c-bezer曲面的幾何模型及拼接條件研究

c-bezer曲面的幾何模型及拼接條件研究

自由曲線的分離和連接技術(shù)是工業(yè)建模的難點(diǎn)。在過(guò)去，b樣條和bezier曲線被廣泛應(yīng)用于工業(yè)，但這兩種方法不能正確描述設(shè)計(jì)中的第二個(gè)間隙。NURBS方法雖然能夠以統(tǒng)一形式表示二次曲面和自由曲面,但NURBS方法在造型過(guò)程中會(huì)遇到有理方法、計(jì)算復(fù)雜等問(wèn)題,使得NURBS在目前工程曲線曲面中的應(yīng)用優(yōu)勢(shì)難以得到充分地發(fā)揮。C曲線曲面方法～作為一種新的曲線曲面造型理論,提出了一種既能表示工程曲面,又能和B樣條、Bezier曲面統(tǒng)一表示,在工程曲線曲面造型中具有強(qiáng)大的應(yīng)用前景。筆者在分析C-Bezier曲面的幾何模型的基礎(chǔ)上,對(duì)工程曲面和C-Bezier曲面任意分割算法及曲面與曲面之間G1連續(xù)的拼接條件進(jìn)行了深入分析和研究,并把它推廣到工程曲面。1工程曲線條件C-Bezier曲線采用[sintcostt1]基代替Bezier的[t3t2t11]基,在基中引入了sint和cost,從而使C-Bezier具有準(zhǔn)確表示圓弧等工程曲線中常見(jiàn)的二次曲線的能力。C-Bezier曲線用矩陣定義可表示為其中T=(sintcostt1)Q=[q0q1q2q3]T其中S=sinα,C=cosα,q0,q1,q2,q3為C-Bezier曲線的4個(gè)控制頂點(diǎn)。將上式的C-Bezier曲線用多項(xiàng)式形式來(lái)表示,定義如下以上Z0(t),Z1(t),Z2(t),Z3(t)稱(chēng)為C-Bezier曲線的基函數(shù)。根據(jù)以上C-Bezier曲線的定義,可以通過(guò)在u和w方向上采用張量積方法來(lái)得到C-Bezier曲面其中0≤u,w≤1;0≤α,β0,β1,β2,β3≤π2c-bezeer曲面的幾何模型在用C-Bezier方法進(jìn)行工程曲面造型時(shí),常需應(yīng)用曲面分割技術(shù)。C-Bezier曲面的分割是曲線分割的推廣。由于C-Bezier曲面片具有方向性,因而C-Bezier曲面的分割可分為w向分割和u向分割兩種情況。根據(jù)C-Bezier曲面的幾何模型,可進(jìn)一步得到C-Bezier曲面的跨界切矢為可見(jiàn),在u方向的跨界切矢只與u向的控制參數(shù)α,該邊界及相鄰一排的控制頂點(diǎn)和控制參數(shù)有關(guān);在w方向的跨界切矢只與w向的控制參數(shù)β0,β1,β2,β3。u向的控制參數(shù)α和該邊界及相鄰一排的控制頂點(diǎn)有關(guān)。w向分割和u向分割w向分割是指在C-Bezier曲面的幾何模型中,運(yùn)動(dòng)曲線不變而對(duì)四根w線bi(i=0,1,2,3);若不作另外說(shuō)明,本文以下的i,j皆為(0,1,2,3)進(jìn)行任意分割,即在w=w*處將bi分割成b1i和b2i。運(yùn)動(dòng)曲線以b1i為控制頂點(diǎn)形成一片曲面片Q1(u,w),以b2i為控制頂點(diǎn)形成另一片曲面片Q2(u,w)。即式中b1i和b2i的控制參數(shù)和控制頂點(diǎn)分別為同理可得C-Bezier曲面的u向分割。3曲面片間拼接在工程中,往往難以用單片曲面片描述其形狀,這就需要進(jìn)行兩片或多片C-Bezier曲面片間拼接,見(jiàn)圖1。按照工程中的要求曲面片間要達(dá)到G1連續(xù),即兩曲面在拼接邊界上有公共的切平面。設(shè)兩片C-Bezier曲面片Q1(u,w,α1,β1i)和Q2(u,w,α2,β2i),由于C-Bezier曲面片存在著方向性,因而曲面片間的拼接存在著以下3種形式。(1)位置連續(xù)條件G1連續(xù)首先要求兩曲面片有公共邊界,Q1(u,1,α1,β1i)=Q2(u,0,α2,β2i),即式(6)的幾何意義為兩曲面片在拼接處有相同的4個(gè)控制頂點(diǎn)和控制參數(shù)。位置連續(xù)條件的幾何意義在3種形式的拼接中是相同的。G1連續(xù)的另一要求是拼接邊界有公共的切平面,即兩曲面片在邊界上的法矢方向是連續(xù)的。數(shù)學(xué)上應(yīng)滿足在工程上往往將式(7)簡(jiǎn)化為式(8)幾何意義為兩曲面拼接時(shí)跨界切矢的方向是連續(xù)的。將兩曲面片的跨界切矢代入,得若β1i=β2i,則式(9)可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為這一條件同Bezier曲面片拼接時(shí)G1連續(xù)的條件完全相同。由此可得,式(6)和式(9)為u向與u向曲面拼接G1連續(xù)的一般條件,若滿足β1i=β2i,則G1連續(xù)的條件為式(6)和式(10)。(2)面為向與w向的曲面拼接設(shè)Q1(u,1,α1,β1i)的u向與=Q2(u,0,α2,β2i)的w向拼接。