2023-2024學(xué)年江西省南昌市西湖區(qū)立德朝陽中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年江西省南昌市西湖區(qū)立德朝陽中學(xué)九年級(jí)第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題。（本大題共6小題，每小題3分，共18分）在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是最符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填涂在答題卡相應(yīng)位置.錯(cuò)選、多選或未選均不得分。1．在如圖所示標(biāo)志中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．2．不透明的袋子中只有4個(gè)黑球和2個(gè)白球，這些球除顏色外無其他差別，隨機(jī)從袋子中一次摸出3個(gè)球，下列事件是不可能事件的是（）A．3個(gè)球都是黑球 B．3個(gè)球都是白球 C．3個(gè)球中有黑球 D．3個(gè)球中有白球3．如圖，∠DCE是⊙O內(nèi)接四邊形ABCD的一個(gè)外角，若∠DCE＝82°，那么∠BOD的度數(shù)為（）A．160° B．162° C．164° D．170°4．小明將圖案繞某點(diǎn)連續(xù)旋轉(zhuǎn)若干次，每次旋轉(zhuǎn)相同角度α，設(shè)計(jì)出一個(gè)外輪廓為正六邊形的圖案（如圖），則α可以為（）A．30° B．60° C．90° D．120°5．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'B'C，其中點(diǎn)A'與點(diǎn)A是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)B'與點(diǎn)B是對(duì)應(yīng)點(diǎn)．若點(diǎn)B'恰好落在AB邊上，則點(diǎn)A到直線A'C的距離等于（）A．1 B． C． D．6．斐波那契數(shù)列指的是這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，…（從第3個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)是前面兩數(shù)的和）．如圖，用以這些數(shù)為邊長的正方形拼成長方形，在以這些數(shù)為邊長的正方形中作出圓心角為90°的圓弧，則接下來一段圓弧對(duì)應(yīng)的扇形面積是（）A． B．16π C． D．二、填空題。（本大題共6小題，每小題3分，共18分）7．若點(diǎn)P（m，1）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)Q（﹣2，n），那么m+n＝．8．將含有30°角的直角三角板OAB如圖所示放置在平面直角坐標(biāo)系中，OB在x軸上，若，將三角板繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為．9．若一個(gè)扇形的半徑是18cm，且它的弧長是6πcm，則此扇形的圓心角等于．10．如圖，把Rt△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)44°，得到Rt△AB'C'，點(diǎn)C'恰好落在邊AB上，連接BB'，則∠BB'C'＝度．11．如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，⊙I是△ABC的內(nèi)切圓，則⊙O的半徑與⊙I的半徑的比值是．12．如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AC＝2，以點(diǎn)C為圓心，1為半徑作圓，點(diǎn)P為⊙C上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，并繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AP′，連接CP′，則CP′的取值范圍是．三、解答題。（本大題共5小題，每小題6分，共30分）13．（1）一個(gè)口袋中有3個(gè)黑球和若干個(gè)白球，在不允許將球倒出來的前提下，小明為估計(jì)其中的白球數(shù)，采用了如下的方法：從口袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色，然后把它放回口袋中，搖勻后再隨機(jī)摸出一球，記下顏色，…，不斷重復(fù)上述過程，小明共摸了100次，其中20次摸到黑球根據(jù)上述數(shù)據(jù)，估計(jì)口袋中的白球大約有多少個(gè)？（2）如圖，P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，△ABP繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后能到達(dá)△CBE的位置．若BP＝3cm，求線段PE的長．14．HUAWEIMate60Pro于8月29日上市，該系列完成了核心技術(shù)領(lǐng)域從0到1的躍遷，讓無數(shù)國人為之自豪并被贊譽(yù)為“爭氣機(jī)”．手機(jī)背面有一條圓弧，象征著以山河之美致敬奔騰不息的力量．圓弧對(duì)應(yīng)的弦AB長80mm，弓形高CD長14mm求半徑OA的長．15．創(chuàng)新作圖如圖是由小正方形構(gòu)成的7×7網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．⊙O經(jīng)過A、B、C三個(gè)格點(diǎn)，連接AB，AC，BC，僅用無刻度直尺在給定網(wǎng)格中按要求畫圖．