13.3等腰三角形AB分層訓(xùn)練（解析版）

13.3等腰三角形一、單選題1．如果等腰三角形的一個(gè)角為70°，則它的底角度數(shù)為（

）A．40° B．55°或70° C．40°或70° D．55°【答案】B【分析】通過等腰三角形的兩個(gè)底角相等分析判斷即可.【詳解】解：分兩種情況求當(dāng)70°的角為頂角時(shí)，則等腰三角形的兩個(gè)底角的度數(shù)為12當(dāng)70°的角為底角時(shí)，則等腰三角形的頂角為180°-70°×2=40°；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；若題目中沒有明確頂角或底角的度數(shù)，做題時(shí)要注意分情況進(jìn)行討論．2．下列說法正確的是（

）A．等腰三角形的高線、中線、角平分線互相重合 B．有兩個(gè)角是60°的三角形是等邊三角形C．兩個(gè)全等的三角形一定關(guān)于某直線對(duì)稱 D．有兩邊及一角相等的等腰三角形全等【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形的“三線合一”、等邊三角形的判定、軸對(duì)稱的定義及全等三角形的判定逐一判斷即可求解．【詳解】解：A、等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合，則A選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，故不符合題意；B、有兩個(gè)角是60°的三角形是等邊三角形，則B說法正確，故符合題意；C、兩個(gè)全等的三角形不一定關(guān)于某直線對(duì)稱，則C說法錯(cuò)誤，故不符合題意；D、有兩邊及一對(duì)應(yīng)角相等的等腰三角形全等，則D說法錯(cuò)誤，故不符合題意，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的“三線合一”、等邊三角形的判定、軸對(duì)稱的定義及全等三角形的判定，熟練掌握其基礎(chǔ)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．3．已知等腰三角形的兩條邊長分別為5和9，則它的周長為(

)A．19 B．23 C．25 D．19或23【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分兩種情況：①當(dāng)腰長為5時(shí)，②當(dāng)腰長為9時(shí)，從而可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，①當(dāng)腰長為5時(shí)，周長=5+5+9=19；②當(dāng)腰長為9時(shí)，周長=9+9+5=23；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的定義，注意本題要分兩種情況解答．4．如圖，點(diǎn)C在AD上，CA=CB,∠A=40°，則∠BCD等于（

）

A．40° B．70° C．80° D．110°【答案】C【分析】根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)得∠A=∠B，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，即可求出∠BCD的度數(shù)．【詳解】解：∵CA=CB，∠A=40°，∴∠A=∠B=40°，∴∠BCD=∠A+∠B=40°+40°=80°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊對(duì)等角的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．下列條件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（

）A．∠A:∠B:∠C=1:1:3 B．BC:AC:AB=2:2:3 C．∠B=50°，∠C=80° D．2∠A=∠B+∠C【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的定義，以及判定定理：等角對(duì)等邊即可判斷．【詳解】解：A、∵∠A:∠B:∠C=1:1:3，∴∠A=∠B，∴AC=BC，即△ABC是等腰三角形，故選項(xiàng)不合題意；B、∵BC:AC:AB=2:2:3，∴BC=AC，即△ABC是等腰三角形，故選項(xiàng)不合題意；C、∵∠A=180°-∠B-∠C=50°∴∠A=∠B∴AC=BC，即△ABC是等腰三角形，故選項(xiàng)不合題意；D、由2∠A=∠B+∠C不能得出其中的兩個(gè)角相等，故不一定是等腰三角形，故選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握等角對(duì)等邊．6．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)E是斜邊AB的中點(diǎn)，DE垂直于AB，交BC于點(diǎn)D，連接AD，若∠B=35°，則∠CAD的度數(shù)為（

