新疆烏魯木齊市第五中學2023-2024學年高三上學期10月月考數學試題

烏魯木齊市第五中學20232024學年高三上學期10月月考數學試題總分150分考試時間120分鐘一、單項選擇題（8小題每題5分共40分）1.在復平面內，復數對應點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】利用復數的運算法則、幾何意義即可得出．【詳解】復數z的對應點位于第二象限．故選：B．2.已知集合，集合.若，則實數的取值集合為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據是的子集列方程，由此求得的取值集合.【詳解】由于，所以，所以實數m的取值集合為.故選：C3.從6名女生、4名男生中，按性別采用分層抽樣的方法抽取5名學生組成課外小組，則不同的抽取方法種數為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用分層抽樣的特點得到男女生應該抽取的人數后，再根據分步計數原理可得結果.【詳解】根據分層抽樣的特點可知，女生抽3人，男生抽2人，所以不同的抽取方法種數為.故選：D.【點睛】本題考查了分層抽樣，考查了分步計數原理，屬于基礎題.4.設偶函數在區(qū)間上單調遞減，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由偶函數的性質，結合單調性分析即可.【詳解】由題意，偶函數在區(qū)間上單調遞減，則，結合偶函數的性質可得，故.故選：C5.已知，是橢圓上關于原點對稱的兩點，是該橢圓上不同于，的一點，若直線的斜率的取值范圍為，則直線的斜率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設點，，，求出，由把用表示，從而上的范圍得的取值范圍．【詳解】設點，，，則，∴.又∵，∴，故選：B.【點睛】結論點睛：本題考查直線與橢圓位置關系。在橢圓中，是橢圓上關于原點對稱的兩點，是橢圓上不同于的點，則（斜率存在時）．6.若函數有三個單調區(qū)間，則b的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求導數，根據條件，轉化為導數有2個變號零點，即可求解.【詳解】，因為函數有三個單調區(qū)間，所以，解得：.故選：A7.已知，，則等于A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據余弦的半角公式化簡、運算，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，可知，則，又由半角公式可得，故選B．【點睛】本題主要考查了三角函數的化簡、求值問題，其中解答中熟練應用余弦函數的半角公式，準確運算是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題．8.已知遞增等比數列的前n項和為，，且，則與的關系是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】設等比數列的公比為，由已知列式求得，再由等比數列的通項公式與前項和求解.【詳解】設等比數列的公比為，由，得，所以，又，所以，所以，，所以即故選：D二、多選題（共4小題每題五分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.已知半徑為1的球內切于半徑為，高為的一個圓錐（球與圓錐的側面、底面都相切），則下列說法正確的是（）A. B.圓錐的體積與表面積之比為定值C.圓錐表面積的最小值是 D.當圓錐的表面積最小時，圓錐的頂角為60°【答案】BC【解析】【分析】由圓錐的半徑和高，表示出母線長，利用球內切于圓錐，求出與的關系驗證選項A；表示出圓錐的體積與表面積，驗證選項B；利用基本不等式求圓錐表面積的最小值，并求此時母線長，驗證選項CD.【詳解】如圖所示，圓錐的高，底面半徑，母線，，，，∽，，，，，得，所以，A選項錯誤；圓錐的體積，圓錐的表面積，圓錐的體積與表面積之比為，為定值，B選項正確；，，當且僅當，即時等號成立，圓錐的表面積，則時圓錐表面積有最小值，C選項正確；當圓錐的表面積最小時，，，，，圓錐的頂角不是60°，D選項錯誤.故選：BC10.在棱長為1的正方體中，在側面（含邊界）內運動，在底面（含邊界）內運動，則下列說法正確的是（）A.若直線與直線所成角為30°，則點的軌跡為圓弧B.若直線與平面所成角為30°，則點的軌跡為雙曲線的一部分C.若，則點的軌跡為線段D.