量子計(jì)算智能 課件 第 3 章 量子學(xué)習(xí)

1第3章量子學(xué)習(xí)3.3量子貝葉斯網(wǎng)絡(luò)3.2量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

3.2.1量子M-P模型3.2.2量子Hopfield網(wǎng)絡(luò)2提綱第3章量子學(xué)習(xí)3.1量子聚類(lèi)

3.1.1基于優(yōu)化的量子聚類(lèi)3.1.2基于量子力學(xué)機(jī)制的聚類(lèi)3.4量子小波變換3.3量子貝葉斯網(wǎng)絡(luò)3.2量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

3.2.1量子M-P模型

3.2.2量子Hopfield網(wǎng)絡(luò)3提綱第3章量子學(xué)習(xí)3.1量子聚類(lèi)

3.1.1基于優(yōu)化的量子聚類(lèi)3.1.2基于量子力學(xué)機(jī)制的聚類(lèi)3.4量子小波變換43.1量子聚類(lèi)

聚類(lèi)分析在數(shù)據(jù)挖掘領(lǐng)域中扮演著非常重要的角色，是數(shù)據(jù)分析與知識(shí)發(fā)現(xiàn)的重要工具。聚類(lèi)分析的目的是將抽象出來(lái)的對(duì)象或數(shù)據(jù)集合分成若干具有特殊意義的團(tuán)或者類(lèi)，而這種劃分的依據(jù)就是樣本對(duì)象之間的相似程度，相似度高的樣本歸為一類(lèi)，而相似度低的樣本則分別屬于不同類(lèi)。聚類(lèi)分析揭示了數(shù)據(jù)間的差異與聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)樣本的分布情況，在海量的數(shù)據(jù)面前，這尤為重要。一般情況下，聚類(lèi)并不需要使用訓(xùn)練數(shù)據(jù)進(jìn)行學(xué)習(xí)，是一種無(wú)監(jiān)督學(xué)習(xí)，它可以作為獨(dú)立的工具來(lái)使用，也可以作為一種前期預(yù)處理步驟，為進(jìn)一步的科學(xué)研究做準(zhǔn)備。53.1量子聚類(lèi)作為一類(lèi)新興的聚類(lèi)算法，量子聚類(lèi)吸引著越來(lái)越多研究者的研究熱情，并產(chǎn)生了一批優(yōu)秀的理論成果并在很多領(lǐng)域中取得了廣泛的成功。Nasios

[1]等人得出勢(shì)能場(chǎng)與數(shù)據(jù)的分布相關(guān)的結(jié)論，因此他們采用K近鄰統(tǒng)計(jì)分布來(lái)估計(jì)波函數(shù)尺度參數(shù)，并將量子聚類(lèi)與局部Hessian、區(qū)域生長(zhǎng)法相結(jié)合，應(yīng)用于SAR圖像的分割上。Li[2]等人提出了一種改進(jìn)的量子聚類(lèi)方法對(duì)核寬度調(diào)節(jié)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，以及基于度量距離改變的量子聚類(lèi)[3]，以克服量子聚類(lèi)的缺陷，獲得更好的聚類(lèi)效果。隨后，Zhang等[4]人在距離函數(shù)中采用指數(shù)形式，取代原算法中的歐氏距離，提高了量子聚類(lèi)的迭代效率，并獲得比原算法好的聚類(lèi)效果。Gou等[5]人將量子聚類(lèi)與多精英免疫算法相結(jié)合，避免了算法陷入局部最優(yōu)。[6]和[7]分別將量子聚類(lèi)應(yīng)用于SAR圖像分割和醫(yī)學(xué)圖像的分割。63.1量子聚類(lèi)Niu[8]等提出基于量子機(jī)制的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)社團(tuán)檢測(cè)方法。Sun等[9]將量子聚類(lèi)應(yīng)用于模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。Buccio等[10]利用動(dòng)態(tài)的量子聚類(lèi)算法進(jìn)行關(guān)聯(lián)文本的提取。

