第19講 函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值（人教A版2019選擇性必修第二冊）（解析版）

第19講函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值【人教A版2019】·模塊一函數(shù)的單調(diào)性·模塊二函數(shù)的極值與最值·模塊三課后作業(yè)模塊一模塊一函數(shù)的單調(diào)性1．函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系(1)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)f'(x)的正負(fù)之間的關(guān)系

①單調(diào)遞增：在某個區(qū)間(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞增；

②單調(diào)遞減：在某個區(qū)間(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞減.

③如果在某個區(qū)間(a,b)內(nèi)恒有f'(x)=0，那么函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間上是一個常數(shù)函數(shù).

(2)函數(shù)值變化快慢與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

一般地，如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較大，那么在這個范圍內(nèi)函數(shù)值變化得快，這時，函數(shù)的圖象就比較“陡峭”(向上或向下)；如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較小，那么在這個范圍內(nèi)函數(shù)值變化得慢，函數(shù)的圖象就“平緩”一些.

常見的對應(yīng)情況如下表所示.圖象f'(x)變化規(guī)律f'(x)>0

且越來越大f'(x)>0

且越來越小f'(x)<0

且越來越小f'(x)<0

且越來越大函數(shù)值變化規(guī)律函數(shù)值增加

得越來越快函數(shù)值增加

得越來越慢函數(shù)值減小

得越來越快函數(shù)值減小

得越來越慢【考點1利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性、求單調(diào)區(qū)間】【例1.1】（2023上·北京通州·高三統(tǒng)考期中）下列函數(shù)中，在區(qū)間0,+∞上單調(diào)遞減的是（

A．fx=x?1C．fx=?log【解題思路】求導(dǎo)可判斷A，根據(jù)指數(shù)函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判定BC，根據(jù)函數(shù)圖象即可判定D.【解答過程】對于A,f′x=3x?12對于B，由于x>0,fx=2?x=對于C，x>0,fx=?log2x對于D，fx=log12x的圖象如下所示：故故選：C.【例1.2】（2023上·甘肅·高三?？茧A段練習(xí)）函數(shù)f(x)=x?lnx的單調(diào)遞減區(qū)間是（A．(?∞,1) B．(0,1) C．(1,+∞【解題思路】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與0的關(guān)系得出減區(qū)間.【解答過程】函數(shù)的定義域為(0,+∞f′(x)=1?1則單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1).故選：B.【變式1.1】（2023下·河北滄州·高二?？茧A段練習(xí)）函數(shù)fx=2x?5lnA．0,3 B．3,+∞ C．?∞,【解題思路】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)分析單調(diào)性即可.【解答過程】f′x=2?5x，定義域為0,+所以fx在0,故選：D.【變式1.2】（2023·遼寧鞍山·鞍山一中?？级＃┫铝泻瘮?shù)中，既是偶函數(shù)又在0,+∞上單調(diào)遞增的函數(shù)是（

