專題15.4 分式方程及分式方程的實(shí)際應(yīng)用之七大考點(diǎn)（解析版）

專題15.4分式方程及分式方程的實(shí)際應(yīng)用之七大考點(diǎn)【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一分式方程的定義】 1【考點(diǎn)二解分式方程】 2【考點(diǎn)三已知分式方程的增根求參數(shù)】 4【考點(diǎn)四已知分式方程的無解求參數(shù)】 6【考點(diǎn)五根據(jù)分式方程解的情況求值】 8【考點(diǎn)六列分式方程】 10【考點(diǎn)七分式方程的實(shí)際應(yīng)用】 11【過關(guān)檢測】 13【典型例題】【考點(diǎn)一分式方程的定義】例題：（2023秋·全國·八年級課堂例題）下列方程中，是分式方程的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分母中含有未知數(shù)的方程；【詳解】解：根據(jù)定義，為分式方程；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的定義，理解分式方程的定義為解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期中）在①，②，③，④中，其中關(guān)于的分式方程的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】直接根據(jù)分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程進(jìn)行判斷即可得到答案．【詳解】解：①，是分式，不是分式方程，故①錯(cuò)誤，不符合題意；②是關(guān)于的分式方程，故②錯(cuò)誤，不符合題意；③，是一元一次方程，不是分式方程，故③錯(cuò)誤，不符合題意；④，是關(guān)于的分式方程，故④正確，符合題意；關(guān)于的分式方程的個(gè)數(shù)為1個(gè)，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的定義，熟練掌握分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·八年級課時(shí)練習(xí)）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，是關(guān)于x的分式方程有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程，判斷即可．【詳解】解：①分母中不含有未知數(shù)，是整式方程；②分母中含有未知數(shù)，故是分式方程；③不是等式，故不是方程；④分母中含有未知數(shù)，故是分式方程．⑤分母中不含有未知數(shù)，故不是分式方程；⑥分母中不含有未知數(shù)，故不是分式方程；綜上所述：分式方程有②④，共2個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的定義，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)二解分式方程】例題：（2023春·廣東清遠(yuǎn)·八年級校考期中）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)無解【分析】（1）方程兩邊同乘以化為整式方程求解；（2）方程兩邊同乘以化為整式方程求解．【詳解】（1）去分母得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是分式方程的解；（2）去分母得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是增根，分式方程無解．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程的解法，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)最簡公分母，將原分式方程化為整式方程，并且注意要檢驗(yàn)方程的解．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·河北保定·八年級保定十三中?？茧A段練習(xí)）解方程(1)；(2)．【答案】(1)無解(2)【分析】（1）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．【詳解】（1）解：，去分母得：，解得：，檢驗(yàn)：把代入得：，是增根，分式方程無解；（2），去分母得：，解得：，檢驗(yàn)：把代入得：，分式方程的解為．【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn)．2．（2023·四川攀枝花·?？家荒＃┙夥匠蹋?1);(2)．【答案】(1)是原分式方程的解(2)原分式方程無解【分析】（1）根據(jù)解分式方程的方法解方程即可，注意要檢驗(yàn)；（2）根據(jù)解分式方程的方法解方程即可，注意要檢驗(yàn)．【詳解】（1）解：方式方程兩邊同時(shí)乘以，得，解得，當(dāng)時(shí)，，所以原分式方程的解是；（2）解：原分式方程可化為，，兩邊同時(shí)乘以，得，解得，當(dāng)時(shí)，，所以原分式方程無解．