生物統(tǒng)計(jì)學(xué)第二講1

生物統(tǒng)計(jì)學(xué)

BiostatisticsGangDongSchoolofLifeSciencesShanxiUniversity第三章概率和概率運(yùn)算

一、概率的根本概念1.隨機(jī)現(xiàn)象確定性現(xiàn)象〔必然現(xiàn)象〕指在一定條件下，必然會(huì)出現(xiàn)某種肯定的結(jié)果或必然不出現(xiàn)某種結(jié)果的現(xiàn)象。隨機(jī)現(xiàn)象〔不確定現(xiàn)象〕指在同樣的條件下進(jìn)行一系列重復(fù)實(shí)驗(yàn)或觀測，每次出現(xiàn)的結(jié)果并不完全一樣的現(xiàn)象。第三章概率和概率運(yùn)算

一、概率的根本概念1.隨機(jī)現(xiàn)象投擲硬幣正面向上頻率調(diào)查實(shí)驗(yàn)者投擲次數(shù)（n）出現(xiàn)正面向上的次數(shù)（μ）頻率＝μ/nDeMorgenBuffonPearsonPearsonVinear2048404012000240003000010612048601912012149940.5180.50690.50160.50050.4998第三章概率和概率運(yùn)算

一、概率的根本概念1.隨機(jī)現(xiàn)象雖然隨機(jī)現(xiàn)象的每次觀察的結(jié)果不確定，但是大量觀察的結(jié)果卻呈現(xiàn)一定的規(guī)律性。研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律性的科學(xué)就稱為概率論，利用概率論得出的規(guī)律來揭示偶然性中存在的必然性的科學(xué)就是統(tǒng)計(jì)學(xué)。第三章概率和概率運(yùn)算

一、概率的根本概念2.事件和事件間的關(guān)系2.1實(shí)驗(yàn)和試驗(yàn)的區(qū)別〔1〕試驗(yàn)〔trail〕：指為了了解某物的性能或某事的結(jié)果而進(jìn)行的嘗試性活動(dòng)。一次嘗試性活動(dòng)就是一次試驗(yàn)。如調(diào)查小麥魯麥15的株高，每測量一株小麥就是一次試驗(yàn)；第一株株高為67厘米，第二株為70厘米，我們說兩次的試驗(yàn)結(jié)果不同?！?〕實(shí)驗(yàn)〔experiment〕：設(shè)計(jì)一種方法，來檢驗(yàn)一種理論或證實(shí)一種假設(shè)而進(jìn)行的一系列操作或活動(dòng)。即一系列試驗(yàn)構(gòu)成一個(gè)實(shí)驗(yàn)。第三章概率和概率運(yùn)算

一、概率的根本概念2.事件和事件間的關(guān)系2.2事件和事件的關(guān)系幾個(gè)根本概念隨機(jī)試驗(yàn)：從某一研究目的出發(fā)，對隨機(jī)現(xiàn)象的觀察活動(dòng)稱為隨機(jī)試驗(yàn)，簡稱試驗(yàn)。隨機(jī)事件：隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能的結(jié)果稱為隨機(jī)事件，簡稱事件。如調(diào)查10個(gè)新生嬰兒中男嬰的數(shù)目。第三章概率和概率運(yùn)算

一、概率的根本概念2.事件和事件間的關(guān)系根本領(lǐng)件：隨機(jī)試驗(yàn)中，每一個(gè)可能發(fā)生的不再分解的最根本的結(jié)果稱為根本領(lǐng)件。如：10個(gè)新生嬰兒中男嬰的數(shù)目有0、1、2……10等11種結(jié)果，每個(gè)數(shù)字就是一個(gè)根本領(lǐng)件。必然事件：在一定條件下，必然會(huì)出現(xiàn)某種肯定的結(jié)果，這種事件稱為必然事件。如太陽從東邊升起。不可能事件：在一定條件下，不可能發(fā)生的事件，稱為不可能事件。如母豬下蛋。第三章概率和概率運(yùn)算

一、概率的根本概念2.事件和事件間的關(guān)系2.2事件和事件的關(guān)系事件的包含與相等；事件的和；事件的差；事件的交；互不相容事件；對立事件等。下面只介紹較易混淆的三種根本領(lǐng)件關(guān)系。獨(dú)立事件：事件A的發(fā)生不影響B(tài)的發(fā)生，事件B的發(fā)生也不影響事件A的發(fā)生。如A班的考研率和B班的考研率；再如甲乙兩人打靶，兩人中靶率互不干預(yù)等都是獨(dú)立事件。第三章概率和概率運(yùn)算

一、概率的根本概念2.事件和事件間的關(guān)系2.2事件和事件的關(guān)系對立事件：對于任一事件A，必有，A與為有特殊關(guān)系的對立事件。如果A+B＝U，AB＝Φ，記為B＝。如嬰兒的性別，非男即女；擲硬幣正面向上與反面向上；打靶中與不中等都是對立事件?；コ馐录阂步谢ゲ幌嗳菔录?，表示兩件事不能同時(shí)發(fā)生，但他們可以同時(shí)不發(fā)生。如10個(gè)新生嬰兒中男嬰的數(shù)目是6個(gè)的事件和是7個(gè)的事件是互斥事件。第三章概率和概率運(yùn)算

一、概率的根本概念2.事件和事件間的關(guān)系2.2事件和事件的關(guān)系對立事件不能同時(shí)發(fā)生，也不能同時(shí)不發(fā)生。所以對立事件一定是互斥事件；而互斥事件不一定是對立事件，一定不是獨(dú)立事件；獨(dú)立事件是相容事件，不能是互斥事件。第三章概率和概率運(yùn)算

一、概率的根本概念3.事件的概率3.1概率的統(tǒng)計(jì)定義概率和頻率是非常容易混淆的兩個(gè)概念，舉例說明二者的區(qū)別。如果某隨機(jī)試驗(yàn)進(jìn)行了n次〔即樣本含量〕，其中根本領(lǐng)件A發(fā)生了m次〔即頻數(shù)是m〕，那么事件A在隨機(jī)試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率是f(A)=m/n。大量試驗(yàn)使隨機(jī)事件呈現(xiàn)規(guī)律性，即頻率穩(wěn)定性。某事件發(fā)生的穩(wěn)定頻率稱為概率，表示該事件發(fā)生的可能性大小。概率是事件本身所固有的，是確定值，不隨著人的主觀意志而改變，而頻率是不穩(wěn)定的，圍繞著概率擺動(dòng)。第三章概率和概率運(yùn)算

