2023-2024學(xué)年福建省廈門十中九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷

2023-2024學(xué)年福建省廈門十中九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題有10小題，每小題4分，共40分，每小題都有四個選項，其中有且只有一個選項正確）1．（4分）一元二次方程3x2﹣2x+5＝0的一次項系數(shù)是（）A．3 B．﹣2 C．2 D．52．（4分）將拋物線y＝x2向下平移1個單位長度，得到的拋物線的解析式為（）A．y＝x2﹣1 B．y＝x2+1 C．y＝（x﹣1）2 D．y＝（x+1）23．（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，點（1，3）關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是（）A．（﹣1，﹣3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（3，1）4．（4分）如圖，E是正方形ABCD中CD邊上的點，以點A為中心，把△ADE順時針旋轉(zhuǎn)，得到△ABF．下列角中，是旋轉(zhuǎn)角的是（）A．∠DAE B．∠EAB C．∠DAB D．∠DAF5．（4分）拋物線y＝ax2+2x+c的對稱軸是（）A．x＝﹣ B．x＝﹣ C．x＝ D．x＝6．（4分）函數(shù)y＝﹣x2+1的圖象大致為（）A． B． C． D．7．（4分）受國際油價影響，2022年六月底某地92號汽油的價格是9.4元/升，八月底的價格8.4元/升．假設(shè)該地92號汽油價格這兩個月每月的平均下降率相同，設(shè)為x．根據(jù)題意列出的方程正確的是（）A．9.4（1﹣x2）＝8.4 B．9.4（1﹣x）2＝8.4 C．8.4（1+x）2＝9.4 D．9.4（1+x）2＝8.48．（4分）已知拋物線y＝x2﹣2x+m﹣1與x軸有交點，則m的取值范圍是（）A．m＞0 B．m≤0 C．m＞2 D．m≤29．（4分）如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜180°），得到△ADE，這時點B旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點D恰好在直線BC上，則下列結(jié)論不一定正確的是（）A．∠ACD＝∠EAD B．∠ABC＝∠ADC C．∠EAC＝α D．∠EDC＝180°﹣α10．（4分）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸的交點為A（1，0）和B（3，0），點P1（x1，y1），P2（x2，y2）是拋物線上不同于A，B的兩個點，記△P1AB的面積為S1，△P2AB的面積為S2，則下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)x1＞x2+2時，S1＞S2 B．當(dāng)x1＜2﹣x2時，S1＜S2 C．當(dāng)|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1時，S1＞S2 D．當(dāng)|x1﹣2|＞|x2+2|＞1時，S1＜S2二、填空題（本大題有6小題，每小題4分，共24分）11．（4分）一元二次方程x2＝9的解是．12．（4分）二次函數(shù)y＝﹣2（x﹣1）2+3的對稱軸是直線．13．（4分）已知一元二次方程x2+kx﹣7＝0有一根為1，則k的值為．14．（4分）如圖，△ABC與△DEC關(guān)于點C成中心對稱，，AE＝3，∠D＝90°，則AC＝．15．（4分）如圖是某公園一座拋物線型拱橋，按如圖所示建立坐標(biāo)系，得到函數(shù)，在正常水位時水面寬AB＝30米，當(dāng)水位上升5米時，則水面寬CD＝米．16．