x)=(l-x2)e2=0

df.9

--X'62?(-_)?)=(-xy)e2=0

=1x=-l

得或

y=0y=0

又―-=e2?(一*)?(1--)+e2?(一2x)=(V-3x)e2

dx

6

d2f

—4-=e2-(-y)-(-xy)+e2?(-x)=(xy2-x)e2

dy

^-=e2-(-y)-(l-x2)=(x2^->>2

dxdy

a1，

/.A==-2e2

dx2(1,0)

B="

=0

1(1,0)

c=O^y2||(i,o)=-3

AC-B2=2e'>0又力<0

，(1,0)為極大值點(diǎn)，〃L0)=J，為極大值。

或“福|(.L0)=履

B=^-\=0

dxM(-LO)

c_i砂￡2|卜LO)-3

AC-B1=2e~l>0又月>0

.?.(-L0)為極小值點(diǎn)，/(一L0)=-)1為極小值.

(18)(本題滿(mǎn)分11分)

求微分方程—-j=lnx滿(mǎn)足條件3j=e的解.

xlnx

【解析】

因?yàn)閥-一匕一=lnx,由通解的公式可得

xlnx

f-!—dx

xhx

C」xlnxjlnx-e'dr+C

二產(chǎn)[JlnK”n&+c]

=[x+C]lnx

又因?yàn)?=e時(shí)，y=e,代入可得C=0,因此解為y=xlnN

7

e、-4X2(1-?X-2X)

廣(x)=--------————-+smx

」'(1-x2)4

16x(1-x2)

+sinx

(1-x2)4

當(dāng)x€[0,1)時(shí)廣(x)20,從而廣(x)單調(diào)遞增，則廠(x)2/"(0)=2>0,xe。1),所以/'(x)

單調(diào)遞增，即/,(x)^//(0)=0,xe[0,l)，所以當(dāng)x€[0,l)時(shí),/(x)單調(diào)遞增，即

/(幻2/(0)=0/€[0,1).所以當(dāng)時(shí)，/(幻20,即xln—+cosxzl+

1-x2

(2D(本題滿(mǎn)分10分)

T、

設(shè)4=-1a=-1為4的屬于特征值-2的特征向量.

(D求a)的值:

(II)求可逆矩陣尸和對(duì)角矩陣。，使得P'AP=Q.

'a-11][-1、

【解析】(I)由題意可知/a=-2a,即一I01=-2-1

ojII

Jb

整理得〈,解得a=0,6=l.

-1-o=-2

0

(II)|A￡-J|=-1

1-10

=(2-1)12-1=(”1)"+2)=0,

-1-1

得x的特征值為4=4=i，4=-2.

(￡一/)*=0的基礎(chǔ)解系為%=-1,%=0

<ojU,

9

（23）（本題滿(mǎn)分II分）

設(shè)二維離散型隨機(jī)變量X、丫的概率分布為

X012

[

0404

1

10