【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程，掌握解分式方程的步驟正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三已知分式方程的增根求參數(shù)】例題：（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的分式方程（m為常數(shù)）有增根，則增根是_______．【答案】【分析】根據(jù)使分式的分母為零的未知數(shù)的值，是方程的增根，計(jì)算即可．【詳解】∵關(guān)于x的分式方程（m為常數(shù)）有增根，∴，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解法，增根的理解，熟練掌握分式方程的解法是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）關(guān)于x的方程有增根，則m的值是_____．【答案】【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程有增根，求出x的值，代入整式方程計(jì)算即可求出m的值．【詳解】解：去分母得：，解得，由分式方程有增根，得到，即，∴，解得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的增根，增根確定后可按如下步驟進(jìn)行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．2．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）已知關(guān)于的分式方程有增根，則的值為___________．【答案】或【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，整理后根據(jù)一元一次方程無解條件求出m的值；由分式方程增根求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．【詳解】解：，當(dāng)，即或時(shí)，分式方程有增根，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得；故m的值是或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的解，弄清分式方程增根的條件是解本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)四已知分式方程的無解求參數(shù)】例題：（2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如果關(guān)于x的方程無解，則a的值為___．【答案】1或2【分析】根據(jù)方程無解得出其對應(yīng)的整式方程的解是或整式方程無解，即可求出．【詳解】解：將方程兩邊同時(shí)乘以，得：，整理得：，∵該分式方程無解，∴或，∴或，故答案為：1或2．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程無解的問題，解題關(guān)鍵是掌握分式方程無解說明了其對應(yīng)的整式方程無解或整式方程的解使分母為零．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·安徽蚌埠·七年級蚌埠第三十一中學(xué)校考階段練習(xí)）①若關(guān)于的方程有增根，則增根是______．②若關(guān)于的方程無解，則的值為______．【答案】42或3【分析】根據(jù)分式方程有增根，即分母為0進(jìn)行求解即可；分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程有增根確定出a的值即可．【詳解】解：①∵分式方程有增根，∴，∴，故答案為：4；②去分母得：，移項(xiàng)得：，合并同類項(xiàng)得：，當(dāng)，即時(shí)，無解，分式方程無解；當(dāng)時(shí)，系數(shù)化為1得：，∵分式方程有增根，∴，即，∴，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是的解，∴，綜上可知，或，故答案為：2或3；【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程有增根的情況，熟知分式方程有增根的情況是分式方程分母為0．2．（2023·安徽滁州·校聯(lián)考二模）若關(guān)于x的分式方程無解，則m的值為______．【答案】或或【分析】直接解方程再利用一元一次方程無解和分式方程無解分別分析得出答案．【詳解】解：去分母得：，可得：，當(dāng)時(shí)，一元一次方程無解，此時(shí)；當(dāng)，時(shí)，分式方程無解，解得：或；故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的解，正確分類討論不要漏解是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)五根據(jù)分式方程解的情況求值】例題：（2023春·福建泉州·八年級校聯(lián)考期中）若關(guān)于x的分式方程的解是正數(shù)．則m的取值范圍是________．【答案】且【分析】將分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程有正數(shù)解，即可確定出m的范圍．