2023-2024學(xué)年遼寧省協(xié)作校高二上學(xué)期期中大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat24頁2023-2024學(xué)年遼寧省協(xié)作校高二上學(xué)期期中大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知向量，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)空間向量的共線，垂直的充要條件以及空間向量坐標(biāo)的減法，模長定義即得.【詳解】因，對于A選項(xiàng)，由可得：，易知的值不存在；對于B選項(xiàng)，由可知不成立；對于C選項(xiàng)，；對于D選項(xiàng)，故選：D.2．已知點(diǎn)，若直線與線段相交，則的取值范圍是（

）A． B．或 C．或 D．【答案】C【分析】由直線方程知直線過定點(diǎn)，求出的斜率，結(jié)合圖象得直線的斜率滿足的關(guān)系，從而得的范圍．【詳解】直線過定點(diǎn)，，，由于，所以直線的斜率滿足或，所以或，故選：C．3．已知，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的定義可得，，可得為直角三角形，進(jìn)而可得解.【詳解】由，得，，即，，又，則，，所以為直角三角形，，所以，故選：B.4．設(shè)向量不共面，已知，，若三點(diǎn)共線，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】把A、C、D三點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化為滿足，列方程組，求出即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以存在唯一的，使得,即，即，解得：.故選：A.5．故宮太和殿是中國形制最高的宮殿，其建筑采用了重檐廡殿頂?shù)奈蓓敇邮?，廡殿頂是“四出水”的五脊四坡式，由一條正脊和四條垂脊組成，因此又稱五脊殿.由于屋頂有四面斜坡，故又稱四阿頂.如圖所示的五面體的底面為一個(gè)矩形，，，，棱分別是的中點(diǎn).求直線與平面所成角的正弦值（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】過作，為垂足，根據(jù)垂直關(guān)系證明平面，平面，建系，利用空間向量求線面夾角,【詳解】因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，在矩形中，,，分別為，的中點(diǎn)，故，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.在平面中，過作，為垂足，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，以為坐?biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)H作,交于S,交于Q，以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，由題意得,所以，，，，所以，，.設(shè)平面的法向量，則，即，令，得為平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.故選：C.6．已知圓的半徑為2，圓心在直線上.點(diǎn).若圓上存在點(diǎn)，使得，則圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)圓心，表示出圓，設(shè)，依題意可得，將問題轉(zhuǎn)化為兩圓有交點(diǎn)求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】依題意設(shè)圓心，則圓：，設(shè)，則，，由，則，即，依題意即圓與圓有交點(diǎn)，則，解得，即圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍為.故選：D.7．已知直四棱柱，，，側(cè)棱，，分別是與的中點(diǎn)，點(diǎn)在平面上的射影是的重心，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)直棱柱的性質(zhì)及射影的性質(zhì)可知，即，且，可得，所以.【詳解】如圖所示，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，，，則且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，由已知四棱柱為直四棱柱，得底面，平面，所以，即，所以為直角三角形，又點(diǎn)在平面上的射影是的重心，得，則，則，所以，所以點(diǎn)到平面的距離，故選：D.8．已知分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，雙曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，且，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)題意作圖，利用正弦定理以及余弦定理，建立方程，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)以及其離心率的計(jì)算公式，可得答案.【詳解】由題意可知，，設(shè)，，在中，根據(jù)正弦定理可得，則，在中，根據(jù)正弦定理可得，則，由，則，由，則，解得，由雙曲線定義可知，解得，，在中，根據(jù)余弦定理可得，在中，根據(jù)余弦定理可得，由，則，可得，整理可得，由雙曲線離心率可知，則可得，由，解得.故選：C.二、多選題9．如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長都是2，且它們彼此的夾角都是為與的交點(diǎn)，若，則下列正確的是（

）A． B．C． D．的長為【答案】AC【分析】A、B選項(xiàng)考查的是空間向量基本定理的應(yīng)用，以，，為基底表示，就可以得到結(jié)論；C選項(xiàng)考查利用空間向量數(shù)量積求向量夾角的余弦，先用基底表示和，再求它們的數(shù)量積和模，利用可判斷C是否正確；對D選項(xiàng)，先用基底表示，再結(jié)合可求的長.【詳解】∵，故A正確.∵.故B錯(cuò)誤.又∵，.，；，..∴.故C正確.∵，∴.故D錯(cuò)誤.故選：AC.10．已知方程表示的曲線為，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，曲線是橢圓B．當(dāng)或時(shí)，曲線是雙曲線C．若曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則D．若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則【答案】BC【分析】按雙曲線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程逐項(xiàng)判斷即可【詳解】A：，時(shí)，若即，則是圓，故錯(cuò)誤B：時(shí)，且，，故是雙曲線；時(shí)，且，是雙曲線，故正確C：若曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則且，解得，故正確D：，若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得，故錯(cuò)誤故選：BC11．如圖，長方體中，是側(cè)面的中心，是底面的中心，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則下面選項(xiàng)正確的是（