A．fx=xlnC．fx=e【解題思路】對于A，說明fx=xlnx不是偶函數(shù)即可；對于B，說明fx=ln【解答過程】對于A，因為fx=xlnx的定義域為故A選項不符合題意；對于B，因為?x∈R,x2+1?x>但fx+f?x故B選項不符合題意；對于C，因為fx=ex+所以fx又f′x=ex所以此時f′x=ex故C選項符合題意；對于D，因為fx=ex?所以fx故D選項不符合題意.故選：C.【考點2由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】【例2.1】（2023下·湖北武漢·高二校聯(lián)考期中）已知函數(shù)fx=2?xex?ax在A．?∞,2e B．e,+∞ 【解題思路】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號求解.【解答過程】f'x=1?xex?a令gx=1?xex故選：D.【例2.2】（2023下·四川成都·高二校聯(lián)考期中）若函數(shù)f(x)=x3?3kx+1的單調(diào)遞減區(qū)間為(?1,1)，則實數(shù)kA．1 B．?1 C．3 D．?3【解題思路】求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，確定?1，1是3x【解答過程】由f′(x)=3x2?3k故?1，1是3x2?3k=0的兩根，?1×1=?k故選：A.【變式2.1】（2023上·廣東汕頭·高三統(tǒng)考期中）設(shè)a∈0,1，若函數(shù)fx=ax+(1+a)x在A．5?12,5+12 B．5【解題思路】把函數(shù)fx在0,+∞遞增利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為1+aax≥?【解答過程】因為函數(shù)fx=a所以f′x=則(1+a)xln(1+a)≥?ax由函數(shù)y=1+aax又a∈0,1，所以a+1∈1,2，所以所以lna+1≥?lna0<a<1所以a的取值范圍是5?1故選：B.【變式2.2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)fx=ax3?3A．3,+∞ B．?∞,3 C．?【解題思路】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)有兩個不等根計算即可.【解答過程】由題意得函數(shù)fx的定義域為R，f要使函數(shù)fx則f′x=0有兩個不相等的實數(shù)根，∴a≠0Δ=36?12a>0故實數(shù)a的取值范圍為?∞故選：C.模塊模塊二函數(shù)的極值與最值1．函數(shù)的極值極值的相關(guān)概念

(1)極小值點與極小值：

如圖，函數(shù)y=f(x)在點x=a處的函數(shù)值f(a)比它在點x=a附近其他點的函數(shù)值都小，f'(a)=0，而且在點x=a附近的左側(cè)f'(x)<0，右側(cè)f'(x)>0，則把點a叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值.(2)極大值點與極大值：

如圖，函數(shù)y=f(x)在點x=b處的函數(shù)值f(b)比它在點x=b附近其他點的函數(shù)值都大，f'(b)=0，而且在點x=b附近的左側(cè)f'(x)>0，右側(cè)f'(x)<0，則把點b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值.

(3)極小值點、極大值點統(tǒng)稱為極值點，極小值和極大值統(tǒng)稱為極值.2．函數(shù)的最值(1)一般地，如果在區(qū)間[a,b]上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值與最小值，f(x)的圖象連續(xù)不斷且在[a,b]上單調(diào)時，其最大值和最小值分別在兩個端點處取得.

(2)函數(shù)的極值與最值的區(qū)別

①極值是對某一點附近(即局部)而言的，最值是對函數(shù)的整個定義區(qū)間而言的.

②在函數(shù)的定義區(qū)間內(nèi)，極大(小)值可能有多個(或者沒有)，但最大(小)值最多有一個.