（不寫作法）（1）在圓上找點(diǎn)D，使得∠BAD＝90°；（2）在劣弧BC上找點(diǎn)D，使得∠CBD＝45°．16．家庭成員尤其是父母對(duì)待日常生活和工作的態(tài)度和處事方法都會(huì)對(duì)孩子有潛移默化的影響，父母在教育孩子認(rèn)識(shí)問題和解決問題方面對(duì)孩子采取怎樣的指導(dǎo)、幫助、要求，都會(huì)形成孩子對(duì)待問題的方式．為此，某校舉行了一次“智慧家長”系列講座活動(dòng)，活動(dòng)過程中，甲、乙、丙、丁四位家長踴躍發(fā)言，積極互動(dòng)．活動(dòng)后校方準(zhǔn)備從這四位家長中隨機(jī)抽選一位作為家長代表做總結(jié)發(fā)言，并從剩下的三位家長中隨機(jī)抽選一位做進(jìn)一步訪談?wù){(diào)查．（1）選擇家長乙作為家長代表做總結(jié)發(fā)言的概率為；（2）請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖的方法求家長甲作為家長代表做總結(jié)發(fā)言，且家長丁被抽選做進(jìn)一步訪談?wù){(diào)查的概率．17．如圖1中的某種冰激凌的外包裝可以視為圓錐（如圖2），制作這種外包裝需要用如圖3所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC將扇形EAF圍成圓錐時(shí)，AE、AF恰好重合，已知這種加工材料的頂角∠BAC＝90°．（1）求圖2中圓錐底面圓直徑ED與母線AD長的比值；（2）若圓錐底面圓的直徑ED為5cm，求加工材料剩余部分（圖3中陰影部分）的面積．（結(jié)果保留π）四、解答題。（本大題共3小題，每小題8分，共24分）18．某超市設(shè)計(jì)的“春節(jié)大酬賓”促銷活動(dòng)如下：在一個(gè)不透明的箱子里放有4個(gè)相同的小球，球上分別標(biāo)有“0元”“20元”“20元”和“40元”的字樣，規(guī)定：在本超市同一日內(nèi)，顧客每消費(fèi)滿200元，就可以在箱子里先后摸出兩個(gè)球（第一次摸出后不放回）．超市根據(jù)兩個(gè)小球所標(biāo)金額的和直接進(jìn)行減價(jià)優(yōu)惠，李叔叔剛好消費(fèi)200元．（1）從箱子里任意摸出一個(gè)球，摸到球上標(biāo)有“50元”字樣的球是事件；摸到球上標(biāo)有“0元”字樣的球是事件；（均填“不可能”“必然”或“隨機(jī)”）（2）求出李叔叔所獲得的優(yōu)惠金額大于50元的概率．（列表或畫樹狀圖求解）19．如圖1，重慶特色的九宮格火鍋分九格：四角格、十字格、中心格（中心格一般為正方形）．隔板的設(shè)計(jì)有以下兩種：①橫縱隔板兩兩垂直交于隔板的三等分點(diǎn)如圖2所示；②橫縱隔板兩兩垂直交于圓鍋邊緣（圓）八等分點(diǎn)如圖3所示．已知圓鍋直徑為40cm．（1）求圖2的中心格面S1；（2）求兩種設(shè)計(jì)的中心格面積S1與S2差．20．在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜90°）得△A1BC1，A1B交AC于點(diǎn)E，A1C1分別交AC、BC于D、F兩點(diǎn)．（1）如圖1，觀察并猜想，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段BE與BF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；（2）如圖2，當(dāng)α＝30°時(shí)，試判斷四邊形BC1DA的形狀，并說明理由．五、解答題。（本大題共2小題，每小題9分，共18分）21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AB∥OC，A（0，）、C（﹣4，0），且AB＝2．以BC為直徑作⊙O1交OC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作直線DE交線段OA于點(diǎn)E，且∠EDO＝30°（1）求證：DE是⊙O1的切線；（2）若線段BC上存在一點(diǎn)P，使以點(diǎn)P為圓心，PC為半徑的⊙P與y軸相切，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．22．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接DE，將DE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F，連接EF，AE，CF．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在邊AC上時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段AE，CF之間的數(shù)量關(guān)系，位置關(guān)系；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在△ABC內(nèi)部時(shí)，判斷（1）中結(jié)論是否依然成立，并說明理由；（3）AE＝5，DE＝3，若A，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，請(qǐng)直接寫出線段BE的值．六、解答題。（本大題共12分）23．【教材呈現(xiàn)】以下是人教版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材第50頁的部分內(nèi)容．如圖，直線l1∥l2，△ABC與△DBC的面積相等嗎？為什么？【基礎(chǔ)鞏固】如圖1，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，直徑MN∥AD，求陰影面積與圓面積的比值；【嘗試應(yīng)用】如圖2，在半徑為5的⊙O中，BD＝CD，∠ACO＝2∠BDO，AB＝4，求S△ABC；【拓展提高】如圖3，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P是OB上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作弦CD⊥AB于點(diǎn)P，點(diǎn)F是⊙O上的點(diǎn)，且滿足CF＝CB，連接BF交CD于點(diǎn)E，若BF＝8EP，，求⊙O的半徑．

