第2章第07講 解題技巧專題：二次根式中的化簡求值(6類熱點(diǎn)題型講練)（解析版）

第2章第07講解題技巧專題：二次根式中的化簡求值(6類熱點(diǎn)題型講練)目錄TOC\o"1-3"\h\u【類型一利用二次根式的非負(fù)性求值】 1【類型二利用乘法公式進(jìn)行計算】 4【類型三整體代入求值】 6【類型四新定義型運(yùn)算】 9【類型五二次根式的分母有理化】 12【類型六復(fù)合二次根式的化簡】 18【類型一利用二次根式的非負(fù)性求值】例題：（2023春·河北唐山·八年級統(tǒng)考期中）若直角三角形兩直角邊長分別為a，b，且滿足，則該直角三角形的斜邊長為．【答案】【分析】先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出兩直角邊長、，再根據(jù)勾股定理求解．【詳解】解：，，，該直角三角形的斜邊長，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理計算直角三角形的斜邊，正確的運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期末）已知則的值是．【答案】9【分析】根據(jù)根式的非負(fù)性結(jié)合非負(fù)式子和為0，它們分別等于0，即可得到答案；【詳解】解：∵，，，∴，，解得：，，∴．故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題考查根式的非負(fù)性，解題的關(guān)鍵是熟練掌握非負(fù)式子和為0，它們分別等于0．2．（2023春·廣東肇慶·七年級校考期中）已知，則的算術(shù)平方根是．【答案】4【分析】由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出a和b的值，代入再求算術(shù)平方根即可．【詳解】解：∵，∴，解得：，則，∴的算術(shù)平方根是4．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和算術(shù)平方根，正確求出a和b的值是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如果實(shí)數(shù)、滿足，則的平方根為．【答案】/3或/或3【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性，求得的值，進(jìn)而得出，代入代數(shù)式，然后再求平方根即可求解．【詳解】解：∵實(shí)數(shù)、滿足，∴，∴，∴，∴的平方根為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根的非負(fù)性，求一個數(shù)的平方根，熟練掌握算術(shù)平方根的非負(fù)性，平方根的定義是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·安徽池州·八年級統(tǒng)考期末）已知直角三角形兩邊的長滿足，則第三邊的長．【答案】或或【分析】根據(jù)絕對值、算術(shù)平方根的非負(fù)性分別求出x、y，分三種情況討論，根據(jù)勾股定理計算，得到答案．【詳解】解：∵x、y為直角三角形的兩邊長，滿足，∴，，解得（負(fù)值不合題意，舍去），或，當(dāng)直角邊長分別為2，2時，則第三邊長為：；當(dāng)直角邊長分別為2，3時，則第三邊長為：；當(dāng)直角邊長為2，斜邊長為3，則第三邊長為．故答案為：或或．【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么．5．（2023春·吉林松原·八年級校聯(lián)考期中）已知實(shí)數(shù)a，b滿足關(guān)系式．(1)求a，b的值；(2)求的算術(shù)平方根．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)算術(shù)平方根的定義求解即可．【詳解】（1）由題意，，可得，，解得，．（2）的算術(shù)平方根是．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和算術(shù)平方根的定義，注意：幾個非負(fù)數(shù)的和為0時，則每個數(shù)都是0．6．（2023春·江西南昌·七年級校考期末）已知a、b、c為的三邊長，且b、c滿足，a為方程的解，求的周長，并判斷的形狀．【答案】的周長為17，是等腰三角形．【分析】依據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，即可得到b和c的值，再根據(jù)a為方程的解，即可得到或1，依據(jù)三角形三邊關(guān)系，即可得到，進(jìn)而得出的周長，以及的形狀．【詳解】解：∵，∴，解得，∵a為方程的解，∴或1，當(dāng)時，，不能組成三角形，故不合題意；∴，∴的周長，∵，∴是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，等腰三角形的定義，掌握非負(fù)數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【類型二利用乘法公式進(jìn)行計算】例題：（2023春·寧夏吳忠·八年級統(tǒng)考期末）計算：．【答案】【分析】先計算平方差和完全平方差，再計算減法，化簡即可．【詳解】解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的運(yùn)算，涉及到了平方差公式和完全平方差公式，解題關(guān)鍵是牢記公式．