2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試·新高考仿真模擬卷數(shù)學(xué)(二)答案

2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?仿真模擬卷

數(shù)學(xué)(二)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項

中，只有一個選項是符合題目要求的.

1.已知集合聯(lián){小*4，5={上=晦("-叫,則-5=()

A.[l,+oo)B.[0,+oo)

C.(0,1)D.[0,1]

【答案】B

【解析】

【分析】分別化簡集合A6,根據(jù)并集的定義求解.

【詳解】A={x|x2<x}

?.?不等式V<x的解集是集合A

又因為X?1)<0=>0<%<1,/.A=|A:|0<%<11

又?{x|y=log2(x—l)},所以滿足函數(shù)y=log2(x-l)中x的范圍就是集合B

所以x—l>0nx>l:.8={x|x>l}

所以4°8={%|0?%41}7{%|%>1}={乂％20}=[0,+00)

故選：B

2.已知復(fù)數(shù)z=(a+2i)(l-i)為純虛數(shù)，則實數(shù)。=()

12

A.---B.---C.2D.—2

23

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法計算方法化簡復(fù)數(shù)，結(jié)合純虛數(shù)的概念求值即可.

【詳解】z=(a+2i)(l-i)=a—ai+2i-2/=a+2+(2—a)i,

2-aw0

因為復(fù)數(shù)Z為純虛數(shù)，所以《c八，即a=-2.

a+2=0

故選：D

3.在正方形A8CQ中，M是BC的中點.若AC=m，AM=〃，則BQ=()

A.4m-3nB.4〃？+3〃

C.3m-4nD.3m+4n

【答案】C

【解析】

【分析】作圖，根據(jù)圖像和向量的關(guān)系，得至ij8C=2(AC-AM)=2加一2〃和

A8=AC-8C=—2m+2〃=2〃一加，進(jìn)而利用8。=+CO=8C—A8，可得答案.

【詳解】

如圖，AC=m-AM=n<且在正方形ABC0中，AB=DC

AC-AM=MC=^BC,BC=2(AC-AM)=2m-2n,

AC=AB+BC，AB=AC-BC-m-2m+2n-2n-m>

BD=BC+CD=BC-AB=2m-2n-2n+m=3m-4n

故選：C

4.己知a=0.5"，b=log50.4,c=log050.4,則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.b>a>cB.a>ob

C.c>a>bD.a>b>c

【答案】C

【解析】

【分析】利用指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)單調(diào)性，找出中間值0,1,使其和仇C比較即可.

【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性和值域，y=0.5'在R上遞減，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的值域可知，

a=0.54€(0,0.5°)=(0,1)；根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，y=logs》在(0,+8)上遞增，則

b=log50.4<log51=0,y=log。#在(0,+oo)上遞減,故

c=log050.4>log050.5=1,即c>l>a>0>>，C選項正確.

故選：C

5.端午佳節(jié)，人們有包粽子和吃粽子的習(xí)俗.四川流行四角狀的粽子，其形狀可以看成一

個正四面體.廣東流行粽子里放蛋黃，現(xiàn)需要在四角狀粽子內(nèi)部放入一個蛋黃，蛋黃的形

狀近似地看成球，當(dāng)這個蛋黃的表面積是9兀時，則該正四面體的高的最小值為（）

A.4B.6C,8D.10

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意分析可知，當(dāng)該正四面體的內(nèi)切球的半徑為三3時，該正四面體的高最小,

2

再根據(jù)該正四面體積列式可求出結(jié)果.

3

【詳解】由球的表面積為9兀，可知球的半徑為一，

2

3

依題意可知，當(dāng)該正四面體的內(nèi)切球的半徑為一時，該正四面體的高最小，

2

設(shè)該正四面體的棱長為“，則高為J/_（2x@a）2=凡,

V323

2

根據(jù)該正四面體積的可得逅=Lxlx4x^a,解得a=3卡.

