2023-2024學年湖南省岳陽市汨羅市九年級（上）期中數(shù)學試卷（含解析）

2023-2024學年湖南省岳陽市汨羅市九年級第一學期期中數(shù)學試卷一、單選題（每小題3分，共30分）1．若關(guān)于x的方程（m﹣2）x2+mx﹣1＝0是一元二次方程，則m的取值范圍是（）A．m≠2 B．m＝2 C．m≥2 D．m≠02．若關(guān)于x的方程x2+3x+a＝0有一個根為﹣1，則另一個根為（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣33．已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點（﹣1，2），則k的值是（）A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．4．下列說法中不正確的是（）A．函數(shù)y＝3x的圖象經(jīng)過原點 B．函數(shù)y＝的圖象位于第一、三象限 C．函數(shù)y＝2x﹣1的圖象不經(jīng)過第二象限 D．函數(shù)y＝﹣的值隨x的值的增大而減小5．關(guān)于x的一元二次方程3x2+2x+1＝0的根的情況，下列判斷正確的是（）A．有兩個相等的實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根 C．沒有實數(shù)根 D．無法判斷6．已知，則的值為（）A． B． C． D．7．已知線段a、b、c，作線段x，使a：b＝c：x，則正確的作法是（）A． B． C． D．8．如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)（x＞0）的圖象交于點A（1，4），B（4，1）兩點，當一次函數(shù)大于反比例函數(shù)的值時，x的取值范圍是（）A．x＜1 B．1＜x＜4 C．x＞3 D．x＞49．如圖，一塊矩形ABCD綢布的長AB＝a，寬AD＝1，按照圖中的方式將它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗與矩形ABCD綢布相似，則a的值等于（）A． B． C．2 D．10．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D為線段BC上一點，以AD為一邊構(gòu)造Rt△ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE，下列說法正確的是（）①∠BAD＝∠EDC；②△ADO∽△ACD；③；④2AD2＝BD2+CD2．A．僅有①② B．僅有①②③ C．僅有②③④ D．①②③④二、填空題（每小題3分，共18分）11．將一元二次方程2x2＝5x﹣3化成一般形式之后，若二次項的系數(shù)是2，則一次項系數(shù)為．12．若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一個根，則﹣6m2+9m﹣13的值為．13．已知反比例函數(shù)，當4≤x≤10時，y的最大值為．14．“今有井徑五尺，不知其深，立五尺木于井上，從木末望水岸，入徑四寸，問井深幾何？”這是我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》中的“井深幾何”問題，它的題意可以由圖獲得，則井深為尺．15．“黃金分割”被視為最美麗的幾何學比率，在建筑、藝術(shù)和日常生活中處處可見．主持人站在舞臺的黃金分割點的位置會更自然得體，如圖，舞臺長AB＝8米，C，D是線段AB的黃金分割點（即，若主持人從舞臺黃金分割點C走到另一個黃金分割點D，則CD的長為米．（結(jié)果保留根號）16．如圖，在正方形ABCD中，點G是BC上一點，且，連接DG交對角線AC于F點，過D點作DE⊥DG交CA的延長線于點E，若AE＝5，則DF的長為．三、解答題（共72分：17—19題每題6分，20.21題每題8分，22.23題每題9分，24.25題每題10分）17．解方程：（1）（x+4）2＝5（x+4）；（2）2x2﹣4x﹣1＝0．18．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的兩根，求下列各式的值：（1）x12+x22；（2）．19．根據(jù)物理學知識，在壓力不變的情況下，某物體承受的壓強P（Pa）是它的受力面積S（m2）的反比例函數(shù)，其函數(shù)圖象如圖所示．（1）求P關(guān)于S的函數(shù)關(guān)系式．（2）當S＝0.25m2時，物體所受的壓強是多少Pa．20．如圖，在△ABC和△DEC中，∠BCE＝∠ACD，∠B＝∠CED．（1）求證：△ABC∽△DEC；（2）若S△ABC：S△DEC＝4：9，BC＝12，求EC的長．21．中國古代數(shù)學家楊輝的《田畝比數(shù)乘除減法》中記載：“直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步，問闊及長各幾步？翻譯成數(shù)學問題是：一塊矩形田地的面積為864平方步，它的寬比長少12步，問它的長與寬各多少步？22．已知矩形ABCD的一條邊AD＝8，將矩形ABCD折疊，使得頂點B落在CD邊上的P點處．如圖，已知折痕與邊BC交于點O，連接AP、OP、OA．（1）求證：；（2）若△OCP與△PDA的相似比為1：2，求邊AB的長．23．如圖，一次函數(shù)y＝mx+5的圖象與反比例函數(shù)在第一象限的圖象交于A（1，n）和B（4，1）兩點，過點A作y軸的垂線，垂足為M．