（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)為（﹣8，0），直線BC經(jīng)過點B（﹣8，6），C（0，6），將四邊形OABC繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)α度（0＜a≤180°）得到四邊形OA'B'C'，此時直線OA′、直線B'C'分別與直線BC相交于P、Q．在四邊形OABC旋轉(zhuǎn)過程中，若，則點P的橫坐標(biāo)為．三、解答題（本大題有9小題，共86分）17．解方程：（1）（x﹣1）2＝4；（2）x2﹣3x+1＝0．18．（7分）如圖，點B，F(xiàn)，C，E在一條直線上，BF＝CE，AB∥DE，∠A＝∠D．求證：AC＝DF．19．（8分）先化簡，再求值：（1﹣）÷，其中．20．（8分）已知二次函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)是（1，﹣4），且經(jīng)過點（0，﹣3）．（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）在平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象．21．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，點B、C的對應(yīng)點分別為D、E，點D落在AC邊上．（1）尺規(guī)作圖：作出△ADE（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）連接CE，若AB＝3，BC＝4，求CE的長．22．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣tx+t﹣1＝0．（1）求證：對于任意實數(shù)t，方程都有實數(shù)根；（2）設(shè)y＝x2﹣tx+t﹣1，t為常數(shù)，函數(shù)y＝x2﹣tx+t﹣1的圖象經(jīng)過點（﹣1，﹣6），求此函數(shù)與x軸的交點坐標(biāo)．23．某工廠及時引進了一條一次性注射器生產(chǎn)線生產(chǎn)一次性注射器，最大產(chǎn)量為900萬個/天．若每增加1條生產(chǎn)線，每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)量將減少20萬個/天（1）當(dāng)該廠增加5條生產(chǎn)線時，每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)量為萬個/天；（2）若該廠要保證每天生產(chǎn)一次性注射器4100萬個，在增加一定數(shù)量生產(chǎn)線的同時又要節(jié)省投入（生產(chǎn)線越多，投入越大），求增加的生產(chǎn)線數(shù)量；（3）若該廠最多可以容納20條生產(chǎn)線，該廠每天生產(chǎn)一次性注射器能否達到10900萬個，若能，應(yīng)該增加幾條生產(chǎn)線？若不能，請說明理由．24．在△ABC中，∠B＝∠C＝α（0°＜α＜45°），AM⊥BC于點M，D是線段MC上的動點（不與點M，C重合），將線段DM繞點D順時針旋轉(zhuǎn)2α得到線段DE．（1）如圖1，當(dāng)點E在線段AC上時，求證：D是MC的中點；（2）如圖2，若在線段BM上存在點F（不與點B，M重合）滿足DF＝DC，連接AE，EF，直接寫出∠AEF的大小，并證明．25．如圖，拋物線y＝ax2﹣2ax+c與x軸交于點A（﹣2，0）和B兩點，點C（6，4）在拋物線上．（1）求拋物線解析式；（2）如圖1，D為y軸左側(cè)拋物線上一點，且∠DCA＝2∠CAB，求點D的坐標(biāo)；（3）如圖2，直線y＝mx+n與拋物線交于點E、F，連接CE、CF分別交y軸于點M、N，若OM?ON＝3．求證：直線EF經(jīng)過定點，并求出這個定點的坐標(biāo)．

