第七中學2023-2024學年高三上學期期中考試理科數(shù)學試題

…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○……○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○……○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第七中學2023-2024學年高三上學期期中考試理科數(shù)學試題試卷副標題考試范圍：xxx；考試時間：100分鐘；命題人：xxx題號一二三四總分得分注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）請點擊修改第I卷的文字說明評卷人得分一、單選題1．已知集合，則（

）A． B．C． D．2．復(fù)數(shù)，則（

）A． B．5 C． D．33．執(zhí)行如圖所示程序框圖，則輸出結(jié)果是（

）

A．熱 B．愛 C．生 D．活4．某公司一種型號的產(chǎn)品近期銷售情況如表：月份23456銷售額（萬元）15.116.317.017.218.4根據(jù)上表可得到回歸直線方程，據(jù)此估計，該公司7月份這種型號產(chǎn)品的銷售額為（

）A．18.85萬元 B．19.3萬元 C．19.25萬元 D．19.05萬元5．已知空間兩不同直線、，兩不同平面，，下列命題正確的是（

）A．若且，則B．若且，則C．若且，則D．若不垂直于，且，則不垂直于6．如圖，在中，，是邊一點，，則等于（）A． B． C． D．7．將函數(shù)的圖象向左平移個單位得到函數(shù)的圖象，則關(guān)于函數(shù)以下說法正確的是（

）A．最大值為1，圖象關(guān)于直線對稱B．周期為，圖象關(guān)于點對稱C．在上單調(diào)遞增，為偶函數(shù)D．在上單調(diào)遞減，為奇函數(shù)8．如圖，平面四邊形中，，將其沿對角線折成四面體，使平面平面，四面體的頂點在同一個球面上，則該球的體積為（

）

A． B． C． D．9．已知雙曲線C的兩個頂點分別為A1，A2，若C的漸近線上存在點P，使得，則C的離心率的取值范圍是A．（1，3] B．[3，+∞） C．（1，2] D．[2，+∞）10．已知函數(shù)，在有且只有一個極值點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．11．已知數(shù)列滿足，則（

）A． B．C． D．12．已知，則在下列關(guān)系①；②；③；④中，能作為“”的必要不充分條件的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明評卷人得分二、填空題13．曲線在點處的切線的傾斜角為．14．已知，則二項式展開式中的常數(shù)項為．15．數(shù)列滿足：，數(shù)列的前項和記為，則．16．分別是橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，的內(nèi)切圓的圓心為，設(shè)直線的斜率分別為，則橢圓的離心率為．評卷人得分三、解答題17．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，其外接圓半徑為1，，．(1)求；(2)求的面積．18．體育強國是新時期我國體育工作改革和發(fā)展的目標和任務(wù)，我國要力爭實現(xiàn)體育大國向體育強國的轉(zhuǎn)變.2019年9月2日，國務(wù)院辦公廳印發(fā)《體育強國建設(shè)綱要》，綱要提出，到2035年，《國民體質(zhì)測定標準》合格率超過．2023年9月23日至10月8日，第19屆亞運會在我國杭州成功舉辦，中國代表隊以201枚金牌，383枚獎牌奪得金牌榜和獎牌榜第一.這是新時期中國體育工作改革和發(fā)展過程中取得的優(yōu)異成績.某校將學生的立定跳遠作為體育健康監(jiān)測項目，若該校初三年級上期開始時要掌握全年級學生立定跳遠情況，隨機抽取了100名學生進行測試，得到頻率分布直方圖，且規(guī)定計分規(guī)則如下表：

