2023-2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)培優(yōu)教案8.6《拋物線》 (原卷版)

頁(yè)第六節(jié)拋物線核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向1.結(jié)合拋物線的定義，考查求拋物線方程、最值等問題，凸顯直觀想象的核心素養(yǎng)．2．結(jié)合拋物線的幾何性質(zhì)及幾何圖形，求其相關(guān)性質(zhì)及性質(zhì)的應(yīng)用能力，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的核心素養(yǎng)．[理清主干知識(shí)]1．拋物線的概念平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p＞0)y2＝﹣2px(p＞0)x2＝2py(p>0)x2＝﹣2py(p>0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點(diǎn)O(0,0)對(duì)稱軸x軸y軸焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1準(zhǔn)線方程x＝﹣eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝﹣eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開口方向向右向左向上向下焦半徑(其中P(x0，y0))|PF|＝x0＋eq\f(p,2)|PF|＝﹣x0＋eq\f(p,2)|PF|＝y(tǒng)0＋eq\f(p,2)|PF|＝﹣y0＋eq\f(p,2)3．拋物線焦點(diǎn)弦的幾個(gè)常用結(jié)論設(shè)AB是過拋物線y2＝2px(p＞0)焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(1)x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝﹣p2；(2)|AF|＝eq\f(p,1－cosα)，|BF|＝eq\f(p,1＋cosα)，弦長(zhǎng)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α為弦AB的傾斜角)；(3)eq\f(1,|FA|)＋eq\f(1,|FB|)＝eq\f(2,p)；(4)以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；(5)焦點(diǎn)弦端點(diǎn)與頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積：S△AOB＝eq\f(p2,2sinθ)＝eq\f(1,2)|AB||d|＝eq\f(1,2)|OF|·|y1﹣y2|；(6)通徑：過焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦，長(zhǎng)等于2p，通徑是過焦點(diǎn)最短的弦；(7)以AF或BF為直徑的圓與y軸相切；(8)過焦點(diǎn)弦的端點(diǎn)的切線互相垂直且交點(diǎn)在準(zhǔn)線上．[澄清盲點(diǎn)誤點(diǎn)]一、關(guān)鍵點(diǎn)練明1．已知拋物線C與雙曲線x2﹣y2＝1有相同的焦點(diǎn)，且頂點(diǎn)在原點(diǎn)，則拋物線C的方程是()A．y2＝±2eq\r(2)xB．y2＝±2xC．y2＝±4xD．y2＝±4eq\r(2)x2．若拋物線y＝4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是()A.eq\f(17,16)B．eq\f(15,16)C.eq\f(7,8)D．03．若拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)是橢圓eq\f(x2,3p)＋eq\f(y2,p)＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，則p＝()A．2B．3C．4D．8二、易錯(cuò)點(diǎn)練清1．拋物線y＝﹣2x2的準(zhǔn)線方程是()A．x＝eq\f(1,2)B．x＝eq\f(1,8)C．y＝eq\f(1,2)D．y＝eq\f(1,8)2．過點(diǎn)P(﹣2,3)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A．y2＝﹣eq\f(9,2)x或x2＝eq\f(4,3)yB．y2＝eq\f(9,2)x或x2＝eq\f(4,3)yC．y2＝eq\f(9,2)x或x2＝﹣eq\f(4,3)yD．y2＝﹣eq\f(9,2)x或x2＝﹣eq\f(4,3)y3．若拋物線的焦點(diǎn)在直線x﹣2y﹣4＝0上，則此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為______________．考點(diǎn)一拋物線的定義及應(yīng)用[典例](1)已知A為拋物線C：y2＝2px(p＞0)上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p＝()A．2B．3C．6D．9(2)已知拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)是F，點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若A(3,2)，則|PA|＋|PF|的最小值為________，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．[方法技巧]1．利用拋物線的定義可解決的常見問題軌跡問題用拋物線的定義可以確定動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)、定直線距離有關(guān)的軌跡是否為拋物線距離問題涉及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離問題時(shí)，注意在解題中利用兩者之間的相互轉(zhuǎn)化2．拋物線定義的應(yīng)用規(guī)律[提醒]建立函數(shù)關(guān)系后，一定要根據(jù)題目的條件探求自變量的取值范圍，即函數(shù)的定義域．[針對(duì)訓(xùn)練]1．若點(diǎn)A為拋物線y2＝4x上一點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，|AF|＝5，點(diǎn)P為直線x＝﹣1上的動(dòng)點(diǎn)，則|PA|＋|PF|的最小值為()A．8B．2eq\r(13)C．2＋eq\r(41)D．eq\r(65)2．如圖，圓錐底面半徑為eq\r(2)，體積為eq\f(2\r(2),3)π，AB，CD是底面圓O的兩條互相垂直的直徑，E是母線PB的中點(diǎn)，已知過CD與E的平面與圓錐側(cè)面的交線是以E為頂點(diǎn)的拋物線的一部分，則該拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離等于________．