2015年數(shù)學(xué)高考模擬試卷3

2015年江蘇高考數(shù)學(xué)模擬試卷(三)

第I卷(必做題分值160分)

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分.請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.

1.已知集合4={1,2,3,4,5},集合2={珅四〃},其中aeZ,若208={1,2},則a=▲.

2.若復(fù)數(shù)(l+i)z=3-4i(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z的模lzl=▲.

3.右圖是七位評委打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計(jì)圖，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的方差

為▲?

4.右邊是一個(gè)算法的偽代碼，若輸入x的值為1,則輸出的x的值是▲.Read%

Ifx>3then

5.有三張大小形狀都相同的卡片，它們的正反面分別寫有1和2、3和4、5和6,現(xiàn)

x-3

將它們隨機(jī)放在桌面上，則三張卡片上顯示的數(shù)字之和大于10的概率是▲.Else

6.已知{2}為等差數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為S,,,若見+2%+3%5-%7=3,貝iJSp=—3-x

Endlf

▲.

Printx

7.已知正四棱錐的底面邊長是2,這個(gè)正四棱錐的側(cè)面積為16,則該正四棱錐的體積

為▲.

8.設(shè)a,Pe(0,兀)，且sin(a+?)=tany=.則cos6的值為▲.

9.已知x,y滿足約束條件<x+yW3,則z=2x+y的最小值為▲

2y2工一3,

10.若Vx<2,不等式y(tǒng)+(6—。)工+2。20恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是▲.

Y2y2_________

11.橢圓C=+J=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是大,鳥，力為橢圓上一點(diǎn)，AFAF=04K與y

abC29

軸交與點(diǎn)AZ,若可7=(南，則橢圓離心率的值為▲

12.已知二次函數(shù)［(x)="2+(16—。3卜—16。2(a>0)的圖象與x軸交于48兩點(diǎn)，則線段48長

度的最小最▲.

13.如圖，在正△NBC中，點(diǎn)G為邊8c上的中點(diǎn)，線段43,ZC上的動點(diǎn)。，E

分別滿足而=丸標(biāo)，AE=(1-2A)AC(2sR),設(shè)DE中點(diǎn)為凡記

FG

=?=7?(2),則7?(2)的取值范圍為▲

BC

14.設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+(2b+l)x-a-2(。豐0)在區(qū)間［3,4］上至少有一個(gè)零點(diǎn)，則cr+b1的最小值

為▲?

二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分.請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明

過程或演算步驟.

15.(本小題滿分14分)

三角形中，角/、B、C所對邊分別為a,b,c,且/+,2=/.

(1)若cos/=：,求si"C的值；

(2)若6=巾，a=3c,求三角形/8C的面積.

16.(本小題滿分14分)

如圖，已知四棱錐尸―N5C。中，底面Z8CD是菱形，48C=45。，E、尸分別是棱

8C、力上的點(diǎn)，EF〃平面PCD,平面平面P4X

(1)求證：EF1BC；

(2)若4F=2FP,求實(shí)數(shù)2的值.

17.（本小題滿分14分）

如圖，有一景區(qū)的平面圖是半圓形，其中N8長為2h〃，C、。兩點(diǎn)在半圓弧上，滿足8C=CZ）.設(shè)

NCOB=0.

（1）現(xiàn)要在景區(qū)內(nèi)鋪設(shè)一條觀光道路，由線段/8、BC、CO和。/組成，則當(dāng)J為何值時(shí)，觀光道

路的總長/最長，并求/的最大值.

（2）若要在景區(qū)內(nèi)種植鮮花，其中在A4。。和A8OC內(nèi)種滿鮮花，在

扇形CO。內(nèi)種一半面積的鮮花，則當(dāng)。為何值時(shí)，鮮花種植面積

S最大.

18.（本小題滿分16分）

如圖，設(shè)/、B分別為橢圓氏￡+￡=1（。>6>0）的左、右頂點(diǎn)，P是橢圓E上不同于力、8的

一動點(diǎn)，點(diǎn)/是橢圓￡的右焦點(diǎn)，直線/是橢圓E的右準(zhǔn)線.若直線/P與直線：x=。和/分別相交

于C、。兩點(diǎn)，尸。與直線8C交于M

(1)求BA/：A/C的值;

（2）若橢圓E的離心率為走，直線的方程為

2

x+2島-8=0,求橢圓E的方程.

19.(本小題滿分16分)

已知數(shù)列｛《,｝、｛a｝滿足:q=!，a?+h?=\,4M=_^

4\-a?

<i)求如仇也,“；

(2)證明:二一卜是等差數(shù)列,并求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式;

3一1.

aa

(3)設(shè)S“=ara2+42a3+34+???+%%+「求實(shí)數(shù)?為何值時(shí)4asit<"恒成立.