一、概率的根本概念3.事件的概率3.1概率的統(tǒng)計(jì)定義概率的統(tǒng)計(jì)定義是：在相同條件下，進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)，假設(shè)事件A的頻率穩(wěn)定地在某一確定值P的附近擺動(dòng)，那么稱P為事件A發(fā)生的概率〔probability〕，記為P(A)=P。水污染小區(qū)居民貧血癥調(diào)查頻率表〔樣本含量n不同〕抽樣人n=20(人)n=200(人)n=2000(人)患病人數(shù)m患病頻率m/nmm/nmm/nABCDEFGHI0500.2000.0500.2000.2500.3500.3000.1000.2000.200323138494037402947530.1600.1550.1900.2450.2000.1850.2000.1450.2350.2654044144093824164143884244103860.2020.2070.2050.1910.2080.2070.1940.2120.2050.193由定義知，任意事件A，0≤P(A)≤1，必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0。第三章概率和概率運(yùn)算

一、概率的根本概念3.事件的概率3.2概率的古典定義通過研究現(xiàn)象的內(nèi)在規(guī)律來確定它的概率。如拋硬幣、擲骰子、買彩票等。這類現(xiàn)象要符合兩個(gè)條件：〔1〕隨機(jī)試驗(yàn)的全部可能結(jié)果〔根本領(lǐng)件數(shù)〕是有限的；〔2〕各事件是互不相容且等可能的。那么，事件A發(fā)生的概率P(A)是A包含的事件數(shù)m與事件總數(shù)n的比值。P(A)＝根本領(lǐng)件A的個(gè)數(shù)(m)/根本領(lǐng)件總數(shù)(n)第三章概率和概率運(yùn)算

一、概率的根本概念3.事件的概率3.2概率的古典定義例：根據(jù)孟德爾遺傳定律，計(jì)算雙眼皮父親〔Dd〕和母親〔Dd〕的孩子是雙眼皮的概率有多大？解：雙眼皮基因D是顯性。他們后代的基因型為DD、Dd、dD、dd四種類型，前3類都是顯性，所以，P〔雙眼皮〕＝3/4=0.75第三章概率和概率運(yùn)算

一、概率的根本概念3.事件的概率例：袋中裝10個(gè)球，其中6個(gè)白球，4個(gè)紅球。〔1〕放回式抽樣：每次抽1球，看顏色后放回。①求抽3次都為白球的概率P(A)和3次都為紅球的概率P(B)?解：總抽樣的樣本空間〔總抽樣次數(shù)〕：n=103；三次取的都是白球的次數(shù)m＝63。所以抽3次都為白球的概率P(A)＝63/103=0.216同理，抽3次都為紅球的概率P(B)＝43/103=0.064②求抽3次，兩次紅球，一次白球的概率P(C)？解：P(C)＝×42×6/103=0.288其中指三個(gè)球出現(xiàn)順序的可能性。第三章概率和概率運(yùn)算

一、概率的根本概念3.事件的概率例：袋中裝10個(gè)球，其中6個(gè)白球，4個(gè)紅球?！?〕非放回式抽樣：每次抽1球，不放回①抽3個(gè)都為白球的概率P(A)＝(6×5×4)/(10×9×8)=0.167②抽3個(gè)兩個(gè)紅球，一個(gè)白球的概率P(B)=(×4×3×6)/(10×9×8)=0.30③抽3個(gè)都為紅球的概率P(A)＝(4×3×2)/(10×9×8)=0.033④抽3個(gè)兩次白球，一次紅球的概率P(B)=(×6×5×4)/(10×9×8)=0.25第三章概率和概率運(yùn)算

一、概率的根本概念3.事件的概率3.3概率的主觀定義一些實(shí)際問題，即沒有古典定義的特點(diǎn)，也不能在相同條件下進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)。如公安破獲某一案件的概率，購置某支股票獲得高收益的概率，某個(gè)學(xué)生考上中科院研究生的概率。這類問題只能根據(jù)人們的經(jīng)驗(yàn)，以個(gè)人主觀信念為根底來估計(jì)事件發(fā)生的概率。第三章概率和概率運(yùn)算

二、概率的運(yùn)算法那么1.概率的加法定理1.1狹義的加法〔定理1〕

如果A、B兩個(gè)事件是互斥事件，P(A+B)＝P(A)+P(B)，表示A和B兩個(gè)事件中至少有一個(gè)發(fā)生的概率。ABC例：植物所的研究生35％來自師范生，32％來自農(nóng)業(yè)大學(xué)，那么師范生和農(nóng)業(yè)大學(xué)生占全所研究生的比例就為35％+32％＝67％第三章概率和概率運(yùn)算

二、概率的運(yùn)算法那么1.概率的加法定理1.2廣義的加法〔定理2〕對于任意兩個(gè)事件A和B，P(A+B)＝P(A)+P(B)-P(AB)，P(AB)表示A和B兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率。ABAB第三章概率和概率運(yùn)算

二、概率的運(yùn)算法那么1.概率的加法定理1.2廣義的加法〔定理2〕例：某外企招聘大學(xué)生，要求條件是要么有大學(xué)英語六級證書，要么有計(jì)算機(jī)二級證書。某學(xué)校大學(xué)畢業(yè)生大學(xué)六級通過率為P(A)=70％，計(jì)算機(jī)二級通過率為P(B)=36%，二者都通過的有P(AB)=15％。任抽取一學(xué)生，符合應(yīng)聘要求的概率P(A+B)=70%+36%-15%=91%。對于不便求出的概率，可以求其補(bǔ)集：因?yàn)镻(A)+P()＝1，所以P(A)=1－P()第三章概率和概率運(yùn)算

二、概率的運(yùn)算法那么2.條件概率和乘法定理要討論概率的乘法公式，首先需要了解條件概率的概念。2.1條件概率：在事件A發(fā)生的條件下，求事件B發(fā)生的概率，稱為在事件A發(fā)生條件下，事件B發(fā)生的概率，記為P(B|A)；反之記為P(A|B)。如食道癌患者的存活率是30%、某位病人證明患有食道癌〔事件A已經(jīng)發(fā)生〕，這位病人能夠存活〔事件B〕的概率就用P(B|A)表示。第三章概率和概率運(yùn)算

二、概率的運(yùn)算法那么2.條件概率和乘法定理2.2概率的乘法公式〔定理3〕事件A和事件B同時(shí)發(fā)生的概率P(AB)等于其中任一事件的概率乘以在該事件發(fā)生的條件下另一事件發(fā)生的概率，即P(AB)=P(B)P(A|B)或者P(AB)=P(A)P(B|A)第三章概率和概率運(yùn)算

二、概率的運(yùn)算法那么2.條件概率和乘法定理例：班里發(fā)了5張電影票，有8個(gè)人想去看電影，只能抓鬮，5個(gè)寫有，3個(gè)寫沒有，甲先抓，乙第二個(gè)抓，求兩人都能抓到電影票的概率。解：甲先抓，抓到的概率：乙第二個(gè)抓，抓到的概率：甲乙都抓到的概率：甲乙丙三人先抓，三人都抓到的概率：第三章概率和概率運(yùn)算