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·青海果洛·八年級統(tǒng)考期末）計算：．【答案】【分析】先根據(jù)完全平方公式展開，再根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算即可．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，正確計算是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·安徽滁州·八年級?？计谥校┯嬎悖海敬鸢浮?【分析】根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算法則計算即可．【詳解】原式．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的混合運(yùn)算法則，正確計算是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·遼寧葫蘆島·八年級統(tǒng)考期末）計算：【答案】【分析】原式根據(jù)完全平方公式和平方差公式進(jìn)行計算即可．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的除法，熟練掌握除法法則是解答本題的關(guān)鍵．4．（2023春·黑龍江大慶·七年級統(tǒng)考期末）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先化簡各二次根式，然后合并同類二次根式即可；（2）先根據(jù)平方差和完全平方公式計算，然后合并同類二次根式即可．【詳解】（1）原式．（2）原式．【點(diǎn)睛】本題是對二次根式的混合運(yùn)算的考查，熟練掌握二次根式的化簡及運(yùn)算法則是解決本題的關(guān)鍵．5．（2023春·江蘇揚(yáng)州·八年級統(tǒng)考期末）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先計算零指數(shù)冪、開平方，然后計算乘法，最后從左往右依次計算，即可得到答案；（2）利用完全平方公式和平方差公式進(jìn)行計算，再合并即可得到答案．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算、二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【類型三整體代入求值】例題：（2023春·山東臨沂·八年級?？茧A段練習(xí)）已知，求．【答案】【分析】將進(jìn)行平方，再將整體代入求值即可．【詳解】解：將代入得：∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡求值，解決本題的關(guān)鍵是整體代入法求值．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·吉林松原·八年級校聯(lián)考期中）如果，，那么．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，再合并同類二次根式，最后將式子的值代入即可求解．【詳解】解：∵，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡求值，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）已知，那么的值等于．【答案】【分析】通過完全平方公式求出，把待求式的被開方數(shù)都用的代數(shù)式表示，然后再進(jìn)行計算．【詳解】解：∵，∴，∴∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡求值，難度不大，關(guān)鍵是把已知條件和待求式的被開方數(shù)都用的代數(shù)式表示．3．（2023春·北京海淀·八年級?？计谥校┮阎?，求代數(shù)式的值．【答案】2【分析】根據(jù)完全平方公式把原式變形，把的值代入計算即可．【詳解】解：，．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握完全平方公式．4．（2023春·廣東東莞·八年級?？茧A段練習(xí)）已知：，求的值．【答案】【分析】根據(jù)進(jìn)行計算求解即可．【詳解】解：∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的化簡求值，完全平方公式的變形求值，正確根據(jù)完全平方公式得到是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）已知，求下列式子的值：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件式得出，然后根據(jù)完全平方公式變形求值即可求解；（2）將，代入進(jìn)行計算即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，，∴；（2）解：∵，∴【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握完全平方公式與二次根式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【類型四新定義型運(yùn)算】例題：（2023春·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期末）對于任意的正數(shù)m，n，定義一種新的運(yùn)算“*”：，則計算的結(jié)果為．