則有公共邊界條件為而有公共切平面的條件為如果β21=β20,則式(13)可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為并由α1=β20,得由此可得,式(11)和式(12)為u向與w向曲面拼接G1連續(xù)的一般條件,若滿足β21=β20,則G1連續(xù)的條件為式(11)和式(13)。同理可得w向與w向的C-Bezier拼接。由以上對(duì)C-Bezier曲面片間G1連續(xù)的條件分析可得,C-Bezier曲面能夠比較容易地實(shí)現(xiàn)曲面片間的G1拼接,特別是當(dāng)控制參數(shù)選擇適當(dāng)時(shí),C-Bezier曲面和Bezier曲面的G1連續(xù)的拼接條件十分相近。4自由型的方法C-Bezier曲面具有任意分割和G1拼接的重要特性,從而增強(qiáng)了這一造型方法表示復(fù)雜形狀的能力。同時(shí),C-Bezier既能夠表示自由曲線曲面,還能夠精確表示二次曲線曲面?？梢越Y(jié)合其分割和拼接技術(shù),用C-Bezier構(gòu)造工程中常見(jiàn)的平移曲面、直紋曲面、旋轉(zhuǎn)曲面、橢球曲面和掃掠曲面等。(1)混合偏導(dǎo)策略平移曲面是指控制網(wǎng)格的所有網(wǎng)格子四邊形都是平行四邊形,曲面片處處混合偏導(dǎo)矢為零矢量的曲面。當(dāng)平移曲面用C-Bezier方法表示時(shí),可以認(rèn)為bi線形狀相同,位移差分別為q10q00,q20q00,q30q00,分別代入式(3)即可得到C-Bezier平移曲面。(2)0,w根據(jù)直紋面的定義,設(shè)b0(w,β0)和b3(w,β3)為兩條C-Bezier曲線,C-Bezier直紋面應(yīng)滿足:①Q(mào)(0,w)=b0(w,β0),Q(1,w)=b3(w,β3);②曲面上任一條u=常數(shù)的曲線都為直線。若b1(w,β1)=b0(w,β0),b2(w,β1)=b3(w,β0),即β1=β0,q1j=q0j;β2=β3,q2j=q3j,j=0,1,2,3時(shí),曲面即滿足上述C-Bezier直紋面的兩個(gè)條件,此時(shí)曲面方程為(3)旋轉(zhuǎn)角度大小的c-bezeer旋轉(zhuǎn)面C-Bezier旋轉(zhuǎn)曲面是以母線為運(yùn)動(dòng)曲線a(u,α),繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)而得的曲面。若母線為多段C-Bezier曲線按G1連續(xù)拼接而成,那么所得的旋轉(zhuǎn)面為G1連續(xù)。若旋轉(zhuǎn)角大于π/2,可對(duì)運(yùn)動(dòng)曲線的控制頂點(diǎn)軌跡bi(w,β)圓弧進(jìn)行分段表示。當(dāng)運(yùn)動(dòng)曲線為圓弧時(shí),所得C-Bezier旋轉(zhuǎn)面為球面。整球面可用2片C-Bezier旋轉(zhuǎn)面來(lái)表示(母線和控制點(diǎn)軌跡的圓心角為π)。為達(dá)到較好的凸包性,可用8片C-Bezier旋轉(zhuǎn)面來(lái)表示。圓環(huán)面(torus)是另一種特殊的旋轉(zhuǎn)面。它由一個(gè)整圓繞不與該圓相交的一任一軸旋轉(zhuǎn)得到。在旋轉(zhuǎn)不到一周情況下,母線上的各控制頂點(diǎn)都相應(yīng)旋轉(zhuǎn)了相同角度不同半徑的圓弧,所有定義這些圓弧的控制頂點(diǎn)就構(gòu)成了定義部分旋轉(zhuǎn)面的全面控制頂點(diǎn)。(4)橢圓運(yùn)動(dòng)的曲線二次曲面橢球面無(wú)法用NURBS精確表示,而C-Bezier方法卻能夠方便地表示它。根據(jù)C-Bezier曲面的幾何意義,設(shè)運(yùn)動(dòng)曲線為橢圓弧,兩個(gè)端點(diǎn)固定上在z軸上的點(diǎn)(0,0,c)和點(diǎn)(0,0,c),橢圓弧的起始角β=π/2,終止角γ=3π/2。整個(gè)橢圓弧運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,短軸固定等于c,而長(zhǎng)軸按另一橢圓(長(zhǎng)軸為a,短軸為b)上橢圓中心到橢圓上的點(diǎn)的距離變化。運(yùn)動(dòng)曲線運(yùn)動(dòng)一周就得到整個(gè)橢球曲面。同理,部分橢圓弧旋轉(zhuǎn)部分角度就得到部分的橢球曲面。(5)掃掠曲面的分類(lèi)根據(jù)C-Bezier方法表示掃掠曲面,按邊界線數(shù)或脊線數(shù)可分為:①一條邊界曲線;②二條邊界曲線;③一條脊線。按給定的二維截面曲線數(shù)量可分為:①一條截面線數(shù);②二條截面線數(shù);③多條截面線數(shù)。當(dāng)然也可將多條截面線形成的掃掠曲面理解為由多片二截線掃掠曲面片拼接成的曲面。掃掠曲面雖然可根據(jù)以上分類(lèi)方法分為多種類(lèi)型,但其基本方法同用B樣條掃掠曲面的情況相類(lèi)似,見(jiàn)圖2。在實(shí)際設(shè)計(jì)過(guò)程中,需根據(jù)實(shí)際情況作進(jìn)一步的具體分析。5面幾何模型的建立筆者得到的C-Bezier曲面