專題14.3 乘法公式【十大題型】（舉一反三）（人教版）（解析版）

專題14.3乘法公式【十大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1判斷運用乘法公式計算的正誤】 1【題型2利用完全平方式確定系數(shù)】 3【題型3乘法公式的計算】 5【題型4利用乘法公式求值】 8【題型5利用面積法驗證乘法公式】 10【題型6乘法公式的應用】 13【題型7平方差公式的幾何背景】 17【題型8完全平方公式的幾何背景】 22【題型9乘法公式中的新定義問題】 28【題型10乘法公式的規(guī)律探究】 31【知識點乘法公式】平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差。這個公式叫做平方差公式。完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。兩個數(shù)的和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或減去)它們積的2倍。這兩個公式叫做完全平方公式?！绢}型1判斷運用乘法公式計算的正誤】【例1】（2023春·貴州畢節(jié)·八年級統(tǒng)考期末）計算x-y+3x+y-3時，下列變形正確的是（

）A．x-y+3x+y-3C．x-y+3x+y-3【答案】D【分析】將y-3看做一個整體，則x是相同項，互為相反項的是y-3，對照平方差公式變形即可求解．【詳解】解：x-y+3x+y-3故選：D．【點睛】本題考查了平方差公式，解題的關鍵是找出相同項和相反項．【變式1-1】（2023春·浙江杭州·八年級?？计谥校┫铝羞\算正確的是（

）A．x+y-y+x=xC．-x-y2=-x【答案】A【分析】根據(jù)平方差公式和完全平方公式，逐個進行判斷即可．【詳解】解：A、x+y-y+x=xB、-x+y2=xC、-x-y2=xD、x+yy-x=y故選：A．【點睛】本題主要考查根據(jù)平方差公式和完全平方公式，解題的關鍵是掌握平方差公式a+ba-b=a【變式1-2】（2023春·天津濱海新·八年級統(tǒng)考期末）在下列多項式的乘法中，不可以用平方差公式計算的是（

）A．(x+y)(x-y) B．(-x+y)(x+y)C．(-x-y)(-x+y) D．(x-y)(-x+y)【答案】D【分析】根據(jù)平方差公式是兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘等于這兩個數(shù)的平方差，由此進行判斷即可．【詳解】A、B、C選項都是兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘，可以使用平方差公式，D選項變形后為-(x-y)故選：D．【點睛】此題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式是解本題的關鍵．【變式1-3】（2023春·廣東茂名·八年級統(tǒng)考期中）下列多項式不是完全平方式的是(

