2023版高三一輪總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)新教材老高考人教版課時(shí)分層作業(yè)9　冪函數(shù)與函數(shù)的性質(zhì)

課時(shí)分層作業(yè)(九)幕函數(shù)與函數(shù)的性質(zhì)

［A組在基礎(chǔ)中考查學(xué)科功底］

一、選擇題

1.如圖，函數(shù)y=x,y=l的圖象和直線x=1將平面直角坐標(biāo)系的

第一象限分成八個(gè)部分：①②③④⑤⑥⑦⑧.若幕函數(shù)/U)的圖象經(jīng)過的部分是

④⑧，則4X)可能是()

1

A.y=fB.產(chǎn)也c.y=yD.y—xT2

B［因?yàn)楹瘮?shù)y=K的圖象過④⑧部分，所以函數(shù)y=K在第一象限內(nèi)單調(diào)

遞減，所以a<0.又易知當(dāng)x=2時(shí)，1<y<1,所以只有B選項(xiàng)符合題意.］

2.定義在R上的奇函數(shù)Xx)滿足/(x+2)=-Ax),且當(dāng)無￡［0,1］時(shí)，凡r)單

調(diào)遞增，則下列結(jié)論正確的是()

A./(25)<A-8)<A11)B.Xll)</(25)<A-8)

C：/U1)勺(一8)勺(25)D.八-8)勺(25)勺(11)

C「.?兀1+2)=—/)，

...火x+4)=/(x),則?；玫闹芷跒?.

.?.一-8)=/(0)，貝”)=/(一1)，725)=31)，

又xG［O,1］時(shí)，/U)單調(diào)遞增，且兀V)為奇函數(shù)，

.?.於)在［-1,1］上單調(diào)遞增，

???/(-1)</(0)</(1),

故川1)勺(一8)勺(25).］

3.(2021?全國(guó)甲卷)設(shè)函數(shù)/U)的定義域?yàn)镽,7U+1)為奇函數(shù)，為x+2)為偶

函數(shù)，當(dāng)x￡［l,2］時(shí)，.*》)=加+尻若八0)+/(3)=6,則)

9375

A.一疝B.—2C.4D.2

D［由于7U+1)為奇函數(shù)，所以函數(shù)；U)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，即有火x)

+式2—?=0,所以次1)+式2—1)=0,得11)=0,即。+。=0①.由于/U+2)

為偶函數(shù)，所以函數(shù)/U)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，即有.穴外一/(4一%)=0,所以

.*0)+#3)=—/(2)+./(l)=—4a—〃+a+b=-3a=6②.

根據(jù)①②可得a=—2,b=2,所以當(dāng)xW［l,2］時(shí)，風(fēng)冷=一2^+2.

根據(jù)函數(shù)/U)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，且關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，可得函數(shù)兀r)

的周期為4,所以/e=/1*_/(|)=2xQ-2=|.］

4.已知人處是定義在［2b,1一切上的偶函數(shù)，且在［2b,0］上單調(diào)遞增，則火x

一1)(大陵)的解集為()

■2］「1］「1「

A.—1,QB.—1,WC.［―1,1］D.W，1

B「.7(x)是定義在［241一切上的偶函數(shù)，：.2b+l~b=0,：.b=~{.

?./(x)在［-2,0］上單調(diào)遞增，

.g)在［0,2］上單調(diào)遞減.

由fix-l)W/(2x)可得以一］\^\2x\,

即(x—1)224/,且一2W無一1W2,-2W2xW2,求得一iWxWg,故選B.］

5.已知定義在R上的偶函數(shù)y=/(x+2),其圖象是連續(xù)的，當(dāng)x>2時(shí)，函

數(shù)y=7U)是單調(diào)函數(shù)，則滿足1Ax)=/(1—的所有》的積為()

A.3B.-3C.-39D.39

D［因?yàn)楹瘮?shù)y=/(x+2)是偶函數(shù)，所以函數(shù)y=/(x)圖象關(guān)于x=2對(duì)稱Jx)