【答案】/【分析】根據(jù)新定義把所求的式子化為二次根式運(yùn)算，再進(jìn)行二次根式的運(yùn)算即可．【詳解】解：∵，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的計算，理解新定義，將式子轉(zhuǎn)化為二次根式的計算，并正確進(jìn)行二次根式計算是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣西南寧·七年級校聯(lián)考期中）對于兩個不相等的實(shí)數(shù)a、b，定義一種新的運(yùn)算如下，，如：，那么．【答案】3【分析】根據(jù)定義的新運(yùn)輸，將，代入化簡即可得出答案．【詳解】解：，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，在解題時要先明確新的運(yùn)算表示的含義是本題的關(guān)鍵．2．（2023秋·河北保定·七年級統(tǒng)考期末）定義一種對正整數(shù)n的“F運(yùn)算”：①當(dāng)n為奇數(shù)時，結(jié)果為；②當(dāng)n為偶數(shù)時，結(jié)果為（其中k是使為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行，例如，取，第三次“F運(yùn)算”的結(jié)果是11．

若，（1）第一次“F運(yùn)算”的結(jié)果為；第二次“F運(yùn)算”的結(jié)果為；（2）照這樣運(yùn)算下去，第2022次“F運(yùn)算”的結(jié)果為．【答案】1【分析】（1）若，根據(jù)題意進(jìn)行計算即可得；（2）由（1）得，若，第一次“F運(yùn)算”的結(jié)果為；第二次“F運(yùn)算”的結(jié)果為，再算出第三次運(yùn)算結(jié)果，第四次運(yùn)算結(jié)果，第五次運(yùn)算結(jié)果，第六次運(yùn)算結(jié)果，根據(jù)所得規(guī)律進(jìn)行計算即可得．【詳解】解：（1）若，第一次“F運(yùn)算”的結(jié)果為：，第二次“F運(yùn)算”的結(jié)果為：，故答案為：，；（2）由（1）得，若，第一次“F運(yùn)算”的結(jié)果為；第二次“F運(yùn)算”的結(jié)果為，第三次運(yùn)算結(jié)果為：，第四次運(yùn)算結(jié)果為：，第五次運(yùn)算結(jié)果為：，第六次運(yùn)算結(jié)果為：，∵∴第2022次“F運(yùn)算”的結(jié)果為1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字類變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是理解題意，發(fā)現(xiàn)結(jié)果的變化規(guī)律．3．（2023秋·山西長治·九年級統(tǒng)考期末）對于任意的正實(shí)數(shù)和，我們定義新運(yùn)算：，如：，求：的值．【答案】【分析】原式利用題中的新定義計算即可得到結(jié)果．【詳解】解：∵，∴根據(jù)題中的新定義得：，即：．【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的混合運(yùn)算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．4．（2023春·廣東廣州·八年級廣州市第十六中學(xué)?？计谥校┒x：我們將與稱為一對“對偶式”．因為，可以有效的去掉根號，所以有一些題可以通過構(gòu)造“對偶式”來解決．例如：已知，求的值，可以這樣解答：因為，所以．(1)已知：，求：①________；②結(jié)合已知條件和第①問的結(jié)果，解方程：；(2)代數(shù)式中的取值范圍是________，最大值是________，最小值是_________；(3)計算：．【答案】(1)①2；②(2)，10，2(3)【分析】（1）仿照題意，進(jìn)行計算即可得到答案；（2）根據(jù)二次根式有意義的條件列出不等式組，解不等式組即可得到答案；（3）利用原題的過程，對原式進(jìn)行變形后，即可得到答案．【詳解】（1）解：①∵，∴；故答案為：2②由①得，已知，兩式相加得到，，即，則，解得，經(jīng)檢驗，滿足題意，即方程的解是；（2）解：由二根式有意義的條件得到，解得，即的取值范圍是，x的最大值是10，x的最小值是2；故答案為：，10，2（3）【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的性質(zhì)和混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則和靈活變形是解題的關(guān)鍵．【類型五二次根式的分母有理化】例題：（2023春·安徽六安·七年級六安市第九中學(xué)?？计谥校╅喿x材料，并解決問題．定義：將分母中的根號化去的過程叫做分母有理化．如：將分母有理化，解：原式．運(yùn)用以上方法解決問題：(1)將分母有理化；(2)觀察上面的解題過程，請直接寫出結(jié)果：______．(3)計算的值．【答案】(1)(2)(3)2022【分析】（1）根據(jù)平方差公式先分子和分母都乘以，即可求出答案；（2）根據(jù)平方差公式先分子和分母都乘以，即可求出答案；（3）先分母有理化，最后合并即可．【詳解】（1）解：==；（2）解：；故答案為：；（3）解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查了分母有理化，平方差公式的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能正確進(jìn)行分母有理化．