專題23 三角函數(shù)的定義及誘導公式（3知識點3題型3考法）（原卷版）

專題23：三角函數(shù)的定義及誘導公式（3知識點+3題型+3考法）三角函數(shù)的定義及誘導公式?？碱}型誘導公式三角函數(shù)的定義及誘導公式常考題型誘導公式三角函數(shù)值在各象限的符號三角函數(shù)的定義題型一：利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值題型二：三角函數(shù)值的符號判定題型三：誘導公式的應用考法一：給角求值、化簡求值考法二：給值(或式)求值考法三：利用誘導公式證明恒等式知識點一：三角函數(shù)的定義（1）任意角的三角函數(shù)定義：設(shè)α是一個任意角，角α的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么①點P的縱坐標叫角α的正弦函數(shù)，記作sinα＝y(tǒng)；②點P的橫坐標叫角α的余弦函數(shù)，記作cosα＝x；③點P的縱坐標與橫坐標之比叫角α的正切函數(shù)，記作tanα＝eq\f(y,x).它們都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù)．將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)，通常將它們記為：正弦函數(shù)y＝sinx，x∈R；余弦函數(shù)y＝cosx，x∈R；正切函數(shù)y＝tanx，x≠eq\f(π,2)＋kπ（k∈Z）．設(shè)α是一個任意角，角α的終邊任意一點P(x，y)，那么設(shè)r=，則sinα＝；cosα＝；tanα＝eq\f(y,x)；若已知角α終邊上的點的坐標含參數(shù)，則需進行分類討論．知識點二：三角函數(shù)值在各象限的符號（1）設(shè)α是一個任意角，角α的終邊任意一點P(x，y)，那么設(shè)r=，則sinα＝；cosα＝；tanα＝eq\f(y,x).通過正弦、余弦和正切的計算公式可以確定符號口訣概括為：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如圖).知識點三：誘導公式公式終邊關(guān)系圖示公式公式一終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin（α＋k·2π）＝sinα，,cos（α＋k·2π）＝cosα，其中k∈Z.,tan（α＋k·2π）＝tanα，))公式二角π＋α與角α的終邊關(guān)于原點對稱sin(π＋α)＝－sinαcos(π＋α)＝－cosαtan(π＋α)＝tanα公式三角－α與角α的終邊關(guān)于x軸對稱sin(－α)＝－sinαcos(－α)＝cosαtan(－α)＝－tanα公式四角π－α與角α的終邊關(guān)于eq\a\vs4\al(y)軸對稱sin(π－α)＝sinαcos(π－α)＝－cosαtan(π－α)＝－tanα公式五公式六記憶口訣：可概括為“奇變偶不變，符號看象限”：①“偶”當k·eq\f(π,2)±α(k∈Z)中k取偶數(shù)時（－π±α，π±α，±α），三角函數(shù)名不變，符號由原三角函數(shù)角所在象限決定；②“奇”當k·eq\f(π,2)±α(k∈Z)中k取奇數(shù)時（，±eq\f(π,2)±α），三角函數(shù)名改變，符號由原三角函數(shù)角所在象限決定；題型一：利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值解題思路：設(shè)α是一個任意角，角α的終邊任意一點P(x，y)，那么設(shè)r=，則sinα＝；cosα＝；tanα＝eq\f(y,x)；若已知角α終邊上的點的坐標含參數(shù)，則需進行分類討論．例1．已知是角的終邊上一點，，則（