參考答案一、單項(xiàng)選擇題。（本大題共6小題，每小題3分，共18分）在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是最符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填涂在答題卡相應(yīng)位置.錯(cuò)選、多選或未選均不得分。1．在如圖所示標(biāo)志中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念求解．解：A．是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；B．既是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形，符合題意；C．是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；D．不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形的知識(shí)，關(guān)鍵是掌握好中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念．軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，圖形旋轉(zhuǎn)180°后與原圖重合．2．不透明的袋子中只有4個(gè)黑球和2個(gè)白球，這些球除顏色外無其他差別，隨機(jī)從袋子中一次摸出3個(gè)球，下列事件是不可能事件的是（）A．3個(gè)球都是黑球 B．3個(gè)球都是白球 C．3個(gè)球中有黑球 D．3個(gè)球中有白球【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷相應(yīng)事件的類型．解：A、3個(gè)球都是黑球是隨機(jī)事件；B、3個(gè)球都是白球是不可能事件；C、3個(gè)球中有黑球是必然事件；D、3個(gè)球中有白球是隨機(jī)事件；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．3．如圖，∠DCE是⊙O內(nèi)接四邊形ABCD的一個(gè)外角，若∠DCE＝82°，那么∠BOD的度數(shù)為（）A．160° B．162° C．164° D．170°【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)證得∠DCE＝∠A，在根據(jù)圓周角定理求出∠BOD即可．解：∵∠DCE+∠BCD＝180°，∠A+∠BCD＝180°，∴∠A＝∠BCD，∵∠BCD＝82°，∴∠A＝82°，∴∠BOD＝164°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)，在應(yīng)用此性質(zhì)時(shí)，要注意與圓周角定理結(jié)合起來．在應(yīng)用時(shí)要注意是對(duì)角，而不是鄰角互補(bǔ)．4．小明將圖案繞某點(diǎn)連續(xù)旋轉(zhuǎn)若干次，每次旋轉(zhuǎn)相同角度α，設(shè)計(jì)出一個(gè)外輪廓為正六邊形的圖案（如圖），則α可以為（）A．30° B．60° C．90° D．120°【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義確定兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置，求得其與O點(diǎn)連線的夾角即可求得旋轉(zhuǎn)角．解：如圖，當(dāng)經(jīng)過一次旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)B的位置上，此時(shí)∠COB＝360°÷6＝60°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)圖案，解題的關(guān)鍵是能夠找到一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)確定旋轉(zhuǎn)角，從而確定旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)，難度不大．5．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'B'C，其中點(diǎn)A'與點(diǎn)A是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)B'與點(diǎn)B是對(duì)應(yīng)點(diǎn)．若點(diǎn)B'恰好落在AB邊上，則點(diǎn)A到直線A'C的距離等于（）A．1 B． C． D．