二、概率的運(yùn)算法那么3.獨(dú)立事件及其乘法公式3.1簡單的獨(dú)立事件及其乘法公式如果兩個(gè)事件A、B中，任一件事的發(fā)生并不影響另一件事的概率，即P(B|A)＝P(B)或P(A|B)＝P(A)，那么認(rèn)為事件A與事件B是獨(dú)立的，對于獨(dú)立事件，事件AB同時(shí)發(fā)生的概率等于兩個(gè)事件概率的乘積〔定理4〕。即對于獨(dú)立事件，概率的乘法公式為：P(AB)＝P(A)P(B)第三章概率和概率運(yùn)算

二、概率的運(yùn)算法那么3.獨(dú)立事件及其乘法公式3.1簡單的獨(dú)立事件及其乘法公式例：抽查甲乙兩班的英語四級考試情況，甲班四級通過率為0.8，乙班四級通過率為0.7。從這兩個(gè)班級中分別抽取1人，被抽取的2個(gè)人都通過四級的概率是多少？解：P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×0.7=0.56至少有1人通過的概率：P(A+B)＝P(A)+P(B)－P(AB)＝0.8+0.7－0.56＝0.94恰好只有1人通過的概率：第三章概率和概率運(yùn)算

二、概率的運(yùn)算法那么3.獨(dú)立事件及其乘法公式3.2獨(dú)立事件的乘法公式的幾個(gè)推論〔定理5〕

如果A1、A2、A3…An等n各事件相互獨(dú)立，它們及其他們的補(bǔ)集也都相互獨(dú)立，即A1、A2、A3、…、An和、、、…、之間都兩兩相互獨(dú)立。第三章概率和概率運(yùn)算

二、概率的運(yùn)算法那么3.獨(dú)立事件及其乘法公式3.2獨(dú)立事件的乘法公式的幾個(gè)推論〔定理5〕第三章概率和概率運(yùn)算

二、概率的運(yùn)算法那么4.全概率公式從幾個(gè)簡單的不相容事件的概率推算一個(gè)未知的復(fù)雜事件的概率。如果一個(gè)未知事件B的概率P(B)比較復(fù)雜，可以分解為簡單的幾個(gè)不相容事件的和P(A1)+P(A2)+P(A3)+…+P(An)，那么事件B的概率〔定理6〕：P(B)=∑P(Ai)P(B|Ai)第三章概率和概率運(yùn)算

二、概率的運(yùn)算法那么5.貝葉斯定理貝葉斯定理(Bayes’theorem):也稱為逆概率公式〔定理7〕它與全概率公式相反，某事件B發(fā)生的概率P(B)，求該事件由某個(gè)原因所引起的條件概率P(Ai|B)，它可以幫助我們分析引起事件發(fā)生的可能原因。第三章概率和概率運(yùn)算

二、概率的運(yùn)算法那么5.貝葉斯定理例：中年男性中肥胖者者占30％、標(biāo)準(zhǔn)體重占50％，偏瘦者占20％。這三類人群中患動(dòng)脈硬化的概率分別為30％、10％、1％。從中年男性中隨機(jī)抽取到1人，發(fā)現(xiàn)此人是動(dòng)脈硬化患者，問這個(gè)病人是肥胖者的概率？解：用B表示抽到動(dòng)脈硬化患者的事件；用A1表示抽到肥胖者的事件；用A2表示抽到標(biāo)準(zhǔn)體重的事件；用A3表示抽到偏瘦者的事件

：P(A1)=0.30；P(A2)=0.50；P(A3)=0.20；P(B|A1)＝0.30；P(B|A2)＝0.10；P(B|A3)＝0.01第三章概率和概率運(yùn)算

二、概率的運(yùn)算法那么5.貝葉斯定理：P(A1)=0.30；P(A2)=0.50；P(A3)=0.20；P(B|A1)＝0.30；P(B|A2)＝0.10；P(B|A3)＝0.01同樣可求得：此病人是標(biāo)準(zhǔn)體重者的概率此病人是偏瘦者的概率第三章概率和概率運(yùn)算

二、概率的運(yùn)算法那么6.概率運(yùn)算的表示方法設(shè)有A、B、C三個(gè)獨(dú)立事件，用事件運(yùn)算表示以下事件：第四章幾種常見的概率分布

一、隨機(jī)變量及其數(shù)學(xué)期望與方差

1.隨機(jī)變量的概念和分類

概念：隨機(jī)變量指在隨著隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果而變化的量。

分類：根據(jù)隨機(jī)變量的取值特征分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量。2.隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差概率分布就是指隨機(jī)現(xiàn)象的各種可能結(jié)果發(fā)生的概率。數(shù)學(xué)期望〔Expection〕與方差的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義數(shù)學(xué)期望主要用來描述隨機(jī)變量的平均取值情況，而方差那么用來描述隨機(jī)變量的取值對于平均值的離散程度。第四章幾種常見的概率分布

一、隨機(jī)變量及其數(shù)學(xué)期望與方差

2.隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差數(shù)學(xué)期望，簡稱期望〔Expection〕，它說明了隨機(jī)變量取值的平均水平，用“E(X)〞表示。對于頻率資料，平均數(shù)計(jì)算:其中，X＝組值或中值；p為頻率；k＝組數(shù)；px表示p與x的乘積第四章幾種常見的概率分布

一、隨機(jī)變量及其數(shù)學(xué)期望與方差

2.隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差例：用一種復(fù)合飼料養(yǎng)豬，每天增重的kg數(shù)及其相應(yīng)概率如下，求這批豬平均每天增重多少？每天增重kg數(shù)(中值)0.51.01.52.0概率0.100.200.500.20解：每天增重的數(shù)學(xué)期望

第四章幾種常見的概率分布

一、隨機(jī)變量及其數(shù)學(xué)期望與方差

2.隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布如下表：Xx1x2x3…xn…Pp1p2p3…pn…那么X的數(shù)學(xué)期望：第四章幾種常見的概率分布

一、隨機(jī)變量及其數(shù)學(xué)期望與方差

3.方差的計(jì)算

對于隨機(jī)變量X，總體方差的記為D(X)D(X)＝E(X-EX)2=E(X2)-(EX)2＝＝σ2

方差的具有以下兩個(gè)根本性質(zhì)：對于任一常數(shù)c，有D(cX)=c2?D(X)；對于互相獨(dú)立的隨機(jī)變量X1、X2、…、Xk，D(X1+X2+…+Xk)=D(X1)+D(X2)+…+D(Xk)除了方差外，我們還經(jīng)常用到,一般用希臘字母“σ〞來表示，稱為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，它也是描述隨機(jī)變量取值離散程度的重要參數(shù)第四章幾種常見的概率分布

一、隨機(jī)變量及其數(shù)學(xué)期望與方差

3.方差的計(jì)算

簡單的講，就是總體標(biāo)準(zhǔn)差σ。數(shù)學(xué)期望就是隨機(jī)變量的理論平均數(shù)，就是總體平均數(shù)“μ〞，隨即變量的理論方差就是總體方差“σ2〞。隨機(jī)變量的理論偏斜度和峭度就是總體偏斜度“γ1〞和峭度“γ2〞。第四章幾種常見的概率分布