)．A．x2-4x-4 B．14+m2【答案】A【分析】根據(jù)a2【詳解】x2-4x-4不是完全平方公式，故14+ma2+2ab+bt2+4t+4=t+2故選：A．【點睛】本題主要考查了完全平方公式的判斷，準確分析是解題的關鍵．【題型2利用完全平方式確定系數(shù)】【例2】（2023春·江蘇揚州·八年級統(tǒng)考期末）若將多項式4a2-2a+1【答案】-2a，6a，-34，【分析】根據(jù)完全平方公式的特點分情況討論：若把4a2和1看成兩個平方項，則該完全平方式可以；是(2a-1)2或(2a+1)2；②若把4a2看成一個平方項，把-2a看成二倍兩項積，則該完全平方式可以是(2a-12)【詳解】①若把4a2和1看成兩個平方項，則該完全平方式可以是(2a-1)2∵(2a-1)∴這個單項式可以是-2a；∵(2a+1)∴這個單項式可以是6a；②若把4a2成一個平方項，把-2a看成二倍兩項積，則該完全平方式可以是∵(2a-∴這個單項式可以是-3③若把1成一個平方項，把-2a看成二倍兩項積，則該完全平方式可以是(a-1)2∵(a-1)∴這個單項式可以是-3a綜上，添加的這個單項式可以是-2a，6a，-34，故答案為：-2a，6a，-34，【點睛】本題主要考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式的特點，進行分類討論是解題的關鍵．【變式2-1】（2023春·四川達州·八年級?？计谥校┤魓2+2(m-3)x+1是完全平方式，x+n與x+2的乘積中不含x的一次項，則nm【答案】4或16【分析】利用完全平方公式，以及多項式乘以多項式法則確定出m與n的值，代入原式計算即可求出值．【詳解】解：∵x2∴m-3=±1，∴m=4或m=2，∵x+n與x+2的乘積中不含x的一次項，x+nx+2∴n+2=0，∴n=-2，當m=4，n=-2時，nm當m=2，n=-2時，nm則nm=4或故答案為：4或16．【點睛】本題考查了完全平方式，以及多項式乘多項式，熟練掌握公式及法則是解本題的關鍵．【變式2-2】（2023春·八年級課時練習）若9x2-k-1xy+25y【答案】31或-29/-29或31【分析】由9x2-k-1xy+25y2是關于x【詳解】解：∵9x2-∴9x∴-k-1解得：k=31或-29，故答案為：31或-29【點睛】本題考查了完全平方式，掌握完全平方式的特點，考慮兩種情況是解決問題的關鍵．【變式2-3】（2023春·福建泉州·八年級晉江市季延中學?？计谥校┮阎狟是含字母x的單項式，要使x2+B+14【答案】±x或x4【分析】分類討論：①當x2+B+1【詳解】解：分類討論：①當x2∵x2∴B=±2×x×1②當B+x∵B+x∴B=x綜上可知，B=±x或x4故答案為：±x或x4【點睛】本題考查完全平方式．掌握完全平方式的結(jié)構(gòu)特征和利用分類討論的思想是解題關鍵．【題型3乘法公式的計算】【例3】（2023春·云南昭通·八年級?？计谀┯嬎悖?1)(2m-n+3p)(2m+3p+n)；(2)化簡求值：(x-3)(x+3)-(x2-2x+1)【答案】(1)4(2)2x-10，-9【分析】（1）先把原式化為(2m+3p)-n(2m+3p)+n（2）先利用平方差公式和去括號法則展開，再合并同類項，最后求值即可．【詳解】（1）解：原式===4m（2）原式==2x-10，當x=1原式=1-10=-9．【點睛】本題考查了整式的混合運算以及平方差公式，熟練掌握整式的混合運算法則是解本題的關鍵．【變式3-1】（2023春·山東東營·六年級統(tǒng)考期末）利用整式乘法公式計算．(1)1002(2)a+b+3a+b-3(3)-2m+3-2m-3(4)12【答案】(1)4(2)a(3)4(4)1【分析】（1）首先把98×102轉(zhuǎn)化為100-2×（2）利用平方差公式變形，然后再根據(jù)完全平方公式計算即可；（3）根據(jù)平方差公式計算即可；（4）根據(jù)完全平方公式計算即可．【詳解】（1）解：100====4；（2）解：a+b+3===a（3）解：-2m+3==4m（4）解：1=1【點睛】本題考查了平方差公式和完全平方公式，解本題的關鍵在熟練掌握整式的乘法公式進行計算．【變式3-2】（2023春·湖南永州·八年級校聯(lián)考期中）1-12【答案】15【分析】根據(jù)平方差公式得，1-1221-1【詳解】解：1-====15故答案為：1528【點睛】本題考查了平方差公式的應用．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．【變式3-3】（2023春·江西撫州·八年級校聯(lián)考期中）運用乘法公式計算：(1)2m-3n(2)1002【答案】(1)-8(2)5050【分析】1原式第一項利用平方差是化簡，第二項利用完全平方公式展開，去括號合并即可得到結(jié)果；2原式結(jié)合后，利用平方差公式化簡，計算即可得到結(jié)果．【詳解】（1）原式=9n=-8m（2）原式=100+99=100+99+98+97+96+……+1=5050．【點睛】本題考查了平方差公式和完全平方公式的應用，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．【題型4利用乘法公式求值】【例4】（2023春·山東濟南·八年級統(tǒng)考期末）設a=x-2022，b=x-2024，c=x-2023．若a2+b2=16，則A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】根據(jù)完全平方公式得出ab=6，a-b=2，進而根據(jù)已知條件得出c2【詳解】∵a=x-2022，b=x-2024，c=x-2023，∴a-1=x-2023=c=b+1，a-b=2，∵a2∴(a-b)2∴ab=6，∴c=ab+a-b-1=6+2-1=7，故選：C．【點睛】本題考查了完全平方公式變形求值，根據(jù)題意得出c2【變式4-1】（2023春·廣西貴港·八年級?？计谀┤魓-y-7=0，則代數(shù)式x2-y【答案】49【分析】先計算x-y的值，再將所求代數(shù)式利用平方差公式分解前兩項后，將x-y的值代入化簡計算，然后再代入計算即可求解．【詳解】解：∵x-y-7=0，∴x-y=7，∴x=x+y=7=7x+7y-14y=7=49．故答案為：49．【點睛】本題主要考查因式分解的應用，通過平方差公式分解因式后整體代入是解題的關鍵．【變式4-2】（2023春·湖南永州·八年級?？计谥校?）已知a+1a=3（2）已知a-b2=9，ab=18，求【答案】（1）7；（2）45【分析】（1）根據(jù)完全平方和公式恒等變形后，代值求解即可得到答案；（2）根據(jù)完全平方差公式，代值求解即可得到答案．【詳解】解：（1）∵a2+1∴原式==9-2=7；（2）∵a-b2=a2∴9=a2-2×18+【點睛】本題考查代數(shù)式求值，涉及完全平方公式，熟記完全平方和與完全平方差公式是解決問題的關鍵．【變式4-3】（2023春·陜西西安·八年級?？计谥校┮阎猰滿足3m-20152(1)求2015-3m2014-3m(2)求6m-4029的值．【答案】(1)-2(2)±3【分析】（1）原式利用完全平方公式化簡，計算即可確定出原式的值；（2）原式利用完全平方公式變形，計算即可得到結(jié)果．【詳解】（1）解：設a=3m-2015，b=2014-3m，可得a+b=-1，a2∵（∴1=5+2ab，即ab=-2，則2015-3m2014-3m（2）解：設a=3m-2015，b=2014-3m，可得6m-4029=3m-2015∵a-b∴6m-4029則6m-4029=±3．【點睛】此題考查了完全平方公式，熟練掌握公式及運算法則是解本題的關鍵．【題型5利用面積法驗證乘法公式】【例5】（2023春·八年級課時練習）如圖，陰影部分是在邊長為a的大正方形中剪去一個邊長為b的小正方形后所得到的圖形，將陰影部分通過割、拼，形成新的圖形．給出下列2種割拼方法，其中能夠驗證平方差公式的是（