【分析】由直角三角形的性質(zhì)求出AC＝，∠B＝60°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出CA＝CA′，CB＝CB′，∠ACA′＝∠BCB′，證出△CBB′和△CAA′為等邊三角形，過點(diǎn)A作AD⊥A'C于點(diǎn)D，由等邊三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)可得出答案解：連接AA′，如圖，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，∴AC＝BC＝，∠B＝60°，∵將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C，∴CA＝CA′，CB＝CB′，∠ACA′＝∠BCB′，∵CB＝CB′，∠B＝60°，∴△CBB′為等邊三角形，∴∠BCB′＝60°，∴∠ACA′＝60°，∴△CAA′為等邊三角形，過點(diǎn)A作AD⊥A'C于點(diǎn)D，∴CD＝AC＝，∴AD＝CD＝＝，∴點(diǎn)A到直線A'C的距離為，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了直角三角形的性質(zhì)及等邊三角形的判定與性質(zhì)．6．斐波那契數(shù)列指的是這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，…（從第3個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)是前面兩數(shù)的和）．如圖，用以這些數(shù)為邊長的正方形拼成長方形，在以這些數(shù)為邊長的正方形中作出圓心角為90°的圓弧，則接下來一段圓弧對(duì)應(yīng)的扇形面積是（）A． B．16π C． D．【分析】由扇形面積公式，即可求解．解：×π×（5+8）2＝×169×π＝π．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查扇形面積的計(jì)算，規(guī)律型：數(shù)字的變化類，關(guān)鍵是掌握扇形的面積公式．二、填空題。（本大題共6小題，每小題3分，共18分）7．若點(diǎn)P（m，1）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)Q（﹣2，n），那么m+n＝1．【分析】根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，它們的橫縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)，可得m、n的值，即可解答．解：∵點(diǎn)P（m，1）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是Q（﹣2，n）∴m＝2，n＝﹣1，∴m+n＝2﹣1＝1．故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，關(guān)鍵是掌握點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律．8．將含有30°角的直角三角板OAB如圖所示放置在平面直角坐標(biāo)系中，OB在x軸上，若，將三角板繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（3，﹣3）．【分析】如圖，過點(diǎn)A′作A′H⊥OB于點(diǎn)H．解直角三角形求出OH，A′H可得結(jié)論．解：如圖，過點(diǎn)A′作A′H⊥OB于點(diǎn)H．在Rt△OAB中，∠AOB＝30°，AB＝2，∴OB＝4，OA＝6，∵將三角板繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，∴OA′＝OA＝6，∠A′OB′＝30°，在Rt△OA′H中，∠OHA′＝90°，∠A′OH＝60°，∴OH＝OA′?cos60°＝3，A′H＝3，∴A′（3，﹣3），故答案為：（3，﹣3）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．9．若一個(gè)扇形的半徑是18cm，且它的弧長是6πcm，則此扇形的圓心角等于60°．【分析】利用弧長公式求解即可．解：設(shè)圓心角為n°．由題意6π＝，解得n＝60，故答案為：60°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是弧長的計(jì)算，掌握弧長的公式l＝是解題的關(guān)鍵．10．如圖，把Rt△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)44°，得到Rt△AB'C'，點(diǎn)C'恰好落在邊AB上，連接BB'，則∠BB'C'＝22度．【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠BAB'＝44°，AB＝AB'，求出∠ABB'的度數(shù)即可求解．解：∵把Rt△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)44°，得到Rt△AB'C'，點(diǎn)C'恰好落在邊AB上，∴∠BAB'＝44°，AB＝AB'，∴∠ABB'＝＝68°，又∵∠BC'B'＝90°，∴∠BB'C'＝90°﹣68°＝22°，故答案為：22．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟記旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，⊙I是△ABC的內(nèi)切圓，則⊙O的半徑與⊙I的半徑的比值是+1．【分析】連接OB，則點(diǎn)I在OB上，設(shè)⊙I與BC相切于點(diǎn)E，連接IE，并設(shè)⊙I的半徑為r，則OB為⊙O的半徑，OI為⊙I的半徑，解等腰直角三角形BEI即可得出答案．