四川省綿陽市三臺中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)模擬試題（二）

三臺中學(xué)高2022級高二上期半期模擬試題（二）數(shù)學(xué)一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．）1.從全市5萬名高中生中隨機抽取500名學(xué)生，以此來了解這5萬名高中生的身高，在這一情境中，這5萬名高中生的身高的全體是指（）A.個體 B.總體 C.樣本 D.樣本量【答案】B【解析】【分析】根據(jù)總體的定義可得答案.【詳解】這5萬名高中生的身高的全體是指總體.故選：B.2.某種心臟手術(shù)，成功率為，現(xiàn)采用隨機模擬方法估計“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率：先利用計算器或計算機產(chǎn)生0~9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，由于成功率是，我們用0，1，2，3表示手術(shù)不成功，4，5，6，7，8，9表示手術(shù)成功；再以每3個隨機數(shù)為一組，作為3例手術(shù)的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生如下10組隨機數(shù)：812，832，569，683，271，989，730，537，925，907由此估計“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題可知10組隨機數(shù)中表示“3例心臟手術(shù)全部成功”的有2組，即求.【詳解】解：由題意，10組隨機數(shù)：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3例心臟手術(shù)全部成功”的有：569,989，故2個，故估計“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率為.故選：A.3.已知平面的法向量為，平面的法向量為，若，則k＝（）A.4 B.C.5 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)兩平面垂直得到兩法向量垂直，進而得到方程，求出答案.【詳解】∵，∴，∴，解得.故選：D4.國慶節(jié)放假期間，甲、乙、丙去北京旅游的概率分別為，，，假定三人的行動相互之間沒有影響，那么這段時間內(nèi)至少有1人去北京旅游的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出甲、乙、丙中沒有去北京旅游的概率，利用對立事件的概率求法求目標(biāo)概率.【詳解】甲、乙、丙中沒有去北京旅游的概率為，所以這段時間內(nèi)至少有1人去北京旅游的概率為.故選：C5.若，則直線與平面的位置關(guān)系是（）A.相交 B.平行 C.在平面內(nèi) D.平行或在平面內(nèi)【答案】D【解析】【分析】利用向量的基本定理及線面平行的性質(zhì)即可求解.【詳解】因為，所以由平面向量基本定理知，三向量共面，所以直線與平面的位置關(guān)系是平行或在平面內(nèi).故選：D.6.一個樣本的容量為,分成組,已知第一組、第三組的頻數(shù)分別是、,第二、五組的頻率都為,則該樣本的中位數(shù)在A.第二組 B.第三組 C.第四組 D.第五組【答案】B【解析】【詳解】試題分析：分別求出第一組與第二組的頻數(shù)和與第四組與第五組的頻數(shù)和，從而可確定該樣本的中位數(shù)的位置．因為一個樣本的容量為60，第二、五組的頻率都為，所以第二、五組的頻數(shù)分別為12、12，則第四組的頻數(shù)為60﹣9﹣10﹣12﹣12=17，第一組與第二組的頻數(shù)和為21，第四組與第五組的頻數(shù)和為29，則該樣本的中位數(shù)在第三組．考點：眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；頻率分布表．7.若隨機事件，互斥，，發(fā)生的概率均不等于0，且，，則實數(shù)的取值范圍是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由隨機事件、互斥，、發(fā)生的概率均不等于0，知，由此能求出實數(shù)的取值范圍．【詳解】隨機事件、互斥，、發(fā)生的概率均不等于0，且，，，即，解得，即．故選：D．【點睛】本題考查互斥事件的概率的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．解題時要認真審題，仔細解答．8.正方體的棱長為2，若動點在線段上運動，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】以為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，求得，，，設(shè)，求得，即可求解.【詳解】以為原點，以，，所在的直線為軸、軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，可得，，，因為點在線段上運動，設(shè)，且，所以，可得，又因為，所以，即.故選：A．二、多選題（本題共4小題，每小5分，共20分．全對5分，部分選對2分，有錯選0分）9.某科技學(xué)校組織全體學(xué)生參加了主題為“創(chuàng)意致匠心，技能動天下”的文創(chuàng)大賽，隨機抽取了400名學(xué)生進行成績統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)抽取的學(xué)生的成績都在50分至100分之間，進行適當(dāng)分組后（每組的取值區(qū)間均為左閉右開），畫出頻率分布直方圖（如圖），下列說法正確的是（）A.