第3章 勾股定理（單元測試·培優(yōu)卷）-2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識專項突破講與練（蘇科版）

第3章勾股定理（單元測試·培優(yōu)卷）一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．若3、4、為勾股數(shù)，則a的值為（

）A．－5 B．5 C．－5或 D．5或2．直角三角形的兩條直角邊的長分別為5和12，則斜邊上的高為（

）A． B． C．6 D．133．如圖，在直線m上依次擺放著七個正方形，已知斜放置的三個正方形的面積分別是3，6，9，正放置的四個正方形的面積依次是，，，，則＝（

）A．6 B．6.5 C．7 D．84．如圖，的頂點、、在邊長為的正方形網(wǎng)格的格點上，于點，則的長為（

）

A． B． C． D．5．如圖是“趙爽弦圖”，由4個全等的直角三角形拼成的圖形，若大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，設(shè)直角三角形較長直角邊為b，較短直角邊為a，則a＋b的值是（

）A．6 B．5 C． D．46．某數(shù)學(xué)興趣小組開展了筆記本電腦的張角大小的實踐探究活動．如圖，當(dāng)張角為時，頂部邊緣B處離桌面的高度為，此時底部邊緣A處與C處間的距離為，小組成員調(diào)整張角的大小繼續(xù)探究，最后發(fā)現(xiàn)當(dāng)張角為時（D是B的對應(yīng)點），頂部邊緣D處到桌面的距離為，則底部邊緣A處與E之間的距離為（

）A． B． C． D．7．如圖，有一架秋千，當(dāng)它靜止時，踏板離地0.5米，將它往前推3米時，踏板離地1.5米，此時秋千的繩索是拉直的，則秋千的長度是（

）A．3米 B．4米 C．5米 D．6米8．如圖，斜坡BC的長度為4米．為了安全，決定降低坡度，將點C沿水平距離向外移動4米到點A，使得斜坡AB的長度為4米，則原來斜坡的水平距離CD的長度是（

）米．A．2 B．4 C．2 D．69．和按如圖所示的位置擺放，頂點B、C、D在同一直線上，，，．將沿著翻折，得到，將沿著翻折，得，點B、D的對應(yīng)點、與點C恰好在同一直線上，若，，則的長度為（

）．A．7 B．6 C．5 D．410．白日登山望烽火，黃香飲馬傍交河．詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題：如下圖，詩中將軍在觀望烽火之后從山腳上的A點出發(fā)，奔向小河旁邊的P點飲馬，飲馬后再到B點宿營，若點A到水平直線l（l表示小河）的距離為3，點B到水平直線l的距離為2，A、B兩點之間的水平距離是3，則最小值為（