考點(diǎn)二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程[典例](1)已知拋物線y2＝ax上的點(diǎn)M(1，m)到其焦點(diǎn)的距離為2，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．y2＝2xB．y2＝4xC．y2＝3xD．y2＝5x(2)設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，|MF|＝5.若以MF為直徑的圓過點(diǎn)A(0,2)，則C的方程為()A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x[方法技巧]拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法(1)定義法根據(jù)拋物線的定義，確定p的值(系數(shù)p是指焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離)，再結(jié)合焦點(diǎn)位置，求出拋物線方程．標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，要注意選擇．(2)待定系數(shù)法①根據(jù)拋物線焦點(diǎn)是在x軸上還是在y軸上，設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)條件確定關(guān)于p的方程，解出p，從而寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；②當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，有兩種方法解決．一種是分情況討論，注意要對(duì)四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行討論，對(duì)于焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，若開口方向不確定需分為y2＝﹣2px(p>0)和y2＝2px(p>0)兩種情況求解．另一種是設(shè)成y2＝mx(m≠0)，若m>0，開口向右；若m<0，開口向左；若m有兩個(gè)解，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個(gè)．同理，焦點(diǎn)在y軸上的拋物線可以設(shè)成x2＝my(m≠0)．[針對(duì)訓(xùn)練]1.如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線的方程為()A．y2＝9xB．y2＝6xC．y2＝3xD．y2＝eq\r(3)x2．已知拋物線x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為其準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn)，若△FPM為邊長(zhǎng)是4的等邊三角形，則此拋物線的方程為________．考點(diǎn)三拋物線的幾何性質(zhì)[典例](1)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x＝2與拋物線C：y2＝2px(p>0)交于D，E兩點(diǎn)，若OD⊥OE，則C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))C．(1,0)D．(2,0)(2)已知F是拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，則|FN|＝________.[方法技巧]拋物線幾何性質(zhì)的應(yīng)用技巧(1)涉及拋物線幾何性質(zhì)的問題常結(jié)合圖形思考，通過圖形可以直觀地看出拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、開口方向等幾何特征，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想解題的直觀性．(2)與拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)有關(guān)的問題，可直接應(yīng)用公式求解．解題時(shí)，需依據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，確定弦長(zhǎng)公式是由交點(diǎn)橫坐標(biāo)還是由交點(diǎn)縱坐標(biāo)定，是p與交點(diǎn)橫(縱)坐標(biāo)的和還是與交點(diǎn)橫(縱)坐標(biāo)的差，這是正確解題的關(guān)鍵．[針對(duì)訓(xùn)練]1．過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若|AF|＝3，則△AOB的面積為()A.eq\f(\r(2),2)B．eq\r(2)C.eq\f(3\r(2),2)D．2eq\r(2)2．已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，Q為拋物線上一點(diǎn)，連接QF并延長(zhǎng)交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)P，且點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為負(fù)數(shù)．若eq\r(3)|PQ|＝2|QF|，則直線PF的方程為()A.eq\r(3)x﹣y﹣eq\r(3)＝0B.eq\r(3)x＋y﹣eq\r(3)＝0C.eq\r(3)x﹣y﹣eq\r(3)＝0或eq\r(3)x＋y﹣eq\r(3)＝0D．x﹣eq\r(3)y﹣1＝03．(多選)已知拋物線C：y2＝2px過點(diǎn)P(1,1)，則下列結(jié)論正確的是()A．點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離為eq\f(3,2)B．過點(diǎn)P作過拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)Q，則△OPQ的面積為eq\f(5,32)C．過點(diǎn)P與拋物線相切的直線方程為x﹣2y＋1＝0D．過點(diǎn)P作兩條斜率互為相反數(shù)的直線交拋物線于M，N兩點(diǎn)，則直線MN的斜率為定值創(chuàng)新思維角度——融會(huì)貫通學(xué)妙法解決與拋物線有關(guān)的最值問題的方法與拋物線有關(guān)的最值問題是歷年高考的一個(gè)熱點(diǎn)，由于所涉及的知識(shí)面廣，題目多變，一般需要通過數(shù)形結(jié)合或利用函數(shù)思想來求最值，因此相當(dāng)一部分同學(xué)對(duì)這類問題感到束手無策．下面就拋物線最值問題的求法作一歸納．方法(一)定義轉(zhuǎn)換法[例1]已知點(diǎn)M(20,40)，拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F.若對(duì)于拋物線上的任意點(diǎn)P，|PM|＋|PF|的最小值為41，則p的值等于________．