跳遠距離得分17181920(1)現(xiàn)從樣本的100名學生中，任意選取2人，求兩人得分之和不大于35分的概率；(2)若該校初三年級所有學生的跳遠距離（單位：）服從正態(tài)分布，用樣本數(shù)據(jù)的平均值和方差估計總體的期望和方差，已知樣本方差（各組數(shù)據(jù)用中點值代替）．根據(jù)往年經(jīng)驗，該校初三年級學生經(jīng)過一年訓練后，每人跳遠距離都有明顯進步，假設(shè)初三結(jié)束進行跳遠測試時每人跳遠比初三上學期開始時距離增加，現(xiàn)利用所得正態(tài)分布模型：（?。┤羧昙壡『糜?000名學生，預(yù)估初三結(jié)束進行測試時，跳遠距離在以上的人數(shù)；（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）（ⅱ）若在全年級所有學生中任意選取3人，記初三結(jié)束進行測試時，跳遠距離在以上的人數(shù)為，求隨機變量的分布列和期望．附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，．參考數(shù)據(jù)：；19．已知拋物線的焦點為，過拋物線上除原點外任一點作拋物線準線的垂線，垂足為，直線是的角平分線．(1)求直線與拋物線交點的個數(shù)；(2)直線與拋物線的準線相交于點，過作拋物線的切線，切點為（不與點重合），求面積的最小值．20．已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的極值；（2）若不等式對恒成立，求的取值范圍.21．已知曲線為參數(shù)），以直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．(1)求曲線的普通方程和的直角坐標方程；(2)若曲線與交于兩點，點是曲線上異于點的任意一點，求的面積的最大值．評卷人得分四、證明題22．一個多面體的三視圖和直觀圖如圖所示，其中正視圖和俯視圖均為矩形，側(cè)視圖為直角三角形，是的中點．

(1)求證：平面；(2)若為線段上一點，且，二面角的余弦值為，求的值．23．已知函數(shù)（1）解不等式；（2）若，且，求證：.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．B【分析】化簡集合，結(jié)合集合的運算即可.【詳解】由，，，，則A,C,D錯誤，B正確.故選：B2．C【分析】由復(fù)數(shù)的運算求解即可.【詳解】，.故選：C3．C【分析】模擬程序運行，確定變量值的變化后可得．【詳解】程序運行中，第一次循環(huán)時，愛，生，活，愛，第二次循環(huán)時，生，活，愛，生，第三次循環(huán)時，活，愛，生，活，此時，退出循環(huán)，輸出生，故選：C．4．D【分析】根據(jù)題意，由回歸直線方程過樣本點的中心，即可求得，然后代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】由表中數(shù)據(jù)可得，，因為回歸直線過樣本點的中心，所以，解得，所以回歸直線方程為，則該公司7月份這種型號產(chǎn)品的銷售額為萬元.故選：D5．C【分析】A選項，與可能平行、相交或異面，B選項，有或，C選項，由面面垂直的判定定理可知正確.D選項，與有可能垂直.【詳解】對于A選項，若且，則與可能平行、相交或異面，故A錯誤.對于B選項，若且，則或，故B錯誤.對于C選項，因為，所以由線面平行的性質(zhì)可得內(nèi)至少存在一條直線，使得，又，所以，由面面垂直的判定定理可知，故C正確.對于D選項，若不垂直于，且，與有可能垂直，故D錯誤.故選:C.6．A【分析】以，為基底，將分別用基底表示，再結(jié)合數(shù)量積的運算律可得答案.【詳解】故選：A．7．A【分析】先通過平移求出，然后利用余弦函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個單位得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)，對于A：，圖象關(guān)于直線對稱，正確；對于B：函數(shù)的最小正周期為，，圖象不關(guān)于點對稱，錯誤；對于C：，為偶函數(shù)，當時，，因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，錯誤；結(jié)合選項C，當時，，因為在上單調(diào)遞減，所以在單調(diào)遞增，D錯誤.故選：A.8．B【分析】根據(jù)題意取的中點，的中點，連接，可得為外接球的球心，再由球的體積公式，即可得到結(jié)果.【詳解】