【詳解】解：去分母得：，解得：，∵分式方程解為正數(shù)，∴，且，解得：且，故答案為：且．【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的解，始終注意分母不為0這個(gè)條件．【變式訓(xùn)練】1．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的方程的解為非負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是____________．【答案】且【分析】解分式方程，可用表示，再根據(jù)題意得到關(guān)于的一元一次不等式即可解答．【詳解】解：解，可得，的方程的解為非負(fù)數(shù)，，解得，，，即，的取值范圍是且，故答案為：且．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)分式方程的解的情況求值，注意分式方程無解的情況是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）若關(guān)于x的分式方程的解為正整數(shù)，則正數(shù)m的值是_____．【答案】6或9【分析】先按照解分式方程的步驟求出，再根據(jù)結(jié)合分式方程的解為正整數(shù)進(jìn)行求解即可．【詳解】解：去分母得：，去括號得：，移項(xiàng)得：，合并同類項(xiàng)得：，系數(shù)化為1得：，∵，即，∴，∴，∵分式方程有正整數(shù)解，∴正數(shù)m的值是6或9．故答案為：6或9．【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)分式方程解的情況求參數(shù)，正確求出方程的解為是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)六列分式方程】例題：（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考三模）已知甲廠燒100噸煤與乙廠燒120噸煤所用的天數(shù)相同，已知甲、乙兩廠每天一共燒煤33噸，求甲、乙兩廠每天分別燒煤多少噸？若設(shè)甲廠每天燒噸煤，則根據(jù)題意列方程為___________．【答案】【分析】設(shè)甲廠每天燒噸煤，則乙廠每天燒噸煤，根據(jù)甲廠燒100噸煤與乙廠燒120噸煤所用的天數(shù)相同列出方程即可．【詳解】解：設(shè)甲廠每天燒噸煤，則乙廠每天燒噸煤，根據(jù)題意得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了列分式方程，解題的關(guān)鍵是找出題目中的等量關(guān)系式，并用未知數(shù)表示出等量關(guān)系式．【變式訓(xùn)練】1．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考三模）某地開展建設(shè)綠色家園活動(dòng)，活動(dòng)期間，計(jì)劃每天種植相同數(shù)量的樹木，該活動(dòng)開始后，實(shí)際每天比原計(jì)劃每天多植樹40棵，實(shí)際植樹400棵所需時(shí)間與原計(jì)劃植樹320棵所需時(shí)間相同．設(shè)實(shí)際每天植樹x棵，則可列方程為______．【答案】【分析】設(shè)實(shí)際每天植樹棵，則原計(jì)劃每天植樹棵，根據(jù)“實(shí)際植樹400棵所需時(shí)間與原計(jì)劃植樹320棵所需時(shí)間相同”列出分式方程即可．【詳解】解：設(shè)實(shí)際每天植樹棵，則原計(jì)劃每天植樹棵，根據(jù)題意，得．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了由實(shí)際問題列分式方程，關(guān)鍵在尋找相等關(guān)系，列出方程．2．（2023·山西晉城·校聯(lián)考模擬預(yù)測）《九章算術(shù)》是我國古代重要的數(shù)學(xué)專著之一，其中記錄的一道題譯為白話文是：把一份文件送到900里（1里千米）外的城市，如果用慢馬送，需要的時(shí)間比規(guī)定的時(shí)間多1天；如果用快馬送，需要的時(shí)間比規(guī)定的時(shí)間少3天．已知快馬的速度是慢馬速度的2倍，求規(guī)定的時(shí)間．設(shè)規(guī)定的時(shí)間為天，則可列方程為______．【答案】【分析】根據(jù)題意，先得到慢馬和快馬送的時(shí)間，再根據(jù)快馬的速度是慢馬速度的2倍列方程即可．【詳解】解：設(shè)規(guī)定的時(shí)間為天，則慢馬送的時(shí)間為天，快馬送的時(shí)間為天，根據(jù)題意，得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查列分式方程，理解題意，找到等量關(guān)系是解答的關(guān)鍵．【考點(diǎn)七分式方程的實(shí)際應(yīng)用】例題：（2023·吉林白山·校聯(lián)考三模）第5代移動(dòng)通信技術(shù)簡稱5G，某地已開通5G業(yè)務(wù)，經(jīng)測試5G下載速度是4G下載速度的16倍，小明和小強(qiáng)分別用5G與4G下載一部960兆的公益片，小明比小強(qiáng)所用的時(shí)間快150秒，求該地4G與5G的下載速度分別是每秒多少兆？