二、離散型隨機(jī)變量的概率分布

隨機(jī)變量的取值是離散型數(shù)據(jù)的，稱為離散型隨機(jī)變量。設(shè)離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值為Xi，取值得概率為P(Xi)，那么P(Xi)就為離散型隨機(jī)變量X的概率分布律。離散型隨機(jī)變量概率分布的特點(diǎn)：〔1〕P(X)≥0；〔2〕第四章幾種常見的概率分布

二、離散型隨機(jī)變量的概率分布

1.二點(diǎn)分布〔伯努利分布：Bernoullidistribution〕兩點(diǎn)分布是最簡單，最常用概率分布。如：擲硬幣“正面向上”或“反面向上”；產(chǎn)品“合格”、“不合格”；新生兒性別“男”“女”；種子“發(fā)芽”“不發(fā)芽”；打靶“中”與“不中”。P(X=1)＝pP(X=0)＝1-p，1-p用“q”表示，即q=1-p兩點(diǎn)分布的概率分布函數(shù)為：在隨機(jī)試驗(yàn)中，如果只有兩種可能的試驗(yàn)結(jié)果，成功記為X=1，失敗記為X＝0，那么對應(yīng)的隨機(jī)變量〔1次試驗(yàn)的兩個(gè)結(jié)果〕服從0-1分布，也稱兩點(diǎn)分布。第四章幾種常見的概率分布

二、離散型隨機(jī)變量的概率分布

2.二項(xiàng)分布在實(shí)際問題中常常要做屢次完全相同并且相互獨(dú)立的試驗(yàn)，我們稱這種試驗(yàn)為重復(fù)獨(dú)立性試驗(yàn)。伯努利又將兩點(diǎn)分布進(jìn)行了推廣。二項(xiàng)分布的條件：

①每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果；②每一種結(jié)果在每次試驗(yàn)中都有恒定的概率，成功的概率都為p，失敗的概率為1-p；③進(jìn)行了n次重復(fù)試驗(yàn)，試驗(yàn)之間是相互獨(dú)立的。第四章幾種常見的概率分布

二、離散型隨機(jī)變量的概率分布

2.二項(xiàng)分布如果從二項(xiàng)總體進(jìn)行n次重復(fù)抽樣，設(shè)出現(xiàn)“此〞的次數(shù)為y，那么y的取值可能為0、1、2、…、n，共有n+1種可能取值，這n+1種取值各有其概率，因而由變量y及其概率就構(gòu)成了一個(gè)分布，這個(gè)分布叫做二項(xiàng)式概率分布，簡稱二項(xiàng)式分布或二項(xiàng)分布〔binomialdistribution〕。二項(xiàng)總體的抽樣試驗(yàn)具有重復(fù)性和獨(dú)立性。重復(fù)性是指每次試驗(yàn)條件不變，即在每次試驗(yàn)中“此〞事件出現(xiàn)的概率皆為p。獨(dú)立性是指任何一次試驗(yàn)中“此〞事件的出現(xiàn)與其余各次試驗(yàn)中出現(xiàn)何種結(jié)果無關(guān)。第四章幾種常見的概率分布

二、離散型隨機(jī)變量的概率分布

2.二項(xiàng)分布P(x)=Cxnpxqn-xP(x)為隨機(jī)變量x的二項(xiàng)分布，記作B(n,p)。x表示在n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，n表示試驗(yàn)次數(shù)〔或樣本含量〕，p表示事件A發(fā)生的概率〔每次試驗(yàn)是恒定的〕，q即1-p表示事件A不發(fā)生的概率。2.1二項(xiàng)分布的概率函數(shù)2.2二項(xiàng)分布的形狀和參數(shù)二項(xiàng)分布的形狀由n和p兩個(gè)參數(shù)決定。(1)當(dāng)p值較小且n不大時(shí)，分布是偏倚的。隨n的增大，分布趨于對稱；〔2〕對于固定的n和p，當(dāng)x增加時(shí)，P(x)先隨之增加并到達(dá)極大值，以后又下降；〔3〕當(dāng)p值趨于0.5時(shí)，分布趨于對稱。第四章幾種常見的概率分布

二、離散型隨機(jī)變量的概率分布

2.二項(xiàng)分布2.2二項(xiàng)分布的形狀和參數(shù)服從二項(xiàng)分布B(n,p)的隨機(jī)變量所構(gòu)成的總體的平均數(shù)μ、標(biāo)準(zhǔn)差σ與n、p這兩個(gè)參數(shù)有關(guān)。第四章幾種常見的概率分布

二、離散型隨機(jī)變量的概率分布

2.二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布的計(jì)算也可以用Excel函數(shù)自動(dòng)獲得，下面再補(bǔ)充一些常用的Excel函數(shù)，在后續(xù)的計(jì)算中或者日常生活中都可能經(jīng)常用到〔1〕Excel中二項(xiàng)分布的函數(shù)為Binomdist，其累積密度函數(shù)值可以在附表中查到。P(K)=Binomdist(k,n,p,trueorfalse)，True表示向下累積密度函數(shù)，F(xiàn)alse表示概率密度函數(shù)。

第四章幾種常見的概率分布

二、離散型隨機(jī)變量的概率分布

2.二項(xiàng)分布P(K)=Binomdist(k,n,p,trueorfalse)，True表示向下累積密度函數(shù)，F(xiàn)alse表示概率密度函數(shù)。解：P(0)=0.60(1-0.6)5＝0.0102=Binomdist(0,5,0.6,false)P(1)=0.61(1-0.6)4＝0.0768=Binomdist(1,5,0.6,false)P(2)=0.62(1-0.6)3＝0.2304=Binomdist(2,5,0.6,false)P(3)=0.63(1-0.6)2＝0.3456P(4)=0.64(1-0.6)1＝0.2592P(5)=0.65(1-0.6)0＝0.0778P(≥2)＝P(2)+P(3)+P(4)+P(5)＝0.9130例：某士兵每發(fā)射一粒子彈射中靶子的概率為0.6，他發(fā)射了5顆子彈，求士兵5發(fā)子彈都為擊中靶子的概率和至少有2顆子彈射中靶子的概率？第四章幾種常見的概率分布

二、離散型隨機(jī)變量的概率分布

2.二項(xiàng)分布P(K)=Binomdist(k,n,p,trueorfalse)，True表示向下累積密度函數(shù)，F(xiàn)alse表示概率密度函數(shù)。例：某士兵每發(fā)射一粒子彈射中靶子的概率為0.6，他發(fā)射了5顆子彈，求士兵5發(fā)子彈都為擊中靶子的概率和至少有2顆子彈射中靶子的概率？解：P(≥2)=1－P(≤1)=1-Binomdist(1,5,0.6,true)