334324

所以該正四面體的高的最小值為"a=Y5x3太=6.

33

故選：B

6.現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)0,1,2,3,4,5,6,7,若將這組數(shù)據(jù)隨機刪去兩個數(shù)，則剩下數(shù)據(jù)的

平均數(shù)大于4的概率為（）

53人21

A.—B.—C.-D.一

141477

【答案】D

【解析】

【分析】先得到刪去的兩個數(shù)之和為4時，此時剩下的數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4,從而得到要想

這組數(shù)據(jù)隨機刪去兩個數(shù)，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于4,則刪去的兩個數(shù)之和要小于4,利用

列舉法得到其情況，結(jié)合組合知識求出這組數(shù)據(jù)隨機刪去兩個數(shù)總共的情況，求出概率.

【詳解】0,1,2,3,4,5,6,7刪去兩個數(shù)之和為4時，此時剩下的數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

28-4?

-----=4,

8-2

所以要想這組數(shù)據(jù)隨機刪去兩個數(shù)，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于4,則刪去的兩個數(shù)之和要小

于4,

有（0,1）,（0,2）,（0,3）,（1,2）四種情況符合要求,

將這組數(shù)據(jù)隨機刪去兩個數(shù)，共有C；=28種情況

41

所以將這組數(shù)據(jù)隨機刪去兩個數(shù)，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于4的概率為一=一.

287

故選：D

7.在棱長為3的正方體ABC。-A耳CQ|中，。為AC與的交點，P為AA上一點,

且AP=2P〃，則過A,P,。三點的平面截正方體所得截面的周長為（）

A.4713B.6夜

C.2713+272D.2V13+4V2

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)結(jié)合條件作出過A,P,。三點的平面截正方體所得截面，再求

周長即得.

【詳解】因為4P=2P°,即

uuum]uuum

又AC//AG，

所以HP//AC,

Di_____HCi

所以A,O,C,",尸共面，即過A,P,。三點的正方體的截面為,

由題可知AP=6=5/32+22=岳'PH=^2>AC=3及，

所以過A,P,。三點的平面截正方體所得截面的周長為40+2JI5.

故選：D.

8.不等式二之竺/7In竺V+1對任意xe(l,+8)恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是()

XX

A.(-oo,l-e]B.(-oo,2-e2]C.(-<x),-4JD.

FT

【答案】C

【解析】

p"TnInY_Y

【分析】分離參數(shù)，將，2型1"+1變?yōu)椤皐*°一入，x>l,然后構(gòu)造函數(shù)，即將

xxInx

不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求最值即可.

【詳解】由不等式二之巴?7In”x+1對任意工￡(1,+8)恒成立，此時lnx>0,

XX

可得恒成立，

Inx

-X-X

令y=+一±,%>1,從而問題變?yōu)榍蠛瘮?shù)y=——-,%>1的最小值或范圍問

InxInx

題；

令g(x)=e'T-x,則g'(x)=e*T-1,

當(dāng)尤<1時，g'(x)=ei—l<0,當(dāng)尤>1時，g'(x)=e"i-l>0,

故g(x)=ei-xNg(l)=O,即ei?x，

411

所以》"6”1=61指-=6"-m12%一4111%，(*)，當(dāng)且僅當(dāng)x—41nx=l時取等

號，

4x—4

^/z(x)=x-41nx-l,則/f(x)=l——=----,

xx

當(dāng)x<4時，<0,當(dāng)?shù)?gt;4時，hr(x)>0,

故"(x)min=〃(4)=3-41n4<°,且當(dāng)x-+8時，/z(x)=%-4Inx-l也會取到正值,

即x—41nx=l在工>1時有根，即(*)等號成立，

所以工一七1-XNx-41nx—x=-41nx，

—4x—1

則無e故aWT,

Inx

故選：C

【點睛】本題考查了不等式的恒成立問題，解法一般是分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，將恒成立問

題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值或范圍問題，解答的關(guān)鍵是在于將不等式或函數(shù)式進(jìn)行合理的變式，

這里需要根據(jù)式子的具體特點進(jìn)行有針對性的變形，需要一定的技巧.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，

有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2

分.

