電磁場理論第3章

第三章

靜電場邊值問題的求解方法

§3.1唯一性定理§3.2鏡像法§3.3解析函數(shù)法§3.4分離變量法§3.5格林函數(shù)法本章目錄：場的分析方法回顧：直接積分法； 高斯定理（+迭加原理）。本章：在給定邊界條件下求解泊松方程。§3.1唯一性定理

§3.1唯一性定理

0

0意義：指出了解唯一的條件；給求解方法提供了自由度（只需找到一個解滿足方程及邊界條件即可）。電位連續(xù)，C與i無關。

§3.1唯一性定理

§3.2鏡像法

一種嘗試方法。數(shù)學基礎：唯一性定理。物理基礎：等效思想。利用反問題或逆問題答案的不唯一性。因果關系：例：等效電阻。求解區(qū)域外包括邊界上的電荷分布對求解區(qū)域內場的貢獻：例：點電荷，球對稱分布電荷?！?.2鏡像法

§3.2鏡像法

鏡像法：

對求解區(qū)域內具有相同貢獻或其產生的場與求解區(qū)域內電荷分布產生的場迭加能滿足邊界條件的求解區(qū)域外及邊界上的電荷分布是不唯一的，有無數(shù)種可能的分布。鏡像法嘗試從上述分布中尋找一種簡單、便于計算的分布，替代原始問題中的實際分布。上述做法是否可行？通過能否滿足邊界條件進行檢驗！§3.2鏡像法

一、點電荷對無限大接地導體平面的鏡像設q>0x>0

§3.2鏡像法

§3.2鏡像法

§3.2鏡像法

注意事項：① 求解區(qū)域內不能做任何改變；② 鏡像電荷分布必須位于求解區(qū)域之外或邊界上，即其產生的場在求解區(qū)域內必須滿足拉普拉斯方程；③ 鏡像電荷分布不是唯一的；④ 解僅對求解區(qū)域x>0有效，鏡像電荷分布與求解區(qū)域之外和邊界上電荷的實際分布方式無關；⑤ 無限大接地導體前任意給定電荷分布所感應的面電荷分布均可用鏡像電荷代替。§3.2鏡像法

【例】:

§3.2鏡像法

【例】:電偶極子的鏡像

接地平面以上

r>a

§3.2鏡像法

二、點電荷對接地導體球面的鏡像

§3.2鏡像法

r>a

§3.2鏡像法

§3.2鏡像法

備注：若導體球改為導體球殼，結果仍然正確，只是此時感應電荷量為球殼外表面的帶電量。并且，無論球殼內部電荷如何分布，結果不變。接地對球殼內外在電性能上起了隔離作用。

家用電器為何從安全角度考慮應接地？【例】：孤立導體球，帶電量為Q，求電位分布。

1）先求解接地的情形r>a

r>a

r>a

§3.2鏡像法

【例】：孤立導體球殼，帶電量為Q，球內有一點電荷q，其至球心的距離為d，求球內外電位分布。

r<a

1）先求解球殼接地的情形§3.2鏡像法

§3.2鏡像法

三、線電荷對無線長圓柱導體的鏡像§3.2鏡像法

r>a

r>a

§3.2鏡像法

問題的根源：本題已給定的邊界條件不足以使解唯一！四、點電荷對無限大介質交界平面的鏡像§3.2鏡像法

等效思想：分區(qū)等效：§3.2鏡像法

§3.2鏡像法

五、電容的計算【例】：同軸線，二同心導體球殼?！?.2鏡像法

§3.3解析函數(shù)法復位函數(shù)法保角變換法解析函數(shù)法

解平面場/柱形場問題

平面場： 點電荷→ 線電荷 曲線 → 曲面 面積→ 體積§3.3解析函數(shù)法§3.3解析函數(shù)法§3.3解析函數(shù)法保角變換：區(qū)域D內單葉函數(shù)確定的變換。復變函數(shù)中區(qū)域D是一個開集，不包括邊界點。因此，保角變換的保角僅指區(qū)域內部，不包括邊界點。例：Schwarz–Christoffel變換一、復位函數(shù)法解拉普拉斯方程§3.3解析函數(shù)法若f(z)解析u、v稱為調和函數(shù)。

復位函數(shù)法的基本思想：直接將某解析函數(shù)f(z)的實部或虛部作為滿足拉普拉斯方程的某靜電問題的解，但同時必須使其滿足靜電問題的邊界條件。此f(z)稱為此靜電問題的復位函數(shù)。