③函數(shù)f(x)的極值點不能是區(qū)間的端點，而最值點可以是區(qū)間的端點.【考點3利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值】【例3.1】（2023·全國·模擬預(yù)測）函數(shù)f(x)=2x?tanx?π在區(qū)間?A．π2+1，?π2+1C．3π2?1，?π2【解題思路】求出f′x，由f′【解答過程】由題意，得f′當(dāng)x∈?π2,?π當(dāng)x∈?π4,π所以f(x)在?π2,?π4當(dāng)x=?π4時，f(x)取得極小值，為當(dāng)x=π4時，f(x)取得極大值，為故選：D．【例3.2】（2023上·山西臨汾·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)fx=x2?ax?lnx+2a∈R在區(qū)間A．2 B．1 C．0 D．1【解題思路】由單調(diào)性可得f′(1)=0，求得【解答過程】函數(shù)fx=由f(x)在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減，在區(qū)間1,+∞則函數(shù)在x=1處取極小值，所以有f′(1)=0，由得1?a=0，解得a=1，則有f′由x>0，得f′(x)=0只有一個根且當(dāng)x∈(0,1)時，f′(x)<0，當(dāng)x∈(1,+∞)時，f′(x)>0，所以f(x)有極小值，且極小值f(1)=3?a=2.故選：A.【變式3.1】（2023·河南洛陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx及其導(dǎo)函數(shù)f′x的定義域均為R，且f′xA．有一個極小值點，一個極大值點 B．有兩個極小值點，一個極大值點C．最多有一個極小值點，無極大值點 D．最多有一個極大值點，無極小值點【解題思路】設(shè)gx=fxex，求導(dǎo)后，構(gòu)造?x=gx+x【解答過程】令gx=f故f′令?x所以?′當(dāng)x∈?∞,?1當(dāng)x∈?1,0時，?當(dāng)x∈0,+∞時，所以?x的極小值為??x的極大值為?所以當(dāng)x∈?∞,?1時，?當(dāng)?x在區(qū)間?則?x≥0，f′x=當(dāng)?x在區(qū)間?可設(shè)為x0，則當(dāng)x∈?∞,x當(dāng)x∈x0,+∞時，所以fx有且只有一個極小值點x綜上，fx故選：C.【變式3.2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)fx=exsinx?cosA．eπ1?e1010π1?eπ 【解題思路】由題意先求出0≤x≤2020π【解答過程】函數(shù)fx=e當(dāng)x∈2kπ,2kπ+π時，當(dāng)x∈2kπ,2k故當(dāng)x=2kπ+π其極大值為f2k又0≤x≤2020π∴函數(shù)fx的各極大值之和S=故選：C．【考點4根據(jù)極值（點）求參數(shù)】【例4.1】（2023上·四川遂寧·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx=xx?m2在A．1 B．2 C．3 D．1或3【解題思路】根據(jù)題意，列出方程求得m的值，然后檢驗即可得到結(jié)果.【解答過程】∵f′x∴m=1或m=3，當(dāng)m=1時，f′令f′x>0，得x<13或x>1從而fx在?∞,13所以fx在x=1當(dāng)m=3時，經(jīng)檢驗，滿足題意；綜上，m=3.故選：C.【例4.2】（2023·貴州遵義·統(tǒng)考三模）函數(shù)fx=ax+lnxb+1在A．0 B．12 C．1 【解題思路】根據(jù)極值點的意義，列式求解即可.【解答過程】f′所以f1=a+1=0f經(jīng)檢驗，a=?1,b=1滿足題意，所以a+b=0.故選：A.【變式4.1】（2023下·山東煙臺·高二?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+cex(a≠0)的兩個極值點分別為?A．?2 B．0 C．2 D．4【解題思路】對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，通過兩個極值點可得到a=2b,c=?b，然后分a>0和a<0【解答過程】由f(x)=ax2因為函數(shù)f(x)的兩個極值點分別為?12和2，所以?1故?12和2是?ax2+(2a?b)x+b?c=0的實數(shù)根，∴?當(dāng)a>0，即b>0時，當(dāng)x∈?∞,?12∪(2,+函數(shù)f(x)在?