解：連接OB，則點(diǎn)I在OB上，由題意可得：OB為⊙O的半徑，OI為⊙I的半徑，設(shè)⊙I與BC相切于點(diǎn)E，連接IE，并設(shè)⊙I的半徑為r，∵BC是⊙I的切線，∴IE⊥BC，∴△BEI是等腰直角三角形，∴IE＝IO＝r，BI＝r，∴OB＝OI+BI＝（+1）r，∴OB：OI＝+1，⊙O的半徑與⊙I的半徑的比值為+1，故答案為：+1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的外接圓和三角形的內(nèi)切圓，正確的作出輔助線表示出圓的半徑是解題的關(guān)鍵．12．如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AC＝2，以點(diǎn)C為圓心，1為半徑作圓，點(diǎn)P為⊙C上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，并繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AP′，連接CP′，則CP′的取值范圍是2﹣1≤CP′≤2+1．【分析】連接CP、BP′，根據(jù)同角的余角相等求出∠CAP＝∠BAP′，然后利用“邊角邊”證明△APC和△AP′B全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得PC＝P′B，再利用勾股定理列式求出BC，然后根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊，兩邊只差小于第三邊求解即可．解：如圖，連接CP、BP′，∵∠BAC＝90°，旋轉(zhuǎn)角為90°，∴∠CAP+∠CAP′＝∠BAP′+∠CAP′＝90°，∴∠CAP＝∠BAP′，在△APC和△AP′B中，，∴△APC≌△AP′B（SAS），∴PC＝P′B＝1，在等腰Rt△ABC中，∵AC＝2，∴BC＝＝2，在△BCP′中，有2﹣1＜CP′＜2+1，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取到等號(hào)，此時(shí)不是三角形，但符合題意．所以，CP′的取值范圍是：2﹣1≤CP′≤2+1．故答案為：2﹣1≤CP′≤2+1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，圓的認(rèn)識(shí)，三角形的三邊關(guān)系，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造成全等三角形是解題的關(guān)鍵．三、解答題。（本大題共5小題，每小題6分，共30分）13．（1）一個(gè)口袋中有3個(gè)黑球和若干個(gè)白球，在不允許將球倒出來的前提下，小明為估計(jì)其中的白球數(shù)，采用了如下的方法：從口袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色，然后把它放回口袋中，搖勻后再隨機(jī)摸出一球，記下顏色，…，不斷重復(fù)上述過程，小明共摸了100次，其中20次摸到黑球根據(jù)上述數(shù)據(jù)，估計(jì)口袋中的白球大約有多少個(gè)？（2）如圖，P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，△ABP繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后能到達(dá)△CBE的位置．若BP＝3cm，求線段PE的長．【分析】（1）由小明共摸了100次，其中20次摸到黑球，可估計(jì)出摸到白球的概率為，設(shè)口袋中約有x個(gè)白球，依據(jù)概率公式列出關(guān)于x的方程求解即可；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知BP＝BE，∠PBE＝∠ABC，再根據(jù)勾股定理列式求解即可得到PE的長度．解：（1）由題可得出摸到黑球的概率是：＝，因此摸到白球概率是1﹣＝，設(shè)口袋中約有x個(gè)白球，由題可得＝，解得：x＝12，答：估計(jì)口袋中的白球大約有12個(gè)；（2）∵△ABP繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后能到達(dá)△CBE的位置，∴BP＝BE＝3cm，∠PBE＝∠ABC＝90°，∴PE＝＝3（cm），答：線段PE的長為3cm．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是用頻率估計(jì)概率和旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)和概率公式是解題的關(guān)鍵．14．HUAWEIMate60Pro于8月29日上市，該系列完成了核心技術(shù)領(lǐng)域從0到1的躍遷，讓無數(shù)國人為之自豪并被贊譽(yù)為“爭氣機(jī)”．手機(jī)背面有一條圓弧，象征著以山河之美致敬奔騰不息的力量．圓弧對(duì)應(yīng)的弦AB長80mm，弓形高CD長14mm求半徑OA的長．【分析】設(shè)半徑OA的長為rmm，則OA＝OC＝OB＝rmm，由已知可得OD＝（r﹣14）mm，AD＝AB＝40mm，然后在Rt△OAD中，由勾股定理得OA2﹣OD2＝AD2，即r2﹣（r﹣14）2＝402，由此解出r即可．解：設(shè)半徑OA的長為rmm，則OA＝OC＝OB＝rmm，∵弓形高CD＝14mm，∴OD＝（r﹣14）mm，∵OC⊥AB，AB＝80mm，∴AD＝AB＝40mm，在Rt△OAD中，由勾股定理得：OA2﹣OD2＝AD2，即r2﹣（r﹣14）2＝402，解得：r＝．答：半徑OA的長為mm．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了弓形的概念，熟練掌握弓形的概念，靈活運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．15．