）A． B．4 C．5 D．―二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．如圖，將一邊重合的兩張直角三角形紙片放在一起，若，則線段AD的長度為；12．《九章算術(shù)》卷九勾股第五題原文“今有木長二丈，圍之三尺．葛生其下，纏木七周，上與木齊．問葛幾何？”題目大意為：現(xiàn)有一棵大樹，長為2丈，周長為3尺．葛就生長在樹下，纏繞了大樹七周，頂端與樹一樣齊．問葛有多長？葛為尺（1丈尺）．13．“趙爽弦圖”是2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會的會徽，它與數(shù)學(xué)中著名的勾股定理有著密切關(guān)系．在學(xué)完我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖后，我校某同學(xué)想在逐夢運動場規(guī)劃出一塊活動場地，如圖所示，現(xiàn)規(guī)劃土地由四個全等的直角三角形拼接而成，其中，，則的長是m．14．如圖，在數(shù)軸上標(biāo)出表示1的點A，和表示5的點B，過點O作直線l垂直于OA，以點A為圓心，以AB為半徑在數(shù)軸的上方作弧，弧與直線l交于點C，以點O為圓心，以O(shè)C為半徑作弧，弧與數(shù)軸正半軸的交點D即為表示的點，根據(jù)作圖，利用勾股定理，可以發(fā)現(xiàn)，如果在直角三角形中，一邊長為，其他兩邊均為正整數(shù)，那么長為的邊是直角三角形的（填“直角邊”或“斜邊”），直角三角形另兩條邊長分別為、．15．到目前為止，勾股定理的證明已超過種，其中一種簡潔易懂方法叫做“常春證法”，兩個直角三角形如圖擺放，已知，點F落在上，點C與點E重合，斜邊與斜邊交于點M，連接，，若，，則四邊形的面積為．16．世界上第一次給出勾股數(shù)通解公式的是我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》，其勾股數(shù)組公式為a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2＋n2），其中m，n（m＞n）是互質(zhì)的奇數(shù)，則a，b，c為勾股數(shù)．我們令n＝1，得到下列順序排列的等式：①32＋42＝52，②52＋122＝132，③72＋242＝252，④92＋402＝412，…根據(jù)規(guī)律寫出第⑥個等式為．17．如圖，在長方形ABCD中，點E是BC上一點，連結(jié)AE，以AE為對稱軸作△ABE的軸對稱圖形△AB′E，延長EB′恰好經(jīng)過點D，過點E作EF⊥BC，垂足為E，交AB′于點F，已知AB＝9，AD＝15，則EF＝．18．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的高，BC＝3cm，AB＝5cm，現(xiàn)有一動點P，以1cm/s的速度從點C出發(fā)向點A勻速運動，到點A停止；同時，另一個動點Q，從點A出發(fā)向點B勻速運動，到點B停止．在兩點運動過程中的某一時刻，△APQ恰好與△CBD全等，則點Q的運動速度為cm/s．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）在Rt△ABC中，兩條直角邊AB，BC的長c，a滿足|4﹣c|+a2﹣10a+25＝0．(1)求AC的長．(2)求Rt△ABC的面積．20．（8分）將兩個全等的直角三角形按如圖所示的方式放置，三角形的長直角邊記為a，短直角邊記為b，斜邊記為c．(1)判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)連接，試通過各部分圖形面積之間的數(shù)量關(guān)系驗證勾股定理．21．（10分）閱讀材料：如圖1，如果直角三角形兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么．即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．(1)若直角三角形兩直角邊長分別為3和4，則斜邊長為；(2)如圖2，中，，設(shè)AC長為x，BC長為y，，中，，．①請用含有x，y的代數(shù)式表示的面積；②四邊形CADB的面積是否為定值，若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．22．（10分）如圖1，直角三角形和直角三角形的直角頂點重合，點在斜邊上，，，連接AE．(1)求證：．(2)若，求的長．(3)如圖2，點也在邊上，且在點A，D之間，若，求證：．23．（10分）森林火災(zāi)是一種常見的自然災(zāi)害，危害很大，隨著中國科技、經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，開始應(yīng)用飛機(jī)灑水的方式撲滅火源．如圖，有一臺救火飛機(jī)沿東西方向AB，由點A飛向點B，已知點C為其中一個著火點，且點C與直線AB上兩點A，B的距離分別為600m和800m，又AB＝1000m，飛機(jī)中心周圍500m以內(nèi)可以受到灑水影響．（1）著火點C受灑水影響嗎？為什么？（2）若飛機(jī)的速度為10m/s，要想撲滅著火點C估計需要13秒，請你通過計算判斷著火點C能否被撲滅？24．（12分）【圖形定義】我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．(1)【性質(zhì)探究】如圖1，四邊形是垂美四邊形，試探究兩組對邊，與，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)【拓展應(yīng)用】如圖2，Rt中，，分別以和為直角邊向外作等腰Rt和等腰Rt，連接，若，，求的長．參考答案1．B【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義：滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)求解即可．解：∵3、4、a為勾股數(shù)，當(dāng)4為直角邊時，∴a==5，當(dāng)4為斜邊時，∴a==，不是整數(shù)，舍去，故選：B．【點撥】本題主要考查勾股數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握勾股數(shù)的定義：滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．2．A【分析】先求出斜邊，然后利用面積相等法解題即可．解：由題意得：斜邊長為，設(shè)斜邊上的高為h，則，解得：，∴斜邊上的高為，故選：A．【點撥】本題考查直角三角形的基本性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于能夠利用勾股定理求出斜邊長.3．A【分析】運用勾股定理可知，每兩個相鄰的正方形面積和都等于中間斜放的正方形面積，據(jù)此即可解答．解：如圖，觀察發(fā)現(xiàn)，∵，∴，，∴，在與中，，∴（AAS），∴，∵，∴，即，同理，，則，則．故選：A．【點撥】此題考查了全等三角形的判定以及性質(zhì)、勾股定理．解決本題的關(guān)鍵是得到．4．C【分析】根據(jù)圖形和三角形的面積公式求出的面積，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)三角形的面積公式計算即可．解：如圖，