取的中點，的中點，連接，由題意可知，，所以，由于平面平面，所以平面，所以,，所以，在中，，所以四面體的外接球的球心為，半徑為，所以該球的體積.故選：B9．A【分析】由題意設(shè)一條漸近線為：，取點,又，代入化簡得，由題轉(zhuǎn)化為此方程有解，可得離心率的取值范圍.【詳解】由題意設(shè)一條漸近線為：，取點，且，，因為，，整理得，該方程有解時，存在符合題意的P點，故，化簡得，即，∴.故選：A【點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，雙曲線的離心率范圍的求解，考查了學生轉(zhuǎn)化與化歸的思想，考查了學生的運算求解能力.10．C【分析】求出導函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為在上只有一個變號零點，再求導數(shù)確定單調(diào)性，利用零點存在定理求解．【詳解】，由題意在上只有一個變號零點，設(shè)，，時，在上沒有極值點，，時，恒成立，遞減，時，，因此，，所以，時，恒成立，遞增，時，，因此，，所以，時，時，，遞增，時，，遞減，，時，，，因此若，則在上至多只有一個不變號零點，所以且，由得，此時滿足題意．綜上，的范圍是．故選：C．11．A【分析】根據(jù)已知的遞推公式得出數(shù)列為等比數(shù)列，寫出其通項公式，然后累加法求出數(shù)列的通項公式，從而求出的值即可.【詳解】因為，所以，即，所以數(shù)列以首項為，公比為4的等比數(shù)列，所以，，，，，累加得：，所以，所以，故選：A.12．B【分析】利用基本不等式可判斷①；數(shù)形結(jié)合，作出的圖象，結(jié)合不等式相應(yīng)的幾何意義判斷②；利用放縮法說明，再用構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)知識說明，從而判斷③；構(gòu)造函數(shù)，求導判斷單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合，說明兩命題之間的推理關(guān)系，判斷④.【詳解】對于①，取，滿足，但不滿足，即成立推不出，由于，故，而，故，當且僅當時取等號，即成立可推出成立，故不是“”的必要不充分條件；對于②，作出函數(shù)的圖象，如圖曲線，即將的圖像向右平移1個單位得到；

則（）表示幾何意義為曲線在第一象限內(nèi)和坐標軸圍成的區(qū)域部分（不含坐標軸），則中相應(yīng)的點所在區(qū)域即上述區(qū)域；而表示的幾何意義為直角三角形區(qū)域部分（不含坐標軸），顯然直角三角形區(qū)域部分（不含坐標軸）對應(yīng)集合為曲線在第一象限內(nèi)和坐標軸圍成的區(qū)域部分（不含坐標軸）相應(yīng)集合的真子集，即是的必要不充分條件，對于③，由得，故，（），設(shè)，則，則在上單調(diào)遞減，且，則存在，使得，即時，，在上單調(diào)遞增，時，，在上單調(diào)遞減，而，則在上恒成立，即，故；而當成立時，不妨取，成立，但不成立，故是的必要不充分條件；對于④，當時，設(shè)，則，顯然在單調(diào)遞增，當時，，在單調(diào)遞減，當時，，在單調(diào)遞增，又，作出的大致圖象如圖：

由圖象可知存在，使得，故當時，只有唯一解，若，使得，則，與條件不符，即此時得不出，即不是的必要條件，故能作為“”的必要不充分條件的是②③，故選：B【點睛】本題考查了必要不充分條件的判斷，實質(zhì)還是考查導數(shù)的應(yīng)用，難度較大，難點是選項③④的判斷，解答時要注意利用放縮法結(jié)合構(gòu)造函數(shù)判斷③，利用構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合判斷④.13．【分析】求得的導數(shù)，將代入，可得切線的斜率，再由直線的斜率公式，計算可得所求傾斜角．【詳解】函數(shù)的導數(shù)為，可得曲線在點處的切線的斜率為，則切線的傾斜角滿足，，解得.故答案為：．【點睛】本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率，考查直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．14．28【分析】根據(jù)題意，由條件可得，結(jié)合二項式展開式的通項公式即可得到結(jié)果.【詳解】因為，則二項式展開式的通項公式為，令，解得，所以展開式中的常數(shù)項為.故答案為：15．2191【分析】，對分類討論，利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式即可得出.【詳解】數(shù)列是以公差的等差數(shù)列;.,數(shù)列是以公比的等比數(shù)列;..故答案為：2191.16．【分析】利用正切的二倍角公式求得直線的斜率，得出它們的方程后可求得點坐標（用表示），代入橢圓方程得關(guān)于的齊次方程，可求得結(jié)論．【詳解】由已知，，，，所以，，，直線方程為，直線方程為，由得，即，在橢圓上，所以，，解得或（舍去），故答案為：．