）A． B． C． D．例2．如果角的終邊過點，則（

）A． B． C． D．例3．已知角的頂點為原點，起始邊為軸非負半軸，若點是角終邊上一點，且，則（

）A． B． C． D．變式訓練4．若角的終邊經(jīng)過點，則等于（

）A． B． C． D．5．已知角的終邊落在直線上，則的值為（

）A． B． C． D．6．已知角的終邊經(jīng)過點，且，則．7．（多選題）已知角的終邊經(jīng)過點，則的值可能為（

）A． B． C． D．題型二：三角函數(shù)值的符號判定解題思路：設(shè)α是一個任意角，角α的終邊任意一點P(x，y)，那么設(shè)r=，則sinα＝；cosα＝；tanα＝eq\f(y,x).通過正弦、余弦和正切的計算公式可以確定符號口訣概括為：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如圖).主要考查兩類題：第一類通過角所在象限確定三角函數(shù)的符號；第二類：通過三角函數(shù)的符號來確定角所在象限。例1．已知，，則角的終邊位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限例2．“”是“為第一或第三象限角”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件例3．若，則（

）A． B．C． D．變式訓練4．已知，，則角的終邊在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．已知為第二象限角，則（

）A． B．C． D．6．（多選題）若，則可能在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限題型三：誘導公式的應用考法一：給角求值、化簡求值解題思路：利用誘導公式公式求任意角三角函數(shù)值的步驟(1)“負化正”：用公式一或三來轉(zhuǎn)化.(2)“大化小”：用公式一將角化為0°到360°間的角.(3)“小化銳”：用公式二或四將大于90°的角轉(zhuǎn)化為銳角.(4)“銳求值”：得到銳角的三角函數(shù)后求值.例1．（

）A． B． C． D．例2．化簡（

）A． B． C．1 D．例3．化簡下列各式：(1)；(2)．變式訓練：4．已知．(1)化簡；(2)若為第三象限角，且，求的值．5．平面直角坐標系中，角的終邊經(jīng)過點，則（

）A． B． C． D．6．已知角的終邊經(jīng)過點，則的值等于（

）A． B． C． D．7．已知.(1)化簡；(2)若，求.考法二：給值(或式)求值解題思路：（1）設(shè)α是一個任意角，角α的終邊任意一點P(x，y)，那么設(shè)r=，則sinα＝；cosα＝；tanα＝eq\f(y,x)；若已知角α終邊上的點的坐標含參數(shù)，則需進行分類討論．利用誘導公式公式求任意角三角函數(shù)值的步驟(1)“負化正”：用公式一或三來轉(zhuǎn)化.(2)“大化小”：用公式一將角化為0°到360°間的角.(3)“小化銳”：用公式二或四將大于90°的角轉(zhuǎn)化為銳角.(4)“銳求值”：得到銳角的三角函數(shù)后求值.例1．已知，則的值為（

）A． B．C． D．例2．已知為第二象限角，若則（

）A． B． C． D．例3．已知，且，化簡并求的值.變式訓練4．已知角的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，若角的終邊與角的終邊相同，則(

)A． B． C． D．5．（多選題）在△ABC中，下列關(guān)系式恒成立的有（

）A． B．C． D．6．（多選題）已知，則下列式子恒成立的是（

）A． B．C． D．7．若、是關(guān)于的方程的兩個根，則.8．已知是第三象限角，，則.考法三：利用誘導公式證明恒等式解題思路：利用誘導公式化簡和證明恒等式例1．求證：當或3時，.例2．（1）求證：；（2）設(shè)，求證.變式訓練：3．求證：．4．若，求證：.一、單選題1．已知角的頂點為坐標原點，始邊為軸的正半軸，若角終邊有一點，且，則（

）A．1 B． C． D．22．在中，給出下列四個式子：①；②；③；④.其中為常數(shù)的是（

）A．①③ B．②③C．①④ D．②④3．已知角的終邊經(jīng)過點，則（

）A． B． C． D．4．已知角的終邊過點，則的值是（

）A． B． C． D．5．已知，則函數(shù)的值可能是（

）A．1 B． C．4 D．6．若角滿足，，則是（

）A．第二象限角 B．第三象限角C．第一或者第三象限角 D．第二或者第四象限角7．已知角的終邊上一點的坐標為，則角的最小正值為（

）A． B． C． D．二、多選題8．若，則角的終邊