∞,?1此時極大值為f(2)=9be2=1，當(dāng)a<0，即b<0當(dāng)x∈?∞,?12∪(2,+函數(shù)f(x)在?∞,?1此時極大值為f?12=?b∴只要a≠0，無論a取何值，a+2b+4c=0始終成立，故選：B．【變式4.2】（2023上·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)fx=ax3+2x2+ax+1在?1,+∞上存在極大值fA．0,233 B．23,2【解題思路】分三種情況考慮，列出不等式組，即可確定a的取值范圍.【解答過程】由題可得，f′當(dāng)a>0時，方程f′x=0在?1,+∞上有兩個不同的實根則Δ=16?12a2當(dāng)a=0時，f′當(dāng)a<0時，f′x的圖象開口向下，若方程f′x=0在?1,+∞上有兩個不同的實根x綜上所述，1<a<2故選:C.【考點5利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值】【例5.1】（2023·全國·模擬預(yù)測）函數(shù)fx=x2sinA．π24，?2π B．π24，?π24 C．【解題思路】利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性，然后可得最值.【解答過程】由題意，得f′當(dāng)x∈?π2,π當(dāng)x∈π2,π時，f又因為fπ2=π2所以fx的最大值與最小值分別為π24故選：A．【例5.2】（2023上·江蘇無錫·高三統(tǒng)考期中）當(dāng)x=2時，函數(shù)fx=x3+bx2A．8 B．12 C．16 D．32【解題思路】先利用極值點的定義求得b=0，再利用導(dǎo)數(shù)求得fx【解答過程】因為fx=x又f(x)在x=2取極值，所以f′所以f(x)=x3?12x，f令f′(x)>0，得?4≤x<?2或2≤x≤4；令f′所以f(x)在[?4,?2]和[2,4]上單調(diào)遞增，在[?2,2]上單調(diào)遞減，故b=0滿足題意，又f(?2)=?8+24=16,f(4)=64?48=16，故f(x)故選：C．【變式5.1】（2023下·遼寧沈陽·高二?？茧A段練習(xí)）函數(shù)fx=2sinA．奇函數(shù)，且最大值為2 B．偶函數(shù)，且最大值為2C．奇函數(shù)；且最大值為332【解題思路】先利用函數(shù)奇偶性定義得到fx=2sinx?sin2x為奇函數(shù)，排除BD，再得到x=2π【解答過程】fx且f?x故fx由于fx+2所以x=2π是f要想求解fx=2sinf′當(dāng)x∈0,2π3時，f′當(dāng)x∈2π3,4π3當(dāng)x∈4π3,2π時，f′故fx=2sinf2又f2故fx=2sin故選：C.【變式5.2】（2023·廣西南寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若函數(shù)f(x)=2x3?ax2+1(a∈R)在A．1 B．?4 C．?3 D．5【解題思路】分類參數(shù)可得a=2x+1x2x>0，構(gòu)造函數(shù)?x=2x+1x2【解答過程】函數(shù)f(x)=2x3?a即方程f(x)=2x3?a分離參數(shù)可得a=2x+1令?x則函數(shù)y=?x?′當(dāng)0<x<1時，?′x<0，當(dāng)x>1所以函數(shù)?x在0,1上單調(diào)遞減，在1,+所以?x又當(dāng)x→0時，?x→+∞，當(dāng)x→+如圖，作出函數(shù)?x由圖可知a=3，所以f(x)=2x3?3當(dāng)?1<x<0時，f′x>0，當(dāng)0<x<1所以函數(shù)fx在?1,0上單調(diào)遞增，在0,1又f?1所以f(x)在[?1,1]上的最大值為1，最小值為?4，所有f(x)在[?1,1]上的最大值與最小值之和為1?4=?3.故選：C.【考點6已知函數(shù)最值求參數(shù)】【例6.1】（2023上·遼寧·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=13x3+12A．?2,12 C．?74,【解題思路】利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)fx的單調(diào)區(qū)間及極小值為f1=?16，再令f【解答過程】解：因為fx所以f′令f′x=0，解得x=?2所以fx在?∞,?2，1,+所以極小值為f1令fx=?1所以f?由題意得?7所以a的取值范圍為?7故選:C．【例6.2】（2023下·重慶江北·高二?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)fx=e2xx在區(qū)間1A．