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期末）像，，兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個代數(shù)式互為有理化因式．例如：與，與，與等都是互為有理化因式．進(jìn)行二次根式計算時，利用有理化因式，可以化去分母中的根號．請完成下列問題：(1)化簡：；(2)計算：；(3)比較與的大小，并說明理由．【答案】(1)(2)(3)，理由見解析【分析】（1）利用有理化因式，化去分母中的根號即可；（2）利用有理化因式，化去分母中的根號，再進(jìn)行加減運(yùn)算即可；（3）利用有理化因式，化去分母中的根號，再進(jìn)行比較即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：∵∴，【點(diǎn)睛】本題考查分母有理化，掌握二次根式的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·山西呂梁·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）閱讀下面解題過程．例：化簡．解：．請回答下列問題．(1)歸納：請直接寫出下列各式的結(jié)果：①__________；②__________．(2)應(yīng)用：化簡．(3)拓展：__________．含的式子表示，為正整數(shù)）【答案】(1)①；②(2)(3)【分析】（1）①分子分母都乘以可得答案；②分子分母都乘以可得答案；（2）把分母中的二次根號去掉，再合并同類二次根式即可；（3）把分母中的二次根號去掉，再結(jié)合分配律，合并同類二次根式即可；【詳解】（1）解：①；②；（2）；（3）．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的混合運(yùn)算，二次根式的運(yùn)算中的規(guī)律探究，熟練的分母有理化是解本題的關(guān)鍵．3．（2023春·江西贛州·八年級統(tǒng)考期末）在數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小誠和他的同學(xué)遇到一道題：已知，求的值他是這樣解答的：，．，．．．請你根據(jù)小誠的解題過程，解決如下問題：(1)______；(2)化簡；(3)若，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)小誠的解答過程計算即可．（2）結(jié)合（1）進(jìn)行分母有理化，再合并即可的結(jié)果．（3）根據(jù)平方差公式，可分母有理化，根據(jù)整體代入，可得答案．【詳解】（1）；（2）原式；（3），，，即．．．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的加減，分母有理化，平方差公式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知進(jìn)行解答．4．（2023春·河北邢臺·八年級?？计谥校鹃喿x材料】在二次根式中，如：，，它們的積不含根號，我們稱這樣的兩個二次根式互為有理化因式．于是我們可以利用這樣的兩個二次根式，進(jìn)行分母有理化（通過分子、分母同乘一個式子，把分母中的根號轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的過程），例如：，．【解決問題】(1)化簡的結(jié)果為______；(2)已知，．①化簡______，______；②求的值；(3)計算：．【答案】(1)(2)①；；②(3)【分析】（1）結(jié)合題意，利用分母有理化、平方差公式計算即可；（2）①利用分母有理化化簡即可②利用提公因式法把原式變形，代入計算即可；（3）根據(jù)（1）的結(jié)論計算即可．【詳解】（1），故答案為：．（2）①；②．（3）原式．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的化簡求值、分母有理化，掌握二次根式的乘法法則、減法法則是解題的關(guān)鍵．【類型六復(fù)合二次根式的化簡】例題：（2023春·湖南郴州·八年級?？奸_學(xué)考試）先閱讀材料，然后回答問題．（1）小張同學(xué)在研究二次根式的化簡時，遇到了一個問題：化簡經(jīng)過思考，小張解決這個問題的過程如下：①②③④在上述化簡過程中，第________步出現(xiàn)了錯誤，化簡的正確結(jié)果為________；（2）化簡；（3）請根據(jù)你從上述材料中得到的啟發(fā)，化簡：．【答案】（1）④，；（2）；（3）【分析】（1）第④步出現(xiàn)了錯誤，；（2）類比例題，將9分別拆為兩個二次根式的平方的和，再用完全平方公式變形，計算求值即可；（3）類比例題，將8分別拆為兩個二次根式的平方的和，再用完全平方公式變形，計算求值即可．【詳解】解：（1）第④步出現(xiàn)了錯誤，正確解答如下：；（2）；（3）．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡和完全平方公式的運(yùn)用，能夠?qū)?shù)據(jù)拆為正確的完全平方公式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·河南信陽·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）閱讀材料：把根式進(jìn)行化簡，若能找到兩個數(shù)，是且，則把變成開方，從而使得化簡．