=/4—x),因?yàn)樨Ｐ性?2,+8)上單調(diào)，所以?x)在(-8,2)上也單調(diào)，所以要

使式x)=/(1'-土］則x=l—七;或4一%=1一七^.由x=l*，得f+3x

—3=0,211>0,設(shè)方程的兩根分別為汨，%2，則X1X2=—3；由4—x=l—

得f+x—13=0,/2>0,設(shè)方程的兩根分別為X3,X4，則X3%4=-13.所以XI尤2X3^4

=39.故選D.］

2

6.(2021.衡陽(yáng)模擬)若兩函數(shù)具有相同的定義域、單調(diào)區(qū)間、奇偶性、值域，

則稱這兩函數(shù)為“親密函數(shù)”.下列三個(gè)函數(shù)y=2M~\,尸擊，尸女中，

與函數(shù)7U)=x4不是親密函數(shù)的個(gè)數(shù)為()

A.OB.1C.2D.3

B[易知函數(shù)<x)=》4的定義域?yàn)镽,是偶函數(shù)，在(一8,0)上義X)單調(diào)遞

減，在(0,+8)上穴X)單調(diào)遞增，*x)20.三個(gè)函數(shù)的定義域都為R且都為偶函

f1

數(shù)，單調(diào)性也與函數(shù)"x)=d保持一致，但是y=言？=1一寸^的最大值接近I，

p

>=2H一120,尸了2。.]

二、填空題

7.寫出一個(gè)單調(diào)遞減的奇函數(shù).

y=-x(答案不唯一)[y=-x,在定義域R上是減函數(shù)，

又/(―x)=x=—(—尤)=一/(x),所以函數(shù)是奇函數(shù).]

8.(2021?江蘇淮安三模)已知/U)是定義在R上的周期為3的奇函數(shù)，且八一

1)=2/(10)+3,則八2021)=.

1[由題意知：42021)=7(3X674—1)=/(—1),

而1-1)=貨10)+3,

?./(-1)=2/(3X3+1)+3=2/(1)+3=-2/(-1)+3,即?-1)=3,

=1,故12021)=1.]

9.(2021.萊陽(yáng)一中模擬)若奇函數(shù)於)的定義域?yàn)镽,式2)=0,且在(0,+8)

f(x)

上單調(diào)遞增，則滿足1Ax—1)20的x的取值范圍是,滿足L1<0的X

的取值范圍是.

[-1,i]U[3,+℃)(-2,o)u(o,2)[由函數(shù)次處的性質(zhì)，作出函數(shù)人處

的大致圖象如圖所示，

,.fix—1)20,則一2Wx—1忘0或;(：-122,

解得一'iWxWl或x23.

3

當(dāng)■<0時(shí)，動(dòng);幻<0,即?r)的圖象在二、四象限,

X

即一2<r<0或0<x<2.］

三'解答題

(x+1)~sinx

10.設(shè)函數(shù).*》)=__爐］］二一的最大值為M,最小值為〃的求M+機(jī)的

值.

［解］顯然函數(shù)寅x)的定義域?yàn)镽,

一(x+1)2+sinx,2x+sinx

且危尸—7+1—="FT，

52x+sinx,

.g(x)=f+］,則g(-x)=—g(x)，

g(x)為奇函數(shù),

由奇函數(shù)圖象的對(duì)稱性知g(x)max+g(x)min=0,

M+m=［g(X)+l］max+［g(X)+1］min=2+g(x)max+g(x)min=2.

11.已知函數(shù)/(X)是定義在區(qū)間［-1,1］上的奇函數(shù)，對(duì)于任意的〃2,〃G［一

1I1./(〃D+/⑴

1,1］都有〃?+〃>0(〃z十〃wo).

(1)判斷函數(shù)/U)的單調(diào)性；

(2)解不等式/Q+0勺(1—x).

(為)+/(―X2)

［解］(1)7殳加=機(jī)，—X2=n,Kr2Z>0,

A1A2

因?yàn)楹瘮?shù)7U)是定義在區(qū)間［-1,1］上的奇函數(shù)，

f(X1)—f(X2)

所以八一X)=-fix),所展----瓦金----->0,

不妨設(shè)一々汨42?1,則犬汨)勺(X2),由函數(shù)單調(diào)性的定義可得函數(shù)次處在區(qū)

間［-1,1］上是增函數(shù).

(2)由(1)知函數(shù)式x)在區(qū)間［-1,1］上是增函數(shù).