）

A．① B．② C．①② D．①②都不能【答案】C【分析】分別在兩個圖形中表示出陰影部分的面積，繼而可得出驗證公式，即可得到答案．【詳解】解：在圖①中，左邊的圖形中陰影部分的面積為：a2右邊圖形中的陰影部分的面積為：a+ba-b故可得：a2在圖②中，左邊的圖形中陰影部分的面積為：a2右邊圖形中的陰影部分的面積為：a+ba-b故可得：a2故能夠驗證平方差公式的是：①②，故選：C．【點睛】本題主要考查了平方差公式，運用不同方法表示陰影部分的面積是解題的關鍵．【變式5-1】（2023春·山東煙臺·六年級統(tǒng)考期末）在下面的正方形分割方案中，可以驗證a+b2=a-bA．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】用面積公式和作差法求小正方形、長方形的面積，令其與大正方形相等．【詳解】A、不能驗證公式，該選項不符合題意；B、可以驗證a+b2C、可以驗證a+b2D、可以驗證a2=a-b故選：C．【點睛】本題考查了完全平方公式的幾何驗證，解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．【變式5-2】（2023春·福建寧德·八年級校聯(lián)考期中）下列等式不能用如圖所示的方形網(wǎng)格驗證的是（

）

A．a(chǎn)+bB．a(chǎn)+bC．a(chǎn)+b+cD．a(chǎn)+b【答案】D【分析】利用圖形面積直接得出等式，從而可選擇．【詳解】解：等式a+b2=a2+2ab+等式a+bb+c=ab+ac+b2+bc是由長為b+c等式a+b+c2=a2+等式a+ba-b=a2-故選D．【點睛】本題考查多項式的乘法與圖形面積．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關鍵．【變式5-3】（2023春·江西撫州·八年級統(tǒng)考期末）（1）課本再現(xiàn)：如圖1，2是“數(shù)形結(jié)合”的典型實例，應用“等積法”驗證乘法公式．圖1驗證的是______，圖2驗證的是______；（2）應用公式計算：①已知x+y=5，xy=-1，求②求20222

【答案】（1）a+b2=a2+b2+2ab，a【分析】（1）根據(jù)圖1中大正方形的面積為兩個小正方形的面積與兩個長方形的面積之和得到完全平方公式，根據(jù)圖2中左右兩邊陰影部分的面積相等得到平方差公式；（2）①利用x2+y2=【詳解】解：（1）圖1中，邊長為a的正方形的面積為a2邊長為b的正方形的面積為b2長為a寬為b的長方形的面積為ab，大正方形的邊長為a+b，面積為a+b2∵大正方形的面積為兩個小正方形的面積與兩個長方形的面積之和，∴圖2中，左邊陰影部分的面積為：a2右邊陰影部分的面積為：a+ba-b∵左右兩邊的陰影部分面積相等，∴a故答案為：a+b2=a（2）①∵x+y=5，∴x②2022===1．【點睛】本題主要考查了完全平方公式和平方差公式，熟練掌握a+b2=a【題型6乘法公式的應用】【例6】（2023春·浙江寧波·八年級?？计谥校┤鐖D，為了美化校園，某校要在面積為30平方米長方形空地ABCD中劃出長方形EBKR和長方形QFSD，若兩者的重合部分GFHR恰好是一個邊長為3米的正方形，現(xiàn)將圖中陰影部分區(qū)域作為花圃，若長方形空地ABCD的長和寬分別為m和n，m>n，花圃區(qū)域AEGQ和HKCS總周長為14米，則m-n的值為（