=1-0.0870＝0.9130

第四章幾種常見的概率分布

二、離散型隨機(jī)變量的概率分布

2.二項(xiàng)分布〔2〕二項(xiàng)分布累積函數(shù)對應(yīng)的臨界值Critbinom(n,p,α)。n試驗(yàn)次數(shù)，p事件發(fā)生概率，α為累積函數(shù)值。即P(≤X)=α，X=Critbinom(n,p,α)。如打靶X=Critbinom(10,0.6,0.90)=8，指如果士兵打靶命中率為0.6，他打10發(fā)子彈，中8發(fā)一下的概率是90%。〔3〕Excel中某數(shù)階層的計(jì)算函數(shù)為Fact如：5!＝fact(5)或FACT(5)＝120〔4〕Excel中某數(shù)m的n次方計(jì)算函數(shù)為：m^n如：55=5^5〔5〕Excel中以某數(shù)m為底的n的對數(shù)，計(jì)算函數(shù)為：log(n,m)如：Excel中以10為底的n的對數(shù)，計(jì)算公式為：＝log10(n)〔6〕Excel中以自然對數(shù)e為底的n的對數(shù)，計(jì)算函數(shù)為：ln(n)Excel中自然對數(shù)e的n次方，計(jì)算函數(shù)為：exp(n)第四章幾種常見的概率分布

二、離散型隨機(jī)變量的概率分布

2.二項(xiàng)分布〔7〕Excel中從給定元素?cái)?shù)目m得集合中抽取假設(shè)干n元素的排列組合數(shù)計(jì)算函數(shù)為：Combin(m,n)

如：=Combin(7,2)=21注：函數(shù)輸入時(shí)字母不分大小寫，也可以從函數(shù)列表中插入。第四章幾種常見的概率分布

二、離散型隨機(jī)變量的概率分布

3.幾何分布3.1幾何分布的概念前面講的二項(xiàng)分布是n次重復(fù)獨(dú)立性試驗(yàn)中，事件A發(fā)生k次〔0≤k≤n〕的概率。幾何分布指的是n次重復(fù)獨(dú)立性試驗(yàn)中，事件A第k次〔0≤k≤n〕出現(xiàn)的概率。概率分布函數(shù)為：

幾何分布簡單講就是最后一次成功，其他失敗的概率。第四章幾種常見的概率分布

二、離散型隨機(jī)變量的概率分布

3.幾何分布1、幾何分布的概念幾何分布的總體平均數(shù)：方差：

幾何分布是負(fù)二項(xiàng)分布的一種特殊情況，即最后一次成功，其余失敗?？捎肊xcel中的負(fù)二項(xiàng)分布的函數(shù)Negbinomdist來計(jì)算：P(k)=Negbinomdist(k-1,1,p)第四章幾種常見的概率分布

二、離散型隨機(jī)變量的概率分布

3.幾何分布2、幾何分布的應(yīng)用舉例P(k)=Negbinomdist(k-1,1,p)例：某新兵每發(fā)射一粒子彈射中靶子的概率為0.3，求他打靶過程中到第3發(fā)子彈才能擊中靶子的概率？解：＝0.3×0.72＝0.147

用Excel計(jì)算：P(3)=Negbinomdist(2,1,0.3)＝0.147負(fù)二項(xiàng)分布的一個(gè)重要性質(zhì)是無記憶性，就是可以由任意一點(diǎn)開始。比方一個(gè)士兵打靶，不管前面打了幾發(fā)，都不影響他恰好第n發(fā)子彈才能打中靶子的概率。第四章幾種常見的概率分布

二、離散型隨機(jī)變量的概率分布

4.泊松分布(Poissondistribution)

泊松〔Poisson,Simeon-Denis，1781—1840〕是法國數(shù)學(xué)家，為統(tǒng)計(jì)學(xué)做出了眾多突出奉獻(xiàn)。除了提出隨機(jī)現(xiàn)象的泊松分布以外，還推廣了“大數(shù)定理〞。對積分理論、行星運(yùn)動(dòng)理論、熱物理、彈性理論、電磁理論、位勢理論和概率論都有重要奉獻(xiàn)，在數(shù)學(xué)中以他的姓名命名的有：泊松定理、泊松公式、泊松方程、泊松分布、泊松過程、泊松積分、泊松級數(shù)、泊松變換、泊松代數(shù)、泊松比、泊松流、泊松核、泊松求和法等。第四章幾種常見的概率分布

二、離散型隨機(jī)變量的概率分布

4.泊松分布(Poissondistribution)

4.1泊松分布的概念泊松分布可作為稀有事件〔小概率事件〕發(fā)生次數(shù)的概率分布模型。二項(xiàng)分布中n大、p小〔一般n≥20，p≤0.25或者n≥10，p≤0.10〕的概率用二項(xiàng)分布太繁瑣，可用泊松分布近似計(jì)算其概率?，F(xiàn)實(shí)生活中有很多現(xiàn)象也服從泊松分布，如：1年內(nèi)飛機(jī)失事的次數(shù)；煤礦意外事故死亡人數(shù)；每平方米土地上的害蟲數(shù)；1頁書上錯(cuò)別字個(gè)數(shù)、商場每周售出的電視臺(tái)數(shù)等。第四章幾種常見的概率分布

二、離散型隨機(jī)變量的概率分布

4.泊松分布(Poissondistribution)

4.2泊松分布的概率分布函數(shù)：其中：X為事件的發(fā)生次數(shù)或人數(shù)、細(xì)菌數(shù)等；μ為總體平均數(shù)；e是自然對數(shù)底，e＝2.71828183。第四章幾種常見的概率分布

二、離散型隨機(jī)變量的概率分布

4.泊松分布(Poissondistribution)

4.3泊松分布的數(shù)學(xué)期望和方差

:μ＝σ2＝np＝λ〔n為試驗(yàn)次數(shù)，p為小概率事件發(fā)生的概率，σ為總體標(biāo)準(zhǔn)差，λ為常數(shù)〕。但總體平均數(shù)μ往往是未知的，只能從所觀察的隨機(jī)樣本中計(jì)算出相應(yīng)的樣本平均數(shù)作為μ的估計(jì)值。泊松分布的Excel函數(shù)名為Poisson：P(X)=Poisson(x,μ,trueorfalse)True表示向上累積函數(shù)，F(xiàn)alse表示概率密度函數(shù)。對于波松分布，當(dāng)μ→∝時(shí)，波松分布以正態(tài)分布為極限。在實(shí)際計(jì)算中，當(dāng)μ≥10時(shí)，泊松分布可用正態(tài)分布進(jìn)行近似計(jì)算。第四章幾種常見的概率分布

二、離散型隨機(jī)變量的概率分布

4.泊松分布(Poissondistribution)