9.在平面直角坐標(biāo)系中，圓C的方程為f+y2—2y—1=0,若直線y=x-l上存在一點

M,使過點M所作的圓的兩條切線相互垂直，則點M的縱坐標(biāo)為（）

A.1B.6C.-1D.一百

【答案】AC

【解析】

【分析】首先可根據(jù)圓方程得出圓心與半徑，然后根據(jù)題意得出點“、圓心以及兩個切

點構(gòu)成正方形，最后根據(jù)=2以及兩點間距離公式即可得出結(jié)果.

【詳解】/+,2-2丁一1=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：f+（y_i）2=2,圓心半徑為

0，

因為過點M所作的圓的兩條切線相互垂直，

所以點“、圓心以及兩個切點構(gòu)成正方形，|MC|=2,

因為M在直線y=x—1上，所以可設(shè)-1）,

則|MC『=a2+（a—2）2=%解得：。=2或a=0,所以M（2,l）或

故點M的縱坐標(biāo)為1或-1.

故選：AC.

10.已知函數(shù)/（x）=Asin（fyx+9）jA>O,0>O,|o|<S的部分圖象如圖所示，若將

“X）的圖象向右平移加（加>0）個單位長度后得到函數(shù)g（x）=Asin（&x-2°）的圖象，

則加的值可以是（）

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象可確定A和最小正周期T，由此可得①，結(jié)合=2可求得尹，

從而得到〃x),g(x)的解析式，根據(jù)/(x-〃?)=g(x)可構(gòu)造方程求得

jr

m=--k7t(keZ),由此可得加可能的取值.

5兀n_2兀

【詳解】由圖象可知：A=2,最小正周期T=4x-=兀，CD--二-2，

126T

?"I)卜2sin(兀、jrjr

1+QJ=2,—+9=]+2E(ZGZ),解得:

9=己+24兀(攵GZ),

又時<],?,#=m,/(x)=2sin(2%+^-j,g(x)=2sinf2x-yj,

3

f(x-m)=2sin2x-2m+-I=g(x),

—2加+7=—左￡Z),解得：ITL=——kii(ksZ),

當(dāng)攵=0時，m=—；當(dāng)女=-2時，m=—.

44

故選：AD.

IL大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十''的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)

文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項都代表太極衍生過程.已知大衍數(shù)列｛6,｝滿足

凡+”+1,〃為奇數(shù),

4=0,4M)

q+〃,〃為偶數(shù)

A.4=4

B.an+2=a?+2n+l

，2

口,〃為奇數(shù),

2

c.an=<2

上，〃為偶數(shù)

2

D.數(shù)列｛(-1)”/｝的前2n項和的最小值為2

【答案】ACD

【解析】

【分析】當(dāng)〃=2%時，”2*+i=4*+2%,當(dāng)〃=2左一1時，J2k，聯(lián)立可得

亡」，〃為奇數(shù)

2

4印_°2&-1=4&，利用累加法可得%i+i=2k2+2左，從而可求得="

匚,〃為偶數(shù)

2

在逐項判斷即可.

【詳解】令&wN'且后21，

當(dāng)〃=2左時，％?+i=+2左①；

a

當(dāng)〃=24—1時、a2k=2k-\+2Ar—1+1=a2k_y+2%②，

由①②聯(lián)立得4*+i-4T=4k.

所以。3-4=4,%-%=8,,，&+i-%i-i=4%,

,,(l+k)k,2…

累力口可得%*+1—4=a2k+i-4+8++4k=4x----=2K+2k.