）A．4米 B．7米 C．5米 D．3.5米【答案】B【分析】根據(jù)長方形的周長及面積計算公式，可找出關于m，n的方程組，變形后可得出(m-n)2【詳解】解：依題意得：2(m-3)+2(n-3)=14①mn=30②由①可得：m+n=13，∵(m-n)2∴(m-n)2∴m-n=7或m-n=-7(不合題意，舍去)．故選：B．【點睛】本題考查了完全平方公式的幾何背景，牢記(a±b)2【變式6-1】（2023春·陜西西安·八年級校考期中）我們知道，將完全平方公式a±b2

(1)若m+n=9，mn=10，求m2(2)如圖，一農(nóng)家樂準備在原有長方形用地（即長方形ABCD）上進行裝修和擴建，先用長為120m的裝飾性籬笆圍起該長方形院子，再以AD、CD為邊分別向外擴建正方形ADGH、正方形DCEF的空地，并在兩塊正方形空地上建造功能性花園，該功能性花園面積和為2000m【答案】(1)61(2)800【分析】(1)利用完全平方公式代入計算即可；(2)設CD=xm，AD=ym,由周長可得x+y=60,由兩塊正方形的面積和為2000平方米，x2+y2=2000,【詳解】（1）∵(m+n)2=m2+n2+2mn,m+n=9，∴m2+n2=(m+n)2-2mn=9（2）設CD=xm∵長方形ABCD的周長是120米,∴2(x+y)=120,即x+y=60,又∵兩塊正方形的面積和為2000平方米，∴x2+y2=2000,∴xy=x+y答:長方形ABCD的面積為800平方米.【點睛】本題考查完全平方公式的幾何背景，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是正確應用的前提，適當?shù)牡仁阶冃问墙鉀Q問題的的關鍵.【變式6-2】（2023春·湖南邵陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，某校一塊邊長為2am的正方形空地是八年級四個班的清潔區(qū)，其中分給八年級（1）班的清潔區(qū)是一塊邊長為a-2bm