4.4泊松分布的應(yīng)用舉例

例：雜草的分布符合泊松分布，甲老漢，他的麥田內(nèi)雜草不超過100顆草/畝，乙老漢不信，抽查了一分地，求每分〔0.1畝〕麥田里有12顆草的概率？解：μ＝10，求P(12)P(12)＝＝Poisson(12,10,false)＝0.0948>0.05；說明如果每畝地有100顆草的話，1分地內(nèi)有12顆草是很有可能的，是正常的?；蛘哒f每畝麥田內(nèi)雜草并不顯著多于100顆。第四章幾種常見的概率分布

二、離散型隨機(jī)變量的概率分布

4.泊松分布(Poissondistribution)

4.4泊松分布的應(yīng)用舉例

例：雜草的分布符合泊松分布，甲老漢，他的麥田內(nèi)雜草不超過100顆草/畝，乙老漢不信，抽查了一分地，求每分〔0.1畝〕麥田里有15顆草的概率？解：μ＝10，求P(15)P(15)＝＝0.0347<0.05

說明如果每畝地不超過100顆草的話，1分地內(nèi)不可能發(fā)現(xiàn)15顆草，也就是說這畝麥田內(nèi)雜草顯著多于100顆。第四章幾種常見的概率分布

二、離散型隨機(jī)變量的概率分布

4.泊松分布(Poissondistribution)

4.5泊松分布的重要特征和判斷

符合泊松分布的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望〔總體平均數(shù)〕和方差相等，都等于常數(shù)λ，即：μ=σ2=λ。判斷一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象是否符合泊松分布，就可以根據(jù)這一特征判斷。第四章幾種常見的概率分布

二、離散型隨機(jī)變量的概率分布

4.泊松分布(Poissondistribution)

4.5泊松分布的重要特征和判斷

例：檢測飲用水的污染狀況，即每毫升自來水中的細(xì)菌數(shù)，每次取1ml涂于1個(gè)平板上，共做了400個(gè)平板，結(jié)果如下表，判斷每毫升自來水中細(xì)菌數(shù)是否符合泊松分布。細(xì)菌數(shù)/ml水012≥3合計(jì)次數(shù)（平板數(shù)）243120316400解：計(jì)算得：每毫升水中平均細(xì)菌數(shù)

〔第4組是開口組，組值取3〕，方差S2=0.496。兩者很接近，故可認(rèn)為每毫升水中細(xì)菌數(shù)服從波松分布。第四章幾種常見的概率分布

二、離散型隨機(jī)變量的概率分布

4.泊松分布(Poissondistribution)

4.5泊松分布的重要特征和判斷

解：μ==0.500≈0.496

計(jì)算：P(0)=＝0.6065；P(1)＝＝0.3033；

P(2)==0.0758；

＝0.0144；驗(yàn)證：P(0)==0.6075；P(1)==0.3000；=0.0775；P(≥3)==0.0150；P(2)=用泊松分布計(jì)算細(xì)菌數(shù)分布的概率與實(shí)際頻率非常一致。第四章幾種常見的概率分布

二、離散型隨機(jī)變量的概率分布

5.超幾何分布超幾何分布適用于屢次完全相同并且相互獨(dú)立的重復(fù)試驗(yàn)，如果在有限總體中不重復(fù)抽樣，抽樣成功的次數(shù)X的概率分布服從超幾何分布。如：有某種產(chǎn)品N個(gè)，其中不合格產(chǎn)品M個(gè)，現(xiàn)用非放回式抽樣抽取產(chǎn)品n個(gè)，求其中含有的次品個(gè)數(shù)為X的概率？超幾何分布的概率分布函數(shù)：超幾何分布的數(shù)學(xué)期望:μ＝＝np，方差:σ2＝＝第四章幾種常見的概率分布

二、離散型隨機(jī)變量的概率分布

5.超幾何分布Excel中超幾何分布計(jì)算程序：Hypgeomdist

P(X)=Hypgeomdist(x,n,M,N)

其中，N：總體中的個(gè)體數(shù)；M：兩種類型中某種類型的個(gè)體數(shù)；n：非放回式抽樣的次數(shù)；x：在n次非放回式抽樣中抽出的某種類型的個(gè)體數(shù)第四章幾種常見的概率分布

二、離散型隨機(jī)變量的概率分布

5.超幾何分布例：有燈具廠共生產(chǎn)了某種燈具1000件，燈具廠公布的次品率p=0.005，某商店批發(fā)了20件這種燈具，發(fā)現(xiàn)其中有1件是次品，問廠方公布的次品率是否屬實(shí)？如果是2件次品呢？解：由題意得：N＝1000，M＝1000×0.005＝5，n＝20，X＝1Hypgeomdist(1,20,5,1000)=0.0926>0.05結(jié)論：如果次品率是0.005，可能出現(xiàn)20件燈具內(nèi)有1件次品的情況，廠方公布的次品率屬實(shí)。Hypgeomdist(2,20,5,1000)＝0.0036<0.05第四章幾種常見的概率分布

二、離散型隨機(jī)變量的概率分布

6.概率分布圖形

上述眾多的離散型變量的概率分布中，最重要，最常見的是二項(xiàng)分布和泊松分布，需要重點(diǎn)掌握。下面簡單分析一下這兩種分布的圖形，以加深對他們的理解。第四章幾種常見的概率分布

二、離散型隨機(jī)變量的概率分布

6.概率分布圖形

二項(xiàng)分布概率不同時(shí)的抽樣分布可以看出，當(dāng)p<0.5時(shí)，二項(xiàng)分布分布的圖形正偏；當(dāng)p>0.5時(shí)，二項(xiàng)分布分布的圖形負(fù)偏。

第四章幾種常見的概率分布

二、離散型隨機(jī)變量的概率分布

6.概率分布圖形

二項(xiàng)分布概率不同時(shí)的抽樣分布當(dāng)p=0.5時(shí)，圖形對稱第四章幾種常見的概率分布

二、離散型隨機(jī)變量的概率分布

6.概率分布圖形

二項(xiàng)分布總體不同樣本含量時(shí)(p=0.35)的抽樣分布第四章幾種常見的概率分布

二、離散型隨機(jī)變量的概率分布

6.概率分布圖形

當(dāng)p≠0.5時(shí)，隨著樣本含量的增加，二項(xiàng)分布的偏態(tài)程度會(huì)逐漸降低而趨于對稱。

第四章幾種常見的概率分布

二、離散型隨機(jī)變量的概率分布

6.概率分布圖形

泊松分布總體平均數(shù)不同時(shí)的抽樣分布圖

第四章幾種常見的概率分布

二、離散型隨機(jī)變量的概率分布

6.概率分布圖形

泊松分布總體平均數(shù)不同時(shí)的抽樣分布圖

可以看出，隨著λ值的增大，泊松分布的偏態(tài)程度也逐漸降低而趨于對稱。不管二項(xiàng)分布還是泊松分布，總是平均值μ處的概率密度函數(shù)最大。a

μbX第四章幾種常見的概率分布

三、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布

隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)設(shè)為f(x)，f(x)就是以下圖的縱坐標(biāo)，那么X取值在區(qū)間[a,b]上的概率就是以下圖中陰影局部的面積，其表達(dá)式為：連續(xù)型變量概率分布函數(shù)圖例第四章幾種常見的概率分布