）A．四面體的體積為定值B．點(diǎn)到平面的距離C．異面直線與所成的角為D．存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為【答案】ABD【分析】A選項(xiàng)，證明出線面平行，得到點(diǎn)到平面的距離為定值，結(jié)合為定值，故四面體的體積為定值，A正確；B選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，得到點(diǎn)到平面的距離；C選項(xiàng)，利用異面直線夾角向量公式求出答案；D選項(xiàng)，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用線面角的向量求解公式得到，D正確.【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，又點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)到平面的距離為定值，又為定值，故四面體的體積為定值，A正確；B選項(xiàng)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，則，解得，令，則，故，故點(diǎn)到平面的距離，B正確；C選項(xiàng)，，，則，故異面直線與所成的角不為，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，設(shè)，，由B選項(xiàng)知，平面的法向量為設(shè)直線與平面所成角為，則，令，解得，負(fù)值舍去，故存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為，D正確.故選：ABD12．已知，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)（不在軸上），外接圓的圓心為，半徑為，內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，直線交軸于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A．最大時(shí)， B．的最小值為C． D．的取值范圍為【答案】BCD【分析】根據(jù)焦點(diǎn)三角形的面積，可知其最大值，再根據(jù)內(nèi)切圓半徑公式可判斷A選項(xiàng)，根據(jù)外心的概念及向量的線性運(yùn)算可判斷B選項(xiàng)，根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，即可判斷C選項(xiàng)，再根據(jù)外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑的求法可判斷D選項(xiàng).【詳解】由，得，，，A選項(xiàng)：設(shè)，則，，，所以當(dāng)點(diǎn)在短軸端點(diǎn)時(shí)，面積最大值為，此時(shí)由內(nèi)切圓性質(zhì)可知，則，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)，，則，B選項(xiàng)：如圖所示，設(shè)中點(diǎn)為，則，所以，又，同理，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：設(shè)與交于點(diǎn)，由角分線定理可知，即，即，所以，所以，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：設(shè)，由正弦定理得，即，由余弦定理得，則，且，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，，所以，則，D選項(xiàng)正確；故選：BCD.【點(diǎn)睛】橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形，稱為橢圓的焦點(diǎn)三角形，與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的計(jì)算或證明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的關(guān)系．三、填空題13．若直線與直線平行，則.【答案】【分析】根據(jù)兩條直線平行系數(shù)關(guān)系計(jì)算求參即可.【詳解】直線與直線平行，，同時(shí)截距不等直線不重合.故答案為:.14．已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.【答案】【分析】設(shè)將轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于的方程即可.【詳解】設(shè)動(dòng)點(diǎn)滿足，即，化簡得：即點(diǎn)的軌跡方程為.故答案為：15．已知拋物線，圓，在拋物線上任取一點(diǎn)，向圓作切線，切點(diǎn)為A，則的最小值.【答案】2【分析】設(shè)，由切線長公式求得切線長后，結(jié)合二次函數(shù)知識(shí)得最小值．【詳解】由已知，圓半徑為2，設(shè)，，所以時(shí)，，故答案為：2.四、雙空題16．三棱錐中，兩兩垂直，，點(diǎn)為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則三棱錐體積的最大值，若記直線與直線的所成角為，則的取值范圍為.【答案】/【分析】由題意先確定出點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡，從而可求出三棱錐體積的最大值，根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩直線方向向量夾角的余弦值，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可求得其范圍.【詳解】因?yàn)閮蓛纱怪?，且，所以由三角形全等可得，所以三棱錐為正三棱錐，設(shè)在底面內(nèi)的投影為，為的中點(diǎn)，因?yàn)?，兩兩垂直，所以，所以，，所以，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，所以的最大值為，因?yàn)?，所以三棱錐體積的最大值為，如圖，以為原點(diǎn)，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，所以,所以，因?yàn)?，所以，即，即的取值范圍為，故答案為：?【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查棱錐的體積運(yùn)算，考查線線角的求解，考查空間向量的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是合理建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解，考查空間想象能力和計(jì)算能力，屬于較難題.五、解答題17．分別求滿足下列條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)經(jīng)過點(diǎn)，圓心在軸上；(2)經(jīng)過直線與的交點(diǎn)，圓心為點(diǎn).【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)圓的方程為，將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入求解即可；（2）聯(lián)立兩直線方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出圓的半徑，即可求解.【詳解】（1）設(shè)圓的方程為，由題意得：解得：，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）聯(lián)立與，解得：，所以交點(diǎn)為，則圓的半徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.18．已知直線的方向向量與直線的方向向量共線且過點(diǎn)；(1)求的方程；(2)若與拋物線交于點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)直線，直線的斜率分別是；求及的值.【答案】(1)(2)，【分析】（1）由題意，根據(jù)直線的方向向量的概念可得直線l的斜率為，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程即可求解；（2）設(shè)，聯(lián)立直線與拋物線方程，根據(jù)韋達(dá)定理和兩點(diǎn)表示斜率公式可得，進(jìn)而，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)到直線l的距離d，結(jié)合化簡計(jì)算即可.【詳解】（1）由題意知，直線的斜率為直線l的斜率為，依題意，直線的方程為，即；（2）設(shè)，由，得，，設(shè)點(diǎn)到直線l的距離為，由知，所以，故.