在被抽取的學(xué)生中，成績在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生有160人B.圖中的值為C.估計全校學(xué)生成績的中位數(shù)為D.估計全校學(xué)生成績的80%分位數(shù)為95【答案】ACD【解析】【分析】由頻率分布直方圖，根據(jù)頻率之和為求得，根據(jù)頻率、中位數(shù)、百分位數(shù)的求得正確答案.【詳解】由題意，成績在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，故A正確；由，得，故B錯誤；設(shè)中位數(shù)為，則，得，故C正確；低于90分頻率為，設(shè)樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)為，則，解得，故D正確.故選：ACD10.下列命題正確的是（）A.對立事件一定是互斥事件B.若為不可能事件，則C.若事件，，兩兩互斥，則D.事件，滿足，則，是對立事件【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)互斥事件和對立事件的關(guān)系可判斷A；根據(jù)為不可能事件，可判定，互斥即可判斷B；舉反例可判斷C，D.【詳解】由對立事件的定義可知對立事件一定是互斥事件，A正確；由于為不可能事件，所以，互斥，則，即B正確；事件，，兩兩互斥，比如擲骰子試驗中，事件：投擲出1點，2點，3點，這三個事件兩兩互斥，但這三個事件的和事件并不一定發(fā)生，所以不一定是必然事件，故C不正確；D中，設(shè)擲一枚硬幣3次，事件A：“至少出現(xiàn)一次正面”，事件：“3次出現(xiàn)正面”，則，，滿足，但，不是對立事件，故D不正確．故選：AB11.有一組樣本數(shù)據(jù)，其平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準差、極差分別記為．由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，其中，其平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準差、極差分別記為，則（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準差、極差的概念，以及計算方法，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，由，所以，所以A正確；對于B中，由，根據(jù)中位數(shù)的定義，可得，所以B錯誤；對于C中，由，根據(jù)數(shù)據(jù)方差的定義，可得，可得，所以C錯誤；對于D中，由，根據(jù)數(shù)據(jù)極差的定義得，所以D正確．故選：AD.12.布達佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達·芬奇方磚在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案，如圖1，把三片這樣的達·芬奇方磚拼成圖2的組合，這個組合再轉(zhuǎn)換成圖3所示的空間幾何體.若圖3中每個正方體的棱長為1，則下列結(jié)論正確的是（）A.點到直線的距離是B.C.平面與平面的夾角余弦值為D.異面直線與所成角的正切值為【答案】BCD【解析】【分析】通過空間向量的基底運算可得B的正誤，利用空間向量的坐標(biāo)運算可得A、C、D的正誤.【詳解】依題意，所以選項B正確；如圖，以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，對于A：，，設(shè)，則點到直線CQ的距離，所以A錯誤；對于B：,；設(shè)平面的法向量的一個法向量為，則，令可得為，設(shè)平面的法向量為，則，則所以，即平面與平面的夾角余弦值為，所以C正確；對于D，因為，，所以，所以，所以異面直線與所成角的正切值為，所以D正確．故選：BCD.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案直接填在答題卡中的橫線上．）13.在空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于平面的對稱點的坐標(biāo)為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于坐標(biāo)平面對稱的點的坐標(biāo)寫出即可．【詳解】空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于平面對稱的點的坐標(biāo)是故答案為：．14.某地有2000人參加自學(xué)考試，為了了解他們的成績，從中抽取一個樣本，若每個考生被抽到的概率都是，則這個樣本的容量是________．【答案】80【解析】【分析】結(jié)合簡單隨機抽樣的概念即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)樣本容量為n，根據(jù)簡單隨機抽樣，得＝，解得n＝80．故答案為：8015.已知一次隨機試驗E中，定義兩個隨機事件A，B，且，，，則________.【答案】##【解析】【分析】利用概率的基本性質(zhì)及事件的運算求概率即可.【詳解】由.故答案為：16.在中，，分別是上的點，滿足且經(jīng)過的重心，將沿折起到的位置，使，是的中點，如圖所示.點（不與端點重合）在線段上，使平面與平面垂直，則__________【答案】2【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求得點N的坐標(biāo)，再利用面面垂直得到兩平面的法向量互相垂直，進而求得的值，即可得到答案.【詳解】在中，因為，故，故在四棱錐中，有，而，故平面，因平面，所以，而，故，而，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.