〃2_]

令2左+1=〃(〃23且為奇數(shù))，得a,,/~--

當(dāng)”=1時q=0滿足上式,

2-l

所以當(dāng)〃為奇數(shù)時，?！?-n----

"2

當(dāng)"為奇數(shù)時，q“+]=+〃+]=("+1,

〃2

所以4=區(qū)，其中〃為偶數(shù).

止L”為奇數(shù)

所以2，故C正確.

工，〃為偶數(shù)

2

32-1

所以%=35'=4,故A正確.

當(dāng)〃為偶數(shù)時，a-a=(〃+2)_W=2“+2,故B錯誤.

“+2”22

因為“味="一色4=2〃，

所以］(一1)的前2〃項和$2〃=+42一4+。4+—a2n-\+a2n

(1+〃)〃/、

=2x14-2x2++2xn=2x--^―=〃(〃+1),

令1=〃(〃+1)，

因為數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列，所以｛5｝的最小項為q=1X2=2,

故數(shù)列｛(-1)"4｝的前2n項和的最小值為2,故D正確.

故選:ACD.

【點睛】數(shù)列求和的方法技巧

(1)倒序相加：用于等差數(shù)列、與二項式系數(shù)、對稱性相關(guān)聯(lián)的數(shù)列的求和.

(2)錯位相減：用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和.

(3)分組求和：用于若干個等差或等比數(shù)列的和或差數(shù)列的求和.

12.已知拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線為/：》=—2,焦點為R點P(Xp,?)是拋物線上

的動點，直線4的方程為2x-y+2=0,過點P分別作PA_U,垂足為A,PB口,垂

足為8,則()

A.點F到直線4的距離為述B.xp+2=廠2丫+%

C.%+亍1的最小值為1D.|~4|+歸卻的最小值為?

【答案】ABD

【解析】

【分析】對于A,用點到直線的距離公式即可判斷；對于B,利用拋物線的定義即可判斷;

對于C,利用基本不等式即可判斷；對于D,利用拋物線的定義可得到

\PA\+\PB\=\PF\+\PB\>\BF\,接著求出忸尸|的最小值即可

【詳解】由拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線為/：%=-2可得拋物線方程為V=8x,焦點為

F(2,0),

,|2x2-0+2|6A/5

對于A,點F到直線4的距離為d=l/匕工,故A正確；

V22+l25

對于B,因為「(%>,%)在拋物線上，所以利用拋物線的定義可得歸產(chǎn)|=今+2,即

4+2=］（馬_2）-+，故B正確；

對于C,因為P（Xp,〉p）在拋物線上，所以a=8%,%20,

1

2141

%十]x+

所以外+xn+----+~

「弭+1P8I8

XH—XH—

「8「8

1

1\4-17

->2X+--3

8-188-當(dāng)且僅當(dāng)馬=二時，取等號，故C錯誤;

7X+

P8-

對于D,由拋物線的定義可得|刑=|尸耳,故|川+|尸用=|尸耳+|冏耳班1,當(dāng)且僅當(dāng)

三點共線時，取等號，此時6/_L4,

由選項A可得點F到直線4的距離為〃=卓，故1PH+歸卻的最小值為竽，故D正

確，

故選：ABD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知sina+3cosa=O,則tan2a=.

3

【答案】一##0.75

4

【解析】

【分析】利用已知等式可求得tana,由二倍角正切公式可求得結(jié)果.

sina

【詳解】由sina+3cosa=0得：sina--3cosa,/.tana---------=-3,

cosa

2tana-6_3

/.tan2a=

1-tan2a

3

故答案為：一.

4

14.函數(shù)〃x）=ln（2x+l）+x—l的圖象在點（OJ（O））處的切線方程是.

【答案】1=0

【解析】

【分析】求導(dǎo)函數(shù)，可得切線斜率，求出切點坐標(biāo)，運用點斜式方程，即可求出函數(shù)/0）的

圖象在點（0,/（0））處的切線方程.