創(chuàng)新作圖如圖是由小正方形構(gòu)成的7×7網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．⊙O經(jīng)過A、B、C三個(gè)格點(diǎn)，連接AB，AC，BC，僅用無刻度直尺在給定網(wǎng)格中按要求畫圖．（不寫作法）（1）在圓上找點(diǎn)D，使得∠BAD＝90°；（2）在劣弧BC上找點(diǎn)D，使得∠CBD＝45°．【分析】（1）取AC上的格點(diǎn)K，連接BK并延長交圓于D，如圖1，則D即為所求；（2）取格點(diǎn)M，連接BM交圓于D，則D即為所求．解：（1）取AC上的格點(diǎn)K，連接BK并延長交圓于D，如圖1，則D即為所求；理由：由圖知，AB＝BC，K為AC中點(diǎn)，∴直線BK是AC的垂直平分線，∴BD是圓的直徑，∴∠BAD＝90°；（2）取格點(diǎn)M，連接BM交圓于D，則D即為所求，如圖2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，解題的關(guān)鍵是掌握網(wǎng)格的特征，作出符合條件的圖形．16．家庭成員尤其是父母對(duì)待日常生活和工作的態(tài)度和處事方法都會(huì)對(duì)孩子有潛移默化的影響，父母在教育孩子認(rèn)識(shí)問題和解決問題方面對(duì)孩子采取怎樣的指導(dǎo)、幫助、要求，都會(huì)形成孩子對(duì)待問題的方式．為此，某校舉行了一次“智慧家長”系列講座活動(dòng)，活動(dòng)過程中，甲、乙、丙、丁四位家長踴躍發(fā)言，積極互動(dòng)．活動(dòng)后校方準(zhǔn)備從這四位家長中隨機(jī)抽選一位作為家長代表做總結(jié)發(fā)言，并從剩下的三位家長中隨機(jī)抽選一位做進(jìn)一步訪談?wù){(diào)查．（1）選擇家長乙作為家長代表做總結(jié)發(fā)言的概率為；（2）請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖的方法求家長甲作為家長代表做總結(jié)發(fā)言，且家長丁被抽選做進(jìn)一步訪談?wù){(diào)查的概率．【分析】（1）直接根據(jù)概率公式計(jì)算，即可求解；（2）根據(jù)題意畫出樹狀圖，可得共有12種等可能的結(jié)果，其中家長甲作為家長代表做總結(jié)發(fā)言，且家長丁被抽選做進(jìn)一步訪談?wù){(diào)查的情況只有1種，再由概率公式計(jì)算，即可求解．解：（1）根據(jù)題意得：選擇家長乙作為家長代表做總結(jié)發(fā)言的概率為．故答案為：；（2）根據(jù)題意畫樹狀圖如下：由樹狀圖可知，共有12種等可能的結(jié)果，其中家長甲作為家長代表做總結(jié)發(fā)言，且家長丁被抽選做進(jìn)一步訪談?wù){(diào)查的情況只有1種，所以家長甲作為家長代表做總結(jié)發(fā)言，且家長丁被抽選做進(jìn)一步訪談?wù){(diào)查的概率為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用樹狀圖或列表法求概率，明確題意，準(zhǔn)確畫出樹狀圖或列出表格是解題的關(guān)鍵．17．如圖1中的某種冰激凌的外包裝可以視為圓錐（如圖2），制作這種外包裝需要用如圖3所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC將扇形EAF圍成圓錐時(shí)，AE、AF恰好重合，已知這種加工材料的頂角∠BAC＝90°．（1）求圖2中圓錐底面圓直徑ED與母線AD長的比值；（2）若圓錐底面圓的直徑ED為5cm，求加工材料剩余部分（圖3中陰影部分）的面積．（結(jié)果保留π）【分析】（1）由于圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，則利用弧長公式得到π?DE＝，從而求出ED：AD即可；（2）先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到BC＝2AD＝20cm，再利用扇形的面積公式，利用S陰影部分＝S△ABC﹣S扇形EAF進(jìn)行計(jì)算．解：（1）根據(jù)題意得π?DE＝，∴DE＝AD，∴ED與母線AD長的比值為；（2）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，而AD＝2DE＝10cm，∴BC＝2AD＝20cm，∴S陰影部分＝S△ABC﹣S扇形EAF＝×10×20﹣＝（100﹣25π）cm2．答：加工材料剩余部分的面積為（100﹣25π）cm2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．四、解答題。（本大題共3小題，每小題8分，共24分）18．某超市設(shè)計(jì)的“春節(jié)大酬賓”促銷活動(dòng)如下：在一個(gè)不透明的箱子里放有4個(gè)相同的小球，球上分別標(biāo)有“0元”“20元”“20元”和“40元”的字樣，規(guī)定：在本超市同一日內(nèi)，顧客每消費(fèi)滿200元，就可以在箱子里先后摸出兩個(gè)球（第一次摸出后不放回）．超市根據(jù)兩個(gè)小球所標(biāo)金額的和直接進(jìn)行減價(jià)優(yōu)惠，李叔叔剛好消費(fèi)200元．（1）從箱子里任意摸出一個(gè)球，摸到球上標(biāo)有“50元”字樣的球是不可能事件；摸到球上標(biāo)有“0元”字樣的球是隨機(jī)事件；（均填“不可能”“必然”或“隨機(jī)”）（2）求出李叔叔所獲得的優(yōu)惠金額大于50元的概率．（列表或畫樹狀圖求解）【分析】（1）由不可能事件和隨機(jī)事件的概念即可得出結(jié)論；（2）畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中李叔叔所獲得的優(yōu)惠金額大于50元的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可．