專題1.1 菱形的性質(zhì)與判定【十大題型】（舉一反三）（北師大版）（原卷版）

專題1.1菱形的性質(zhì)與判定【十大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用菱形的性質(zhì)求角度】 1【題型2利用菱形的性質(zhì)求線段長】 2【題型3利用菱形的性質(zhì)求面積】 3【題型4利用菱形的性質(zhì)求坐標(biāo)】 4【題型5利用菱形的性質(zhì)證明】 5【題型6添加條件使四邊形是菱形】 6【題型7證明四邊形是菱形】 7【題型8利用菱形的性質(zhì)與判定求角度】 9【題型9利用菱形的性質(zhì)與判定求線段長】 10【題型10利用菱形的性質(zhì)與判定求面積】 11【知識(shí)點(diǎn)1菱形的性質(zhì)】定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．性質(zhì)：①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；②菱形的四條邊都相等；③菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；④菱形是軸對(duì)稱圖形，它有2條對(duì)稱軸，分別是兩條對(duì)角線所在直線．【題型1利用菱形的性質(zhì)求角度】【例1】（2023春·九年級(jí)單元測試）如圖，在菱形ABCD中，M，N分別在AB，CD上，且AM=CN，MN與AC交于點(diǎn)O，連接BO．若∠DAC=28°，則∠OBC的度數(shù)為______度．【變式1-1】（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，∠ABD=30°，則∠ADC的度數(shù)是（

）A．30° B．45° C．60° D．120°【變式1-2】（2023春·河南駐馬店·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在菱形ABCD中，∠ABC=76°，BA=BE，則∠BEA的度數(shù)為（

A．68° B．70° C．71° D．75°【變式1-3】（2023春·九年級(jí)單元測試）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，DH⊥AB于點(diǎn)H，連接OH，若AH=DH，則∠DHO=________．

【題型2利用菱形的性質(zhì)求線段長】【例2】（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在菱形ABCD中，連接AC、BD，若∠ABC=60°且AC=4，則BD長為（A．8 B．6 C．43 D．【變式2-1】（2023春·天津?yàn)I海新·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知菱形ABCD，AC=6，面積等于24，則菱形ABCD的周長等于______．

【變式2-2】（2023春·廣東廣州·九年級(jí)期中）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AC=16，BD=12，DE⊥BC，垂足為點(diǎn)E．則DE=_______．【變式2-3】（2023春·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，木制活動(dòng)衣帽架由3個(gè)全等的菱形掛鉤構(gòu)成，在A、E、F、C、G、H處安裝上、下兩排掛鉤，可以根據(jù)需要改變掛鉤間的距離，并在B，M處固定．已知菱形ABCD的邊長為10cm，要使兩排掛鉤的距離（即AC）為16cm，求【題型3利用菱形的性質(zhì)求面積】【例3】（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖，在?ABCD中，BC的垂直平分線EO交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)O，連接BE，CE，過點(diǎn)C作CF∥BE，交EO的延長線于點(diǎn)F，連接BF．若AD=8，CE=5，則四邊形BFCE的面積為

.【變式3-1】（2023春·廣東東莞·九年級(jí)校考期中）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線長分別為2和5，P是對(duì)角線AC上任意一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，C重合），且PE∥BC交AB于點(diǎn)E，PF∥CD交AD于點(diǎn)F，則陰影部分的面積是（

）

A．2 B．2.5 C．3 D．3.5【變式3-2】（2023春·黑龍江大慶·九年級(jí)校考期末）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD:∠B=1:3，DE⊥BC于點(diǎn)E，交對(duì)角線AC于點(diǎn)P．過點(diǎn)P作PF⊥CD于點(diǎn)F．若△PDF的周長為4．則菱形ABCD的面積為（）A．8 B．42 C．16 D．【變式3-3】（2023·福建泉州·泉州五中校考模擬預(yù)測）如圖，在菱形ABCD中，AB=6，∠D=60°．點(diǎn)P為邊CD上一點(diǎn)，且不與點(diǎn)C，D重合，連接BP，過點(diǎn)A作EF∥BP，且EF=BP，連接BE，PF，則四邊形BEFP的面積為__________．