20.(本小題滿分16分)

已知函數(shù)/(x)滿足2/(x+2)=/(x),當(dāng)xw(O,2)xe(o,2)時(shí)，/(x)=lnx+ax(。<一；)，當(dāng)

xw(-4,一2)時(shí)，/(x)的最大值為-4.

(1)求實(shí)數(shù)。的值；

(2)設(shè)后0,函數(shù)g(x)=-bx,xe(1,2).若對任意$e(1,2)，總存在々e(1,2),使

/(須)一8(丫2)=0,求實(shí)數(shù)6的取值范圍.

第II卷（附加題分值40分）

21.【選做題】在A,B,C,D四小題中只能選做兩題，每小題10分，共計(jì)20分.請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域

內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

A.選修4一1：幾何證明選講,

如圖，Ri是圓。的切線，切點(diǎn)為4Po交圓。于8,C兩點(diǎn)，

PA=yfi,PB=1?求NN8C的大小.\

B.選修4—2：矩陣與變換

已知矩陣：],若矩陣A屬于特征值6的一個(gè)特征向量為四=1]，屬于特征值1的一個(gè)特征

Lcd.\L1J

「31

向量為處=。.求矩陣4和4的逆矩陣.

L2」

C.選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知直線/：1k，cos"+m（'為參數(shù)）恒經(jīng)過橢圓c'=5cos°（夕為參數(shù)）的右焦點(diǎn)？

[y=[sina[y=3sin^）

（1）求加的值；

（2）設(shè)直線/與橢圓C交于4B兩點(diǎn),求|阿?|尸B|的最大值與最小值.

D.選修4—5：不等式選講

已知實(shí)數(shù)“，b,c,d滿足a+b+c+4=l,2a2+3Z>2+6c2+t/2=25,求實(shí)數(shù)d的取值范圍.

【必做題】第22題，第23題，每題10分，共計(jì)20分.請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字

說明、證明過程或演算步驟.

22.(本小題滿分10分)

如圖，正方體N8CO一mSGQ的所有棱長都為1,M、N分別為線段8。和

BQ上的兩個(gè)動點(diǎn).

(1)求線段長的最小值；

(2)當(dāng)線段長最小時(shí)，求二面角8—MN-C的大小.

23.(本小題滿分10分)

設(shè)函數(shù)/(x)=xV-'-|x3-x2(xeR).

(1)求函數(shù)歹=/(x)的單調(diào)區(qū)間；

n

X

(2)當(dāng)xe(l,+8)時(shí)，用數(shù)學(xué)歸納法證明：V〃eN*,ex''>—.

2015年江蘇高考數(shù)學(xué)模擬試卷（三）

第I卷參考答案與解析

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分,共70分.

4V15

2.卡1

1.33.1.044.25.26.10.27.-----

3

?16”?乎⑵“1

8--659.110.心213.14.---

25~100

解析:

2.由|(l+i)z|=|3-4i|和|(l+i)z|=|1+胴可知匕|=3四.

85,86的方差，得到j(luò)=1,舒+°?舒+6'+06+L62=[.04.

3.由題意知,只要求83,84,84,

5

4.1<3,故x=3-l=2.

5.1+3+5=9,1+3+6=10,1+4+5=10,1+4+6=11,2+3+5=10,2+3+6=11,2+4+5=11,2+4+6=12共8種其中和

41

大于10的有4種，故概率為一二一.

82

6.由條件得5%=3,故Su=17%=10.2

2-1O

-1

-2

9.作出不等式組表示的可行域，如圖（陰影部分）.易知直線z=2x+y過交點(diǎn)-3

-4

X—1.--1,

力時(shí)，z取最小值，由＜得＜?、Z"“力=2—1—1.

[2y=x-3,ly=-l,

____5___549

11.設(shè)Af（0,/w）,A（x,y）,因?yàn)間"=4期，所以（-c,/w）=^（8卜一⑼，解得工=一《。,歹=《加，

22

又因?yàn)檎?0,所以（，,一馴）（生,-%）=0,解得。2=9/，因?yàn)辄c(diǎn)4在橢圓「+彳=1上，

5555a~b"

所以"■￡■+以4=1，即"G+2==1，又即16c，-50a2c2+25/=0,從而16e4-50e2+25=0,

25a125b225a225h2

解得e=強(qiáng).

4

12.因式分解可得/（》）=（彳-。2）（辦+16）,于是48兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（。2,0）,（—11,0）,于是線段Z8

a

的長度等于。2+3.記/（4）=。2+3，尸（0=2。Y=2918）,于是飛0在（0,2）上單調(diào)

aaaa"

遞減，在（2,+00）上單調(diào)遞增，從而尸（幻的最小值就是尸（2）=22+￡=12.