(1)分別求出八年級（2）班、八年級（3）班的清潔區(qū)的面積．(2)八年級（4）班的清潔區(qū)的面積比八年級（1）班的清潔區(qū)的面積多多少？【答案】(1)八年級（2）班、八年級（3）班的清潔區(qū)的面積均為a+2b(2)多8ab【分析】（1）根據(jù)圖形可知：八年級（2）班、八年級（3）班的清潔區(qū)為長方形，通過2a-a-2b=a+2b（2）由正方形的面積公式可得到：a+2b2【詳解】（1）解：（1）因為2a-a-2b所以八年級（2）班、八年級（3）班的清潔區(qū)的面積均為a+2ba-2b（2）因為a+2b2所以八年級（4）班的清潔區(qū)的面積比八年級（1）班的清潔區(qū)的面積多8ab?【點睛】本題考查了整式的乘法，熟練掌握完全平方公式、平方差公式是解本題的關鍵．【變式6-3】（2023春·浙江溫州·八年級期中）學校為迎接藝術(shù)節(jié)，準備在一個正方形空地ABCD上搭建一個表演舞臺，如圖所示，正中間是“紅五月”三個正方形平臺．其中“五”字正方形和“月”字正方形邊長均為a米，“紅”字正方形邊長為b米．Ⅰ號區(qū)域布置造型背景，Ⅱ號區(qū)域設置為樂隊演奏席．(1)用含a，b的代數(shù)式表示陰影部分的面積（即Ⅰ和Ⅱ面積之和）并化簡；(2)若陰影部分的面積（即Ⅰ和Ⅱ面積之和）為288平方米，且a+b=20米，求“紅”字正方形邊長b的值．【答案】(1)2(2)16【分析】（1）根據(jù)題意，分別表示出正方形空地ABCD的面積和“紅五月”三個正方形平臺的面積，相減即為陰影部分的面積；（2）根據(jù)陰影部分的面積求出a2+2ab=144，再根據(jù)a+b=20，得到a2+2ab+b【詳解】（1）解：由題意可知，正方形空地ABCD的邊長為2a+b，∴正方形空地ABCD的面積為2a+b2∵“紅五月”三個正方形平臺的面積為a2∴陰影部分的面積為2a+b2（2）解：陰影部分的面積為288平方米，∴2a∴a∵a+b=20，∴a+b∴b∵b>0,∴b=16．【點睛】本題考查了正方形的面積公式，列代數(shù)式，完全平方公式，平方根知識，根據(jù)題意正確得出陰影部分的面積是解題關鍵．【題型7平方差公式的幾何背景】【例7】（2023春·安徽安慶·八年級統(tǒng)考期中）將邊長為a的正方形的左上角剪掉一個邊長為b的正方形(如圖1)，將剩下部分按照虛線分割成①和②兩部分，將①和②兩部分拼成一個長方形(如圖2)，解答下列問題：(1)設圖1中陰影部分的面積為S1，圖2中陰影部分的面積為S2，請用含a，b的式子表示：S1=______，S2(2)由（1）中的結(jié)果可以驗證的乘法公式是______；(3)利用（2）中得到的公式，計算：20232【答案】(1)a2-(2)a+b(3)1【分析】（1）根據(jù)圖形的和差關系表示出S1，根據(jù)長方形的面積公式表示出S（2）由（1）中的結(jié)果可驗證的乘法公式是a+ba-b（3）由（2）中所得公式，可得2022×2024=2023+1【詳解】（1）解：由題意得，S1S2故答案為：a2-b（2）解：由（1）中的結(jié)果可驗證的乘法公式為a+ba-b故答案為：a+ba-b（3）解：由（2）中所得乘法公式a+ba-b20232=2023=2023=2023=1．【點睛】本題考查了平方差公式幾何背景的應用能力，掌握圖形準確列式驗證平方差公式，并能利用所驗證公式解決相關問題是關鍵．【變式7-1】（2023春·全國·八年級期末）如圖1的兩個長方形可以按不同的形式拼成圖2和圖3兩個圖形．(1)在圖2中的陰影部分的面積S1可表示為；（寫成多項式乘法的形式）；在圖3中的陰影部分的面積S2可表示為；（寫成兩數(shù)平方差的形式）；(2)比較圖2與圖3的陰影部分面積，可以得到的等式是；A.（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2B.（a＋b）（a﹣b）＝a2﹣b2C.（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2(3)請利用所得等式解決下面的問題：①已知4m2﹣n2＝12，2m＋n＝4，則2m﹣n＝；②計算（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）×…×（232＋1）＋1的值，并直接寫出該值的個位數(shù)字是多少．【答案】(1)（a+b）（a﹣b），a2﹣b2；(2)B(3)①3，②264，6【分析】（1）根據(jù)長方形和正方形的面積公式即可求解即可；（2）根據(jù)兩個陰影部分的面積相等由（1）的結(jié)果即可解答.（3）①利用（2）得到的等式求解即可；②可以先把原式乘上一個（2﹣1），這樣可以和（2+1）湊成平方差公式，以此逐步解答即可．【詳解】（1）解：圖2中長方形的長為（a+b），寬為（a﹣b），因此面積為（a+b）（a﹣b），圖3中陰影部分的面積為兩個正方形的面積差，即a2﹣b2．故答案為：（a+b）（a﹣b），a2﹣b2．（2）解：由（1）得（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；故選B．（3）解：①因為4m2﹣n2＝12，所以（2m+n）（2m﹣n）＝12，又因為2m+n＝4，所以2m﹣n＝12÷4＝3．故答案為：3；②（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）×…×（232＋1）＋1＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+…+（232+1）+1＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+…+（232+1）+1＝（24﹣1）（24+1）（28+1）+…+（232+1）+1＝……＝264﹣1+1＝264，而21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256……，其個位數(shù)字2，4，8，6，重復出現(xiàn)，而64÷4＝16，于是“2、4、8、6”經(jīng)過16次循環(huán)，因此264的個位數(shù)字為6．答：其結(jié)果的個位數(shù)字為6．【點睛】本題主要考查了平方差公式的應用和數(shù)字類規(guī)律，靈活應用平方差公式成為解答本題的關鍵．【變式7-2】（2023春·陜西咸陽·八年級咸陽市秦都中學?？茧A段練習）【知識生成】（1）我們已經(jīng)知道，通過計算幾何圖形的面積可以表示一些代數(shù)恒等式，例如：從邊長為a的正方形中剪掉一個邊長為b的正方形如圖1，然后將剩余部分拼成一個長方形如圖2．圖1中剩余部分的面積為______，圖2的面積為______，請寫出這個代數(shù)恒等式；【知識應用】（2）應用（1）中的公式，完成下面任務：若m是不為0的有理數(shù)，已知P=a+2ma-2m，Q=a+ma-m，比較【知識遷移】（3）事實上，通過計算幾何圖形的體積也可以表示一些代數(shù)恒等式，圖3表示的是一個邊長為x的正方體挖去一個小長方體后重新拼成一個新長方體，請你根據(jù)圖3中圖形的變化關系，通過計算寫出一個代數(shù)恒等式．