【題型4利用菱形的性質(zhì)求坐標(biāo)】【例4】（2023·陜西西安·西安行知中學(xué)?？寄M預(yù)測）菱形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，BC交y軸于點(diǎn)D，連接AD，交OB于點(diǎn)E．已知點(diǎn)A2,0，∠C=60°，求點(diǎn)B

【變式4-1】（2023·廣東深圳·校考三模）如圖，四邊形ABCD是菱形，頂點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別是0,2，8,2，點(diǎn)D在x軸的正半軸上，則頂點(diǎn)B的坐標(biāo)是（

）A．4,4 B．5,4 C．2,4 D．4,2【變式4-2】（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，菱形OABC的頂點(diǎn)A在x軸上，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，4），點(diǎn)P是對(duì)角線OB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，﹣2），當(dāng)DP與AP之和最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為_____．

【變式4-3】（2023春·北京東城·九年級(jí)匯文中學(xué)?？计谥校┖?0°角的菱形A1B1C1B2，A2B2C2B3，A3B3C3B4，…，按如圖所示的方式放置在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A1，A2，A【題型5利用菱形的性質(zhì)證明】【例5】（2023春·河南駐馬店·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）【問題情境】數(shù)學(xué)探究課上，某興趣小組探究含60°角的菱形的性質(zhì)．如圖1，四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°．

(1)∠ABD的度數(shù)為______．【操作發(fā)現(xiàn)】(2)如圖2，小賢在菱形ABCD的對(duì)角線BD上任取一點(diǎn)P，以AP為邊向右側(cè)作菱形APEF，且∠APE=60°，連接DF．求證：△ABP≌△ADF．【拓展延伸】(3)在（2）的條件下，若BD=3．當(dāng)點(diǎn)E在BD上時(shí)，連接PF，求此時(shí)PF的長．【變式5-1】（2023春·吉林四平·九年級(jí)四平市第三中學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在對(duì)角線BD上，且BE=DF．

(1)求證：AE=CF；(2)若∠AEO=40°，求∠【變式5-2】（2023·四川巴中·?？级＃┰谌鐖D的菱形ABCD中，點(diǎn)P是BC邊上一點(diǎn)，連接AP，點(diǎn)E，F(xiàn)是AP上的兩點(diǎn)，連接DE，BF，使得∠AED=∠ABC，

(1)求證：∠BAF=(2)求證：DE=BF+EF．【知識(shí)點(diǎn)2菱形的判定】①一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；②四條邊都相等的四邊形是菱形．

③對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形（或“對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形”）．【題型6添加條件使四邊形是菱形】【例6】（2023春·安徽蚌埠·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，OA=OC，OB=OD，添加下列條件仍不能判斷四邊形ABCD是菱形的是（

）

A．BD平分∠ABC B．AC=BD C．AC⊥BD D．A【變式6-1】（2023·山西·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，連接DE，DF，當(dāng)△ABC滿足條件__________時(shí)，四邊形AEDF是菱形．（填寫一個(gè)你認(rèn)為恰當(dāng)?shù)臈l件即可）【變式6-2】（2023春·云南昭通·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點(diǎn)，要使四邊形EFGH是菱形，四邊形ABCD還應(yīng)滿足的一個(gè)條件是（

）A．AC=BD B．AC⊥BD C．AD=BC D．AB=DC【變式6-3】（2023春·安徽安慶·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AD上，點(diǎn)F在AD延長線上，且BE//CF．（1）求證：四邊形BECF是平行四邊形；（2）請(qǐng)?jiān)凇鰽BC中添加一個(gè)條件____________，使四邊形BECF是菱形，并說明理由．【題型7證明四邊形是菱形】【例7】（2023春·福建廈門·九年級(jí)廈門市松柏中學(xué)?？计谀┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在BC邊上，AE平分∠BAD，點(diǎn)F在AD邊上，EF∥AB．

(1)求證：四邊形ABEF是菱形；(2)若AB=6，BC=9，點(diǎn)P在線段AE上運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)直接寫出當(dāng)點(diǎn)P在什么位置時(shí)PC+PF取得最小值，最小值是多少．【變式7-1】（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線l分別與AD、BC所在的直線相交于點(diǎn)E、F．（點(diǎn)E不與點(diǎn)