【詳解】”x）=ln（2x+l）+x-l,

2

,則/'（0）=2+1=3,

2x+l

又Q/（0）=ln（2x0+l）+0-1=T,.??切點為（0,-1）,

，函數(shù)/（x）=ln（2x+l）+x—l的圖象在點（0,—1）處的切線方程是y+l=3（x—0）,即

3x-y-l=0.

故答案為：3x-y-\=0.

15.2名老師帶著8名學(xué)生去參加數(shù)學(xué)建模比賽，先要選4人站成一排拍照，且2名老師同

時參加拍照時兩人不能相鄰.則2名老師至少有1人參加拍照的排列方法有種.（用

數(shù)字作答）

【答案】3024

【解析】

【分析】分兩種情況討論:①若只有1名老師參與拍照:②若2名老師都拍照.利用計數(shù)原理、

插空法結(jié)合分類加法計數(shù)原理可求得結(jié)果.

【詳解】分以下兩種情況討論：

①若只有1名老師參與拍照，則只選3名學(xué)生拍照，此時共有C；C；A；=2688種排列方

法；

②若2名老師都拍照，則只選2名學(xué)生拍照，先將學(xué)生排序，然后將2名老師插入2名學(xué)

生所形成的空位中，

此時，共有C；A；A；=336種排列方法.

綜上所述，共有2688+336=3024種排列方法.

故答案為：3024.

22

16.已知A,2是雙曲線C：土—上=1上的兩個動點，動點P滿足AP+4B=0,。為坐

24

標(biāo)原點，直線OA與直線。B斜率之積為2,若平面內(nèi)存在兩定點的、鳥，使得

歸用—仍圖為定值，則該定值為.

【答案】2屈

【解析】

【分析】設(shè)尸（x,y）,A（x,，州）,8（孫%），根據(jù)AP+AB=0得到％=2玉一/，-=2%-%，

22

根據(jù)點A,8在雙曲線三一寧=1上則阮―4%2=16,2々2—刀=4,代入計算得

2x2-y2=20,根據(jù)雙曲線定義即可得到||W|—|P可為定值.

【詳解】設(shè)P（x,y）,A（x,,y）,8（%2,%），則由AP+AB=0，

得（%-％1，〉一X）+（%-3,%一乂）=（0,0），

則x=2%一%，，=2乂一%，

22

點A,B在雙曲線2—=1上，

24

2222

,-A-^-=lA-A=l.貝|］跖2-4城=16,292—必2=4

2424———

2222

.■.2x-y=2（2x,-x2）-（2y,-y2）

=（8x；+24--（4才+￡-4y通）=2（）-4（2x,x2-y,y2）,

設(shè)ML分別為直線。4,。8的斜率，根據(jù)題意，

可知心A=2,即7X%一2%%2=0

22

2x2-/=20,即二―二=1

1020

22

.?.P在雙曲線二-二=1上，設(shè)該雙曲線的左、右焦點分別為6,E,

1020

由雙曲線定義可知I|P￡1-1尸石II為定值，該定值為2jid.

故答案為：2M.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算

步驟.

17.在一ABC中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c,（a-c）（a+c）+i＞（b-a）=0.

（1）求C；

⑵若c=JLABC的面積是且，求，1BC的周長.

2

7T

【答案】（1）

3

⑵3+6.

【解析】

【分析】⑴將（"。）（。+。）+。（。-。）=0化為/+〃一。2=/，由余弦定理即可求得

角c.

(2)根據(jù)三角形面積求得曲=2,再利用余弦定理求得。+匕=3,即可求得答案.

【小問1詳解】

由題意在AABC中,(a-c)(a+c)+b(b-a)=O,

^2,?2_2i

Wa2+b2—c2=ab，故cosC=----------=—,

lab2

TT

由于Ce(0,2,所以C=1.

【小問2詳解】

由題意JBC的面積是巫，C=￡,即SABc=』a"sinC=@a8=E,;.ab=2

23ABC242

由c=V3>c2-a2+b2—2abcosC得3=ci~+b~-cib=(a+Z>)~—6,a+。=3，

故^ABC的周長為a+b+c=3+\/3.