【答案】（1）-3m2；（2）P<Q；（3）【分析】（1）分別用代數(shù)式表示圖1，圖2的面積即可；（2）利用（1）中得到的等式計算P-Q的值即可；（3）分別用代數(shù)式表示圖3中左圖和右圖的體積即可．【詳解】解：（1）圖1中剩余部分的面積為a2圖2的面積為a+ba-b所以代數(shù)恒等式為a+ba-b（2）∵P=a+2ma-2m，∴P-Q=a+2ma-2m-a+m因為m是不為0的有理數(shù)，所以-3m2<0，即P-Q<0（3）圖3中左圖的體積為x?x?x-1×1×x=x圖3中右圖是長為x+1，寬為x，高為x-1的長方體，因此體積為x+1?x?x-1，所以有【點睛】本題考查平方差公式的幾何背景，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是正確應用的前提，利用代數(shù)式表示圖形的面積和體積是正確解答的關鍵．【變式7-3】（2023春·山西大同·八年級統(tǒng)考期中）【實踐操作】（1）如圖①，在邊長為a的大正方形中剪去一個邊長為b的小正方形(a>b)，把圖①中L形的紙片按圖②剪拼，改造成了一個大長方形如圖③，請求出圖③中大長方形的面積；

（2）請寫出圖①、圖②、圖③驗證的乘法公式為：．【應用探究】（3）利用（2）中驗證的公式簡便計算：499×501+1；（4）計算：1-1【知識遷移】（5）類似地，我們還可以通過對立體圖形進行變換得到代數(shù)恒等式如圖④，將一個棱長為a的正方體中去掉一個棱長為b的正方體，再把剩余立體圖形切割分成三部分如圖⑤，利用立體圖形的體積，可得恒等式為：a3-

【答案】(1)a2-b2；(2)(a-b)(a+b)=a2-b2；(3)【分析】（1）利用長方形的面積等于長乘以寬即可．（2）圖③中大長方形的面積等于圖①的陰影部分面積，分別計算即可得出：(a-b)(a+b)=（3）觀察（2）的的乘法公式的特點是兩數(shù)之和乘以兩數(shù)之差，故將499拆成500-1，將501拆成500+1即可．（4）利用a2-b（5）將立體圖形分割成三部分，分別為：a2a-b、b2【詳解】解：（1）長方形的面積為：2(a-b)(=(a-b)(a-b+2b)=(a-b)(a+b)=a（2）圖③整個大長方形的面積等于圖①陰影部分的面積：∴(a-b)(a+b)=a（3）原式=(500-1)×(500+1)+1=500=250000；（4）原式====2023（5）將立體圖形分割成三部分，分別為：a2(a-b)、故答案為：a2【點睛】本題考查了“數(shù)形結(jié)合”中的乘法公式及其靈活運用，解題的關鍵是善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律并總結(jié)規(guī)律．【題型8完全平方公式的幾何背景】【例8】（2023春·浙江溫州·八年級校聯(lián)考期中）圖1，是一個長為2m，寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后按圖2的形狀拼成一個正方形．

(1)圖2中的陰影部分的面積為；(2)觀察圖2，三個代數(shù)式m+n2，(m-n)2，mn之間的等量關系是(3)若x+y=-6，xy=114，則x-y=【答案】(1)(m-n)(2)(m+n)(3)±5【分析】（1）根據(jù)陰影部分的面積等于右邊大正方形的面積減去左邊矩形的面積進而得出答案；（2）由（1）中計算過程可得答案；（3）根據(jù)（2）中的等式可得答案．【詳解】（1）解：圖2中的陰影部分為正方形，邊長為m-n，則面積為m-n2故答案為：(m-n)2（2）解：左邊圖形的面積=2m×2n=4mn，右邊的大正方形面積=(m+n)則陰影部分的面積=(m+n)因此三個代數(shù)式m+n2，(m-n)2，(m+n)2故答案為：(m+n)2（3）解：由（2）得(x+y)2∴(x-y)2∴x-y=±25故答案為：±5．【點睛】本題考查了完全平方公式的背景知識以及完全平方公式的變形，解題的關鍵是認真觀察圖形，用不同的形式表示圖形的面積．【變式8-1】（2023春·八年級課時練習）完全平方公式：a±b2例如：若a+b=3，ab=1，求a2解：因為a+b=3，所以a+b2=9，即：又因ab=1，所以a根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：