2023-2024學(xué)年福建省廈門十中九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題有10小題，每小題4分，共40分，每小題都有四個選項，其中有且只有一個選項正確）1．解：一元二次方程3x2﹣2x+5＝0的一次項系數(shù)是﹣2．故選：B．2．【解答】解將拋物線y＝x2向下平移1個單位長度，得到的拋物線的解析式為：y＝x2﹣1．故選：A．3．解：點A（1，3）關(guān)于原點O對稱的點A1的坐標(biāo)是：（﹣1，﹣3）．故選：A．4．解：∵以點A為中心，把△ADE順時針旋轉(zhuǎn)，得到△ABF，∴旋轉(zhuǎn)角為∠DAB或∠EAF，故選：C．5．解：拋物線y＝ax2+2x+c的對稱軸是直線x＝﹣＝﹣．故選：A．6．解：∵二次項系數(shù)a＜0，∴開口方向向下，∵一次項系數(shù)b＝0，∴對稱軸為y軸，∵常數(shù)項c＝1，∴圖象與y軸交于（0，1），故選：B．7．解：根據(jù)題意得9.4（1﹣x）2＝8.4，故選：B．8．解：∵拋物線與x軸有交點，∴Δ＝b2﹣4ac≥0，即（﹣2）2﹣4（m﹣1）≥0，解得m≤2．故選：D．9．解：∵將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜180°），得到△ADE，∴△ABC≌△DAE，∠ABC＝∠ADE，∠BAD＝∠EAC＝α，AB＝AD，所以C選項不符合題意；∵△ABC≌△DAE，∴∠EAD＝∠CAB，∵∠ACD＞∠CAB，∴∠ACD＞∠EAD，所以A選項符合題意；∵AB＝AD，∴∠ABC＝∠ADC，所以B選項不符合題意；∵∠EDC＝∠ADE+∠ADC，而∠ADE＝∠ABC，∴∠EDC＝∠ABC+∠ADC＝180°﹣∠BAD＝180°﹣α，所以D選項不符合題意．故選：A．10．解：不妨假設(shè)a＞0．A．如圖1中，P1，P2滿足x1＞x2+2，∵P1P2∥AB，∴S1＝S2，故A錯誤．B．當(dāng)x1＝﹣2，x2＝﹣1，滿足x1＜2﹣x2，則S1＞S2，故B錯誤．C．∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1，∴P1，P2在x軸的上方，且P1離x軸的距離比P2離x軸的距離大，∴S1＞S2，故C正確．D．如圖2中，P1，P2滿足|x1﹣2|＞|x2+2|＞1，但是S1＝S2，故④錯誤．故結(jié)論正確的是：C．同理，a＜0時，結(jié)論正確的是：C．故答案為：C．二、填空題（本大題有6小題，每小題4分，共24分）11．解：x2＝9解得：x1＝3，x2＝﹣3．故答案為：x1＝3，x2＝﹣3．12．解：∵y＝﹣2（x﹣1）2+3，∴拋物線對稱軸為直線x＝1，故答案為：x＝1．13．解：把x＝1代入方程x2+kx﹣7＝0得1+k﹣7＝0，解得k＝6．故答案為6．14．解：∵△ABC與△DEC關(guān)于點C成中心對稱，∴AC＝CD，DE＝AB＝，∵AE＝3，∠D＝90°，∴AD＝＝＝2，∴AC＝AD＝1，故答案為：1．15．解：∵AB＝30米，∴當(dāng)x＝15時，y＝﹣×152＝﹣9，當(dāng)水位上升5米時，y＝﹣4，把y＝﹣4代入y＝﹣x2得：﹣4＝﹣x2，解得x＝±10，此時水面寬CD＝20米，故答案為：20．16．解：過點Q畫QH⊥OA′于H，連接OQ，則QH＝OC′＝OC，∵S△POQ＝PQ?OC，S△POQ＝OP?QH，∴PQ＝OP．設(shè)BP＝x，∵BP＝BQ，∴BQ＝2x，∵點P在點B右側(cè)，∴OP＝PQ＝BQ﹣BP＝x，PC＝8﹣x．在Rt△PCO中，（8﹣x）2+62＝x2，解得x＝．∴PC＝BC﹣BP＝8﹣＝，∴P（﹣，6）．故答案為：（﹣，6）．三、解答題（本大題有9小題，共86分）17．解：（1）（x﹣1）2＝4，x﹣1＝±2，x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，x1＝3，x2＝﹣1；（2）x2﹣3x+1＝0，∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×1＝9﹣4＝5＞0，∴x＝，∴x1＝，x2＝．18．【解答】證明：∵FB＝CE∴BC＝EF又∵AB∥ED∴∠B＝∠E在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（AAS）∴AC＝DF19．