平差模型中的半?yún)?shù)回歸分析

平差模型中的半?yún)?shù)回歸分析

0觀測(cè)誤差的性質(zhì)現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展為推動(dòng)測(cè)繪科學(xué)提供了良好的發(fā)展機(jī)遇，也為測(cè)繪科學(xué)提出了更高的要求。首先,數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展為測(cè)量數(shù)據(jù)處理奠定了理論基礎(chǔ)。統(tǒng)計(jì)學(xué)界于上個(gè)世紀(jì)末提出了半?yún)?shù)回歸分析的重要理論,這一理論極其適合測(cè)量數(shù)據(jù)處理;其次,許多應(yīng)用領(lǐng)域要求測(cè)繪技術(shù)能夠提供更精確的測(cè)量數(shù)據(jù)和正確的分析結(jié)論。如地殼運(yùn)動(dòng),大壩變形監(jiān)測(cè),高層建筑物的運(yùn)營監(jiān)測(cè)等。現(xiàn)代科學(xué)研究和工業(yè)技術(shù)要求以更高的分辨能力來認(rèn)識(shí)客觀事物的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。例如觀測(cè)地殼運(yùn)動(dòng),地殼運(yùn)動(dòng)是一個(gè)十分緩慢而又復(fù)雜的過程,其運(yùn)動(dòng)量(可視為信號(hào))與觀測(cè)誤差(噪聲)摻雜在一起(即信號(hào)淹沒在燥聲之中),使人們難以正確發(fā)現(xiàn)其運(yùn)動(dòng)規(guī)律。再如,利用GPS全球定位技術(shù)進(jìn)行氣象研究(即所謂GPS氣象學(xué)),電離層延遲在定位測(cè)量中被認(rèn)為是系統(tǒng)誤差,而對(duì)于氣象研究則是十分有用的觀測(cè)量。但是,電離層延遲的存在形式卻是與觀測(cè)誤差混在一起。因此,需要將上述具有不同性質(zhì)的量加以區(qū)分。區(qū)分上述具有系統(tǒng)性質(zhì)的信號(hào)和觀測(cè)誤差(具有偶然性質(zhì))的方案有兩種:其一,提高測(cè)量數(shù)據(jù)的觀測(cè)精度,使具有偶然性質(zhì)的觀測(cè)誤差遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于具有系統(tǒng)性質(zhì)的變形量(信號(hào))。這樣需要提高測(cè)量儀器的精度級(jí)別或增加多余觀測(cè)。其二,分析研究各種誤差的性質(zhì)特點(diǎn),運(yùn)用現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論得出更加適合測(cè)量實(shí)際情況的數(shù)據(jù)處理理論和方法,對(duì)上述兩種不同性質(zhì)的測(cè)量誤差進(jìn)行分離,以滿足現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)對(duì)測(cè)繪科技的要求。顯然,第二種方案是行之有效的,半?yún)?shù)回歸分析正是在這種情況下被提出,用以處理具有系統(tǒng)特性和偶然特性的平差模型。1間接平差理論的半?yún)?shù)誤差方程半?yún)?shù)回歸分析的模型為式中B為待估參數(shù)的系數(shù)陣,l為觀測(cè)值向量,x為參數(shù)向量,s是存在于觀測(cè)值中的系統(tǒng)誤差向量或者是非隨機(jī)的信號(hào)向量,?為觀測(cè)噪聲向量,服從正態(tài)分布N~(0,σ2);式(1)為半?yún)?shù)模型的矩陣表達(dá)式。按間接平差理論,將其寫成誤差方程的形式即為式中v為觀測(cè)值改正數(shù)向量。設(shè)t為預(yù)測(cè)變量,它是觀測(cè)過程的時(shí)間序列,且為預(yù)測(cè)函數(shù)。此函數(shù)的第一部分是參數(shù),這里有參數(shù)向量x=(x1,x2,...,xu)T,u為參數(shù)或未知數(shù)的個(gè)數(shù)。通常這部分由參數(shù)的非線性函數(shù)的線性化得來。第二部分s(t)表示非參數(shù)信號(hào)。在ti處的單個(gè)觀測(cè)的觀測(cè)方程為這里?i表示噪聲,si=s(ti)表示觀測(cè)信號(hào),li是在ti處的觀測(cè)值。這一模型稱為半?yún)?shù)模型。圖1顯示的是半?yún)?shù)估計(jì)模型中的參數(shù)部分BX,信號(hào)部分S,誤差?和觀測(cè)值l的圖形。2基于正則化約束的s-b對(duì)于式(1)和式(2)表示的半?yún)?shù)模型,要確定參數(shù)X和信號(hào)S的問題是一個(gè)數(shù)據(jù)平滑的問題。