(1)若x+y=8，x2+y2=40(2)拓展：若4-xx=3，則4-x2(3)應用：如圖，在長方形ABCD中，AB=20，BC=12，點E、F是BC、CD上的點，且BE=DF=x，分別以FC、CE為邊在長方形ABCD外側(cè)作正方形CFGH和正方形CEMN，若長方形CEPF的面積為160，求圖中陰影部分的面積和．【答案】(1)12(2)10(3)384【分析】（1）利用完全平方公式進行計算，即可解答；（2）設4-x=a，x=b，則a+b=4，ab=3，然后完全平方公式進行計算，即可解答；（3）根據(jù)題意可得FC=20-x，CE=12-x，然后設FC=20-x=a，CE=12-x=b，則a-b=8，ab=160，最后利用完全平方公式進行計算，即可解答．【詳解】（1）解：∵x+y=8，x2∴2xy===64-40=24，∴xy=12．（2）解：設4-x=a，x=b，∴a+b=4-x+x=4，∵(4-x)x=3，∴ab=3，∴===16-6=10．（3）解：∵四邊形ABCD是長方形，∴AB=CD=20，AD=BC=12，∵BE=DF=x，∴FC=DC-DF=20-x，CE=BC-BE=12-x，設FC=20-x=a，CE=12-x=b，∴a-b=20-x-(12-x)=8，∵長方形CEPF的面積為160，∴FC?CE=(20-x)(12-x)=ab=160，∴正方形CFGH的面積+正方形CEMN的面積=C=====64+320=384，∴圖中陰影部分的面積和為384．【點睛】本題考查了整式的混合運算-化簡求值，完全平方公式的幾何背景，熟練掌握完全平方公式變形的計算是解題的關鍵．【變式8-2】（2023春·江蘇·八年級期中）【知識生成】通常情況下，通過用兩種不同的方法計算同一個圖形的面積，可以得到一個恒等式．如圖1，在邊長為a的正方形中剪掉一個邊長為b的小正方形a>b．把余下的部分沿虛線剪開拼成一個長方形（如圖2）．圖1中陰影部分面積可表示為：a2－b2，圖2中陰影部分面積可表示為(a+b)(a-b)，因為兩個圖中的陰影部分面積是相同的，所以可得到等式：a2－b2=(a+b)(a－b)；【拓展探究】圖3是一個長為2a，寬為2b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四個小長方形，然后按圖4的形狀拼成一個正方形．（1）用兩種不同方法表示圖4中陰影部分面積：方法1：，方法2：；（2）由(1)可得到一個關于（a+b）2、（a－b）2、ab的的等量關系式是；（3）若a+b＝10，ab＝5，則（a－b）2＝；【知識遷移】（4）如圖5，將左邊的幾何體上下兩部分剖開后正好可拼成如右圖的一個長方體．根據(jù)不同方法表示它的體積也可寫出一個代數(shù)恒等式：．【答案】（1）（a-b）2，（a+b）2-4ab；（2）（a+b）2-4ab=（a-b）2；（3）80；（4）x3-x=x（x+1）（x-1）【分析】（1）利用直接和間接的方法表示出陰影部分面積；（2）由陰影部分面積相等可得結(jié)果；（3）直接根據(jù)（2）的結(jié)論代入求值即可；（4）分別求得圖中幾何體的體積，然后根據(jù)原圖形與新圖形體積相等列出恒等式即可．【詳解】解：（1）方法1：直接根據(jù)正方形的面積公式得，（a-b）2，方法2：大正方形面積減去四種四個長方形的面積，即（a+b）2-4ab；（2）由陰影部分面積相等可得（a+b）2-4ab=（a-b）2；（3）由（a+b）2-4ab=（a-b）2，可得：102-4×5=（a-b）2，∴（a-b）2=80；（4）∵原幾何體的體積=x3-1×1?x=x3-x，新幾何體的體積=x（x+1）（x-1），∴恒等式為x3-x=x（x+1）（x-1）．【點睛】本題考查完全平方公式的幾何意義；能夠由面積相等，過渡到利用體積相等推導公式是解題的關鍵．【變式8-3】（2023春·江蘇·八年級期中）【知識生成】用兩種不同方法計算同一圖形的面積，可以得到一個等式，如圖1，是用長為a，寬為ba>b的四個相同的長方形拼成的一個大正方形，用兩種不同的方法計算陰影部分（小正方形）的面積，可以得到(a-b)2、【知識遷移】類似地，用兩種不同的方法計算同一個幾何體的體積，也可以得到一個等式，如圖2，觀察大正方體分割，可以得到等式：(a+b)3利用上面所得的結(jié)論解答下列問題：（1）已知x+y=6,xy=114，求（2）已知a+b=6,ab=7，求a3【答案】[知識生成]（a+b）2-4ab=（a-b）2；[知識遷移]（1）25；（2）90【分析】[知識生成]利用面積相等推導公式（a+b）2-4ab=（a-b）2；[知識遷移]利用體積相等推導(a+b)3（1）應用知識生成的公式，進行變形，代入計算即可；（2）應用知識生成的公式，進行變形，由知識遷移的等式可得結(jié)論．