18.己知數(shù)列｛a“｝滿足，耳4+>生---a=n(nGN

2〃n

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)若勿=(2〃-1)%,記S“為數(shù)列他,｝的前"項和，求S“，并證明：當(dāng)〃22時，

S“>6.

【答案】(1)?！?2"

(2)5“=(2〃-3)2田+6

【解析】

【分析】(1)利用遞推式相減得出““=2”,并驗證首項符合通項，最后得出答案；

(2)錯位相減法求前n項和

【小問1詳解】

1111

-ax+—a2+—a3++—an=n,①

則++最7%=〃-1(〃22)，②

①-②得亂=叱2),則a.=2”(〃N2),

當(dāng)〃=1時，由①得一q二l,

2

4=2=21,

an=2〃,

【小問2詳解】

易得2=（2“—1）2”,

.?.5?=1-2'+3-22+5-23++（2〃-1）2",①

.?.2S?=1-22+3-23+5-24++（2〃-1）2"“，②

②一①得S“=-2-（23+24++2,,+1）+（2n-l）2/,+l

=—2-（2*2一8）+（2〃—1）2用

=（2〃-3）2向+6,

故邑=（2〃-3）7用+6,

當(dāng)〃22時，（2?-3）2n+1>0

???S,,>6

19.如圖，四棱錐P-ABC。中，平面APDL平面ABC。，△APD為正三角形，底面

為等腰梯形，AB//CD,A8=2CO=2BC=4.

（2）若點尸為線段形上靠近點P的三等分點，求二面角b-A￡>-P的大小.

【答案】（1）證明見解析；

71

（2）-

4

【解析】

TI

【分析】（1）先用幾何關(guān)系證明NA=§,然后根據(jù)余弦定理求出BO,結(jié)合勾股定理可得

BD工AD，最后利用面面垂直的性質(zhì)定理證明；

（2）過p作PGLAD,垂足為G,結(jié)合面面垂直的性質(zhì)先說明可以在G處為原點建系,

然后利用空間向量求二面角的大小.

【小問1詳解】

c

取AB中點E，連接CE,根據(jù)梯形性質(zhì)和AB=2CD可知，CD//AE,且

CD=AE,于是四邊形仞CE為平行四邊形，故CE=AD=2=BE=CB,則.CEB

7T

為等邊三角形，故NA=NC￡：8=—,在△A3。中，由余弦定理,

3

BD2=AB2+AD2-2ABxADxcos-=16+4-8=12,故BD=26注意到

3

JT

BD2+AD2=12+4=16=AB2，由勾股定理，ZADB=~,即BOLAD，由平面

2

AP￡>J_平面ABC。，平面APO'平面ABCD=AD,BDu平面ABC。，根據(jù)面面

垂直的性質(zhì)定理可得，6。1平面APO.

過P作PG_LA￡>,垂足為G,連接EG,由平面平面ABC。，平面APD平

面A3CD=AO,。6匚平面叢。，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，PG_L平面ABC。，

△APD為正三角形，PG1AD,故AG=G￡>(三線合一)，由A￡=￡B和中位線性

質(zhì)，GE//8D，由(1)知，6。_/平面4尸。，故6石_1_平面4尸。，于是GA,GE,GP

兩兩垂直，故以G為原點，GA,GE,GP所在直線分別為x,y,z軸，建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系.由(1)知，BD1平面AP。，又8O〃y軸，故可取機=(0,1,0)為平面

APO的法向量，又P(0,0,6),B(-l,2V3,0),根據(jù)題意，BF=2FP，設(shè)

F(x,y,z),則(x+l,y—2君,2)=2卜工,—乂百―z),解得F一$?{,又

A2^/32^/3'