三、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布

連續(xù)型隨機(jī)變量概率分布還具有如下性質(zhì)：〔1〕分布密度函數(shù)總是大于或等于0，即f(x)≥0。〔2〕當(dāng)隨機(jī)變量X取某一特定值時(shí)，其概率等于0，即：所以，對于連續(xù)性隨機(jī)變量，僅研究其在某一區(qū)間內(nèi)取值的概率，而不討論某一個(gè)值的概率?！?〕在一次實(shí)驗(yàn)中，X的取值必在-∞<X<+∞范圍內(nèi)。第四章幾種常見的概率分布

三、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布

1.正態(tài)分布1.1正態(tài)分布的形成正態(tài)分布又稱為高斯分布，它的概率分布圖形的特征是大多數(shù)變量都集中在平均值附近，有平均值向兩側(cè)，變量逐漸減少且對稱分布，以下圖就是一個(gè)正態(tài)分布圖形。正態(tài)分布密度曲線第四章幾種常見的概率分布

三、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布

1.正態(tài)分布高粱“三尺三〞株高測定結(jié)果〔cm〕155153159155150159157159151152159158153153144156150157160150150150160156160155160151157155159161156141156145156153158161157149153153155162154152162155161159161156162151152154157162158155153151157156153147158155148163156163154158152163158154164155156158164148164154157165158166154154157167157159170158第四章幾種常見的概率分布

三、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布

1.正態(tài)分布高粱株高的頻率分布圖第四章幾種常見的概率分布

三、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布

1.正態(tài)分布1.2正態(tài)分布的密度函數(shù)正態(tài)分布的密度函數(shù)為：式中：f(x)表示縱坐標(biāo)的高度，橫坐標(biāo)x為每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果或觀測值。μ為總體平均數(shù)；σ為總體標(biāo)準(zhǔn)差；e為自然對數(shù)底＝2.71828183第四章幾種常見的概率分布

三、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布

1.正態(tài)分布1.3正態(tài)曲線及其意義

〔1〕正態(tài)曲線有一個(gè)最頂峰，最頂峰對應(yīng)的橫坐標(biāo)為總體平均值X=μ，以直線X=μ為中心，兩側(cè)對稱下降呈“鐘形〞?！?〕總體標(biāo)準(zhǔn)差σ越小，曲線越陡，數(shù)據(jù)越集中〔見以下圖〕?！?〕曲線下的總面積為1，曲線下任意區(qū)間(a,b)之間的面積即為隨機(jī)變量X落入?yún)^(qū)間(a,b)的概率?！?〕正態(tài)分布的表示方法N(μ，σ2)，第四章幾種常見的概率分布

三、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布

1.正態(tài)分布1.3正態(tài)曲線及其意義

平均值μ相同、標(biāo)準(zhǔn)差σ不同標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布圖第四章幾種常見的概率分布

三、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布

1.正態(tài)分布1.3正態(tài)曲線的標(biāo)準(zhǔn)化圖中：A是數(shù)學(xué)成績，B是英語成績，C是語文成績，三門課程的正態(tài)曲線不同，不利于統(tǒng)計(jì)分析和比較。如某個(gè)同學(xué)英語、語文與數(shù)學(xué)成績分別為70、60、80分，哪門課好呢？CAf(x)B語文(A)、數(shù)學(xué)(B)、英語(C)三門課成績的正態(tài)分布圖第四章幾種常見的概率分布

三、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布

1.正態(tài)分布1.3正態(tài)曲線的標(biāo)準(zhǔn)化

所有隨機(jī)變量X必須經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化，使其變?yōu)椴粠魏螁挝坏募償?shù)，標(biāo)準(zhǔn)化后得到的數(shù)值u符合標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。標(biāo)準(zhǔn)化公式為：這里μ和σ是為變量X數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差

每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果Xi，減去所有Xi的平均值μ，然后再除以Xi的標(biāo)準(zhǔn)差σ，就會(huì)得到一個(gè)ui值。第四章幾種常見的概率分布

三、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布

1.正態(tài)分布1.3正態(tài)曲線的標(biāo)準(zhǔn)化每一個(gè)隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)化后對應(yīng)一個(gè)u值，以標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量u為橫坐標(biāo)，以φ(u)為縱坐標(biāo)，得到的正態(tài)分布圖就是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。φ(u)為u值對應(yīng)的密度函數(shù)：與相對應(yīng)，

任何變量標(biāo)準(zhǔn)化后，把所有的u作為一個(gè)隨機(jī)變量，做成一個(gè)正態(tài)分布圖，都會(huì)得到一個(gè)完全一樣的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布圖。第四章幾種常見的概率分布

三、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布

1.正態(tài)分布1.3正態(tài)曲線的標(biāo)準(zhǔn)化因?yàn)樗械膗的平均值μu＝0；標(biāo)準(zhǔn)差σu＝1

函數(shù)公式可以簡化為：φ(u)表示縱坐標(biāo)的高度第四章幾種常見的概率分布

三、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布

1.正態(tài)分布1.3正態(tài)曲線的標(biāo)準(zhǔn)化μ

X

f(X)F(X)0

uφ(u)Ф(u)正態(tài)分布圖和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布圖圖中F(X)和Φ(u)是累積函數(shù)，表示曲線下，X、u左邊的面積。第四章幾種常見的概率分布

三、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布

1.正態(tài)分布1.3正態(tài)曲線的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的特征如下：①任何隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)化后：μ＝0，σ＝1，γ1=0，γ2=0，那么標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布可記為N(0,1)。②u=0時(shí)縱坐標(biāo)最高，是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的對稱軸，遠(yuǎn)離u＝0，φ(u)都減小。③曲線兩側(cè)對稱，φ(u)＝φ(-u)，即對稱部位縱坐標(biāo)高度相同。④曲線和橫坐標(biāo)所夾的面積等于1。⑤標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線的累積分布函數(shù)Φ(u)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下從－∞到u所夾的面積，表示隨機(jī)變量U落入?yún)^(qū)間〔－∞,u〕的概率。第四章幾種常見的概率分布

三、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布

1.正態(tài)分布1.4正態(tài)分布表的應(yīng)用隨機(jī)變量的值，落在某區(qū)間[a,b]的概率，可以從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布累積函數(shù)Φ(u)的數(shù)值表〔附表2〕中查出。對于一般的正態(tài)分布，需要先將變量值標(biāo)準(zhǔn)化再查表。標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量U落在某一區(qū)間的概率的計(jì)算關(guān)系式如下：P(U<u)=Φ(u)

如：P(U<2)=Φ(u)P(0<U<u)=Φ(u)-0.5

如：P(0<U<2)=Φ(2)-0.5P(U>u)=Φ(-u)=1-Φ(u)