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；（2）求△ABM的面積；（3）在y軸上求一點P，使PA+PB最小．24．操作與研究：如圖，△ABC被平行于CD的光線照射，CD⊥AB于D，AB在投影面上．（1）指出圖中線段AC的投影是，線段BC的投影是．（2）問題情景：如圖1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，我們可以利用△ABC與△ACD相似證明AC2＝AD×AB，這個結(jié)論我們稱之為射影定理，請證明這個定理．（3）拓展運用：如圖2，正方形ABCD的邊長為15，點O是對角線AC、BD的交點，點E在CD上，過點C作CF⊥BE，垂足為F，連接OF；試利用射影定理證明△BOF∽△BED．25．如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，動點P從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度，沿射線BC方向運動，動點Q從點C出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度，沿線段CD方向運動．點P和點Q同時出發(fā)，當點Q到達點D時，兩點同時停止運動，設運動時間為t秒（t＞0）．（1）用含t的代數(shù)式表示線段CP的長；（2）當PQ與矩形的對角線平行時，求t的值；（3）若點M為DQ的中點，求以M、P、C為頂點的三角形與△ABC相似時t的值；（4）直接寫出點B關(guān)于直線AP的對稱點B′落在△ACD邊上時t的值．

參考答案一、單選題（每小題3分，共30分）1．若關(guān)于x的方程（m﹣2）x2+mx﹣1＝0是一元二次方程，則m的取值范圍是（）A．m≠2 B．m＝2 C．m≥2 D．m≠0【分析】本題根據(jù)一元二次方程的定義求解，一元二次方程必須滿足兩個條件：未知數(shù)的最高次數(shù)是2；二次項系數(shù)不為0．由這兩個條件得到相應的關(guān)系式，再求解即可．解：由題意，得m﹣2≠0，m≠2，故選：A．【點評】本題利用了一元二次方程的概念．只有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．2．若關(guān)于x的方程x2+3x+a＝0有一個根為﹣1，則另一個根為（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣3【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，利用兩根和，兩根積，即可求出a的值和另一根．解：設一元二次方程的另一根為x1，則根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得﹣1+x1＝﹣3，解得：x1＝﹣2．故選：A．【點評】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，方程ax2+bx+c＝0的兩根為x1，x2，則x1+x2＝﹣，x1?x2＝．3．已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點（﹣1，2），則k的值是（）A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．【分析】直接將點（﹣1，2）代入反比例函數(shù)中，即可求解．解：將點（﹣1，2）代入反比例函數(shù)，得：，解得：k＝﹣2，故選：B．【點評】本題考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，準確計算是解題的關(guān)鍵．4．下列說法中不正確的是（）A．函數(shù)y＝3x的圖象經(jīng)過原點 B．函數(shù)y＝的圖象位于第一、三象限 C．函數(shù)y＝2x﹣1的圖象不經(jīng)過第二象限 D．函數(shù)y＝﹣的值隨x的值的增大而減小【分析】分別利用一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)分析得出答案．解：A．函數(shù)y＝3x的圖象經(jīng)過原點，正確，不合題意；B．函數(shù)y＝的圖象位于第一、三象限，正確，不合題意；C．函數(shù)y＝2x﹣1的圖象不經(jīng)過第二象限，正確，不合題意；D．函數(shù)y＝﹣的值，在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，故錯誤．符合題意．故選：D．【點評】本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的定義與性質(zhì)，正確把握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．關(guān)于x的一元二次方程3x2+2x+1＝0的根的情況，下列判斷正確的是（）A．有兩個相等的實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根 C．沒有實數(shù)根 D．無法判斷【分析】根據(jù)根的判別式即可求出答案．解：Δ＝22﹣4×1×3＝4﹣12＝﹣8，故原方程無實數(shù)根，故選：C．【點評】本題考查根的判別式，解題的關(guān)鍵是熟練運用根的判別式，本題屬于基礎題型．