(1)求證：△DOE≌(2)當(dāng)直線l⊥BD時(shí)，連接BE、DF，試判斷四邊形EBFD的形狀，并說明理由．【變式7-2】（2023·湖北襄陽·校考二模）如圖，過平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)O的直線PQ分別交邊AB，CD于點(diǎn)P，Q

(1)過點(diǎn)O作直線PQ垂線，分別交邊BC，DA于點(diǎn)M，N（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)順次連接點(diǎn)P，M，Q，N．求證：四邊形PMQN是菱形【變式7-3】（2023春·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AE平分∠CAB交CB于點(diǎn)E，CD⊥AB于點(diǎn)D，交AE于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作GF∥BC交AB于F，連接EF(1)求證：CG=CE；(2)判斷四邊形CGFE的形狀，并證明；(3)若AC=3cm，BC=4【題型8利用菱形的性質(zhì)與判定求角度】【例8】（2023春·黑龍江雙鴨山·九年級(jí)校聯(lián)考期中）（1）如圖，請(qǐng)用直尺和圓規(guī)在△ABC的邊BC，AC，AB上分別取點(diǎn)D，E，F(xiàn)，連接ED，EF，使得四邊形BDEF為菱形（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）的條件下，若∠A=67°，∠C=63°，求【變式8-1】（2023·湖北襄陽·?？家荒＃┤鐖D，?ABCD中，AB=AD，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，連接CE、DE，且BC=CE，若∠BCE=40°，則∠ADE=______．【變式8-2】（2023春·浙江杭州·九年級(jí)杭州外國語學(xué)校?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)F在正五邊形ABCDE的內(nèi)部，四邊形ABFE是平行四邊形，則∠DAF等于（）A．18° B．24° C．30° D．36°【變式8-3】（2023春·浙江寧波·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD．點(diǎn)E,F在對(duì)角線AC上，且AE=CF,DF//BE，（1）求證：△ABE?△CDF；（2）連接BD，交AC于點(diǎn)O，若BD⊥AC，四邊形ABCD周長為16,AC=43，求∠DAB【題型9利用菱形的性質(zhì)與判定求線段長】【例9】（2023春·湖北宜昌·九年級(jí)校考期中）如圖，兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，重疊的部分為四邊形ABCD，若AC=6cm，BD=8cm，線段AB的長為（A．4cm B．4.6cm C．4.8cm【變式9-1】（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，?ABCD中，AB=AD=6，∠DAB=60°，F(xiàn)為AC上一點(diǎn)，E為AB中點(diǎn)，則EF+BF的最小值為（

）

A．6 B．3 C．4 D．3【變式9-2】（2023春·全國·九年級(jí)期末）如圖，E，F(xiàn)是平行四邊形ABCD對(duì)角線BD上兩點(diǎn)，且BE＝DF，若∠BAF＝90°，AB＝4，AF＝AE＝3，則AC的長為（）A．2.4 B．3.6 C．4.8 D．6【變式9-3】（2023春·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=6，點(diǎn)E、F分別在AB、BC上，沿EF將△EBF翻折使頂點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'落在AC上，若EB'⊥AC，則EF等于__________．【題型10利用菱形的性質(zhì)與判定求面積】【例10】（2023春·山東德州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在?ABCD中，用直尺和圓規(guī)作∠BAD的平分線AG交BC于點(diǎn)E，以A為圓心，AB為半徑的弧交AD于點(diǎn)F，連接EF．若BF＝6，AB＝5，則四邊形ABEF面積是（）A．12 B．24 C．36 D．48【變式10-1】（2023春·浙江·九年級(jí)期末）已知：在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，AC=8,BD=6（1）如圖1，若AC⊥BD，則四邊形ABCD的面積長＝_________；周長＝________；（2）如圖2，若AC與BD的夾角∠AOB=60°，求四邊形ABCD的面積和周長；（3）如圖3，若把題目中“平行四邊形ABCD”改為“四邊形ABCD”，且∠AOB=45°，AC=a，BD=b，試求四邊形ABCD的面積（用含a，b的代數(shù)式表示）．【變式10-2】（2023春·江蘇·九年級(jí)期末）如圖，BD是△ABC的角平分線，過點(diǎn)作DE∥BC交AB于點(diǎn)E，DF∥AB交BC于點(diǎn)F．

(1)