若到直線的距離等于到平面的距離，則點的軌跡為拋物線的一部分【答案】ABD【解析】【分析】畫出正方體，根據各選項的不同條件對圖形進行分析并運算即可得出軌跡問題的結論.【詳解】直線與直線所成角即為，在中，，∴，故在以為圓心，為半徑的圓落在側面內的圓弧上，A正確；過作于點（如圖），設，，直線與平面所成角即為，在中，，從而，故點的軌跡為雙曲線的一部分，故B正確；在中，，從而，故在以為圓心，為半徑的圓落在底面內的圓弧上，C錯誤；到直線的距離等于到平面的距離，即到點的距離等于到直線的距離，故點的軌跡為拋物線的一部分，故D正確.故選：ABD.11.下列四個命題是真命題的是（）A.若函數的定義域為，則函數的定義域為B.函數的值域為C.若函數的兩個零點都在區(qū)間為內，則實數的取值范圍為D.已知在上是增函數，則實數的取值范圍是【答案】ACD【解析】【分析】選項A根據抽象函數的定義域可得；選項B運用換元法可求函數的值域；選項C根據二次函數區(qū)間根問題求參數可得；選項D根據分段函數在上增函數可得.【詳解】選項A：函數的定義域為，則函數的中，得，故A正確；選項B：設，得，則，對稱軸為，故函數在上單調遞增，故，故B錯誤；選項C：若函數的兩個零點都在區(qū)間為內，則，得，故C正確；選項D：若在上是增函數，則，得，故D正確.故選：ACD12.已知事件與事件為互斥事件，是事件的對立事件，是事件的對立事件，若，，則（）A. B.C. D.事件與事件不獨立【答案】ABD【解析】【分析】根據對立事件、互斥事件、獨立事件及交事件、和事件的定義，依次分析選項是否正確，即可得出答案.詳解】對于A，，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，因為事件與事件為互斥事件，事件不一定為互斥事件，則不一定成立，故C不正確；對于D，，故事件與事件D正確.故選：ABD.三、填空題（本題共4小題，每題5分，共20分）13.在中，，，若點G是的重心，則__________.【答案】【解析】【分析】根據重心的性質和向量數量積的運算律即可得到答案.【詳解】因為中，，，則，.故答案為：.14.已知正四棱臺上底邊長為2，下底邊長為4，側棱長為3.則四棱臺的高為______.【答案】【解析】【分析】根據給定條件，求出正四棱臺的對角面等腰梯形的高即可作答.【詳解】正四棱臺對角面等腰梯形的高即為該正四棱臺的高，因為正四棱臺上底邊長為2，下底邊長為4，側棱長為3，則該四棱臺對角面等腰梯形的上下底邊長分別為，腰長為3，因此等腰梯形高為，所以四棱臺的高為.故答案為：15.平面直角坐標系中,直線被圓截得的弦長為______.【答案】【解析】【分析】先利用點線距離公式求得圓心到直線的距離，再利用弦長公式即可得解.【詳解】因為可化為，所以圓心到直線的距離為：，所以直線=被圓=截得的弦長為=.故答案為：.16.“”是“”的______條件.（從“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”“既不充分也不必要”中選擇填空）【答案】充分不必要【解析】【分析】根據三角函數的定義，以及三角函數的誘導公式，結合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由，可得或，所以或，當時，可得；當時，可得，即由，可得；反之：當時，，則，當時，，此時，所以是的充分不必要條件.故答案為：充分不必要.四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.請根據答題卡題號及分值在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域的答案無效.）17.在中，角的對邊分別為，且．（1）判斷的形狀；（2）若，點分別在邊上，且，求的面積．【答案】（1）是直角三角形（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理化角為邊，整理即可得出結論；（2）根據求解即可.【小問1詳解】因為，由正弦定理得，化簡得，所以是直角三角形；【小問2詳解】由（1）得，因為，所以，則，因為，所以，,,，，所以.18.已知數列是等差數列，其前n項和為，且，，數列為等比數列，且，．（1）求數列和的通項公式；（2）若，設數列的前n項和為，求證：．【答案】（1），；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）設等差數列的公差為，等比數列的公比為，由條件可得，可求出，，，結合等差數列的前n項和公式可求出.