的面積，由勾股定理得，，則，解得，故選：C．【點撥】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，掌握在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解題的關(guān)鍵．5．B【分析】根據(jù)勾股定理可以求得等于大正方形的面積，然后求四個直角三角形的面積，即可得到ab的值，然后根據(jù)即可求解．解：因為大正方形的面積是，小正方形的面積是，所以一個小三角形的面積是，三角形的斜邊為，所以，，所以，所以．故選：B．【點撥】本題主要考查了勾股定理、完全平方式等知識點，正確根據(jù)圖形的關(guān)系求得和ab的值是解答本題的關(guān)鍵．6．A【分析】勾股定理解得出，勾股定理解即可求解．解：依題意，，在中，，∵，,在中，，故選：A．【點撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．7．C【分析】設(shè)米，用表示出的長，在直角三角形中，利用勾股定理列出關(guān)于的方程，求出方程的解即可得到結(jié)果．解：設(shè)米，米，米，（米，米，在中，米，米，米，根據(jù)勾股定理得：，解得：，則秋千的長度是5米．故選：C．【點撥】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．8．A【分析】設(shè)米，米，根據(jù)勾股定理用含的代數(shù)式表示，進(jìn)而列出方程，解方程得到答案．解：設(shè)米，米，在中，，即，在中，，即，，解得：，即米，故選：A．【點撥】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活運用勾股定理列出方程．9．A【分析】由折疊的性質(zhì)得，，故，，推出，由，推出，根據(jù)AAS證明，即可得，，設(shè)，則，由勾股定理即可求出、，由計算即可得出答案．解：由折疊的性質(zhì)得，，∴，，∴，∵，∴，∴，在與中，，∴，∴，，設(shè)，則，∴，解得：，∴，，∴．故選：A．【點撥】本題考查折疊的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．A【分析】作點A關(guān)于直線l的對稱點，連接B交直線l于點P，此時AP＋PB最小，且的最小值為B的長度，然后求出EB和E，再利用勾股定理求出即可．解：作點A關(guān)于直線l的對稱點，連接交直線l于點P，此時AP＋PB最??；∵PA＝P，∴AP＋PB＝P＋PB＝B，過點B作BE⊥AC于點E，∵AC⊥CD，∴BECD，又∵AC⊥CD，BD⊥CD，∴CE＝BD＝2，同理可得：EB＝CD＝3，∵AC＝C＝3，∴E＝2＋3＝5，∴，∴的最小值為，故選：A．【點撥】此題考查了平行線的判定，平行線間的距離處處相等，軸對稱最短路徑問題以及勾股定理，準(zhǔn)確找到點P的位置是解此題的關(guān)鍵．11．【分析】根據(jù)勾股定理可以求得AB的長，再根據(jù)∠ABD＝90°，BD＝1，即可得到AD的長．解：∵∠C＝90°，AC＝BC＝1，∴AB＝＝＝，∵∠DBA＝90°，BD＝1，∴AD＝＝＝，故答案為：．【點撥】本題考查勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用勾股定理求出AB和AD的長．12．29【分析】這種立體圖形求最短路徑問題，可以展開成為平面內(nèi)的問題解決，展開后可轉(zhuǎn)化下圖，所以是個直角三角形求斜邊的問題，根據(jù)勾股定理可求出．解：如圖，一條直角邊（即大樹的長）長20尺，另一條直角邊長（尺，因此葛藤長（尺．故答案為：29．【點撥】本題考查了平面展開最短路徑問題，關(guān)鍵是把立體圖形展成平面圖形，本題是展成平面圖形后為直角三角形按照勾股定理可求出解．13．【分析】根據(jù)題意可得24和10為兩條直角邊長，可求出小正方形的邊長，然后可利用勾股定理得出的長．解：∵，，即直角三角形的兩直角邊長為，∴小正方形的邊長為，∴．故答案為：【點撥】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解決問題的關(guān)鍵．14．；1、4．【分析】按照題意畫圖，即可判斷．解：如圖，由題意可知，，在中，由勾股定理可得，，是直角三角形的直角邊，另外兩邊分別為1和4．故答案為：；1、4．【點撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，按照題意準(zhǔn)確畫出圖形是解題的關(guān)鍵．15．53【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，再根據(jù)四邊形的面積等于的面積與的面積的和，列出算式計算即可求解．解：∵，∴，，∴．故答案為：．【點撥】本題考查了勾股定理的證明，關(guān)鍵是求出，，以及由圖形得到四邊形的面積等于的面積與的面積的和．16．132＋842＝852【分析】通過觀察可知，所列出的等式都符合勾股定理公式，在觀察各底數(shù)的特點，找到規(guī)律即可得出第⑥個等式．