14<a≤1C．12≤a≤1 【解題思路】求出fx的單調(diào)性，結(jié)合f【解答過程】f′x=(2x?x∈[14,12x∈(12,+∞)而f12=2e，所以函數(shù)必有12∈1故選：B.【變式6.1】（2023上·山東濰坊·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=ax?a+3x3在區(qū)間?1,1上的最小值為?3A．?92,+∞ B．?∞,9【解題思路】分?3≤a≤0，a>0和a<?3三種情況，結(jié)合函數(shù)在特殊點的函數(shù)值，分類討論得到實數(shù)a的取值范圍.【解答過程】當(dāng)?3≤a≤0時，fx故fx在x=1處取得最小值，最小值為f當(dāng)a>0或a<?3時，f′令f′x=0得x=?當(dāng)a>0時，a3a+9故表格如下：x?1,???aaf?0+0?f↘極小值↗極大值↘故fx在x=?且f?a3a+9要想fx=ax?a+3x3則要?2a3a令?a=4a當(dāng)a>92時，?′a>0，?a單調(diào)遞增，當(dāng)且?0=?81，故4a3?243a?729≤0a<?3時，令a3a+9=1可得當(dāng)?92≤a<?3令f′x<0故fx在?1,1故fx在x=1處取得最小值，最小值為f當(dāng)a<?92時，故表格如下：x?1,???aaf+0?0+f↗極大值↘極小值↗故fx在x=且fa3a+9=a要想fx=ax?a+3x3則要2a3a3a+9令wa=4aa<?92時，w′又w?92=0，故綜上：實數(shù)a的取值范圍是?9故選：C.【變式6.2】（2023·甘肅金昌·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=x3?ax2+3x在R上單調(diào)遞增，且A．3,4 B．2,3 C．3,4 D．2,3【解題思路】根據(jù)函數(shù)fx在R上單調(diào)遞增，利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求出a的取值范圍，在由gx在區(qū)間1,2上既有最大值又有最小值求出【解答過程】fx=x若fx在R上單調(diào)遞增，則f′x即3x2?2ax+3≥0恒成立，則Δgx=x+a①當(dāng)a≤2時，g′x>0對任意x∈1,2恒成立，所以此時只有最大值，沒有最小值不滿足題意；②當(dāng)a≥8時，g′x≤0對任意x∈1,2恒成立，所以此時只有最小值，沒有最大值不滿足題意；③當(dāng)2<a<8時，令g′x>0，解得a2<x≤2則gx在a2,2單調(diào)遞增，在1,若gx在1,2則g2≥g1?2+a綜上所述：2<a≤3．故選：B.模塊模塊三課后作業(yè)1．（2022下·湖北·高二統(tǒng)考期末）函數(shù)fx=1A．?1,1 B．0,1 C．1,+∞ D．【解題思路】求導(dǎo)，令f′【解答過程】解：因為fx所以f′令f′x<0所以fx的單調(diào)遞減區(qū)間為0,1故選：B.2．（2022上·陜西安康·高二?？计谀┖瘮?shù)f(x)在R的導(dǎo)數(shù)為f′(x)，且f′A．ef1>C．e2f1【解題思路】令F(x)=f(x)ex，求導(dǎo)可得F′(x)=【解答過程】令F(x)=f(x)F′因為f′所以f′所以F′所以F(x)在R上單調(diào)遞減，所以F1所以f(1)e所以e2故選：B．3．（2023上·上海松江·高三統(tǒng)考期末）函數(shù)y=fx的圖象如圖所示，y=f′x為函數(shù)y=fxA．(?3,?1) B．(0,1)C．(?3,?1)∪(0,1) D．(?【解題思路】先判斷f′x的符號，由此求得不等式【解答過程】由圖象可知，在區(qū)間?∞,?3,在區(qū)間?3,?1,1,+∞所以不等式f′xx故選：C.4．（2023上·四川雅安·高三校聯(lián)考期中）已知f′x是函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)y=efA．a(chǎn) B．b C．c D．d【解題思路】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷f′x的符號，進(jìn)而確定【解答過程】由y=e當(dāng)x∈?∞,a時，e當(dāng)x∈a,d時，ef′當(dāng)x∈d,+∞時，ef故fx的單調(diào)遞增區(qū)間為a,d，單調(diào)遞減區(qū)間為?∞,a故fx的極大值點為d故選：D.5．（2023下·廣西南寧·高二賓陽中學(xué)校聯(lián)考期末）已知函數(shù)fx=aex?lnxA．2e?2 B．e C．