19.4 線段的垂直平分線（原卷版）

19.4線段的垂直平分線教學(xué)目標(biāo)：1.識(shí)記并理解線段垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理。2.掌握垂線的尺規(guī)作圖方法并理解作法的依據(jù)及合理性。3.通過對(duì)定理的探究，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)勇于思考和探究的品質(zhì)，讓學(xué)生充分體會(huì)到探究的樂趣。重點(diǎn)：線段的垂直平分線定理和逆定理的證明和運(yùn)用。難點(diǎn)：線段的垂直平分線定理和逆定理的證明和運(yùn)用，線段的垂直平分線的畫法。知識(shí)點(diǎn)一線段垂直平分線的性質(zhì)定理1.線段垂直平分線的定義經(jīng)過線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線2.性質(zhì)定理線段垂直平分線上的任意一點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等3.符號(hào)語言4.應(yīng)用證明線段相等注意：聯(lián)結(jié)線段垂直平分線上的點(diǎn)和線段兩個(gè)端點(diǎn),構(gòu)造等腰三角形是常用的解題方法由于線段垂直平分線上的點(diǎn)可能在線段上也可能在線段外,故證明定理時(shí)必須對(duì)點(diǎn)P的位置分情況討論即學(xué)即練1（2022秋·上海靜安·八年級(jí)上海市市北初級(jí)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在四邊形中，為的中點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．若，則．

即學(xué)即練2（2020秋·上海普陀·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知如圖，在中，，，的垂直平分線分別交、于點(diǎn)、，垂足為點(diǎn)，那么的周長(zhǎng)為．

知識(shí)點(diǎn)二線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理1.逆定理和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上2.符號(hào)語言3.應(yīng)用確定點(diǎn)在線段的垂直平分線上注意：(1)組成線段的垂直平分線的所有點(diǎn)和線段兩端點(diǎn)的距離都相等;(2)和線段兩端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)組成該線段的垂直平分線即學(xué)即練1（2021秋·上海普陀·八年級(jí)校聯(lián)考期末）下列命題的逆命題錯(cuò)誤的是（

）A．線段垂直平分線上的任意一點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；B．全等三角形的三條邊對(duì)應(yīng)相等；C．如果兩個(gè)角都是直角，那么這兩個(gè)角相等；D．等邊三角形每個(gè)內(nèi)角都等于60°．即學(xué)即練2（2022秋·上海·八年級(jí)上海市民辦上寶中學(xué)?？计谥校┰谥校?，的垂直平分線與所在的直線相交所得到銳角為，則等于．知識(shí)點(diǎn)三三角形三邊垂直平分線的性質(zhì)三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等注意：①銳角三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)在三角形內(nèi)部;②直角三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)恰好是斜邊的中點(diǎn);③鈍角三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)在三角形外部.即學(xué)即練1（2021秋·上海·八年級(jí)專題練習(xí)）到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是（

）A．三角形三條中線的交點(diǎn) B．三角形三條高的交點(diǎn)C．三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn) D．三角形三條角平分線的交點(diǎn)即學(xué)即練2（2022秋·上?！ぐ四昙?jí)階段練習(xí)）到三角形各頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是三角形的交點(diǎn).題型1線段垂直平分線的性質(zhì)例1（2022秋·上海青浦·八年級(jí)校考期末）如圖，已知中，，，垂直平分，點(diǎn)D為垂足，交于點(diǎn)E．那么的周長(zhǎng)為．舉一反三1（2022秋·上海·八年級(jí)上海市民辦立達(dá)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，的垂直平分線與邊，交于點(diǎn)，，已知與的周長(zhǎng)分別是和，則的長(zhǎng)為．舉一反三2（2023春·上海嘉定·八年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，已知，，垂足分別為點(diǎn)A和點(diǎn)，，