解：（1）從箱子里任意摸出一個(gè)球，摸到球上標(biāo)有“50元”字樣的球是不可能事件；摸到球上標(biāo)有“0元”字樣的球是隨機(jī)事件；故答案為：不可能，隨機(jī)；（2）畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中李叔叔所獲得的優(yōu)惠金額大于50元的結(jié)果有4種，∴李叔叔所獲得的優(yōu)惠金額大于50元的概率為＝．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．19．如圖1，重慶特色的九宮格火鍋分九格：四角格、十字格、中心格（中心格一般為正方形）．隔板的設(shè)計(jì)有以下兩種：①橫縱隔板兩兩垂直交于隔板的三等分點(diǎn)如圖2所示；②橫縱隔板兩兩垂直交于圓鍋邊緣（圓）八等分點(diǎn)如圖3所示．已知圓鍋直徑為40cm．（1）求圖2的中心格面S1；（2）求兩種設(shè)計(jì)的中心格面積S1與S2差．【分析】（1）如圖2，過點(diǎn)O作OB⊥AP于點(diǎn)B，連接OA，然后可得OA＝20cm，AH＝HI＝IP，則有，進(jìn)而可得S1；（2）如圖3，過點(diǎn)C作CF⊥DG，垂足為F，連接CG、DE，則有CD＝CE＝20cm，CF＝FG，根據(jù)圓周角定理可知，則有，最后根據(jù)勾股定理可求得CF2，進(jìn)而得S2，即可求出結(jié)論．解：（1）如圖2，過點(diǎn)O作OB⊥AP于點(diǎn)B，連接OA，由題意得：OA＝20cm，AH＝HI＝IP，由中心格是正方形可得：，設(shè)OB＝xcm，則AB＝3xcm，在Rt△ABO中，由勾股定理得：x2+9x2＝400，∴x2＝40，；（2）如圖3，過點(diǎn)C作CF⊥DG，垂足為F，連接CG、DE，由題意得：CD＝CE＝20cm，CF＝FG，∵橫縱隔板兩兩垂直交于圓鍋邊緣八等分點(diǎn)，如圖3所示，∴圓鍋邊緣每段弧的度數(shù)為45°，∴，∠CGF＝45°，∴．∠DCG＝∠CGF﹣∠CDF＝22.5°＝∠CDF，∴，，∴在Rt△CDF中，由勾股定理得：CF2+FD2＝CD2，即?CF2＝400，∴∴，∴．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查垂徑定理、圓周角定理及勾股定理，熟練掌握垂徑定理、圓周角定理及勾股定理是解題的關(guān)鍵．20．在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜90°）得△A1BC1，A1B交AC于點(diǎn)E，A1C1分別交AC、BC于D、F兩點(diǎn)．（1）如圖1，觀察并猜想，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段BE與BF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；（2）如圖2，當(dāng)α＝30°時(shí)，試判斷四邊形BC1DA的形狀，并說明理由．【分析】（1）由AB＝BC得到∠A＝∠C，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AB＝BC＝BC1，∠A＝∠C＝∠C1，∠ABE＝∠C1BF，則可證明△ABE≌△C1BF，于是得到BE＝BF；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠A＝∠C＝30°，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠A1＝∠C1＝30°，∠ABA1＝∠CBC1＝30°，則利用平行線的判定方法得到A1C1∥AB，AC∥BC1，于是可判斷四邊形BC1DA是平行四邊形，然后加上AB＝BC1可判斷四邊形BC1DA是菱形．解：（1）BE＝BF．理由如下：∵AB＝BC，∴∠A＝∠C，∵△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜90°）得△A1BC1，∴AB＝BC＝BC1，∠A＝∠C＝∠C1，∠ABE＝∠C1BF，在△ABE和△C1BF中，∴△ABE≌△C1BF，∴BE＝BF（2）四邊形BC1DA是菱形．理由如下：∵AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠C＝30°，∴∠A1＝∠C1＝30°，∵∠ABA1＝∠CBC1＝30°，∴∠ABA1＝∠A1，∠CBC1＝∠C，∴A1C1∥AB，AC∥BC1，∴四邊形BC1DA是平行四邊形．又∵AB＝BC1，∴四邊形BC1DA是菱形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了菱形的判定方法．五、解答題。（本大題共2小題，每小題9分，共18分）21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AB∥OC，A（0，）、C（﹣4，0），且AB＝2．