則由/Q+T)勺(1-x),

4

r1

—11,

得<—1W1—xWl,

x+〈<l-%

vZ

所以不等式/(x+g)勺U-x)的解集為bOWx<#.

[B組在綜合中考查關(guān)鍵能力]

1.(2021.興寧第一中學(xué)模擬)已知函數(shù)/U)為R上的奇函數(shù)，且圖象關(guān)于點(diǎn)

(2,0)對(duì)稱，且當(dāng)回0,2)時(shí)，段)=出一1，則函數(shù)外)在區(qū)間[2018,2021]

上的()

A.最小值為一：3B.最小值為一方1

3?

c.最大值為aD.最大值為]

B[xG(0,2)時(shí)，|x)=(g)—1<0,且是減函數(shù)，

?./x)是奇函數(shù)，，危)在(一2,0)上是減函數(shù)且.*x)>0,又式0)=0,.；*x)在

(-2,2)上是減函數(shù).

由兀行的圖象關(guān)于點(diǎn)Q,0)對(duì)稱得_/U)=/I2—(2—x)]=-/F2+(2—x)]=-A4

—X),

又/U)是奇函數(shù)，兀Q=一?一九)，

?'-—A-X)=-A4—X),fi.—X)=X4—x),

即Xx)=X4+x)，.?../(>)是周期函數(shù)，周期為4.

.?優(yōu)_2)=負(fù)2)且人-2)=-A2),

.?..*2)=,-2)=0,，期)=0,MZ.

_/(x)在(一2,2)上遞減，則凡。在(2018,2022)上遞減，

A2021)=AD=-1,而式2018)=力-2)=0,

.?mx)在[2018,2021]上的最小值是五2021)=-g.

故選B.]

2.(2021?山東煙臺(tái)模擬)已知函數(shù)1x)的定義域?yàn)镽,且滿足/(%+1)=/

5

(x—1),/(1—x)+/U)=l,則/(x)的最小正周期為，/)的一個(gè)解析式

可以為.

2.*x)=；+cos?(答案不唯一)［因?yàn)殪?1)=凡L1),

所以7U)=/(九一2),/U)的最小正周期為2.

因?yàn)?(1—x)+./W=l，

對(duì)稱,

對(duì)稱以及最小正周期為的方程可以為九

滿足關(guān)于點(diǎn)2)=T+cosnx.］

3.定義：如果在函數(shù)y=/(x)定義域內(nèi)的給定區(qū)間［a,切上存在%o(aao。)，

滿足於o)J⑹，則稱函數(shù)y=/U)是［a，/上的“平均值函數(shù)”，xo

是它的一個(gè)均值點(diǎn)，如y=d是［-1,1］上的平均值函數(shù)，0就是它的均值點(diǎn).現(xiàn)

有函數(shù)/U)=—f+mx+l是［-1,1］上的平均值函數(shù)，求實(shí)數(shù)相的取值范圍.

［解］因?yàn)楹瘮?shù)兀r)=-f+mx+l是［-1,1］上的平均值函數(shù)，設(shè)期為均值

f(1)—f(—1)

點(diǎn)，所以］_(―D=m=次"°)'

即關(guān)于X()的方程一/+租%()+1=用在(-1,1)內(nèi)有實(shí)數(shù)根，

解方程得煩=1或沏="?—1.

所以必有一\<m—1v1,即0<m<2,

所以實(shí)數(shù)〃2的取值范圍是(0,2).

［C組在創(chuàng)新中考查理性思維］

1.定義在R上的奇函數(shù)/(X)滿足/U+2)=A—X),且當(dāng)x￡［0,1］時(shí)，_/(x)=

2*—cosx,則下列結(jié)論正確的是()

A/<7(2018)

B./(2018)</(嬰M竽

2012020、

C；A2018)</

20：’2020、

D./-<7(2018)

6

C「.魂》)是奇函數(shù)，."U+2)=A_x)=-/(x),.\Ax+4)=—/(x+2)=/a),

(2019、(3、

.??加)的周期為4,.?.旭018)=X2+4X504)=/(2)=X0),/［丁廣/(4X252+引

=/(1)=/({),/(弩+/(4X168+*/?.”金［(),1］時(shí)，/)=

2x-cosx單調(diào)遞增，OV4vj,修),..m2018)</(