根據(jù)算法設(shè)計(jì)思想的不同，量子機(jī)制的聚類(lèi)算法，大體又可以分為基于優(yōu)化的量子聚類(lèi)算法和受量子力學(xué)啟發(fā)的量子聚類(lèi)算法。1）在基于優(yōu)化的量子聚類(lèi)算法中，我們需要預(yù)先設(shè)定尋優(yōu)目標(biāo)函數(shù)，利用量子搜索機(jī)制搜索目標(biāo)函數(shù)的極值點(diǎn)。這種搜索機(jī)制與傳統(tǒng)的基于優(yōu)化的聚類(lèi)方法截然不同，它能夠增強(qiáng)解空間的遍歷性，種群的多樣性，并能夠?qū)⒆顑?yōu)解在搜索空間中的多種表述形式用量子位的概率幅表述，進(jìn)一步增加獲得全局最優(yōu)解的概率。這類(lèi)算法將聚類(lèi)作為一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題，利用量子優(yōu)化算法來(lái)得到最優(yōu)解。73.1量子聚類(lèi)2)在基于量子力學(xué)啟發(fā)的聚類(lèi)算法中，基本的思想是：聚類(lèi)研究的是樣本在尺度空間中的分布，而量子力學(xué)研究的是粒子在量子空間的分布，可以以量子力學(xué)的方式研究聚類(lèi)問(wèn)題。基本的思路為：已知波函數(shù)，用薛定鍔方程求解勢(shì)能函數(shù)，從勢(shì)能能量點(diǎn)的角度來(lái)確定聚類(lèi)中心。相較于傳統(tǒng)的聚類(lèi)算法，[11]中總結(jié)了量子力學(xué)啟發(fā)的聚類(lèi)算法的若干優(yōu)勢(shì)如下i)算法的重點(diǎn)放在聚類(lèi)中心的選取而不是聚類(lèi)邊界的查找上；ii)聚類(lèi)的中心并非簡(jiǎn)單的幾何中心或隨機(jī)確定，而是完全取決于數(shù)據(jù)自身的潛在信息;iii)樣本分布模型和聚類(lèi)類(lèi)別數(shù)等都不需要預(yù)先假定。83.1.1基于優(yōu)化的量子聚類(lèi)

首先，我們討論基于優(yōu)化的量子聚類(lèi)。這種思路認(rèn)為聚類(lèi)問(wèn)題屬于無(wú)監(jiān)督學(xué)習(xí)問(wèn)題，在聚類(lèi)過(guò)程中對(duì)于聚類(lèi)效果沒(méi)有了解，所以為了更好地描述聚類(lèi)過(guò)程的劃分效果，我們通常需要采用一些評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)評(píng)價(jià)算法聚類(lèi)效果和真實(shí)類(lèi)別的相似程度。這樣聚類(lèi)問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為如下的優(yōu)化問(wèn)題: (3-1)其中，

是可行的聚類(lèi)結(jié)果集合，

是對(duì)給定數(shù)據(jù)集的一個(gè)劃分，

是準(zhǔn)則函數(shù)，通常是對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)間的相似性或不相似性程度的反映。通過(guò)尋找聚類(lèi)過(guò)程中的

的最小值，將它作為最終劃分結(jié)果。這樣分類(lèi)問(wèn)題就被轉(zhuǎn)換為優(yōu)化問(wèn)題。通常情況下，在基于優(yōu)化的量子聚類(lèi)算法中，第二章講到的量子優(yōu)化算法會(huì)被用來(lái)處理如3-1所示的優(yōu)化問(wèn)題。得到的最優(yōu)解即為分類(lèi)結(jié)果。93.1.2基于量子力學(xué)機(jī)制的聚類(lèi)

接著，我們討論基于量子力學(xué)機(jī)制的聚類(lèi)算法。量子力學(xué)描述了微觀粒子在量子空間的分布，而這同聚類(lèi)是研究數(shù)據(jù)樣本在尺度空間中的分布情況是等價(jià)的。聚類(lèi)過(guò)程相當(dāng)于：在波函數(shù)已知時(shí)，利用薛定鍔方程反過(guò)來(lái)求解勢(shì)能函數(shù)，而這個(gè)勢(shì)能函數(shù)決定著粒子的最終分布，這就是量子聚類(lèi)的物理思想依據(jù)。該算法中，不顯含時(shí)間的薛定諤方程被表述為如3-2形式： (3-2)其中，