【答案】該地4G的下載速度是每秒6兆，則該地5G的下載速度是每秒96兆【分析】首先設(shè)該地4G的下載速度是每秒x兆，則該地5G的下載速度是每秒兆，根據(jù)題意可得等量關(guān)系：4G下載960兆所用時(shí)間-5G下載960兆所用時(shí)間秒．然后根據(jù)等量關(guān)系，列出分式方程，再解即可．【詳解】解：設(shè)該地4G的下載速度是每秒x兆，則該地5G的下載速度是每秒兆，由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：是原分式方程的解，且符合題意，則，答：該地4G的下載速度是每秒6兆，則該地5G的下載速度是每秒96兆．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是分式方程的應(yīng)用；解答此題，首先確定5G與4G下載的速度關(guān)系，再根據(jù)題意找出下載960兆的公益片所用時(shí)間的等量關(guān)系．【變式訓(xùn)練】1．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）水碧萬物生，岳陽龍蝦好．小龍蝦產(chǎn)業(yè)已經(jīng)成為岳陽鄉(xiāng)村振興的“閃亮名片”．已知翠翠家去年龍蝦的總產(chǎn)量是，今年龍蝦的總產(chǎn)量是，且去年與今年的養(yǎng)殖面積相同，平均畝產(chǎn)量去年比今年少，求今年龍蝦的平均畝產(chǎn)量．【答案】今年龍蝦的平均畝產(chǎn)量．【分析】設(shè)今年龍蝦的平均畝產(chǎn)量是x，則去年龍蝦的平均畝產(chǎn)量是，根據(jù)去年與今年的養(yǎng)殖面積相同列出分式方程，解方程并檢驗(yàn)即可．【詳解】解：設(shè)今年龍蝦的平均畝產(chǎn)量是x，則去年龍蝦的平均畝產(chǎn)量是，由題意得，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是分式方程的解且符合題意，答：今年龍蝦的平均畝產(chǎn)量．【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，讀懂題意，正確列出方程是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·廣東佛山·八年級?？茧A段練習(xí)）2023年5月，江西省突發(fā)港澇災(zāi)?，為響應(yīng)政府救援號召，甲、乙兩公司組織全體員工參與“眾志成城，人間大愛”捐款活動(dòng)，甲公司共?款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙兩公司員工的一段對話：

(1)甲、乙兩公司各有多少人？(2)現(xiàn)甲、乙兩公司共同使用這筆捐款購買、兩種防疫物資，種防疫物資每箱15000元，種防疫物資每箱12000元．若購買種防疫物資不少于10箱，并恰好將捐款用完，有幾種購買方案？（注：、兩種防疫物資均需購買，并按整箱配送）．【答案】(1)甲公司有150人，乙公司有180人(2)有2種購買方案：購買8箱種防疫物資、10箱種防疫物資，或購買4箱種防疫物資、15箱種防疫物資【分析】（1）設(shè)乙公司有x人，則甲公司有人，根據(jù)對話，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；（2）（2）設(shè)購買種防疫物資箱，購買種防疫物資箱，根據(jù)甲公司共捐款100000元，公司共捐款140000元．列出方程，求解出，根據(jù)整數(shù)解，約束出m、n的值，即可得出方案．【詳解】（1）解：設(shè)乙公司有人，則甲公司有人，由題意得，解得．經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解．∴．答：甲公司有150人，乙公司有180人．（2）解：設(shè)購買種防疫物資箱，購買種防疫物資箱，由題意得，整理得．又因?yàn)椋?、為正整?shù)，所以，．答：有2種購買方案：購買8箱種防疫物資、10箱種防疫物資，或購買4箱種防疫物資、15箱種防疫物資．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，方案問題，二元一次方程整數(shù)解問題，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出方程是解題的關(guān)鍵．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023秋·山東泰安·八年級?？茧A段練習(xí)）下列方程：①；②；③；④．其中分式方程有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程，判斷即可．【詳解】解：①分母中含有未知數(shù)，故是分式方程；②分母中不含有未知數(shù)，故是整式方程；③分母中含有未知數(shù)，故是分式方程；④分母中含有未知數(shù)，故是分式方程．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·山東東營·八年級東營市東營區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于x的方程有增根，則增根是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)增根的定義可知，最簡公分母為零的未知數(shù)的值是增根，根據(jù)題干分式方程判斷出最簡公分母，令最簡公分母為零即可求得x的值．