[名師微點(diǎn)]定義是解決問題的基礎(chǔ)和靈魂，運(yùn)用定義轉(zhuǎn)化，將點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，借助平面幾何知識(shí)求解．方法(二)平移直線法[例2]拋物線y＝﹣x2上的點(diǎn)到直線4x＋3y﹣8＝0的距離的最小值是________．[名師微點(diǎn)]通過轉(zhuǎn)化，利用平行線之間距離最短平移直線與拋物線相切，再求兩直線的距離．方法(三)函數(shù)法[例3]若點(diǎn)P在拋物線y2＝x上，點(diǎn)Q在圓(x﹣3)2＋y2＝1上，則|PQ|的最小值為________．[名師微點(diǎn)]本題可通過巧設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，將距離表示為關(guān)于y0(參數(shù))的二次函數(shù)形式，配方后求最值．方法(四)數(shù)形結(jié)合法[例4]已知定長(zhǎng)為3的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線y2＝2x上移動(dòng)，M為AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)M到y(tǒng)軸的最短距離為________．[名師微點(diǎn)]本題通過拋物線定義、平面幾何知識(shí)、數(shù)形結(jié)合將問題化難為易．eq\a\vs4\al([課時(shí)跟蹤檢測(cè)])一、基礎(chǔ)練——練手感熟練度1．已知拋物線y2＝2px(p>0)上的點(diǎn)M到其焦點(diǎn)F的距離比點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離大eq\f(1,2)，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．y2＝xB．y2＝2xC．y2＝4xD．y2＝8x2．已知拋物線y2＝2px(p＞0)上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的最小距離為eq\r(3)，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A．(eq\r(3)，0)B．(0，eq\r(3))C．(2eq\r(3)，0)D．(0,2eq\r(3))3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，M是拋物線C上的一點(diǎn)，若△OFM的外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，且該圓的面積為36π，則p＝()A．2B．4C．6D．84．若直線AB與拋物線y2＝4x交于A，B兩點(diǎn)，且AB⊥x軸，|AB|＝4eq\r(2)，則拋物線的焦點(diǎn)到直線AB的距離為()A．1B．2C．3D．55．已知拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在該拋物線上，且P在y軸上的投影為點(diǎn)E，則|PF|﹣|PE|的值為()A．1B．2C．3D．46．已知直線l過點(diǎn)(1,0)且垂直于x軸，若l被拋物線y2＝4ax截得的線段長(zhǎng)為4，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為________．二、綜合練——練思維敏銳度1．若拋物線y2＝2px上一點(diǎn)P(2，y0)到其準(zhǔn)線的距離為4，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．y2＝4xB．y2＝6xC．y2＝8xD．y2＝10x2．已知拋物線C：y2＝x的焦點(diǎn)為F，A(x0，y0)是C上一點(diǎn)，|AF|＝eq\f(5,4)x0，則x0＝()A．1B．2C．4D．83．雙曲線eq\f(x2,m)﹣eq\f(y2,n)＝1(mn≠0)的離心率為2，有一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)重合，則mn的值為()A.eq\f(3,16)B．eq\f(3,8)C.eq\f(16,3)D．eq\f(8,3)4．已知點(diǎn)A(0,2)，拋物線C1：y2＝ax(a＞0)的焦點(diǎn)為F，射線FA與拋物線C相交于點(diǎn)M，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N.若|FM|∶|MN|＝1∶eq\r(5)，則a的值為()A.eq\f(1,4)B．eq\f(1,2)C．1D．45．設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為O，焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是拋物線上異于O的一點(diǎn)，過P作PQ⊥l于Q.則線段FQ的垂直平分線()A．經(jīng)過點(diǎn)OB．經(jīng)過點(diǎn)PC．平行于直線OPD．垂直于直線OP6．已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若△AOB的面積為4，則|AB|＝()A．6B．8C．12D．167．已知拋物線y2＝2px上三點(diǎn)A(2,2)，B，C，直線AB，AC是圓(x﹣2)2＋y2＝1的兩條切線，則直線BC的方程為()A．x＋2y＋1＝0B．3x＋6y＋4＝0C．2x＋6y＋3＝0D．x＋3y＋2＝08．(多選)設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，A為C上一點(diǎn)，以F為圓心，|FA|為半徑的圓交l于B，D兩點(diǎn)．若∠ABD＝90°，且△ABF的面積為9eq\r(3)，則下列說法正確的是()A．△ABF是等邊三角形B．|BF|＝3C．點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為3D．拋物線C的方程為y2＝6x9．若拋物線y2＝8x上一點(diǎn)P(m，n)到其焦點(diǎn)的距離為8m，則m＝______.10．拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為A，其準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為B，如果在直線3x＋4y＋25＝0上存在點(diǎn)M，使得∠AMB＝90°，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是________．11．已知過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，斜率為2eq\r(2)的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)兩點(diǎn)，且|AB|＝9.(1)求該拋物線的方程；(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為拋物線上一