（2）由（1）可得，利用錯位相減法可求和，從而可證結論.【詳解】（1）設等差數列的公差為，等比數列的公比為，由題意可得，即，解得，.，，解得，因此，.綜上所述，，；（2），，①，②①②得，，，又，則數列是單調遞增數列，則.因此，.【點睛】本題考查求等差數列和等比數列的通項公式，考查錯位相減法求和，屬于中檔題.19.我市某校為了解高一新生對物理科與歷史科方向的選擇意向，對1000名高一新生發(fā)放意向選擇調查表，統(tǒng)計知，有600名學生選擇物理科，400名學生選擇歷史科.分別從選擇物理科和歷史科的學生中隨機各抽取20名學生的數學成績得如下累計表（下表）：分數段物理人數歷史人數（1）利用表中數據，試分析數學成績對學生選擇物理科或歷史科的影響，并繪制選擇物理科的學生的數學成績的頻率分布直方圖（如圖）；（2）從數學成績不低于70分的選擇物理科和歷史科的學生中各取一名學生的數學成績，求選取物理科學生的數學成績至少高于選取歷史科學生的數學成績一個分數段的概率.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）從統(tǒng)計表看出選擇理科的學生的數學平均成績高于選擇文科的學生的數學平均成績,反映了數學成績對學生選擇文理科有一定的影響，然后根據數據繪制出直方圖即可；(2)利用互斥事件的加法公式，即可得出結論.【小問1詳解】解：由表格數據知，隨著數學成績分數的提升，選擇物理方向學生的占比有明顯的提升.所以數學成績越好，其選擇物理科方向的概率越大.頻率分布直方圖如下：

【小問2詳解】解：設“選取物理科學生的數學成績至少高于選取歷史科的學生的數學成績一個分數段”為事件C選擇物理科的學生考分在，，分別事件，，，選擇歷史科的學生考分在，，的事件分別為，，由表得?，，因為“選擇物理科的學生考分在何分數段”與“選擇歷史科的學生考分在何分數段”相互獨立，，，，，，也明顯互斥所以.20.如圖，在四棱錐中，平面，∥，，，分別是棱的中點．（1）求證：∥平面.（2）求證：平面⊥平面.【答案】（1）見解析；（2）見解析；【解析】【分析】（1）、設,連接,,利用三角形中位線可證明∥,利用線面平行的判斷即可證明；（2）、（方法一）證明平面;（方法二）證明平面;然后利用線面垂直證明平面與平面垂直.【小問1詳解】設,連接,,∥，,是棱的中點,∥，,四邊形為平行四邊形，是棱的中點,∥,又平面,平面,∥平面.【小問2詳解】(方法一)⊥平面,平面,.∥，,是棱的中點,∥，,四邊形為平行四邊形，∥，.,四邊形為菱形，,平面,平面,平面,又平面，平面⊥平面.（方法二）連接,平面,平面,∥,,平面,平面,,是棱的中點,,由（1）可知，,又是棱的中點,,平面,平面,平面.又平面,平面⊥平面.21.有一塊直角三角形的板置于平面直角坐標系中，已知，，點是三角形內一點，現在由于三角板中陰影部分受到損壞，為把損壞部分鋸掉，可用經過點的一條直線，將三角板鋁成，問：應該如何鋸法，即直線斜率為多少時，可使三角板的面積最大？【答案】,【解析】【分析】由已知及直線的斜截式方程求、坐標，再由三角形面積公式寫出△的面積S，并指出k的取值范圍由面積S的解析式構造函數，并研究函數的單調性，進而求S的最值．【詳解】依題意，直線MN過點且斜率存在，則MN的方程為，，，直線OA的方程為，直線AB的方程為，由知：且，可得或，由知：且，可得，，故，，，∴，且.設，，當時，，∵，，，，則，即，在是增函數，當時，，即時，．【點睛】關鍵點點睛：應用直線的斜截式方程及三角形面積公式寫出面積S及k的范圍，利用函數的單調性求S的最值.22.已知函數，．（1）當時，討論函數的單調性；（2）若函數在上不單調，求實數a的取值范圍．【答案】（1）函數在上單調遞增，在上單調遞減（2）【解析】【分析】（1）當時，確定函數解析式，求出定義域，利用導數求函數的單調性；（2）由的解析式求出導數，無法直接判斷導函數的正負，構造新函數再求導，分類討論的單調性，求出實數a的取值范圍.【小問1詳解】當時，函數，定義域為，易知，令，得，令，得，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減．【小問2詳解】由題意知，則，令，，則．①當時，，則在上單調遞增，所以當時，，所以在上單調遞增，不符合題意．