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程有增根，∴，∴．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程的增根，準(zhǔn)確掌握增根定義并找出分式方程的最簡公分母是關(guān)鍵．3．（2023秋·江蘇南通·九年級校考期中）關(guān)于的方程的解是負(fù)數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】將分式方程化為整式方程，根據(jù)分式方程有解、解為負(fù)數(shù)，得到關(guān)于a的不等式，即可求解．【詳解】解：，等號兩邊同時(shí)乘以，得，解得，分式方程有解，，即，解得；解是負(fù)數(shù)，，解得，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解和解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是注意隱含條件．4．（2023春·云南紅河·八年級統(tǒng)考期末）周末幾名同學(xué)計(jì)劃去聚餐，訂了一桌價(jià)值270元的晚餐，出發(fā)前3名同學(xué)臨時(shí)有事情不能參加，結(jié)果每個(gè)同學(xué)比原計(jì)劃多出了15元的餐費(fèi)，設(shè)最先打算參加聚餐的同學(xué)共x人，則所列方程為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)最先打算參加聚餐的同學(xué)共x人，則分?jǐn)偛唾M(fèi)為元，實(shí)際分?jǐn)偛唾M(fèi)為元，根據(jù)每個(gè)同學(xué)比原計(jì)劃多出了15元的餐費(fèi)，列出分式方程即可求解．【詳解】解：設(shè)最先打算參加聚餐的同學(xué)共x人，根據(jù)題意，得．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了列分式方程，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．5．（2023·山東菏澤·?？既＃τ趯?shí)數(shù)和，定義一種新運(yùn)算“”為：，這里等式右邊是實(shí)數(shù)運(yùn)算．例如：．則方程的解是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題中的新定義化簡，轉(zhuǎn)化為分式方程，解分式方程即可．【詳解】由題意化簡：，∴，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：是原分式方程的解，故選：．【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，以及實(shí)數(shù)的運(yùn)算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2023秋·江蘇淮安·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）方程的解為．【答案】【分析】兩邊同時(shí)乘以，化為整式方程，再求解，最后檢驗(yàn)即可．【詳解】解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，，是原方程的解，故原方程的解為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求解分式方程的解的知識，解答時(shí)注意對所求的根進(jìn)行檢驗(yàn)是關(guān)鍵．7．（2023春·四川眉山·八年級?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于的方程產(chǎn)生增根，則=．【答案】【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，將代入整式方程即可求出m的值．【詳解】解：去分母得：，關(guān)于的方程產(chǎn)生增根，增根為，將代入得：，解得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的增根，增根問題可按如下步驟進(jìn)行：①讓最簡公分母為0確定增根；②化分式方程為整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．8．（2023秋·山東淄博·八年級?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于x的分式方程無解，則m的值為．【答案】或【分析】根據(jù)分式方程的解法即可求出的值．【詳解】解：，由題意可知：將代入，，解得：或故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的解法，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式方程的解法，本題屬于基礎(chǔ)題型．9．（2023·山西晉城·模擬預(yù)測）某廠現(xiàn)在平均每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)臺機(jī)器，現(xiàn)在生產(chǎn)臺機(jī)器所需時(shí)間只比原計(jì)劃生產(chǎn)臺機(jī)器多用一天，設(shè)原計(jì)劃每天生產(chǎn)臺機(jī)器，則可列方程為．