為波函數(shù)；

為勢(shì)能函數(shù)；

為Hamilton算子；

為算子

的能量特征值；

為劈形算子；

為波函數(shù)寬度調(diào)節(jié)參數(shù)。

在量子聚類(lèi)中，我們使用帶有Parzen窗的高斯核函數(shù)估計(jì)波函數(shù)（即樣本點(diǎn)的概率分布），如3-3所示：103.1.2基于量子力學(xué)機(jī)制的聚類(lèi) (3-3)上式對(duì)應(yīng)于尺度空間中的一個(gè)觀測(cè)樣本集

，

高斯函數(shù)可以看作是一個(gè)核函數(shù)，它定義了一個(gè)由輸入空間到Hilbert空間的非線性映射。因此也可以認(rèn)為

是一個(gè)核寬度調(diào)節(jié)參數(shù)。

因此，當(dāng)波函數(shù)

已知時(shí)，若輸入空間只有一個(gè)單點(diǎn)

，即

，通過(guò)求解薛定諤方程，勢(shì)能函數(shù)可以表示為3-4： (3-4)根據(jù)量子理論可知，上式是粒子在諧振子中的調(diào)和勢(shì)能函數(shù)的表達(dá)形式，此時(shí)

算子的能量特征值為

，其中

為算子

的可能的最小特征值，可以用樣本的數(shù)據(jù)維數(shù)來(lái)表示。

113.1.2基于量子力學(xué)機(jī)制的聚類(lèi)

對(duì)于一般情況，我們進(jìn)一步把式3-3帶入3-2，得到樣本服從高斯分布的勢(shì)能函數(shù)的計(jì)算公式3-5： (3-5)本書(shū)假定

非負(fù)且確定，也就是說(shuō)

的最小值為零，

可以通過(guò)求解上式得到3-6： (3-6)

利用梯度下降法找到勢(shì)能函數(shù)的最小點(diǎn)作為聚類(lèi)的中心。其迭代公式如3-7： (3-7)123.1.2基于量子力學(xué)機(jī)制的聚類(lèi)其中，初始點(diǎn)設(shè)為

；

為算法的學(xué)習(xí)速率；

為勢(shì)能的梯度。最終，粒子朝勢(shì)能下降的方向移動(dòng)，即數(shù)據(jù)點(diǎn)將逐步朝其所在的聚類(lèi)中心的位置移動(dòng)，并在聚類(lèi)中心位置處停留。因此，可以利用量子方式確定聚類(lèi)的中心點(diǎn)。距離最近的某些點(diǎn)被歸為一類(lèi)。

3.3量子貝葉斯網(wǎng)絡(luò)3.2量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

3.2.1量子M-P模型3.2.2量子Hopfield網(wǎng)絡(luò)13提綱第3章量子學(xué)習(xí)3.1量子聚類(lèi)

3.1.1基于優(yōu)化的量子聚類(lèi)3.1.2基于量子力學(xué)機(jī)制的聚類(lèi)3.4量子小波變換143.2量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)20世紀(jì)50年代以來(lái)，隨著心理學(xué)，神經(jīng)科學(xué)，計(jì)算機(jī)信息科學(xué)，人工智能和神經(jīng)影像學(xué)技術(shù)的發(fā)展，用自然科學(xué)方法探索人類(lèi)意識(shí)的條件趨于成熟。世界各國(guó)不少學(xué)者開(kāi)始投身神經(jīng)計(jì)算的研究，并取得不少有價(jià)值的研究成果。1943年，芝加哥大學(xué)的生理學(xué)家McCulloch[12]使用閾值邏輯單元模擬生物神經(jīng)元，提出了著名的M-P神經(jīng)元模型，拉開(kāi)了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)研究的序幕。為了模擬起連接作用的突觸的可塑性，神經(jīng)生物學(xué)家Hebb[13]于1949年提出了連接權(quán)值強(qiáng)化的Hebb法則，這一法則告訴人們，神經(jīng)元之間突觸的聯(lián)系強(qiáng)度是可變的，為構(gòu)造有學(xué)習(xí)功能的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型奠定了基礎(chǔ)。1958年Rosenblatt[14]在原有MP模型的基礎(chǔ)上增加了學(xué)習(xí)機(jī)制。他提出的感知器模型，首次把神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論付諸工程實(shí)現(xiàn)。153.2量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