e?1【解題思路】根據(jù)f′x=a【解答過程】依題可知，f′x=a顯然a>0，所以xe設(shè)gx=xex,x∈2,3，所以gx>g2=2e2，故2e2故選：D．6．（2023上·北京海淀·高三?？茧A段練習(xí)）函數(shù)fx=32xA．0 B．12 C．1 D．【解題思路】求導(dǎo)得到fx【解答過程】f′x=3x?令f′x>0，解得x>3，令f所以fx在3,+∞上單調(diào)遞增，所以fx在區(qū)間1,2上的最大值為f故選：D.7．（2023上·寧夏石嘴山·高三平羅中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知x=a是函數(shù)f(x)=12x2?(a+1)x+aA．(?∞,1) B．(1,+∞)【解題思路】求導(dǎo)后，得導(dǎo)函數(shù)的零點a,1，比較兩數(shù)的大小，分別判斷在x=a兩邊的導(dǎo)數(shù)符號，確定函數(shù)單調(diào)性，從而確定是否在x=a處取到極大值，即可求得a的范圍.【解答過程】f(x)=12x2?(a+1)x+a當(dāng)a∈(0,1)時，令f′(x)>0得0<x<a或x>1此時f(x)在區(qū)間(0,a)上單調(diào)遞增，a,1上單調(diào)遞減，1,+∞符合x=a是函數(shù)f(x)的極大值點；當(dāng)a=1時，f′(x)=x?1當(dāng)a∈(1,+∞)時，令f′(x)>0得0<x<1或x>a此時f(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，1,a上單調(diào)遞減，a,+∞符合x=a是函數(shù)f(x)的極小值點，不符合題意；綜上，要使函數(shù)f(x)在x=a處取到極大值，則實數(shù)a的取值范圍是(0,1故選：C.8．（2023上·寧夏固原·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx=eA．函數(shù)fx極小值為B．函數(shù)fx在?1,+C．當(dāng)x∈?2,2時，函數(shù)fxD．當(dāng)k<3e時，方程【解題思路】求導(dǎo)得到fx的單調(diào)性，即可判斷AB選項；分別求出?2,2上的極大值和端點處的函數(shù)值，通過比較大小得到最大值，即可判斷C選項；將方程fx=k的根的個數(shù)可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)f【解答過程】f′x=exx2+x=ex所以fx在?∞,?1，0,+fx在x=0f?2=7e2，f?1=3efx方程fx=k的根的個數(shù)可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)fx由圖可知，當(dāng)1<k<3e時，圖象有3個交點，即方程故選：C.9．（2023上·青海西寧·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知直線y=ax+a與曲線y=lnx+b相切，則5a?b的最小值為（A．2ln2 B．2ln2?1 C．【解題思路】設(shè)出切點，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義找出a,b所滿足的關(guān)系式，然后利用導(dǎo)數(shù)工具求5a?b的最小值.【解答過程】設(shè)切點為x0,lnx0所以5a?b=5x0?1+令g′x>0，解得x>4，令g所以gx在0,4上單調(diào)遞減，在4,+∞上單調(diào)遞增，所以故選：A.10．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=ex?mx2有兩個極值點x1，x2（0<x1<xA．0<M<1e C．M>e2+1【解題思路】解法一：求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則x1，x2是方程exx=2m的兩個實數(shù)根，x3，x4是方程xlnx=2m，即eln解法二：求導(dǎo)可得x1，x2是y=ex與y=2mx圖象交點的橫坐標(biāo)；x3，x4是y=lnx與【解答過程】解法一：由fx=ex?mx2可得f由gx=xlnx?14mx2?x即eln設(shè)?x=e當(dāng)0<x<1時?′x<0，當(dāng)x>1故?x在0,1上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，則?x在x=1因為x1，x2是方程exx=2m的兩個實數(shù)根，x且0<x1<x2，0<x3則x3=ex1所以M=x又y=x+1x在1,+∞解法二