以BC為直徑作⊙O1交OC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作直線DE交線段OA于點(diǎn)E，且∠EDO＝30°（1）求證：DE是⊙O1的切線；（2）若線段BC上存在一點(diǎn)P，使以點(diǎn)P為圓心，PC為半徑的⊙P與y軸相切，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【分析】（1）連接O1D，BD，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的特征表示出線段OA，OC的長度，利用矩形的判定與性質(zhì)和圓周角定理，勾股定理求得BC的長，則得到△O1CD為等邊三角形，通過計(jì)算得到O1D⊥DE，利用圓的切線的判定定理解答即可得出結(jié)論；（2）利用圓的切線的定義得到點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離等于PC，過點(diǎn)P作PF⊥y軸于點(diǎn)F，PH⊥x軸于點(diǎn)H，利用直角三角形的邊角關(guān)系定理和矩形的判定與性質(zhì)得到CH＝PC，OH＝PF＝PC，利用OC＝4，列出方程求得PC，進(jìn)而求得PF，PH的長度，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的特征即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：連接O1D，BD，如圖，∵A（0，）、C（﹣4，0），∴OA＝2，OC＝4．∵以BC為直徑作⊙O1交OC于點(diǎn)D，∴∠BDC＝90°．∵AB∥OC，OC⊥OA，∴AB⊥OA，∴四邊形ABDO為矩形，∴OD＝AB＝2，BD＝OA＝2，∴CD＝OC﹣OD＝2，∴BC＝＝4，∴O1C＝O1D＝2，∴△O1CD為等邊三角形，∴∠O1CD＝∠O1DC＝60°，∵∠EDO＝30°，∴∠O1DE＝180°﹣∠O1DC﹣∠EDO＝90°，∴O1D⊥DE，∵O1D為⊙O1的半徑，∴DE是⊙O1的切線；（2）解：∵線段BC上存在一點(diǎn)P，使以點(diǎn)P為圓心，PC為半徑的⊙P與y軸相切，∴點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離等于PC．過點(diǎn)P作PF⊥y軸于點(diǎn)F，PH⊥x軸于點(diǎn)H，如圖，則PF＝PC．由（1）知：∠BCD＝60°，∴CH＝PC，PH＝PC．∵PF⊥y軸，PH⊥x軸，OA⊥OC，∴四邊形PHOF為矩形，∴OH＝PF＝PC，∴OC＝CH+OH＝PC+PC＝4，∴PC＝，∴PF＝OH＝，PH＝＝，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的邊角關(guān)系定理，圓的切線的判定定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，矩形的判定與性質(zhì)，圓的切線的定義與性質(zhì)，連接經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解決此類問題常添加的輔助線．22．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接DE，將DE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F，連接EF，AE，CF．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在邊AC上時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段AE，CF之間的數(shù)量關(guān)系A(chǔ)E＝CF，位置關(guān)系A(chǔ)E⊥CF；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在△ABC內(nèi)部時(shí)，判斷（1）中結(jié)論是否依然成立，并說明理由；（3）AE＝5，DE＝3，若A，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，請(qǐng)直接寫出線段BE的值．【分析】（1）連接AD，證明△ADE≌△CDF，從而得出AE＝CF，根據(jù)DE⊥DF，又翻折，得AE⊥CF；（2）連接AD，證明△ADE≌△CDF，從而得出AE＝CF；（3）由∠DAE＝∠DCF得點(diǎn)A、D、F、C共圓，從而∠AFC＝∠ADC＝90°，由∠DEF＝∠ABC＝45°得點(diǎn)A、B、D、E共圓，從而∠AEB＝∠ADB＝90°，進(jìn)一步證明△ABE≌△ACF，從而BE＝AF，進(jìn)一步得出結(jié)果．點(diǎn)F在AE上時(shí)，類比①可得BE＝AF＝AE﹣EF＝5﹣3．解：（1）如圖1，連接AD，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D為BC的中點(diǎn)，∴AD＝CD＝BC，AD⊥BC，∴∠ADC＝∠EDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，∵DE＝DF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF；∵DE⊥DF，又翻折，∴AE⊥CF；故答案為：AE＝CF，AE⊥CF；（2）如圖2，AE＝CF仍然成立，理由如下：連接AD，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D為BC的中點(diǎn)，∴AD＝CD＝BC，AD⊥BC，∴∠ADC＝∠EDF＝90°，∴∠ADC﹣∠CDE＝∠EDF﹣∠CDE，∴∠ADE＝∠CDF，∵DE＝DF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF；（3）①點(diǎn)E在AF上，連接BE，∵∠BAC＝∠AFC＝90°，∴∠BAE+∠CAF＝∠ACF+∠CAF＝90°，∴∠BAE＝∠ACF，∵AB＝AC，AE＝CF，∴△ABE≌△CAF（SAS），∴BE＝AF＝AE+EF＝5+3；②點(diǎn)F在AE上，類比①可得BE＝AF＝AE﹣EF＝5﹣3，∴綜上所述，BE＝5+3或5﹣3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，確定圓的條件等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角