解：原式＝?＝，當(dāng)x＝﹣2時，原式＝＝1﹣．20．解：（1）已知二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)是（1，﹣4），可設(shè)解析式為y＝a（x﹣1）2﹣4，把（0，﹣3）代入上式，得：﹣3＝a﹣4，即a＝1，∴y＝（x﹣1）2﹣4，故該二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；（2）當(dāng)x＝0時，y＝﹣3，∴與y軸的交點為（0，﹣3），當(dāng)y＝0時，則x2﹣2x﹣3＝0，即（x+1）（x﹣3）＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴與x軸交點坐標(biāo)為：（﹣1，0），（3，0），如圖：．21．解：（1）如圖，△ADE即為所求．（2）由旋轉(zhuǎn)可得，AD＝AB＝3，DE＝BC＝4，∠ADE＝90°，∴∠CDE＝90°，由勾股定理得，AC＝＝5，∴CD＝AC﹣AD＝2，在Rt△CDE中，由勾股定理得，CE＝＝＝，∴CE的長為．22．【解答】（1）證明：∵Δ＝（﹣t）2﹣4×（t﹣1）＝（t﹣2）2≥0，∴對于任意實數(shù)t，方程都有實數(shù)根；（2）解：∵函數(shù)y＝x2﹣tx+t﹣1的圖象經(jīng)過點（﹣1，﹣6），∴﹣6＝1+t+t﹣1，∴t＝﹣3，∴函數(shù)為y＝x2+3x﹣4，令y＝0，則x2+3x﹣4＝0，解得x1＝﹣4，x2＝1，∴此函數(shù)與x軸的交點坐標(biāo)為（﹣4，0），（1，0）．23．解：（1）900﹣5×20＝800（萬個/天），故答案為：800；（2）設(shè)增加m條生產(chǎn)線，根據(jù)題意得：（900﹣20m）?（m+1）＝4100，解得m＝4或m＝40，∵增加一定數(shù)量生產(chǎn)線的同時又要節(jié)省投入，∴m＝4，∴增加4條生產(chǎn)線；（3）設(shè)增加x條生產(chǎn)線，0≤x≤19，根據(jù)題意得：（900﹣20x）（x+1）＝10900，整理得：x2﹣44x+500＝0；Δ＝（﹣44）2﹣4×500＝﹣64＜0，∴原方程無實數(shù)解，∴該廠每天生產(chǎn)一次性注射器不能達到10900萬個．24．【解答】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：DM＝DE，∠MDE＝2α，∵∠C＝α，∴∠DEC＝∠MDE﹣∠C＝α，∴∠C＝∠DEC，∴DE＝DC，∴DM＝DC，即D是MC的中點；（2）∠AEF＝90°，證明：如圖，延長FE到H使FE＝EH，連接CH，AH，∵DF＝DC，∴DE是△FCH的中位線，∴DE∥CH，CH＝2DE，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：DM＝DE，∠MDE＝2α，∴∠FCH＝2α，∵∠B＝∠C＝α，∴∠ACH＝α，△ABC是等腰三角形，∴∠B＝∠ACH，AB＝AC設(shè)DM＝DE＝m，CD＝n，則CH＝2m，CM＝m+n，.DF＝CD＝n，∴FM＝DF﹣DM＝n﹣m，∵AM⊥BC，∴BM＝CM＝m+n，∴BF＝BM﹣FM＝m+n﹣（n﹣m）＝2m，∴CH＝BF，在△ABF和△ACH中，，∴△ABF≌△ACH（SAS），∴AF＝AH，∵FE＝EH，∴AE⊥FH，即∠AEF＝90°，25．【解答】（1）解：將點A、C的坐標(biāo)代入拋物線表達式，得，解得，∴拋物線的表達式為y＝x2﹣x﹣2；（2）解：延長DC交x軸于點M，∵∠DCA＝2∠CAB，∴∠CAB＝∠CMA，∴CA＝CM，過點C作CQ⊥AM于點Q，則QM＝AQ＝8，∴點M坐標(biāo)為（14，0），由點C、M的坐標(biāo)得，直線DM的解析式為：y＝x+7，令y＝x+7＝x2﹣x﹣2，解得x＝﹣6或6（舍去），∴x＝﹣6，y＝×（﹣6）+7＝10，∴點D坐標(biāo)為（﹣6，10）；（3）證明：設(shè)直線CE的表達式為y＝kx+b，將點C的坐標(biāo)代入上式并解得b＝4﹣6k，故直線CE解析式為：y＝kx﹣6k