A(1,O,O),D(-1,0,0),DA=(2,0,0),FA=—,---,----,設(shè)平面E4O的法

I"7

a=0

n-DA=0

向量〃=(〃也c),由V即,4。2y/3b26c，于是〃=(()』,一1)為平面

n-FA=0----------------=()

I333

E4D的法向量,二面角大小的范圍是［0,司結(jié)合圖

形可知是銳二面角，故二面角E—AD—P的大小為百

4

20.為落實體育總局和教育部發(fā)布的《關(guān)于深化體教融合，促進(jìn)青少年健康發(fā)展的意見》，

某校組織學(xué)生參加100米短跑訓(xùn)練.在某次短跑測試中，抽取100名女生作為樣本，統(tǒng)計

她們的成績（單位：秒），整理得到如圖所示的頻率分布直方圖（每組區(qū)間包含左端點，不

n6

v5

o

o3

o2

（1）估計樣本中女生短跑成績的平均數(shù)；（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）

（2）由頻率分布直方圖，可以認(rèn)為該校女生的短跑成績X服從正態(tài)分布N（〃,b2）,其中

4近似為女生短跑平均成績無，cr?近似為樣本方差小,經(jīng)計算得，/=6.92,若從該校

女生中隨機抽取10人，記其中短跑成績在［12.14,22.66］以外的人數(shù)為V,求尸（丫》1）.

附參考數(shù)據(jù)：7^92?2.63，隨機變量X服從正態(tài)分布N（〃,b2）,則

P（〃-b<XW〃+cr）=0.6827,P（4—2b<X<"+2b）=（）.9545,

P（〃-3b<X<4+3b）=0.9974,0.6827"-0.0220，0.9545隈0.6277，

O.997410?0.9743.

【答案】（1）17.4

（2）0.3723

【解析】

【分析】(1)結(jié)合頻率分布直方圖中求平均數(shù)公式，即可求解.

(2)根據(jù)已知條件，可知，〃=17.4,CT2=6.92,即可求出

2b=12.14,〃+2cr=22.66,結(jié)合正態(tài)分布的對稱性以及二項分布的概率公式，即可

求解.

【小問1詳解】

估計樣本中女生短跑成績的平均數(shù)為：

(12x0.02+14x0.06+16x0.14+18x0.18+20x0.05+22x0.03+24x0.02)x2=17.4；

【小問2詳解】

該校女生短跑成績X服從正態(tài)分布N07.4,6.92),

由題可知〃=17.4,b2=6.92,cr=J6.92工2.63，則

//-2b=12.14,〃+2b=22.66,

故該校女生短跑成績在［12.14,22.66］以外的概率為：

1-P(12.14<X<22.66)=1-0.9545=0.0455,

由題意可得，5(10,0.0455),

P(y>l)=l-P(y=0)=l-0.954510?1-0.6277=0.3723.

21.已知橢圓C:，+/=l(a>分>0)的左焦點為尸，右頂點為A,離心率為孝，8為

橢圓C上一動點，￡，鉆面積的最大值為浮1.

(1)求橢圓C的方程；

(2)經(jīng)過F且不垂直于坐標(biāo)軸直線,與C交于M,N兩點，x軸上點P滿足

|PM|=|PN|,^\MN\=A\FP\,求4的值.

2

【答案】(1)—+/=1;

2

(2)入=2垃

【解析】

【分析】(1)由題意可得6=￡=也，4(.+0地=叵H，再結(jié)合〃2=加+02可求出41,

a222

從而可求出橢圓的方程；

(2)由題意設(shè)直線MN為1=。-1(20),MQ,%),N(X2，y2)，設(shè)尸(%,0)，將直線

方程代入橢圓方程中化簡利用根與系數(shù)的關(guān)系，然后由1PMi=|PN|可得/=-產(chǎn)9

再根據(jù)|MN|=川田可求得結(jié)果.

【小問1詳解】

因為橢圓的離心率為也，

2

所以e=￡=Y2,

a2

因為￡48面積的最大