如：P(U>2)=Φ(2)=1-Φ(-2)P(?U?>u)=2Φ(-u)

如：P(?U?>2)=2Φ(-2)P(?U?<u)=1-2Φ(-u)

如：P(?U?<2)=1-2Φ(-2)P(u1<U<u2)=Φ(u2)-Φ(u1)

如：P(-1<U<2)=Φ(2)-Φ(-1)第四章幾種常見的概率分布

三、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布

1.正態(tài)分布1.4正態(tài)分布表的應(yīng)用例：高梁品種“三尺三〞的株高X服從正態(tài)分布N〔156.14，4.802〕。求：①X<161厘米的概率。解：P(X<161)=Φ()=Φ(1)=0.8413②X>164厘米的概率：P(X>164)=1-Φ()=1-Φ(1.62)=1-0.9474=0.0526③X在152～162厘米之間的概率：P(152<X<162)=Φ()-Φ()=Φ(1.20)-Φ(-0.87)=0.8849-0.1922=0.6928第四章幾種常見的概率分布

三、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布

1.正態(tài)分布1.5正態(tài)分布表的Excel運(yùn)算函數(shù)〔1〕P＝Normdist(X,μ,σ,trueorfalse)計(jì)算給定平均值和標(biāo)準(zhǔn)差的正態(tài)分布的累積函數(shù)。True表示向上累積函數(shù)，即Φ(u)；False表示概率密度函數(shù)，即標(biāo)準(zhǔn)生態(tài)分布的縱坐標(biāo)φ(u)。P(X<161)=Φ()=Normdist(161,156.14,4.8,true)=0.8413

第四章幾種常見的概率分布

三、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布

1.正態(tài)分布1.5正態(tài)分布表的Excel運(yùn)算函數(shù)〔2〕X＝Norminv〔p,μ,σ〕計(jì)算給定平均值和標(biāo)準(zhǔn)差的正態(tài)分布的累積函數(shù)的逆函數(shù)。如求符合實(shí)驗(yàn)要求的最大值和最小值，如果顯著性水平為0.05，那么Xmin＝Norminv〔0.05,156.14,4.8〕＝148.3；Xmax＝Norminv〔0.95,156.14,4.8〕＝164.1；〔3〕Φ(u)＝Normsdist〔u〕計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積函數(shù)。〔4〕u＝Normsinv〔p〕計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積函數(shù)的逆函數(shù)。第四章幾種常見的概率分布

三、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布

1.正態(tài)分布1.6正態(tài)分布的單側(cè)和雙側(cè)分位數(shù)每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)化u值在正態(tài)分布表中〔見附表2〕對應(yīng)一個(gè)值，記為α，表示從－∞到u所夾的面積，表示隨機(jī)變量U落入?yún)^(qū)間〔－∞,u〕的概率。同樣每個(gè)α值也對應(yīng)一個(gè)u值〔見附表3〕，記為uα。統(tǒng)計(jì)學(xué)中，小概率事件的α臨界值一般取0.05，u0.05＝1.645，用概率表示為：P(u>1.645)=0.05。1.645位于正態(tài)分布曲線的右側(cè)尾區(qū)，稱為α的上側(cè)分位數(shù)。-u0.05＝-1.645對于左側(cè)尾區(qū)，P(u<-1.645)=0.05，用概率表示為：P(u<-1.645)=0.05。稱為α的下側(cè)分位數(shù)。P(?u?>)＝P(?u?>u0.025)＝1.96，u0.025=±1.96稱為雙側(cè)分位數(shù)。第四章幾種常見的概率分布

三、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布

1.正態(tài)分布1.6正態(tài)分布的單側(cè)和雙側(cè)分位數(shù)0.05-u0.0500.050u0.05下側(cè)分位數(shù)

上側(cè)分位數(shù)

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)第四章幾種常見的概率分布

三、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布

1.正態(tài)分布1.6正態(tài)分布的單側(cè)和雙側(cè)分位數(shù)0.025-u0.0250u0.0250.025雙側(cè)分位數(shù)第四章幾種常見的概率分布

三、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布

1.正態(tài)分布1.7正態(tài)分布的應(yīng)用估計(jì)參考值范圍質(zhì)量控制服從正態(tài)分布的變量落在μ±2σ及μ±3σ的概率為95%和99%，在試驗(yàn)中，為了控制檢測誤差，常以x±2s作為上下警戒線，以x±3s作為上下控制線。

第四章幾種常見的概率分布

三、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布

1.正態(tài)分布1.7正態(tài)分布的應(yīng)用正態(tài)分布是很多統(tǒng)計(jì)方法的理論根底二項(xiàng)分布、泊松分布的極限均為正態(tài)分布，在一定條件下，均可按正態(tài)分布的原理來處理。后面的t檢驗(yàn)，方差分析，相關(guān)回歸分析等多種統(tǒng)計(jì)方法均要求分析的指標(biāo)服從正態(tài)分布。對于非正態(tài)分布資料，實(shí)施統(tǒng)計(jì)處理的一個(gè)重要途徑是先作變量的轉(zhuǎn)換，使轉(zhuǎn)換后的資料近似正態(tài)分布，然后按正態(tài)分布的方法作統(tǒng)計(jì)處理。第四章幾種常見的概率分布

三、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布

2.其他幾種連續(xù)型數(shù)據(jù)的概率分布2.1均勻分布隨機(jī)變量X的取值在[a,b]中任一小區(qū)間的概率與該小區(qū)間的長度成正比，而與該小區(qū)間的具體位置無關(guān)。

均勻分布概率分布圖均勻分布的平均值：；均勻分布的方差：

第四章幾種常見的概率分布

三、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布

2.其他幾種連續(xù)型數(shù)據(jù)的概率分布2.2指數(shù)分布指數(shù)分布常可作為“壽命〞分布的近似，如電子元件的壽命、動(dòng)物的壽命、的通話時(shí)間等都常假定服從指數(shù)分布。概率密度函數(shù)φ(x)和累積分布函數(shù)F(X)分布圖形見以下圖。λ=0.5λ=1.0λ=1.5φ(x)λ=0.5λ=1.0λ=1.5F(x)第四章幾種常見的概率分布

三、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布

2.其他幾種連續(xù)型數(shù)據(jù)的概率分布2.2指數(shù)分布〔1〕指數(shù)分布的密度函數(shù)為：φ(x)=，是X對應(yīng)的指數(shù)分布的縱坐標(biāo)?！?〕指數(shù)分布的累積分布函數(shù):F(X)=1-，表示小于X的概率。;P(≥X)=〔3〕指數(shù)分布的平均值何標(biāo)準(zhǔn)差：λ為常數(shù)，這是指數(shù)分布的特征即：P(≤X)=1-第四章幾種常見的概率分布

三、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布

2.其他幾種連續(xù)型數(shù)據(jù)的概率分布2.2指數(shù)分布〔4〕Excel中指數(shù)分布程序Expondist(X,λ,trueoffalse)