6．已知，則的值為（）A． B． C． D．【分析】將＝化成3y＝4x，再根據(jù)題意代入即可．解：∵＝，∴3y＝4x，∴x＝y(tǒng)．∴＝＝﹣．故選：C．【點評】本題考查分數(shù)的基本性質(zhì)，掌握分數(shù)的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．已知線段a、b、c，作線段x，使a：b＝c：x，則正確的作法是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)一一分析．解：A、根據(jù)平行線的性質(zhì)得a：b＝x：c，故此選項錯誤；B、根據(jù)平行線的性質(zhì)得a：b＝c：x，故此選項正確；C、根據(jù)平行線的性質(zhì)得x：b＝a：c，故此選項錯誤；D、根據(jù)平行線的性質(zhì)得a：b＝x：c，故此選項錯誤．故選：B．【點評】本題主要考查了利用平行線的性質(zhì)畫圖的方法．8．如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)（x＞0）的圖象交于點A（1，4），B（4，1）兩點，當一次函數(shù)大于反比例函數(shù)的值時，x的取值范圍是（）A．x＜1 B．1＜x＜4 C．x＞3 D．x＞4【分析】結(jié)合圖形，一次討論當x＜1，x＝1，1＜x＜4，x＝4，x＞4時，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的大小，即可得到答案．解：由圖象可知：當x＜1時，反比例函數(shù)大于一次函數(shù)的函數(shù)值，當x＝1時，反比例函數(shù)等于一次函數(shù)的函數(shù)值，當1＜x＜4時，一次函數(shù)大于反比例函數(shù)的函數(shù)值，當x＝4時，反比例函數(shù)等于一次函數(shù)的函數(shù)值，當x＞4時，反比例函數(shù)大于一次函數(shù)的函數(shù)值，即當一次函數(shù)大于反比例函數(shù)的值時，x的取值范圍是：1＜x＜4，故選：B．【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，正確掌握數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．9．如圖，一塊矩形ABCD綢布的長AB＝a，寬AD＝1，按照圖中的方式將它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗與矩形ABCD綢布相似，則a的值等于（）A． B． C．2 D．【分析】由裁出的每面彩旗的寬與長的比與原綢布的寬與長的比相同，構(gòu)建方程求解即可．解：∵使裁出的每面彩旗的寬與長的比與原綢布的寬與長的比相同，∴＝，解得a＝或﹣（舍棄），∴a＝，故選：B．【點評】此題考查了相似多邊形的性質(zhì)．注意相似多邊形的對應邊成比例．10．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D為線段BC上一點，以AD為一邊構(gòu)造Rt△ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE，下列說法正確的是（）①∠BAD＝∠EDC；②△ADO∽△ACD；③；④2AD2＝BD2+CD2．A．僅有①② B．僅有①②③ C．僅有②③④ D．①②③④【分析】①根據(jù)三角形內(nèi)角和定理進行判斷推理即可解答；②根據(jù)三角形相似的判定方法推理即可判斷正誤；③先說明△BAD∽△EAO，再運用相似三角形的性質(zhì)即可解答；④利用矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理進行推理即可解答．解：①∵∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝135°﹣∠BDA，∴∠EDC＝180°﹣∠ADE﹣∠BDA＝135°﹣∠BDA，∴∠BAD＝∠EDC，故①正確；②∵∠ADE＝∠ACB，∠CAD＝∠OAD，∴△ADO∽△ACD．故②正確；③∵∠ABD＝∠AEO，∠BAD＝∠EAO，∴△BAD∽△EAO，∴．故③正確；④如圖，過點D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分別為M，N，在Rt△AED中，DE2＝AD2+AE2，AD＝AE，∴DE2＝2AD2，同理，在Rt△BMD中，BD2＝2MD2；在Rt△DCN中，CD2＝2DN2．∵∠DMA＝∠MAN＝∠DNA＝90°，∴四邊形AMDN是矩形，∴DN＝AM，在Rt△AMD中，AD2＝AM2+MD2，∴2AD2＝2AM2+2MD2，∴2AD2＝BD2+CD2．故④正確．故選：D．【點評】本題是考查的是等腰三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、三角形相似等知識點，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、三角形相似的判斷及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題（每小題3分，共18分）11．將一元二次方程2x2＝5x﹣3化成一般形式之后，若二次項的系數(shù)是2，則一次項系數(shù)為﹣5．【分析】根據(jù)題意正確得出一元二次方程的一般形式，進而可得到答案．