）

A．20° B．25° C．30° D．35°【答案】A【分析】根中點(diǎn)與垂直條件得出DE是AB的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA=DB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠DAB，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．【詳解】∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，DE⊥AB，∴DE是AB的垂直平分線，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B=35°，∵∠C=90°，∠B=35°，∴∠BAC=55°，∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=20°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了是線段的垂直平分線的判定與性質(zhì)，熟練掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等和角的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．7．如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC上，且BD=BC=AD，則∠A的度數(shù)為（）A．30° B．36° C．45° D．70°【答案】B【分析】設(shè)∠A=x°，通過線段相等得到角相等，再根據(jù)三角形內(nèi)角和列方程求出x的值即可．【詳解】解：設(shè)∠A=x°∵BD=AD，∴∠A=∠ABD=x°，∠BDC=∠A+∠ABD=2x°，∵BD=BC，∴∠BDC=∠BCD=2x°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠BCD=2x°，在ΔABC中x+2x+2x=180，解得：x=36∴∠A=36°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題意明確各角之間的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．8．在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，BF⊥AC于點(diǎn)F，DE=5cm，則BF=A．8cm B．10cm C．12cm【答案】B【分析】由△ABC是等腰三角形，AD⊥BC于點(diǎn)D，得到BD=CD=12BC，∠ADB=∠ADC=90°，又由AD=AD得到△ABD≌△ACDSAS，則S△ADB=【詳解】解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∵AD⊥BC于點(diǎn)D，∴BD=CD=12BC∵AD=AD，∴△ABD≌△ACDSAS∴S△ADB∵S△ADB∴12∴BF=2DE，∵DE=5cm∴BF=10cm故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．如圖，等腰△ABC的底邊BC長為4cm，面積為20cm2，腰AC的垂直平分線EF交AC于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，D為BC的中點(diǎn)，M為直線EF

A．10cm B．12cm C．13cm【答案】B【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得AM=CM，即A、M、D三點(diǎn)共線時(shí)，CM+DM最小值為AD的長，根據(jù)面積求出AD的長，即可解決問題．【詳解】解：連接AM，

∵AC的垂直平分線EF交AC于點(diǎn)E，∴AM=CM，∴CM+DM=DM+AM，即A、M、D三點(diǎn)共線時(shí)，CM+DM最小值為AD的長，∵AB=AC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，CD=1∵等腰△ABC的底邊BC長為4cm，面積為20∴∴AD=10cm∴△CDM周長的最小值為AD+CD=12cm故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，將CM+MD轉(zhuǎn)化為AM+DM是解題的關(guān)鍵．10．如圖，點(diǎn)A，B，C在一條直線上，在△ABD與△BCE中，AB=BD，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，連接AE和CD，AE分別交CD，BD于點(diǎn)M，P，CD交BE于點(diǎn)Q，連接PQ，BM，下面結(jié)論：①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③BP=BQ；④MB平分∠AMC，其中結(jié)論正確的有（

）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】由SAS即可證出△ABE≌△DBC；由△ABE≌△DBC，得出∠BAP=∠BDQ，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠DMA=60°；由ASA證明△ABP≌△DBQ，得出對(duì)應(yīng)邊相等BP=BQ；由△ABE≌△DBC得到△ABE和△DBC面積等，且AE=CD，從而證得點(diǎn)B到AE、CD的距離相等，利用角平分線判定定理得到點(diǎn)B在角平分線上．【詳解】解：∵AB=BD，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，∴△ABD、△BCE為等邊三角形，∴∠PBQ=60°，∠ABE=∠DBC，在△ABE和△DBC中，AB=DB∠ABE=∠DBC∴△ABE≌△DBCSAS，故①∴∠BAP=∠BDQ，∵∠BDC+∠BCD=180°-60°-60°=60°，∴∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°，故②正確；在△ABP和△DBQ中，∠BAP=∠BDQ∴△ABP≌△DBQASA∴BP=BQ，故③正確；∵△ABE≌△DBC∴AE=CD，S△ABE∴點(diǎn)B到AE、CD的距離相等，∴B點(diǎn)在∠AMC的平分線上，即：MB平分∠AMC，故④正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的判定定理；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．二、填空題11．等腰三角形的周長為10，腰長為x，求x的取值范圍【答案】2.5<x<5【分析】由等腰三角形的周長是10，腰長為x，可得底邊長為：10-2x，然后由三角形三邊關(guān)系可得2x>10-2x，由底邊大于0可得10-2x>0，繼而求得答案．【詳解】解：∵等腰三角形的周長是10，腰長為x，∴底邊長為：10-2x，∴2x>10-2x解得：2.5<x<5．故答案為：2.5<x<5．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，利用三角形的三邊關(guān)系得到關(guān)于x的不等式組是解題的關(guān)鍵．12．在等腰△ABC中，頂角∠A為110°，則∠B為．【答案】35°/35度【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：∵等腰△ABC中，頂角∠A為110°，∴∠B=∠C=180°-110°故答案為：35°．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形的兩個(gè)底角相等是解答的關(guān)鍵．13．如圖，在△ABC中∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，若BD=2，則AB=．