解：∵3＝2×1＋1，5＝2×2＋1，7＝2×3＋1，9＝2×4＋1，∴第一個數(shù)的底數(shù)是2n＋1，指數(shù)是2，∵4＝2×12＋2×1，12＝2×22＋2×2，24＝2×32＋2×3，40＝2×42＋2×4，∴第二個數(shù)的底數(shù)是2n2＋2n，指數(shù)是2，∵第三個數(shù)的底數(shù)比第二個數(shù)的底數(shù)大1，指數(shù)是2，∴第n個等式為（2n＋1）2＋（2n2＋2n）2＝（2n2＋2n＋1）2，∴第⑥個等式為132＋842＝852，故答案為：132＋842＝852.【點撥】本題主要考查了整式的數(shù)字規(guī)律，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意得到每一組數(shù)據(jù)的規(guī)律.17．5【分析】由軸對稱的性質(zhì)可知：AB′=AB=9，∠AB′E=∠B=90°，B′E=BE，∠B′AE=∠BAE，然后根據(jù)勾股定理可得DB，BE的長，進(jìn)而可得EF的長．解：由軸對稱的性質(zhì)可知：AB′=AB=9，∠AB′E=∠B=90°，B′E=BE，∠B′AE=∠BAE，在Rt△ADB′中，根據(jù)勾股定理，得DB′==12，∵BC=AD=15，∴EC=BC-BE=15-BE，在Rt△DEC中，DE=DB′+B′E=12+BE，DC=AB=9，根據(jù)勾股定理，得DE2=EC2+DC2，∴（12+BE）2=（15-BE）2+92，解得BE=3，∵EF⊥BC，AB⊥BC，∴EF∥AB，∴∠FEA=∠BAE，∵∠B′AE=∠BAE，∴∠FEA=∠B′AE，∴FA=FE，∴FB′=AB′-AF=9-FE，在Rt△EFB′中，根據(jù)勾股定理，得EF2=FB′2+EB′2，∴EF2=（9-FE）2+32，解得EF=5．故答案為：5．【點撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，軸對稱圖形，解決本題的關(guān)鍵是掌握軸對稱的性質(zhì)．18．【分析】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，先利用勾股定理求得BC，再用等面積法求得CD，再根據(jù)CD是△ABC的高，∠B＋∠BCD＝90°，而∠A＋∠B＝90°，進(jìn)行等量代換可得到∠A＝∠BCD，因此△APQ恰好與△CBD全等，對應(yīng)邊可能是AP＝BC，AQ＝CD，或者AP＝CD，AQ＝BC，設(shè)點Q的運動速度為cm/s，運動時間為t秒，列方程組計算即可．解：∵∠ACB＝90°，BC＝3cm，AB＝5cm，∴cm，∵，∴cm，設(shè)點Q的運動速度為cm/s，運動時間為t秒，則CP＝t，AP＝4－t，AQ＝t，∵CD是△ABC的高，∴∠BDC＝90°，∠B＋∠BCD＝90°，而∠A＋∠B＝90°，∴∠A＝∠BCD，故而△APQ恰好與△CBD全等，分以下兩種情況討論：①當(dāng)△APQ≌△CBD時，AP＝BC，AQ＝CD，即：，解得：，②當(dāng)△AQP≌△CBD時，AP＝CD，AQ＝BC，即：，解得：，∴點Q的運動速度為cm/s或者cm/s，故填：．【點撥】本題考查勾股定理，等面積法求直角三角形斜邊上的高，全等三角形的性質(zhì)，比較綜合，注意分類討論思想的應(yīng)用．19．(1)；(2)10【分析】（1）先根據(jù)絕對值和平方的非負(fù)性求出c和a，再根據(jù)勾股定理即可求出答案；（2）直接利用三角形的面積公式求解．（1）解：∵|4﹣c|+a2﹣10a+25＝0，∴|4﹣c|+（a﹣5）2＝0，∴|4﹣c|＝0，（a﹣5）2＝0∴a＝5，c＝4，∴AC＝；（2）解：△ABC的面積＝×4×5＝10．【點撥】本題考查了完全平方式、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和勾股定理，屬于基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵是求出a和c的值．20．(1)，理由見分析；(2)見分析．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，求出，可得，問題得證；（2）連接，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，，然后根據(jù)梯形面積的不同表示方法得出等式，整理后即可驗證勾股定理．解：；理由：∵，∴，∴，∴，即；（2）解：連接，，∵，∴，，，∴，又∵，∴，整理得：．【點撥】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，整式的混合運算，勾股定理等知識，掌握全等三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．(1)5；(2)①；②四邊形CADB的面積為定值，為16【分析】（1）直接根據(jù)勾股定理，即可求解；（2）①根據(jù)勾股定理可得，，可得，再由，即可求解；②根據(jù)，即可求解．解：根據(jù)勾股定理，得：斜邊長為；故答案為：5（2）解：①∵，∴，∵∠D=90°，∴，∵AD=BD，∴，∴，∴；故答案為：②四邊形CADB的面積為為定值，理由如下：=16【點撥】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，完全平方公式的應(yīng)用，明確題意，理解勾股定理是解題的關(guān)鍵．22．(1)證明見詳解；(2)；(3)證明見詳解；【分析】（1）根據(jù)和都是等腰直角三角形，可知，則，，結(jié)合已有條件可證（），則；（2