解：∵一元二次方程2x2＝5x﹣3化成一般形式之后，二次項的系數(shù)是2，∴化成的一般形式為2x2﹣5x+3＝0，∴一次項系數(shù)為﹣5．故答案為：﹣5．【點評】本題考查了一元二次方程的一般形式，熟知一般地，任何一個關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．這種形式叫一元二次方程的一般形式是解題的關(guān)鍵．12．若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一個根，則﹣6m2+9m﹣13的值為﹣16．【分析】將m代入2x2﹣3x﹣1＝0可得2m2﹣3m＝1，再將所求代數(shù)式變形為﹣3（2m2﹣3m）﹣13即可求解．解：∵m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一個根，∴2m2﹣3m﹣1＝0，∴2m2﹣3m＝1，∵﹣6m2+9m﹣13＝﹣3（2m2﹣3m）﹣13＝﹣3﹣13＝﹣16，故答案為：﹣16．【點評】本題考查一元二次方程的解，熟練掌握一元二次方程的解與一元二次方程的關(guān)系，靈活變形所求代數(shù)式是解題的關(guān)鍵．13．已知反比例函數(shù)，當4≤x≤10時，y的最大值為．【分析】對反比例函數(shù)y＝，在4≤x≤10，y隨x的增大而減小，則在x＝4時取得最大值．解：當4≤x≤10時，反比例函數(shù)y＝的圖象隨x的增大而減小，則y在x＝4時取得最大值，y＝．故答案為：．【點評】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，重點是注意y＝（k≠0）中k的取值．14．“今有井徑五尺，不知其深，立五尺木于井上，從木末望水岸，入徑四寸，問井深幾何？”這是我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》中的“井深幾何”問題，它的題意可以由圖獲得，則井深為57.5尺．【分析】根據(jù)題意可知△ABF∽△ADE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求AD，進一步得到井深．解：如圖，依題意有△ABF∽△ADE，∴AB：AD＝BF：DE，即5：AD＝0.4：5，解得AD＝62.5，∴BD＝AD﹣AB＝62.5﹣5＝57.5（尺）．故答案為57.5．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是得到△ABF∽△ADE．15．“黃金分割”被視為最美麗的幾何學比率，在建筑、藝術(shù)和日常生活中處處可見．主持人站在舞臺的黃金分割點的位置會更自然得體，如圖，舞臺長AB＝8米，C，D是線段AB的黃金分割點（即，若主持人從舞臺黃金分割點C走到另一個黃金分割點D，則CD的長為（8﹣16）米．（結(jié)果保留根號）【分析】由黃金分割的定義得BC＝AD＝AB＝（4﹣4）米，再由CD＝BC+AD﹣AB，即可得出結(jié)論．解：根據(jù)黃金分割的定義得BC＝AD＝AB＝×8＝（4﹣4）（米），∴CD＝BC+AD﹣AB＝2×（4﹣4）﹣8＝（8﹣16）（米），故答案為：（8﹣16）．【點評】本題考查了黃金分割點的概念，熟練運用黃金比進行計算是解題的關(guān)鍵．16．如圖，在正方形ABCD中，點G是BC上一點，且，連接DG交對角線AC于F點，過D點作DE⊥DG交CA的延長線于點E，若AE＝5，則DF的長為．【分析】過點E作EH⊥AD，交DA延長線于H，先證出△DEH∽△DGC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得＝，再根據(jù)＝可得DH＝3EH，利用勾股定理可得EH＝HA＝，從而可得DH＝，BC＝CD＝AD＝5，然后利用勾股定理可得DG＝，最后證出△ADF∽△CGF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得DF＝3GF，由此即可得．解：如圖，過點E作EH⊥AD，交DA延長線于H，∴∠H＝90°，在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∠H＝∠BCD，∵DE⊥DG，∴∠EDG＝90°，∴∠2+∠1＝90°，∴∠1＝∠3，∴△DEH∽△DGC，∴＝，∵＝，∴設GC＝x（x＞0），則BG＝2x，DC＝BC＝3x，∴＝，∴DH＝3EH，∵AC是正方形ABCD對角線，∴∠DAC＝45°，∴∠EAH＝∠DAC＝45°，∴∠HEA＝45°，∴EH＝HA，∵AE＝5，∴EH2+HA2＝AE2＝25，∴EH＝HA＝，∴DH＝，∴BC＝CD＝AD＝DH﹣HA＝5，由＝得：GC＝BC＝，∴DG＝＝，在正方形ABCD中，AD∥BC，∴△ADF∽△CGF，∴＝＝＝3，∴DF＝3GF，∴DF＝DG＝，故答案為：．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識點，通過作輔助線，構(gòu)造直角三角形和相似三角形是解題關(guān)鍵．三、解答題（共72分：17—19題每題6分，20.21題每題8分，22.23題每題9分，24.25題每題10分）17．解方程：（1）（x+4）2＝5（x+4）；（2）2x2﹣4x﹣1＝0．【分析】（1）先移項得到（x+4）2﹣5（x+4）＝0，然后利用因式分解法解方程；（2）利用配方法解方程．解：（1）（x+4）2﹣5（x+4）＝0，（x+4）（x+4﹣5）＝0，x+4＝0或x+4﹣5＝0，所以x1＝﹣4，x2＝1；（2）x2﹣2x＝，x2﹣2x+1＝+1，（x﹣1）2＝，x﹣1＝±所以x1＝1+，x2＝1﹣．