設(shè)為噪聲的正定加權(quán)矩陣,假定B是滿秩的,那么BΤPnB是正則的。應(yīng)用最小二乘原理相應(yīng)的法方程為顯然,上式的系數(shù)矩陣為奇異陣。相伴的二次型當(dāng)Bx+s=0時(shí)為0,其它情況下>0。也就是說在s無約束的情況下,不能得到x和s的唯一解。為了給信號(hào)s加上一個(gè)約束,利用著名的Tikhonov—Phillips正則化方法來實(shí)現(xiàn)。設(shè)R為N階對(duì)稱正定矩陣,常量α>0,這時(shí)最小化的條件(6)被下式所取代式中R稱為正則因子,α稱為正則化參數(shù)或平滑參數(shù),它控制(9)式的兩部分之間的平衡。在用(2)式消去△后,條件式(9)重新表達(dá)為上式具有正定矩陣的法方程是式中利用二次Schar-Morrison-Woodbury公式,分別根據(jù)式(2)和式(9)得到式(10)的解為式中分別代表參數(shù)、信號(hào)和噪聲在t處的估計(jì)。在沒有未知數(shù)或B=0的特殊情況下,式(1)表達(dá)的半?yún)?shù)模型即變?yōu)楣?13)化簡為在pN和R的正定假設(shè)下,公式(13)和(14)是有效的。此外,對(duì)正則因子R的要求可放寬至半正定,但必須保證rank(RB)=u(u為待估參數(shù)的個(gè)數(shù)),此時(shí)法方程(10)仍是唯一可解的。3糾正因子和矯正參數(shù)的選擇3.1r不存在或不滿足要求時(shí)在非參數(shù)和半?yún)?shù)回歸中,信號(hào)s(t)被看作是一個(gè)非隨機(jī)函數(shù),這樣就避免了非隨機(jī)變量用隨機(jī)方法處理的困難。所以,正則因子R是一個(gè)具有正則特征的矩陣,它的作用在于半?yún)?shù)模型是否可解。即當(dāng)R存在時(shí),半?yún)?shù)模型有唯一解,當(dāng)R不存在或不滿足要求時(shí),半?yún)?shù)模型不可解。前面已經(jīng)假定R為對(duì)稱正定矩陣,它不能被理解為信號(hào)S的協(xié)方差矩陣。在最小化條件式(9)中,針對(duì)信號(hào)估計(jì)加上個(gè)正則條件的補(bǔ)償項(xiàng),即α.sTRs。為此,定義了一個(gè)信號(hào)S在數(shù)據(jù)點(diǎn)t處的范數(shù)(或擬范數(shù))sΤRs。其中R的構(gòu)成可由三次樣條曲線法或矩陣構(gòu)造法來實(shí)現(xiàn),這里僅就矩陣構(gòu)造法加以說明。首先選擇一個(gè)(n-,1n)階的離散可微矩陣G,和一個(gè)列向量矩陣E,其具體表達(dá)如下從而正則因子式中γ為拉格朗日因子,為實(shí)數(shù),其大小對(duì)結(jié)果影響很小。由此可知,正則因子R的作用是控制半?yún)?shù)模型是否有解,而對(duì)解的影響很小。3.2正則化參數(shù)的取值對(duì)數(shù)據(jù)平滑給定一個(gè)正則因子R,我們必須確定正則化參數(shù)。正則化參數(shù)α的取值對(duì)參數(shù),特別是對(duì)信號(hào)估值的影響很大。因此,α的取值對(duì)數(shù)據(jù)平滑問題來說是十分關(guān)鍵的。下面以模擬計(jì)算來說明正則化參數(shù)α的影響。4正則化參數(shù)的選取不影響信號(hào)仿真圖2顯示的是參數(shù)與參數(shù)估值、信號(hào)與信號(hào)估值的一維圖形比較。對(duì)于參數(shù)估值x?來說,只要觀測(cè)值個(gè)數(shù)足夠多,就能較好的逼近真值,它對(duì)于正則化參數(shù)α的取值變化并不敏感。對(duì)于信號(hào)估值s?來說,情形就大不相同了。從圖中可以看出,圖2(α=1)信號(hào)估值受噪聲的影響較大,與信號(hào)真值相差甚大。圖3(α=5)信號(hào)估值與真值逼近程度較好。當(dāng)α取值繼續(xù)增大,如圖4(α=10)時(shí),信號(hào)估值與其真值的逼近程度下降。當(dāng)α=100時(shí),即圖5所示,此時(shí)信號(hào)估值已趨于平直,且處于信號(hào)的均值位置,已無實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。5正則化參數(shù)對(duì)信號(hào)估值的影響在半?yún)?shù)回歸分析中,正則化參數(shù)α具有控制信號(hào)估值質(zhì)量的作用。當(dāng)α取值很小時(shí),信號(hào)估值受噪聲影響大,當(dāng)α逐漸變大時(shí),噪聲影響減弱,轉(zhuǎn)而受信號(hào)影響變大,當(dāng)α取值足夠大時(shí),信號(hào)估值趨于平直而完全失真?？v觀正則化參數(shù)α對(duì)信號(hào)估值的影響,可得如下結(jié)論:作為正實(shí)數(shù)