【答案】8【分析】先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得∠BCD=30°，再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可得．【詳解】解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=60°，∵CD是高，∴∠BCD=30°，∴在Rt△BCD中，BC=2BD=2×2=4∴在Rt△ABC中，AB=2BC=2×4=8故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題主要考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握含30度角的直角三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．14．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，若AB=4cm，則

【答案】2【分析】根據(jù)含30°角的直角三角形性質(zhì)得出AC=1【詳解】解：在Rt△ABC中，∠∴∠B=30°∴AC=1故答案為：2．【點(diǎn)睛】此題主要考查含30°的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.15．腰長為7的等腰三角形的周長等于20，則它的底邊長等于．【答案】6【分析】周長減去兩個(gè)腰長即可得出底邊長．【詳解】解：∵腰長為7的等腰三角形的周長等于20，∴底邊=20-7-7=6，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，熟知三角形周長公式是解題的關(guān)鍵．16．如圖，在如圖，在ΔABC中，AB=AC，∠A=100°，BD平分∠ABC，交AC于D，BD=BE，則∠BDE=

【答案】80°/80度【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的定義以及三角形的內(nèi)角和定理即可得到答案．【詳解】解：∵AB=AC，∠A=100°，∴∠ABC=∠C=1∵BD平分∠ABC，∴∠DBE=1∵BD=BE，∴∠BDE=∠BED=1故答案為：80°．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．如圖，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，點(diǎn)E是線段BC延長線上一點(diǎn)，連接AE，點(diǎn)C在AE的垂直平分線上，若DE=8cm，則△ABC的周長是

【答案】16【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得AC=CE，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BD=CD，然后求出AD+BD=DE即可解答．【詳解】解：∵點(diǎn)C在AE的垂直平分線上，∴AC=CE，∵AB=AC，AD平分∴BD=CD，∴AB+BD=AC+CD=CE+CD=DE，∵DE=8cm，∴AB+BC+AC=AB+BD+AC+CD=2×8=16（故答案為：16【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)、等腰三角形三線合一的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．18．如圖，等邊△ABC的邊長為1cm，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，將△ADE沿直線DE折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，且點(diǎn)A'在△ABC

【答案】3【分析】由將△ADE沿直線DE折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，根據(jù)折疊的性質(zhì)，即可得AD=A'D,AE=A'E【詳解】解：∵等邊△ABC的邊長為1cm，∴AB=BC=AC=1cm∵△ADE沿直線DE折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A'∴AD=A∴陰影部分圖形的周長為：BD+=BD+AD+BC+AE+EC=AB+BC+AC=3cm故答案為：3．【點(diǎn)睛】此題考查了折疊的性質(zhì)與等邊三角形的性質(zhì)，此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，注意掌握折疊前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系．三、解答題19．如圖，在△ABC中，AB=AC，D是AB的中點(diǎn)，E是邊AC上一點(diǎn)，連接BE，DE，且DE⊥AB．若∠A=46°，求∠CBE的度數(shù)．

【答案】21°【分析】利用等腰三角形的判定及性質(zhì)及可求解．【詳解】解：∵∠A=46°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=67°，∵D是AB的中點(diǎn)，ED⊥AB，∴DE是AB的垂直平分線，∴AE=BE，∴∠A=∠ABE=46°，∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=67°-46°=21°．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握其判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．如圖，已知△ABC中，BA=BC，∠B=120°．請用尺規(guī)作圖法，在AC上找一點(diǎn)D，使得∠BDC=60°．（保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】見解析【分析】利用等邊對(duì)等角及三角形內(nèi)角和得到∠C=30°，故作BD⊥BC即可得∠BDC=60°．【詳解】如圖點(diǎn)D為所求．【點(diǎn)睛】本題考查等邊對(duì)等角，尺規(guī)作垂直平分線，需要在一定構(gòu)圖特殊性下的尺規(guī)作圖，需要分析題中條件，得到長度角度關(guān)系，再考慮基礎(chǔ)尺規(guī)作圖的方法進(jìn)行構(gòu)造即可．21．在△ABC中，AB=AC，AD是中線，△ABC的周長為34cm，△ABD的周長為30cm，求【答案】AD=13【分析】首先根據(jù)AD是中線得到BD=12BC，AB=12【詳解】解：∵AB=AC，AD是中線，且AB+AC+BC=34cm∴BD=12BC∴AB+BD=1∵AB+BD+AD=30cm∴AD=30-17=13cm【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．22．如圖，在△ABC中，AB=AC，延長BC至D，使得BD=AC，連接AD，再延長AB至E，使得BE=CD，連接DE．求證：△BED≌△CDA．

