2024年11月廣東省第二次調(diào)研考試高三數(shù)學試題（含答案）

廣東省2025屆普通高中畢業(yè)班第二次調(diào)研考試數(shù)學本試卷共4頁,考試用時120分鐘,滿分150分。注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己所在的市(縣、區(qū))、學校、班級、姓名、考場號和座位號填寫在答題卡上,將條形碼橫貼在每張答題卡左上角“條形碼粘貼處”。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2?B鉛筆在答題卡上將對應題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上;如需改動,先畫掉原來的答案,然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后,將試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.若雙曲線滿足,則的離心率為A. B. C. D.3.設(shè)全集,則A. B. C. D.4.已知四棱錐的體積為4,底面是邊長為的正方形,,則直線與平面所成角的正弦值為A. B. C. D.5.設(shè)分別為函數(shù)的零點,則的大小關(guān)系為A. B. C. D.6.已知向量,則四邊形的面積為A. B. C. D.7.已知函數(shù),且在區(qū)間上單調(diào),則的最大值為A.B.C.D.8.一個正八面體的八個面分別標有數(shù)字1到8,任意拋擲一次這個正八面體,觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字.事件,事件,若事件滿足,則滿足條件的事件的個數(shù)為A.4B.8C.16D.24二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.已知復數(shù)滿足,則A.可以是B.若為純虛數(shù),則的虛部是2C.D.10.已知等差數(shù)列的前項和為,且,則A.B.C.當時,取得最小值D.記,則數(shù)列前項和為11.已知函數(shù),則A.當時,在(0,1)上的最大值為B.在上單調(diào)遞增C.當時,D.當且僅當時,曲線與軸有三個交點三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.其中第14題第一空2分,第二空3分.12.在中,,則_____.13.若函數(shù)的圖象與直線有兩個交點,則的最小值為_____.14.已知點為橢圓的右焦點,直線與橢圓相交于兩點,且與圓在軸右側(cè)相切.若經(jīng)過點且垂直于軸,則_____；若沒有經(jīng)過點,則的周長為_____.四、解答題:本題共5小題,共77分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(13分)某市舉辦一年一度的風箏節(jié),吸引大批游客前來觀賞.為了解交通狀況,有關(guān)部門隨機抽取了200位游客,對其出行方式進行了問卷調(diào)查(每位游客只填寫一種出行方式),具體情況如下:出行方式地鐵公交車出租車自駕騎行步行頻數(shù)542738421821用上表樣本的頻率估計概率,低碳出行方式包括地鐵、公交車、騎行和步行.(1)若從參加活動的所有游客中隨機抽取3人,這3人中低碳出行的人數(shù)記為,求和;(2)據(jù)另一項調(diào)查顯示,的低碳出行的游客表示明年將繼續(xù)參加活動,的非低碳出行的游客表示明年將繼續(xù)參加活動,求今年參加活動的游客明年繼續(xù)參加活動的概率.16.(15分)已知函數(shù).(1)求曲線在點處的切線方程；(2)證明:.17.(15分)如圖,四棱錐的底面是邊長為2菱形,分別是的中點.(1)求證；平面；(2)若,求平面與平面所成角的余弦值.18.(17分)在數(shù)列中,都有成等差數(shù)列,且公差為.(1)求；(2)求數(shù)列的通項公式；(3)是否存在,使得成等比數(shù)列.若存在,求出的值;若不存在,說明理由.19.(17分)已知集合,設(shè)函數(shù).(1)當和時,分別判斷函數(shù)是否是常數(shù)函數(shù)?說明理由;(2)已知,求函數(shù)是常數(shù)函數(shù)的概率;(3)寫出函數(shù)是常數(shù)函數(shù)的一個充分條件,并說明理由.廣東省2025屆普通高中畢業(yè)班第二次調(diào)研考試數(shù)學參考答案一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.題號12345678選項ACABDBBC二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.題號91011選項 BCDABD三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.其中第14題第一空2分,第二空3分.12.