變換w=f(z) (Z) (W)

反變換z=f-1(w)

求解§3.3解析函數(shù)法二、保角變換法解泊松方程包括拉普拉斯方程?；舅枷耄河帽＝亲儞Q將復雜區(qū)域變?yōu)楹唵螀^(qū)域，在變換后的W平面上求解。由于保角變換為區(qū)域內的一一對應變換，W平面完成求解后再變回到Z平面?！?.3解析函數(shù)法§3.3解析函數(shù)法若干初等函數(shù)的變換性質：§3.3解析函數(shù)法§3.3解析函數(shù)法§3.3解析函數(shù)法§3.3解析函數(shù)法§3.4分離變量法

方程、邊界條件齊次或非齊次：“某一方向齊次”：該方向所有邊界條件均齊次?！澳骋环较蚍驱R次”：該方向至少有一邊界條件 非齊次分離變量法要點：①

能直接求解的問題： 齊次方程 邊界條件僅在一個方向非齊次（I）

§3.4分離變量法

分離變量

齊次方向求特征值和特征解（利用齊次邊界條件）通解求解步驟：使通解滿足非齊次方向邊界條件解§3.4分離變量法

齊次方程一般非齊次邊界條件②（II）例：

根據(jù)迭加原理分解，將問題（II）轉化為問題（I）§3.4分離變量法

非齊次方程一般非齊次邊界條件

③

（III）根據(jù)迭加原理分解，將問題（III）轉化為問題（II）§3.4分離變量法

一、直角坐標系中的分離變量法§3.4分離變量法

函數(shù)的選?。?/p>

xba§3.4分離變量法

【例】：求電位分布§3.4分離變量法

n=1n=3【pp.84-86，例3-5】二、圓柱坐標系中的分離變量法§3.4分離變量法

(I)設θ方向齊次

§3.4分離變量法

p.86§3.4分離變量法

1、平面場：

§3.4分離變量法

2、z方向非齊次，ρ方向齊次：

§3.4分離變量法

§3.4分離變量法

3、z方向齊次，ρ方向非齊次：

§3.4分離變量法

§3.4分離變量法

【pp.89-90，例3-6】：求圓柱內的電位。§3.4分離變量法

【pp.90-91，例3-7】：求此平面場的電位分布。

§3.4分離變量法

§3.4分離變量法

DDDDD邊緣處場的奇異性：指電場或磁場在導體或介質邊緣處的奇異性。邊緣條件：邊緣任一有限鄰域電磁場的儲能為有限值。

說明：①②③避雷針原理§3.4分離變量法

【pp.91-92，例3-8】：求此平面場的電位分布。

p.91§3.4分離變量法

§3.4分離變量法

§3.4分離變量法

p.92，圖3-19

三、球坐標系中的分離變量法§3.4分離變量法

§3.4分離變量法

§3.4分離變量法

1、軸對稱問題：§3.4分離變量法

§3.4分離變量法

2、一般情況：

m=0,1,2,…

【pp.94-96，例3-8】：求電位分布?！?.4分離變量法

p.95§3.4分離變量法

§3.4分離變量法

此題亦可用鏡像法求解。

分離變量法小結

§3.5格林函數(shù)法

一、基本思想及定義基本思想：先求點（線）電荷在齊次邊界條件下的電位，然后再求任意電荷分布、任意非齊次邊界條件下的電位。例：pp.104-105

DcAa二、格林函數(shù)法解邊值問題物理意義：§3.5格林函數(shù)法

§3.5格林函數(shù)法

三、格林函數(shù)法的求解方法

鏡像法保角變換法+鏡像法分離變量法§3.5格林函數(shù)法

【pp.105-106，例3-12】：求G1。

§3.5格林函數(shù)法

§3.5格林函數(shù)法

另一種分區(qū)方法。y方向齊次，x方向非齊次。

§3.5格林函數(shù)法

備注：僅為例題，直接用分離變量法求解更方便。

本章總結

總結電磁場分析方法簡要評述

解析方法優(yōu)點：物理概念比較清晰，比較容易建立物理圖像;

因所得結果為數(shù)學表達式，可求物理量在任意點的值，容易研究其變化規(guī)律。解析方法缺點：能解決的實際問題較少；需要的數(shù)學知識相對較多。本章總結

數(shù)值方法計算電磁學(Comp