13.吊=!（反+麗），不妨設(shè)三角形邊長為1,則|吊|=2[2；1正+（1-4）益|='"+1,又由

點(diǎn)。，￡分別在線段上可知0W/LWl,0Wl-2/lWl*|第0W/lW；,那么火(㈤

設(shè)/+從=/&>0),再令卜“cos。；那么由“對=公?+(2b+l)x-a-2在［3,4］上存在零點(diǎn)可知:

14.

［b=rsin0

3XG[3,4],使得-l)cos^+2rxsin^=2-x成立；即yl^(x2-I)2+4r2x2sin(^+^9)=2-x,

2-x

則有:|sin(0+^)|=.化簡得至心會gQ

J，,一])2+4-2

又g'(X)=3；’在[3,4]上g'(x)>0恒成立，那么gmin(x)=g⑶=、；

綜上可知

100

另解：以。06建立平面坐標(biāo)系，則原點(diǎn)到直線的距離滿足WJ/+方2,下略.

二、解答題:本大題共6小題，共計(jì)90分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

,人+c2—b2acIJT

15.解：⑴由余弦定理，cosB------------=---又8為三角形內(nèi)角,則8寸

2ac2ac

cosA=1,且力為三角形內(nèi)角，則sE4=2^2

因?yàn)?/p>

3，

故sinC—sin(B+A)=1sin^+A)=乎cos/+^sinA='藍(lán)'

(2)由q=3c,由余弦定理知：b2=a^c-laccosB,則7=902+°2—3°2,解得°=匕則。=3.面積s

彩…平.

平面P/EJ.平面P/。

平面P/En平面=PAAD//BC]

16.證明：(1),=/￡>_1.平面尸/母=>EF1BC

ADu平面尸/QEFu平面P/Ej^>ADVEF\

ADLPA

(2)過尸作FG//AD交棱PD于點(diǎn)、G,連結(jié)CG.

FGHAD\

nFGHECnF、G、C、￡四點(diǎn)共面；

ECUAD\

川〃平面PCQ

EFu平面EFGC>=EFMCG；

平面尸COA平面EFGC=CG

FGIIEC

=四邊形EFGC是平行四邊形nEC=FG；

EF//CG

ADUBC}爭C

平面P4E=AEJ.BCnBE=AB?cosZ.ABC=

ADA.AE\

AEu平面

cV2—1

E17C=7=—BCr—

yJ2FG=V2-1AD1-

FG=EC\^^T[^PF=^AP^A=^2+}

AD=BC\FG//AD"

17.解：(1)由題NCOD=。，ZAOD=7r-20f北(吟J

取BC中點(diǎn)M,連結(jié)OA1?貝ijOMJ_5C,ABOM=-.

2

n

：.BC=2BM=2sm-.

2

同理可得CQ=2sin,，/Q=2sin壬3=2cos6.

22

00f°

/.Z=2+2sin—+2sin—+2cos^=2l-2sin2—+4sin—+2.

22<2)2

即/=—4(sing—+5,^efo,|\?,?當(dāng)sing=；,即6=(時(shí),，有./max=5.

(2)S^ocugsin。，-isin(^-2^)-sin^cos^,Smc0D

/.S=—sin+sincos.

24

/.S.gcosO+cos?O—sin?夕+；=；(4cos8+3)(2cos夕一1)

71...解S，=0得夕=?,列表得

2

*7T（箕

eT

S'+0——

極大

s遞增遞減

值

IT

‘當(dāng)e=§忖，有Sa.

TT

答：（1）當(dāng)。=生時(shí)，觀光道路的總長/最長，最長為5%〃?；

3

77

（2）當(dāng)。=一時(shí)，鮮花種植面積S最大.

3

n

18.解：（1）設(shè)。（機(jī),〃），則直線/P：yx+a),

"7+Q、

分別令x=a和x=g-得C（a,2an0a2Q〃(4+C)

ICC+Q))

an

VF（c,O）,則直線FQ：y=-x-c

令x=a得a,a11，：.BM:MC=\.

\m+a

h*2

（2）,?,橢圓E的離心率為丫―,??—7=—,橢圓E：x2+4y2

2a"4

a2

m+2A/3n-8=0tn=一

8

?:PM：x+2島一8=0,故＜(-an,解得"

67+2V3----------8=04a2

m+aFF

m2+4n2=a2,代入得(/_16乂/—64)=0,."2=16或〃=64.

當(dāng)/=64時(shí);（7=8,加=8,故點(diǎn)尸與8重合，舍去.

二橢圓E的方程為三+亡=1.

164

1

19.解：(1)bn+l=------"——b“

(l-??)(l+??)4(2-4)2-b?