四、解答題:本題共5小題,共77分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(13分)【解析】(1)記“低碳出行”為事件,估計.2分則,3分5分7分(2)由(1)知,則有,記“今年參加活動的游客明年繼續(xù)參加活動”為事件,由題意,9分所以.13分16.(15分)【解析】(1),2分,則,5分曲線在點處的切線方程為.6分(2)解法1:定義域為.7分①當時,,則,即;8分②當時,.設(shè)在上單調(diào)遞增,,所以,11分所以在上單調(diào)遞增,,即,14分所以在上單調(diào)遞增,,則,16分綜上所述,.17分解法2:定義域為.7分要證,只需證,只需證,10分令, 當單調(diào)遞減;當單調(diào)遞增,,12分 當單調(diào)遞增;當單調(diào)遞減,,14分綜上所述,,也就是,即.15分17.(15分)【解析】(1)取的中點為,連接.點分別是的中點,是的中位線,即,在菱形中,.,即四邊形為平行四邊形,則,3分又平面平面,平面.5分(2)連接,平面平面,平面,6分又平面,,7分,又,則,所以.8分即直線兩兩垂直.如圖,以為坐標原點建立空間直角坐標系,則.9分,.10分設(shè)平面的法向量為,平面的法向量為,由得取.11分由得取.12分設(shè)平面與平面所成角為,則14分即平面與平面所成角的余弦值為.15分18.(17分)【解析】(1)由題意,成等差數(shù)列,公差為成等差數(shù)列,公差為4.1分則.5分(2)由題意,.6分當時, ,8分且滿足上式,所以當為奇數(shù)時,.9分當時,.11分所以12分(3)存在時,使得成等比數(shù)列分證明如下:由(2)可得,14分假設(shè)成等比數(shù)列,則,15分化簡得,所以,即,16分此時,所以當時,成等比數(shù)列.17分19.(17分)【解析】(1)當時,,此時是常數(shù)函數(shù);2分當時,,此時不是常數(shù)函數(shù).4分(2)設(shè),不妨令. 若函數(shù)是常數(shù)函數(shù),則5分則,得,所以,得或,所以或,6分同理或或,7分則8分集合共有13個元素,從中任取3個元素組成集合,共個,9分而滿足①的集合有,,共5個,則使得函數(shù)是常數(shù)函數(shù)的概率為.10分(3)不妨令,因為 ,若函數(shù)是常數(shù)函數(shù),則得,所以得,所以12分①當為偶數(shù)時,可以拆分成組兩項的和,每一組為定值時,也為定值,分所以函數(shù)是常數(shù)函數(shù)的一個充分條件可以是14分②當為奇數(shù)時,可以拆分成1組三項的和與組兩項的和,每一組為定值時,也為定值,15分所以函數(shù)是常數(shù)函數(shù)的一個充分條件可以是 16分綜上所述,當為偶數(shù)時,函數(shù)是常數(shù)函數(shù)的一個充分條件可以是 當為奇數(shù)時,函數(shù)是常數(shù)函數(shù)的一個充分條件可以是 17分答案詳解1.【答案】A【解析】由解得或,因為或,所以“”是“”的充分不必要條件,所以答案選A.2.【答案】C【解析】由得,即,所以答案選C.3.【答案】A【解析】因為,則,即,因為,所以答案選A.4.【答案】B【解析】四棱錐的體積,得,直線與平面所成角的正弦值為,所以答案選B.5.【答案】D【解析】因為時,,又因為單調(diào)遞增,所以;若0,則,所以時,,即;若,則,所以時,,即.綜上所述,,所以答案選D.6.【答案】B【解析】因為,所以四邊形為直角梯形.,則面積,所以答案選B.7.【答案】B【解析】由題意知,,則,因為,所以,又因為在區(qū)間上單調(diào),所以,解得,則的最大值為,所以答案選B.8.【答案】C【解析】樣本空間,這是一個古典概型,可得,即,從而且.由可得事件;又因為,所以1或2.(1)若,則,即,,此時不滿足;(2)若,則且,又因為,所以或,即或3;①若,此時或或或,也就是從事件中的四個樣本點中選3個,再加入6這一個樣本點,即有個滿足條件的事件;②若,同理有個滿足條件的事件；③若,此時或或或,即從事件的四個樣本點中選1個,再加入5,6,7這三個樣本點,即有個滿足條件的事件;④若,同理有個滿足條件的事件;綜上所述,滿足條件的事件共計個,所以答案選C.9.【答案】AC【解析】當時,,選項A正確;若為純虛數(shù),則,選項B錯誤;,選項正確;由可知,在復平面上,復數(shù)對應的點在以點(0,0)為圓心,2為半徑的圓上,的幾何意義是點到點(-1,0)的距離,可得,選項錯誤,所以答案選.10.【答案】BCD【解析】設(shè)公差為,因為,則,解得.由得,選項錯誤;,則,選項正確,時,最小,選項正確;,所以為等差數(shù)列,,前項和為,選項D正確,所以答案選BCD.11.【答案】ABD【解析】(1)當時,則當時,單調(diào)遞增;當時,單調(diào)遞減,如圖(a);當時,,選項A正確;圖(a)圖(b)圖(c)圖(d)(2)當時,①當時,恒成立,單調(diào)遞增,如圖(b);②當時,當時,單調(diào)遞增;當時,單調(diào)遞減,如圖(c);(3)當a>1時,時,單調(diào)遞增;當時,,單調(diào)遞減；如圖(d)綜上所述,在上單調(diào)遞增,選項正確;當時,不一定成立,比如時,,選項C錯誤;只有時,的圖象與軸可能有