在中，因為經(jīng)過的重心，則有，故，在中，，則，設(shè)，則，故，又，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，故.設(shè)平面的法向量為，則，取，則，故，因為平面平面，故，所以，故，所以.故答案為：2四、解答題（本大題共6個小題，其中17題10分，其余每小題12分，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明．證明過程或演算步驟）17.2022年中國新能源汽車銷量繼續(xù)蟬聯(lián)全球第一，以比亞迪為代表的中國汽車交出了一份漂亮的“成績單”，比亞迪新能源汽車成為2022年全球新能源汽車市場銷量冠軍，為了解中國新能源車的銷售價格情況，隨機調(diào)查了10000輛新能源車的銷售價格，得到如圖的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：（1）估計一輛中國新能源車的銷售價格位于區(qū)間（單位：萬元）的概率，以及中國新能源車的銷售價格的眾數(shù)；（2）現(xiàn)有6輛新能源車，其中2輛為比亞迪新能源車，從這6輛新能源車中隨機抽取2輛，求至少有1輛比亞迪新能源車的概率.【答案】（1）；眾數(shù)為20（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率直方圖中的數(shù)據(jù)即可統(tǒng)計求解，（2）列舉所有基本事件個數(shù)，由古典概型的概率公式即可求解.【小問1詳解】一輛中國新能源車的銷售價格位于區(qū)間的概率中國新能源車的銷售價格的眾數(shù)為【小問2詳解】記2輛比亞迪新能源車為，其余4輛車為，從6輛新能源車中隨機抽取2輛情況有：，，共15種情況.其中至少有1輛比亞迪新能源車的情況有：，，共有9種情況.至少有1輛比亞迪新能源車的概率18.古人云“民以食為天”，某校為了了解學(xué)生食堂服務(wù)的整體情況，進一步提高食堂的服務(wù)質(zhì)量，營造和諧的就餐環(huán)境，使同學(xué)們能夠獲得更好的飲食服務(wù)為此做了一次全校的問卷調(diào)查，問卷所涉及的問題均量化成對應(yīng)的分數(shù)（滿分100分），從所有答卷中隨機抽取100份分數(shù)作為樣本，將樣本的分數(shù)（成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：，得到如圖所示的頻數(shù)分布表．樣本分數(shù)段頻數(shù)51020a2510頻率b（1）求頻數(shù)分布表中a和b值，并求樣本成績的中位數(shù)和平均數(shù)；（2）已知落在的分數(shù)的平均值為56，方差是7；落在的分數(shù)的平均值為65，方差是4，求兩組成績的總平均數(shù)和總方差．【答案】（1），，，（2）兩組市民成績的總平均數(shù)是，總方差是【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，求得，結(jié)合中位數(shù)、平均數(shù)的計算公式，即可求解；（2）根據(jù)分層抽樣的分法，得到分數(shù)在和的人數(shù)，結(jié)合分層抽樣的方差的計算方法，即可求解.【小問1詳解】解：（1）由，解得，則，由，所以，由成績在的頻率為，所以中位數(shù)為，平均數(shù)為．【小問2詳解】解：由表可知，分數(shù)在的市民人數(shù)為10人，成績在的市民人數(shù)為20人，故，則，所以兩組市民成績的總平均數(shù)是，總方差是．19.已知空間三點（1）求以向量為一組鄰邊的平行四邊形的面積；（2）若向量分別與向量垂直，且，求向量的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件，求出，進而得出，根據(jù)四邊形面積公式即可求解；（2）設(shè)出的坐標(biāo)，利用向量垂直的充要條件及向量的摸的公式即可求解.【小問1詳解】由，得，所以，即，又，所以向量為一組鄰邊的平行四邊形的面積為.【小問2詳解】設(shè)，則因為且，所以，即，即聯(lián)立，解得解得或．所以或.20.某工廠師徒二人各加工相同型號的零件2個，且是否加工出精品均互不影響．已知師傅加工一個零件是精品的概率為，師徒二人各加工2個零件都是精品的概率為.（1）求徒弟加工2個零件都是精品的概率；（2）求徒弟加工該零件的精品多于師傅的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合獨立事件概率乘法公式運算求解；（2）分“加工兩個都是精品”和“加工零件只有一個精品”兩種情況，結(jié)合獨立事件概率方法公式運算求解.【小問1詳解】設(shè)徒弟加工一個零件是精品的事件為A，師傅加工一個零件是精品的事件為B，則，由題知，可得，且，所以，所以徒弟加工2個零件都是精品的概率為.【小問2詳解】由題意可得：①當(dāng)徒弟加工兩個都是精品，而師傅加工的零件精品數(shù)小于2時，概率為；②當(dāng)徒弟加工零件只有一個精品，而師傅加工的零件都不是精品時，概率為；由①②得所求概率為.21.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形平面，是棱上的一點，已知，若分別是的中點，（1）求點到平面的距離;（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分別以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，再根據(jù)距離公式求解即可;（2）求出平面的法向量，再根據(jù)線面角的公式求解即可.【小問1詳解】分別以為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，，則，，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即