19．如圖①，在等腰直角三角形中，分別是上的點(diǎn)，且滿足.將沿折起，得到如圖②所示的四棱錐.

圖①

圖②(1)設(shè)平面平面，證明：；(2)若垂直于點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由線線平行證明線面平行，再證明線線平行（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用向量方法即可得解【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面因?yàn)槠矫?，平面平面，?）由圖①，得，又，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為.則，令，得，故設(shè)與平面所成角為..直線與平面所成角的正弦值為20．如圖，在正四棱臺(tái)中，.(1)證明：平面；(2)若正四棱臺(tái)的側(cè)棱長為，過直線的平面與平行，求平面與平面夾角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）如圖，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)與判定定理即可證明；（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出面面角，即可求解.【詳解】（1）連接，設(shè)正四棱臺(tái)的上、下底面的中心分別為，則分別為的中點(diǎn)，連接,因?yàn)槭钦睦馀_(tái)，所以平面，又平面，所以，因?yàn)闉檎叫?，所以，又平面，所以平面?）設(shè)的中點(diǎn)分別為，連接，易知兩兩垂直，則以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由已知得，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則取，則，所以設(shè)平面的法向量為，則取，則，所以，設(shè)平面與平面的夾角為，則，得，所以平面與平面夾角的正弦值為.21．設(shè)圓與兩圓，中的一個(gè)內(nèi)切，另一個(gè)外切，記圓的圓心軌跡為.(1)求的方程；(2)過曲線上一點(diǎn)作兩條直線，，且點(diǎn)，點(diǎn)都在曲線上，若直線的斜率為，記直線的斜率為，直線的斜率為，試探究是否為定值，若為定值請求出值，并說明理由.【答案】(1)(2)是定值，，理由見解析【分析】（1）結(jié)合圓與圓的內(nèi)切與外切的性質(zhì)可得，再結(jié)合雙曲線的定義可得解；（2）聯(lián)立直線與雙曲線，結(jié)合韋達(dá)定理可表示，進(jìn)而可確定.【詳解】（1）設(shè)圓的半徑為，圓的半徑為，圓的半徑為圓與兩圓，中的一個(gè)內(nèi)切，另一個(gè)外切，可知，，或，則，所以動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與的距離的絕對值為定值，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線，且，，所以軌跡的方程為；（2）設(shè)直線，，，聯(lián)立直線與雙曲線，得，，即且，，則，即為定值，.【點(diǎn)睛】解決直線與雙曲線的綜合問題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、雙曲線的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與雙曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．22．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，短軸長為，直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線與軸不平行，記直線的斜率為，直線的斜率為，已知.(1)求證：直線恒過定點(diǎn)；(2)斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，記以，為直徑的圓的面積分別為，，的面積為，求的最大值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由已知可得橢圓方程，設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理及，可得，即可得證；（2）設(shè)直線，聯(lián)立直線與橢圓，結(jié)合韋達(dá)定理可得弦長，再根據(jù)點(diǎn)到直線距離可得，再根據(jù)