【答案】【分析】設(shè)原計(jì)劃每天生產(chǎn)臺機(jī)器，則現(xiàn)在每天生產(chǎn)臺，根據(jù)“現(xiàn)在生產(chǎn)800臺機(jī)器所需時(shí)間只比原計(jì)劃生產(chǎn)450臺機(jī)器多用一天”可列方程．【詳解】解：設(shè)原計(jì)劃每天生產(chǎn)臺機(jī)器，則現(xiàn)在每天生產(chǎn)臺，根據(jù)題意：得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)實(shí)際問題列分式方程，理解題意找到相等關(guān)系是列方程的關(guān)鍵．10．（2023秋·重慶·九年級重慶市鳳鳴山中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）從、、、0、、2、3這七個(gè)數(shù)中，隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)a，若數(shù)a使關(guān)于x的分式方程的解為整數(shù)，且使不等式組有且僅有四個(gè)整數(shù)解，那么這七個(gè)數(shù)中滿足所有條件的a的值之和為．【答案】2【分析】解分式方程、一元一次不等式組，再根據(jù)題目要求取值即可；【詳解】解：解不等式①得，解不等式②得，∴該不等式組的解集為：，∵不等式組有且僅有四個(gè)整數(shù)解，∴，∴，∴、、、0、、2符合題意，解：∵分式方程的解為整數(shù)，∴、0、、2符合題意，綜上符合題意的數(shù)有、0、、2．∴這七個(gè)數(shù)中滿足所有條件的a的值之和為．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程、一元一次不等式組的應(yīng)用，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．（2023秋·河北邯鄲·八年級?？茧A段練習(xí)）解下列分式方程(1)；(2)．【答案】(1)(2)無解【分析】（1）方程兩邊同時(shí)乘以，化為整式方程，解方程即可求解，最后要檢驗(yàn)；（2）方程兩邊同時(shí)乘以，化為整式方程，解方程即可求解，最后要檢驗(yàn)．【詳解】（1）解：方程兩邊同時(shí)乘以，得，解得：；當(dāng)時(shí)，，∴是原方程的解；（2）解：，方程兩邊同時(shí)乘以，得，即，解得：，當(dāng)時(shí)，，∴原方程無解．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，熟練掌握分式方程的解法是解題的關(guān)鍵．12．（2023秋·湖南永州·八年級?？茧A段練習(xí)）解分式方程：(1)(2)【答案】(1)(2)無解【分析】（1）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．【詳解】（1）去分母得：，去括號得：，移項(xiàng)合并得：，檢驗(yàn)：把代入得：，∴是分式方程的解；（2）兩邊同時(shí)乘以，得，，解得．經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的增根．∴原分式方程無解．【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗(yàn)根．13．（2023秋·山東泰安·八年級寧陽縣第二十四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）解方程(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．【詳解】（1）解：，去分母得：，解得，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解；（2）解：，去分母得：，解得，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解；（3）解：，去分母得：，解得，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解；（4）解：，去分母得：，解得，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解．【點(diǎn)睛】此題考查解分式方程，解題關(guān)鍵在于掌握運(yùn)算法則．14．（2023秋·貴州銅仁·八年級?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于x的分式方程(1)當(dāng)時(shí)，求方程的根？(2)若關(guān)于x的分式方程有增根，試求m的值？【答案】(1)(2)【分析】（1）分式方程去掉分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解后再檢驗(yàn)即得答案；（2）先把分式方程去掉分母轉(zhuǎn)化為整式方程，然后由分式方程有增根可得，求出x的值后再代入到整式方程即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，方程即為，兩邊同時(shí)乘以，得，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解，所以原方程的解是；（2）方程同時(shí)乘以，得，即為，若關(guān)于x的分式方程有增根，則，解得：，所以.