17．(1)(2)．【分析】（1）由正弦定理可得，再由平方關(guān)系計算可得；（2）由正弦定理得到，再由（1）可得，利用余弦定理求出，最后由面積公式計算可得.【詳解】（1）因為且外接圓半徑為1，根據(jù)正弦定理得，即，代入，即，由于，則，所以，則，解得．（2）因為，根據(jù)正弦定理得，即，由（1）知．由余弦定理得，解得．又因為，所以，所以．18．(1)(2)（ⅰ）1683人；（ⅱ）分布列見解析，1.5【分析】（1）先根據(jù)頻率分布直方圖求出得分17分和18分的人數(shù)，利用組合可得；（2）（?。┫惹蟪觯?，根據(jù)正態(tài)分布概率的性質(zhì)可得；（ⅱ）根據(jù)正態(tài)分布可知學生中任取1人，跳遠距離在以上的概率為0.5，服從二項分布，根據(jù)二項分布的概率公式和期望公式可得.【詳解】（1）兩人得分之和不大于35分，即兩人得分均為17分，或兩人中1人17分，1人18分，由頻率分布直方圖，得分為17分的人數(shù)為人，得分為18分的人數(shù)為人，故.（2）又，所以，所以初三結(jié)束進行測試時，，，所以.（?。┮驗樗?，所以跳遠距離在以上的人數(shù)為：（人）（ⅱ）由正態(tài)分布模型，全年級所有學生中任取1人，跳遠距離在以上的概率為0.5，故，所以，，，，的分布列為：01230.1250.3750.3750.12519．(1)只有一個交點(2)4【分析】（1）由的中點坐標，判斷出的角平分線即為中垂線，設(shè)出方程與拋物線方程聯(lián)立，判別式為0即可；（2）根據(jù)拋物線上的點的切線方程，由兩切線方程得兩切點連線的直線方程，再與拋物線聯(lián)立，結(jié)合弦長公式，點到直線的距離公式即可求.【詳解】（1）設(shè)，則坐標為中點坐標為又為等腰三角形，的角平分線即為中垂線，的方程為，聯(lián)立，得，與拋物線只有一個交點.（2）設(shè)點，由題意可知，為拋物線的兩條切線．先證：過拋物線上一點且與拋物線相切的方程為，證明：設(shè)過的切線的斜率為，則由點斜式得切線方程為，則，得，相切，即則，因為點在拋物線上，則，故，，代入得，整理得：，因為，代入上式得，，化簡得：．因此，設(shè)，則根據(jù)上述結(jié)論可知：，因為都過點，帶入上式得：，所以可知點都在直線上，因此直線的方程為．聯(lián)立，得，點到直線距離分當時，面積有最小值4．20．(1)答案見解析；(2).【詳解】試題分析：（1）對函數(shù)求導得到，討論和0和1的大小關(guān)系，在不同情況下求得導函數(shù)的正負即得到原函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)極值的概念得到結(jié)果；（2）設(shè)，構(gòu)造以上函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最值，使得最小值大于等于0即可.解析：（Ⅰ），，∵的定義域為.①即時，在上遞減，在上遞增，，無極大值.②即時，在和上遞增，在上遞減，，.③即時，在上遞增，沒有極值.④即時，在和上遞增，在上遞減，∴，.綜上可知：時，，無極大值；時，，；時，沒有極值；時，，.（Ⅱ）設(shè)，，設(shè)，則，，，∴在上遞增，∴的值域為，①當時，，為上的增函數(shù)，∴，適合條件.②當時，∵，∴不適合條件.③當時，對于，，令，，存在，使得時，，∴在上單調(diào)遞減，∴，即在時，，∴不適合條件.綜上，的取值范圍為.點睛：導數(shù)問題經(jīng)常會遇見恒成立求參的問題：（1）根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；（2）若就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為，若恒成立；（3）若恒成立，可轉(zhuǎn)化為（需在同一處取得最值）.21．(1)；(2)【分析】（1）由曲線的