(1)試判斷與的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)如果點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，，試判斷的形狀，并證明你的結(jié)論．題型2線段垂直平分線的判定例2（2022秋·上海寶山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．，是線段的垂直平分線上的兩點(diǎn)，則，B．若，，則直線是線段的垂直平分線C．若，則點(diǎn)在線段的垂直平分線上D．若，則過點(diǎn)的直線是線段的垂直平分線舉一反三1（2020秋·上海奉賢·八年級(jí)?？计谀┰谥?，，D為中點(diǎn)，于E，交的延長(zhǎng)線于F．(1)求證：；(2)求證：垂直平分．舉一反三2（2022秋·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）已知：如圖，中，分別是上的中線，相交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．求證：（1）；（2）垂直平分．題型3線段垂直平分線的實(shí)際應(yīng)用例3（2020·八年級(jí)?？颊n時(shí)練習(xí)）如圖，中邊AB的垂直平分線分別交BC、AB于點(diǎn)D、E，AE=3cm，的周長(zhǎng)為9cm，則的周長(zhǎng)是（

）

A．12cm B．15cm C．21cm D．18cm舉一反三1（2020秋·上海金山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°，（1）利用直尺、圓規(guī),求作AB的垂直平分線DE,交BC于點(diǎn)D、交AB于點(diǎn)E:(不要求寫出作法,但要求保留作圖痕跡)（2）若BD=3，求BC的長(zhǎng).舉一反三2（2019秋·上?！ぐ四昙?jí)?？计谥校┤鐖D，A、B兩村在一條小河的同一側(cè)，要在河邊建一水廠向兩村供水（1）若要使自來水廠到兩村的距離相等，廠址應(yīng)選在哪個(gè)位置？（2）若要使自來水廠到兩村的輸水管用料最省，廠址應(yīng)選在哪個(gè)位置？請(qǐng)用尺規(guī)作圖，將上述兩種情況下的自來水廠廠址分別在圖（1）（2）中標(biāo)出，并保留作圖痕跡．題型4作垂線（尺規(guī)作圖）例4（2022秋·上海黃浦·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在已知中，是的角平分線．(1)根據(jù)要求作圖：在邊上求作一點(diǎn)E，使得點(diǎn)E到A、D的距離相等．（不要求寫作法，但需要保留作圖痕跡和結(jié)論）(2)在第（1）小題所作的圖中，求證：．舉一反三1（2022秋·上?！ぐ四昙?jí)期末）作圖題：在等邊ABC所在平面上找這樣一點(diǎn)P，使PAB、PBC、PAC都是等腰三角形，請(qǐng)用尺規(guī)畫出所有具有這樣性質(zhì)的點(diǎn)P．舉一反三2（2019秋·上海普陀·八年級(jí)?？计谥校┮阎喝鐖D，在中，，邊的垂直平分線與分別交于點(diǎn)D和點(diǎn)E．（1）作出邊的垂直平分線（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）；（2）當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．一、單選題1．（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分線，交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．已知∠C＝7∠BAE，則∠C的度數(shù)為（）A．41° B．42° C．43° D．44°2．（2022秋·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC中，AB的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)E，AC的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)N，若∠BAC＝，則∠EAN的度數(shù)為（

）A． B． C． D．3．（2022秋·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）如圖，已知垂直平分線段，，那么的度數(shù)為（

）A． B． C． D．4．（2022秋·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）三角形的外心是三角形的（

）A．三條中線的交點(diǎn) B．三條角平分線的交點(diǎn)C．三邊垂直平分線的交點(diǎn) D．三條高所在直線的交點(diǎn)5．（2022秋·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，斜邊的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，平分，那么下列關(guān)系中不成立的是（

）A． B．C． D．二、填空題6．（2023春·上海嘉定·八年級(jí)?？奸_學(xué)考試）在中，，垂直平分分別交，于，．如果是等腰三角形，那么的大小是．7．（2022秋·上海黃浦·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）在△ABC中，AB、AC的垂直平分線分別交BC于D、E，∠DAE＝20°，則∠BAC＝°．8．（2019秋·上海長(zhǎng)寧·八年級(jí)上海市西延安中學(xué)?？计谀┤鐖D△ABC中，邊BC的垂直平分線分別與AC、BC交于點(diǎn)D、E，如果AB=CD，∠C等于20度，那么∠A度．9．（2022秋·上海·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，分別以點(diǎn)和為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于，，作直線，交于點(diǎn)，連接．如果,，那么；三、解答題10．（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，BE⊥AC，垂足為E，AE＝B