【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的求解和增根問題，熟練掌握解分式方程的步驟和方法是解題的關(guān)鍵.15．（2023秋·江西宜春·八年級江西省豐城中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（1）已知關(guān)于x的分式方程．①當(dāng)時(shí)，求方程的解．②若該方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求a的值．（2）關(guān)于x的方程有整數(shù)解，求此時(shí)整數(shù)m的值．【答案】（1）①；②a的值為3；（2）m的值為3或0或4【分析】（1）①把代入分式方程后解方程并檢驗(yàn)即可；②解分式方程得到，求出增根，則，即可求得a的值；（2）解方程得到，根據(jù)分式方程有整數(shù)解得到或且，進(jìn)一步求解即可得到整數(shù)m的值．【詳解】解：（1）①當(dāng)時(shí)，分式方程為：，去分母得到，解得：，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，∴是原方程的根；②，去分母得到，解得：，由題意得：，解得：，∴，解得：，∴a的值為3；（2），去分母得到，解得，∵方程有整數(shù)解，∴或且，解得：或3或0或4且，∴或0或4，∴此時(shí)整數(shù)m的值為3或0或4．【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的解法、增根問題、整數(shù)解問題等知識，熟練掌握分式方程的解法和增根問題是解題的關(guān)鍵．16．（2023秋·山東泰安·八年級?？茧A段練習(xí)）解方程：(1)解方程：；(2)解方程：；(3)關(guān)于x的分式方程．①若方程的增根為，求m的值；②若方程有增根，求m的值；③若方程無解，求m的值．【答案】(1)(2)無解(3)①；②或；③或或【分析】（1）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．（3）①將原方程去分母并整理，然后將增根代入，解得值即可；②若原分式方程有增根，則，解得的值，再分別代入（1）中的，即可解得值；③分原分式方程有增根時(shí)和無解兩種情況求得值即可．【詳解】（1）解：去分母得：，解得：，檢驗(yàn)：把代入得：，分式方程的解為；（2）去分母得：，解得：，檢驗(yàn)：把代入得：，是增根，分式方程無解．（3）①去分母，得：，∴，當(dāng)方程的增根為時(shí)，，所以；②若原分式方程有增根，則，或，當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以，所以的值為或9時(shí)，方程有增根；③當(dāng)方程無解時(shí)，即當(dāng)時(shí)，無解，所以；當(dāng)方程有增根時(shí)，原方程也無解，即或時(shí)，方程無解，所以，當(dāng)或或時(shí)方程無解．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，分式方程的解和增根，明確分式方程何時(shí)有增根及方程有解與無解的條件是解題的關(guān)鍵．17．（2023秋·河北石家莊·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）近年來，隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車在中國已然成為汽車工業(yè)發(fā)展的主流趨勢．某汽車制造廠開發(fā)了一款新式電動(dòng)汽車，計(jì)劃一年生產(chǎn)安裝288輛，便抽調(diào)了部分熟練工和招聘一批新工人來完成新式電動(dòng)汽車的安裝，培訓(xùn)后上崗，一段時(shí)間后，調(diào)研部門發(fā)現(xiàn)：2名熟練工和1名新工人每月可安裝10輛電動(dòng)汽車；1名熟練工和3名新工人每月也可安裝10輛電動(dòng)汽車．(1)求每名熟練工和每名新工人每月分別可以安裝電動(dòng)汽車的數(shù)量．(2)從這款電動(dòng)汽車和某款燃油車的對比調(diào)查中發(fā)現(xiàn)：電動(dòng)汽車平均每千米的行駛費(fèi)用比燃油車平均每千米的行駛費(fèi)用少元．當(dāng)兩款車的行駛費(fèi)用均為200元時(shí)，電動(dòng)汽車可行駛的總路程是燃油車的4倍．①求這款電動(dòng)汽車平均每千米的行駛費(fèi)用；②若電動(dòng)汽車和燃油車每年的其他費(fèi)用分別為6400元和4000元．問：每年行駛里程為多少千米時(shí)，買電動(dòng)汽車的年費(fèi)用更低？（年費(fèi)用=年行駛費(fèi)用+年其他費(fèi)用）【答案】(1)每名熟練工每月可以安裝4輛電動(dòng)汽車，每名新工人每月可以安裝2輛電動(dòng)汽車(2)①這款電動(dòng)汽車平均每千米的行駛費(fèi)用為元；②當(dāng)每年行駛里程大于4000千米時(shí)，買電動(dòng)汽車的年費(fèi)用更低【分析】（1）設(shè)每名熟練工每月可以安裝輛電動(dòng)汽車，每名新工人每月可以安裝輛電動(dòng)汽車，根據(jù)“2名熟練工和1名新工