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．18．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的兩根，求下列各式的值：（1）x12+x22；（2）．【分析】（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系，可得出x1+x2＝3，x1x2＝﹣1，將其代入x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2中，即可求出結(jié)論；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系，可得出x1+x2＝3，x1x2＝﹣1，將其代入＝中，即可求出結(jié)論．解：（1）∵x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的兩根，∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣1，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×（﹣1）＝11；（2）∵x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的兩根，∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣1，∴＝＝＝﹣3．【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，牢記“兩根之和等于﹣，兩根之積等于”是解題的關(guān)鍵．19．根據(jù)物理學知識，在壓力不變的情況下，某物體承受的壓強P（Pa）是它的受力面積S（m2）的反比例函數(shù)，其函數(shù)圖象如圖所示．（1）求P關(guān)于S的函數(shù)關(guān)系式．（2）當S＝0.25m2時，物體所受的壓強是多少Pa．【分析】（1）觀察圖象易知P與S之間的是反比例函數(shù)關(guān)系，所以可以設，依據(jù)圖象上點的坐標可以求得P與S之間的函數(shù)關(guān)系式．（2）將S代入上題求得的反比例函數(shù)的解析式即可求得壓強．解：（1）設，由圖象可知：點（0.1，1000）在函數(shù)圖象上，∴，∴k＝100∴故答案為：．（2）把S＝0.25m2代入得：；答：當S＝0.25m2時，物體所受的壓強是400Pa．【點評】本題主要考查了求反比例函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握待定系數(shù)法．20．如圖，在△ABC和△DEC中，∠BCE＝∠ACD，∠B＝∠CED．（1）求證：△ABC∽△DEC；（2）若S△ABC：S△DEC＝4：9，BC＝12，求EC的長．【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定，即可；（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，即可．【解答】解（1）∵∠BCE＝∠ACD，∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，∴∠ACB＝∠DCE，∵∠B＝∠CED，∴△ABC∽△DEC．（2）由（1）得，△ABC～△DEC，∵S△ABC：S△DEC＝4：9，∴，∵BC＝12，∴EC＝18．【點評】本題考查相似三角形的知識，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定和性質(zhì)．21．中國古代數(shù)學家楊輝的《田畝比數(shù)乘除減法》中記載：“直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步，問闊及長各幾步？翻譯成數(shù)學問題是：一塊矩形田地的面積為864平方步，它的寬比長少12步，問它的長與寬各多少步？【分析】設矩形的寬為x步，根據(jù)題意列方程求解，即可得到答案．解：設矩形的寬為x步，則矩形的長為（x+12）步，依題意得：x（x+12）＝864，解得：x＝24或x＝﹣36（舍去），∴x+12＝24+12＝36，∴矩形的寬為24步，則長為36步，答：寬24步，長36步．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等量關(guān)系式．22．已知矩形ABCD的一條邊AD＝8，將矩形ABCD折疊，使得頂點B落在CD邊上的P點處．如圖，已知折痕與邊BC交于點O，連接AP、OP、OA．（1）求證：；（2）若△OCP與△PDA的相似比為1：2，求邊AB的長．【分析】（1）根據(jù)矩形及折疊的性質(zhì)可得出∠APO＝∠B＝90°，∠C＝∠D＝90°，由同角的余角相等可得出∠DAP＝∠CPO，結(jié)合∠C＝∠D＝90°即可證出△OCP∽△PDA，進一步證明即可；（2）由相似三角形的性質(zhì)可得PD＝2OC，PA＝2OP，DA＝2CP，由勾股定理可求OP＝5，進一步解答即可求解．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC，DC＝AB，∠DAB＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．