【詳解】[知識生成]方法一：已知邊長直接求面積為（a-b）2；方法二：陰影面積是大正方形面積減去四個長方形面積，∴面積為（a+b）2-4ab，∴由陰影部分面積相等可得（a+b）2-4ab=（a-b）2；故答案為：（a+b）2-4ab=（a-b）2；[知識遷移]（1）由（a+b）2-4ab=（a-b）2，可得（x-y）2=（x+y）2-4xy，∵x+y=6，xy=114∴（x-y）2=62-4×114∴（x-y）2=25，（2）∵a+b=6，ab=7，∴a3+b3=（a+b）3-3ab（a+b）=216-3×7×6=90．【點睛】本題考查完全平方公式的幾何意義；能夠由面積相等，過渡到利用體積相等推導公式是解題的關鍵．【題型9乘法公式中的新定義問題】【例9】（2023春·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期中）新定義：如果a，b都是非零整數(shù)，且a=4b，那么就稱a是“4倍數(shù)”．驗證：嘉嘉說：232-212是“4倍數(shù)”，琪琪說：122-6×12+9也是“4倍數(shù)”，判斷說得對（填“嘉嘉”、“琪琪【答案】嘉嘉【分析】利用平方差公式可將232-212變形為4×22，利用完全平方公式將122-6×12+9變形為【詳解】解：232因此232-212是122可知122-6×12+9不能寫成因此122-6×12+9不是“4倍數(shù)故嘉嘉說得對，琪琪說得不對．故答案為：嘉嘉．【點睛】本題考查平方差公式和完全平方公式，解題的關鍵是掌握平方差公式、完全平方公式，理解“4倍數(shù)”的定義．【變式9-1】（2023春·浙江金華·八年級統(tǒng)考期末）定義：兩個自然數(shù)的平方和加上這兩個自然數(shù)乘積的兩倍即可得到一個新的自然數(shù)，我們把這個新的自然數(shù)稱為“完全數(shù)”，例如：22+32+2×2×3=25，其中“25”就是一個“完全數(shù)”，則任取兩個自然數(shù)可得到小于200A．14個 B．15個 C．26個 D．60個【答案】A【分析】根據(jù)“完全數(shù)”的概念求解即可．【詳解】設兩個自然數(shù)分別為a，b由題意可得，a∴小于200且不重復的“完全數(shù)”有：1=0+12，4=1+12，9=1+22，16=2+22，25=2+32，36=3+32，49=3+42綜上所述，任取兩個自然數(shù)可得到小于200且不重復的“完全數(shù)”的個數(shù)有14個．故選：A．【點睛】此題考查了新定義，完全平方公式，理解“完全數(shù)”的定義是解題關鍵．【變式9-2】（2023春·廣東揭陽·八年級校聯(lián)考期中）現(xiàn)定義一種運算“⊕”，對任意有理數(shù)m，n規(guī)定：m⊕n=mnm-n，如：1⊕2=1×21-2=-2，則a+b【答案】2a2【分析】先根據(jù)新運算進行變形，再根據(jù)整式的運算法則進行計算即可．【詳解】解：a+b⊕=a+b=a+b=a=2a故答案為：2a【點睛】本題考查了整式的混合運算，新定義的運算，能正確根據(jù)整式的運算法則進行計算是解此題的關鍵．【變式9-3】（2023春·江蘇徐州·八年級統(tǒng)考期中）對于任意有理數(shù)a、b、c、d，定義一種新運算：ac(1)12-1(2)對于有理數(shù)x、y，若xkyxy是一個完全平方式，則(3)對于有理數(shù)x、y，若x+y=10，xy=22．①求2x-y?②將長方形ABCD和長方形CEFG按照如圖方式進行放置，其中點B、C、G在同一條直線上，點E在邊CD上，連接BD、BF．若AD=x，AB=nx，F(xiàn)G=y，EF=ny，圖中陰影部分的面積為45，求n的值．【答案】(1)-4(2)2或-2(3)①56；②2【分析】（1）直接根據(jù)ac（2）根據(jù)新定義得出x2+y（3）①先根據(jù)化簡，再利用完全平方公式變形求解即可；②根據(jù)圖形用含x，y的式子表示出陰影部分的面積，再根據(jù)①中的結(jié)果代入即可求出n．【詳解】（1）解：原式=1故答案為：-4；（2）原式=x∵是完全平方公式，∴k=2或-2．故答案為：2或-2；（3）①原式==4=x∵x+y=10，xy=22，∴x+y2=100，∴x=100-44=56；②由圖知：S陰影∴45=1化簡得nx∴nx由①得，x2+y∴56n-22=90，∴n=2【點睛】本題考查了新定義，完全平方公式的變形求解，熟練掌握新定義和完全平方公式是解答本題的關鍵．【題型10乘法公式的規(guī)律探究】【例10】（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）楊輝是我國南宋時著名的數(shù)學家，他發(fā)現(xiàn)了著名的三角系數(shù)表，它的其中一個作用是指導按規(guī)律寫出形如(a+b)n（其中n為正整數(shù)）展開式的系數(shù)，請你仔細觀察下表中的規(guī)律，填出(a+b)=a+b1=a+ba+b2=a2a+b3=(1)仔細觀察上邊的圖和下邊的式子，寫出a-b3=___________(2)直接在橫線上填數(shù)字：a+b4=a4+__________