第一步：對函數(shù)求導(dǎo)，將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化；由fx=ex?mx2可得f′x=e由gx=xlnx?14mx2?x可得g′x第二步：構(gòu)造函數(shù)，求得m的取值范圍；由ex=2mx可得2m=exx易得?x在x=1處取得極小值，且?1=e，當(dāng)x→0+時，所以由方程ex=2mxx>0有兩個實數(shù)根可得2m>（點撥：因為y=ex與y=lnx互為反函數(shù)，且所以當(dāng)y=ex與y=2mx的圖象有兩個交點時，y=ln第三步：利用反函數(shù)的概念對變量進(jìn)行代換，即可得解；設(shè)Ax1,ex1，由y=ex與y=lnx互為反函數(shù)，且可得A與C，B與D分別關(guān)于直線y=x對稱，則x3=e則M=x又y=x+1x在1,+∞故選：C.11．（2023上·貴州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)fx(2)若對于任意的x1,x2∈0,1，且【解題思路】（1）求導(dǎo)后，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況對實數(shù)a進(jìn)行分類討論；（2）不妨設(shè)x1<x2，原不等式分離得到fx1?2x1【解答過程】（1）fx的定義域為0,+當(dāng)a≤0時，f′x<0當(dāng)a>0時，令f′x>0，得x>1a，f(x)單調(diào)遞增；令f綜上所述：當(dāng)a≤0時，fx的單調(diào)遞減區(qū)間為0,+當(dāng)a>0時，fx的單調(diào)遞增區(qū)間為1a,+（2）不妨設(shè)x1<x即fx令gx=fx?2x，則函數(shù)則g′x=所以a≤1x+2x在0,1因為y=2x+1x在0,22上單調(diào)遞減，在所以實數(shù)a的取值范圍為?∞12．（2023上·遼寧朝陽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)若a=0，求函數(shù)fx(2)若對?x∈R，fx>0，且fx在x=0【解題思路】（1）求出導(dǎo)函數(shù)f′(x)，由f′（2）首先由f(x)>0恒成立得出a>1，然后求出f′(x)，求出【解答過程】（1）當(dāng)a=0時，fx=ef′令f′x=0當(dāng)x變化時，fx和fx??1,000,+f0+f單調(diào)遞減單調(diào)遞減單調(diào)遞增故函數(shù)fx的單調(diào)遞減區(qū)間為?∞,?1，?1,0（2）因為fx=exax2顯然a=0?4x+4>0不恒成立，不合題意，則a>0Δ=42f令f′x=0，可得x=0當(dāng)a=2時，2?4因為f′x=2e所以函數(shù)fx在R當(dāng)1<a<2時，2?4fx和fx?2?2?00,+f+00+f單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增函數(shù)fx在x=0當(dāng)a>2時，2?4a>0，fx?00,2?2?2?f+00+f單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增函數(shù)fx在x=0綜上，實數(shù)a的取值范圍為(1,2).13．（2023上·上海徐匯·高三?？计谥校┮阎瘮?shù)fx=a(1)當(dāng)a=0時，求曲線fx在點0,f(2)當(dāng)a=2時，求fx在?2,2(3)若函數(shù)fx在?2,2上是嚴(yán)格遞增函數(shù)，求a【解題思路】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，計算f′0=3(2)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)fx(3)依題意，轉(zhuǎn)化為ax2+【解答過程】（1）(1)當(dāng)a=0時，fx=x+2故f′0=3由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知,曲線fx在點0,2即y=3x+2.（2）（2）當(dāng)a=2時，fx所以f′因為x∈?2,2由f′x>0由f′x<0所以函數(shù)fx在[?2,?32)上單調(diào)遞增，在則f?2=8?2+2f?1=2?1+2故fx（3）（3）因為fx所以f′因為函數(shù)fx在?2,2上是嚴(yán)格遞增函數(shù),所以f又因為ex>0恒成立，即ax令gx當(dāng)a=0時，gx=x+3，顯然在?2,當(dāng)a>0時，則gx的對稱軸x=?當(dāng)?1?12a≤?2，即0<a≤12所以gx的最小值為g?2=4a?2當(dāng)?2<?1?12a<0，即a>12則Δ=2a+12?12a≤0,即又a>12，所以綜上所述：a的取值范圍為0≤a≤1+32，即14．（2023上·陜西漢中·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)討論fx(2)若fx恰有三個極值點x1，x2，x3（x1【解題思路】（1）求導(dǎo)得f′x=ex（2）構(gòu)造函數(shù)kt=t+1【