由折疊可得：AP＝AB，PO＝BO，∠PAO＝∠BAO，∠APO＝∠B．∴∠APO＝90°．∴∠APD＝90°﹣∠CPO＝∠POC，∵∠D＝∠C，∠APD＝∠POC，∴△OCP∽△PDA．∴．（2）解：∵△OCP與△PDA的相似比為1：2，∴＝，∴PD＝2OC，PA＝2OP，DA＝2CP，∵AD＝8，∴CP＝4，BC＝8．設OP＝x，則OB＝x，CO＝8﹣x，在△PCO中，C＝90°，CP＝4，OP＝x，CO＝8﹣x，∴x2＝（8﹣x）2+42，解得：x＝5．∴AB＝AP＝2OP＝10．∴邊AB的長為10．【點評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，利用相似三角形的性質(zhì)和勾股定理求出OP的長是本題的關(guān)鍵．23．如圖，一次函數(shù)y＝mx+5的圖象與反比例函數(shù)在第一象限的圖象交于A（1，n）和B（4，1）兩點，過點A作y軸的垂線，垂足為M．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；（2）求△ABM的面積；（3）在y軸上求一點P，使PA+PB最小．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法分別求出反比例函數(shù)與一次函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)鉛錘高×水平寬計算△ABM面積即可；（3）作點A關(guān)于y軸的對稱點N，則N（﹣1，4），連接BN交y軸于點P，點P即為所求．【解答】（1）解將B（4，1）代入得．∴k＝4．∴．將B（4，1）代入y＝mx+5得：1＝4m+5，∴m＝﹣1．∴y＝﹣x+5．（2）∵A（1，n）在函數(shù)的圖象上，∴n＝4，∴A（1，4）即AM＝1，∴S△ABM＝（4﹣1）＝；（3）作點A關(guān)于y軸的對稱點N，則N（﹣1，4）．連接BN交y軸于點P，點P即為所求．設直線BN的關(guān)系式為y＝kx+b，由，得，∴．∴點P的坐標為．【點評】此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式以及作對稱點問題，根據(jù)已知得出對稱點是解決問題的關(guān)鍵．24．操作與研究：如圖，△ABC被平行于CD的光線照射，CD⊥AB于D，AB在投影面上．（1）指出圖中線段AC的投影是AD，線段BC的投影是BD．（2）問題情景：如圖1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，我們可以利用△ABC與△ACD相似證明AC2＝AD×AB，這個結(jié)論我們稱之為射影定理，請證明這個定理．（3）拓展運用：如圖2，正方形ABCD的邊長為15，點O是對角線AC、BD的交點，點E在CD上，過點C作CF⊥BE，垂足為F，連接OF；試利用射影定理證明△BOF∽△BED．【分析】（1）根據(jù)題意，即可得到答案；（2）證明△ACD∽△ABC，得到AC：AB＝AD：AC，即可證明定理；（3）利用射影定理，得到BC2＝BO?BD，BC2＝BF?BE，進而得到BO?BD＝BF?BE，即可證明△BOF∽△BED．【解答】（1）解：根據(jù)題意，圖中線段AC的投影是AD，線段BC的投影是BD，故答案為：AD，BD；（2）證明：∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，而∠CAD＝∠BAC，∴Rt△ACD∽Rt△ABC，∴AC：AB＝AD：AC，∴AC2＝AD?AB；（3）證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴OC⊥BO，∠BCD＝90°，∴BC2＝BO?BD，∵CF⊥BE，∴BC2＝BF?BE，∴BO?BD＝BF?BE，即，∵∠OBF＝∠EBD，∴△BOF∽△BED【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理、射影定理等知識，解題關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，理解射影定理：直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項；每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項．25．如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，動點P從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度，沿射線BC方向運動，動點Q從點C出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度，沿線段CD方向運動．點P和點Q同時出發(fā)，當點Q到達點D時，兩點同時停止運動，設運動時間為t秒（t＞0）．（1）用含t的代數(shù)式表示線段CP的長；（2）當PQ與矩形的對角線平行時，求t的值；（3）若點M為DQ的中點，求以M、P、C為頂點的三角形與△ABC相似時t的值；（4）直接寫出點B關(guān)于直線AP的對稱點B′落在△ACD邊上時t的值．【分析】（1）由題意得BP＝2t，CQ＝t，則當0＜t≤2時，CP＝4﹣2t；當2＜t≤5時，CP＝2t﹣4；（2）分兩種情況討論，一是當0＜t≤2時，P