【答案】見詳解【分析】先證明∠EBD=∠ACD,再根據(jù)SAS判定證明即可．【詳解】解：∵在△ABC中，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠EBD=180°-∠ABC,∠ACD=180°-∠ACB,∴∠EBD=∠ACD,∵BE=CD，BD=AC，△BED≌△CDA(SAS【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理．23．如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC,CD平分∠ACB外角，過點(diǎn)D作DE∥BC交AB于E，交AC于F，試問：EF與BE、CF關(guān)系如何？

【答案】EF=BE-CF【分析】根據(jù)角平分線得出∠ABD=∠CBD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠EDB=∠CBD，推出∠ABD=∠EDB，推出DE=BE，同理推出DF=CF，即可得出答案．【詳解】EF=BE-CF，理由如下：證明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵DE∥BC，∴∠EDB=∠CBD，∴∠ABD=∠EDB，∴DE=BE，同理DF=CF，∵EF=DE-DF，∴EF=BE-CF．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線定義，等腰三角形的判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是推出DE=BE和CF=DF．24．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，EF垂直平分AC，交AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，連接AE，且AB=AE．(1)若∠BAE=40°，求∠C的度數(shù)；(2)若△ABC的周長為19cm，AC=7cm，求【答案】(1)35°(2)6【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線和等腰三角形性質(zhì)得出AB=AE=CE，求出∠AEB和∠C=∠EAC，即可得出答案；（2）根據(jù)已知能推出2DE+2EC=11cm，即可得出答案．【詳解】（1）解：∵AD⊥BC，BA=AE，EF垂直平分AC，∴AB=AE=EC，∴∠C=∠CAE，∵∠BAE=40°，∴∠AED=1∴∠C=1（2）∵△ABC周長=AB+BC+AC=19cm，AC=7∴AB+BC=12cm，即AB+BE+EC=12∵BE=2BD=2DE，AB=AE=EC，∴2DE+2EC=12cm∴DE+EC=6cm∴DC=DE+EC=6cm【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．25．如圖，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，△ACM，△CBN是等邊三角形，AN與BM相交于點(diǎn)E

(1)求證：AN=BM；(2)求證：CE平分∠AEB；(3)若EA=EB=12cm，求點(diǎn)E到直線AB【答案】(1)見解析(2)見解析(3)6cm【分析】（1）由等邊三角形性質(zhì)，推證∠ACN=∠MCB，進(jìn)而△ACN≌△MCB(SAS)，所以（2）過點(diǎn)C作CH⊥AN,CI⊥MB，垂足分別為H，I，由全等知S△ACN=S△MCB，可證CH=CI，所以（3）如圖，∠FCG=180°-∠ACM-∠NCB=60°，由△ACN≌△MCB得∠CNA=∠CBM，可證∠GEN=∠GCB=60°，于是∠FEG=180°-∠GEN=120°，由等腰三角形三線合一得EC⊥AB，∠CEB=12∠AEB=60°，進(jìn)而得EC=12EB=6(cm【詳解】（1）解：∵△ACM，△CBN∴CA=CM,CN=CB,∠ACM=∠NCB=60°.∴∠ACM+∠MCN=∠NCB+∠MCN.∴∠ACN=∠MCB.∴△ACN≌△MCB(SAS∴AN=BM．（2）解：過點(diǎn)C作CH⊥AN,CI⊥MB，垂足分別為H，I，∵△ACN≌△MCB，∴S∴12∴CH=CI．∴CE平分∠AEB．

（3）解：如圖，∠FCG=180°-∠ACM-∠NCB=60°，∵△ACN≌△MCB，∴∠CNA=∠CBM.∵∠CGB+∠GCB+∠GBC=∠EGN+∠GEN+∠GNE=180°,∠CGB=∠EGN，

∴∠GEN=∠GCB=60°．∴∠FEG=180°-∠GEN=120°．∵EA=EB,由（2）CE平分∠AEB，∴EC⊥AB，∠CEB=1∴∠EBC=90°-∠CEB=30°．∴EC=1∴點(diǎn)E到直線AB的距離為6cm

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定定理，30°直角三角形性質(zhì)；運(yùn)用全等三角形導(dǎo)出相等的線段和等角是解題的關(guān)鍵．26．已知，如圖1，在△ABC中，AD為△ABC的中線，E為AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，D重合）．分別過點(diǎn)E和點(diǎn)C作AB與AD的平行線交于點(diǎn)F，連AF．

(1)求證：AF=