3,45,6

?*a\=49b=-,b=^=-

42}4

1

(2)\'b.-l=———1j=—一

2-44+1Tbn-1bn-1

二數(shù)列｛一一｝是以一4為首項(xiàng),

-1為公差的等差數(shù)列.

?1n+2

——二-4--1)=-3:?b“1--------=------

『1〃+3〃+3

⑶"T"=*

11n

??----1-----1-??------------=-------=-------

S,=%%+%%+…+4%+]=4x55x6---(〃+3)(〃+4)4〃+44(/74-4)

ann+2(Q-1)/+(3。-6)〃一8

4*-b

n〃+4〃+3(4+3)(〃+4)

由條件可知(a-1)M2+(3a-6>-8<0恒成立即可滿足條件設(shè)/(〃)=(a—1)/+3(a—2)〃一8,

。=1時(shí):/(〃)=—3〃一8<0恒成立，。>1時(shí)，由二次函數(shù)的性質(zhì)知不可能成立.

時(shí)，對稱軸—3?紇2=-3(1—一—)<0,次〃)在(—8,1］為單調(diào)遞減函數(shù).

2。-12(7-1

/(1)=(?-1>2+(3O-6)M-8=(?-1)+(367-6)-8=4O-15<0,

a<1時(shí)4c/S“<6怛成".

綜上知：延1時(shí)，4as“<6恒成立.

20.解：(1)當(dāng)xG(0,2)時(shí)，/(x)=-/(x-2)=-^/(x-4),

由條件，當(dāng)x-46(-4,-2),/(x-4)的最大值為-4,.?./(X)的最大值為-1.

,

?.?/(x)=l+67=l±^,令/<x)=0,得》=一,.A<--,.\--G(0,2).

xxa2a

當(dāng)XG(O,-L)時(shí)，fix-)>0,/(x)是增函數(shù)；

a

當(dāng)XG(-L2)時(shí)，f{x)<0；/(x)是減函數(shù).

a

貝哈x=」時(shí)，/(x)取得最大值為/(」)=ln(」)-l=-1.-1.

aaa

(2)依題意，設(shè)/(x)在xd(I,2)的值域?yàn)?,g(x)在xd(1,2)的值域?yàn)?,則418.

???/(X)在xw(1,2)上是減函數(shù)，."=(ln2-2,-l).

gf(x)=bx1-b=b(x2-1),VxG(1,2),x2-1G(0,3).

①b>0時(shí)，g'(x)>0,g(x)是增函數(shù)，B=(-b^b).

23

A_±Z>^ln2-2.6^3--ln2.

32

②b<0時(shí)，gr(x)<0,g(x)是減函數(shù)，B=(--b,-b).

23

：.-b^\n2-2.6W-3+^ln2.

32

由①，②知，6<—3+—ln2,或——ln2.

22

第n卷參考答案與解析

21、【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做兩題，每小題10分，共計(jì)20分.

A.選修4—1：幾何證明選講

解：連接N。，由弦切角等于同弦所對的圓周角知

PBPA

又N4PB=NAPC,所以AAPBSACF"于是PA~PC即

PA2=PBPC,由題設(shè)得PC=3,由于08=1,所以BC=2,

從而AO~\,

PO=2,AP=y/3,于是//0。=30",/物。=90",又由于P8=80,

B.選修4—2：矩陣與變換

解：由矩陣工屬于特征值6的一個(gè)特征向量為內(nèi)

由矩陣力屬于特征值1的一個(gè)特征向量為。2=

-2r

c=2,-33-32

解得，d=4.即”,“逆矩陣是/T=

.24.1

~32.

C.選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

22

解：(1)橢圓的參數(shù)方程化為普通方程，得二+匕1,

259

.??。==3,c=4,則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(4,0).

直線I經(jīng)過點(diǎn)(m,0),:.m=4.

(2)將直線/的參數(shù)方程代入橢圓C的普通方程，并整理得:

(9cos2a+25sin2a)/+72/cosa-81=0.

設(shè)點(diǎn)48在直線參數(shù)方程中對應(yīng)的參數(shù)分別為4,右，則

8181

\FA\^\FB\=\tt

]29cos2a+25sin2a9+16sin2a

當(dāng)sina=0時(shí)，取最大值9；

Q]

當(dāng)sin&=±1時(shí)，|&川尸8|取最小值五.

D.選修4—5：不等式選講

2

+3/+6c)(；11

解：由柯西不等式得(a+b+c)2=y/3b—f=+V6cW(2/—十—十—

V336

當(dāng)且僅當(dāng)2a=36=6c時(shí)取等號.

'：a+b+c=\-d,2/+3/+6。2=25-凡

：.(\-d)2<25-d2,即/一1-12W0.解得de[-3,4].

【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分.

22.解：(1)以｛刀，反,萬萬｝為單位正交基底，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)的=〃?而，CN=nCB],則.