之后，Minsky等對(duì)以感知器為代表的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的功能及局限性從數(shù)學(xué)上做了深入研究，指出簡(jiǎn)單的線性感知器的功能是有限的，它無(wú)法解決線性不可分的兩類(lèi)樣本的分類(lèi)問(wèn)題。1982年，Hopfield的模型[15]對(duì)人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)信息存儲(chǔ)和提取功能進(jìn)行了非線性數(shù)學(xué)概括，提出了動(dòng)力方程和學(xué)習(xí)方程，還對(duì)網(wǎng)絡(luò)算法提供了重要公式和參數(shù)，使人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)造和學(xué)習(xí)有了理論指導(dǎo)。經(jīng)過(guò)近半個(gè)世紀(jì)的發(fā)展，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在眾多領(lǐng)域取得了廣泛成功，如模式識(shí)別、自動(dòng)控制、信號(hào)處理、輔助決策、人工智能等[16]。163.2量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)1995年美國(guó)Louisiana州立大學(xué)的Kak[17]教授首次提出了量子神經(jīng)計(jì)算(QuantumNeuralComputation)的概念，明確提出將神經(jīng)計(jì)算與量子計(jì)算結(jié)合起來(lái)形成新的計(jì)算范式，開(kāi)創(chuàng)了該領(lǐng)域的先河，并目他還提到了這可能對(duì)研究人類(lèi)的意識(shí)會(huì)有很大的幫助。1996年，Penis[18]提出了量子并行性和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有非常有趣的相似性。量子波函數(shù)的坍縮(Collapse)十分類(lèi)似于人腦記憶中的神經(jīng)模式重構(gòu)現(xiàn)象。1998年TMenneer

[19]在他的博士論文中從多宇宙的觀點(diǎn)第一次比較深入、全面地探討了量子人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，他比較了各種提出的量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的性能并與傳統(tǒng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作了比較，認(rèn)為量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的性能要優(yōu)于傳統(tǒng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。173.2量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

之后，又有大量量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型被提出。2000年Ventura等[20]人提出了基于Grover量子搜索算法的量子聯(lián)想記憶(QuantumAssociativeMemory)模型；Liwei-gang提出了糾纏神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(EntangledNeuralNetworks)模型；2005年NoriakiKouda等[21]人利用量子相位提出了量子比特神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；等。

這里介紹兩種量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型：量子M-P模型和量子Hopfield神經(jīng)計(jì)算模型。183.2.1量子M-P模型神經(jīng)元的每一個(gè)輸入都有一個(gè)加權(quán)系數(shù)，稱(chēng)為權(quán)重值，其正負(fù)模擬了生物神經(jīng)元中突觸的興奮和抑制，其大小則代表了突觸的不同連接強(qiáng)度。作為人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基本處理單元，必須對(duì)全部輸入信號(hào)進(jìn)行整合，以確定各類(lèi)輸入作用的總效果，表示組合輸入信號(hào)的總和值，神經(jīng)元激活與否取決于此總和值是否超過(guò)某一閾值。以表示該神經(jīng)元的輸出，則輸出與輸入之間的關(guān)系可由轉(zhuǎn)移函數(shù)表示，轉(zhuǎn)移函數(shù)一般都為非線性的。M-P模型可由圖3-1表示:圖3-1M-P模型193.2.1量子M-P模型上述內(nèi)容可由這兩個(gè)式子表示：

(3-8) (3-9)量子M-P模型的概念模型如圖3-2所示:圖3-2量子M-P模型203.2.1量子M-P模型相應(yīng)的神經(jīng)元的輸出表示為如3-10：

(3-10)式中，表示了輸入的總個(gè)數(shù)。表示了一個(gè)量子態(tài)，為一個(gè)向量。用狄拉克符號(hào)來(lái)表示量子狀態(tài)，量子M-P的計(jì)算輸出就可以表示為下3-11：

(3-11)其中，

(3-12)213.2.1量子M-P模型

若狀態(tài)

之間相互正交，則

可以正交矩陣，輸出可以表示為如3-13的量子幺正變換：

(3-13)

若狀態(tài)

之間沒(méi)有互相正交，則需把網(wǎng)絡(luò)的輸入和輸出進(jìn)行關(guān)系進(jìn)行修改，按照下式進(jìn)行： (3-14)其中

表示兩個(gè)狀態(tài)的內(nèi)積。則，輸出可以表示如3-15：

(3-15)223.2.1量子M-P模型對(duì)于正交和沒(méi)有正交兩種情況，選擇一定的都可以實(shí)現(xiàn)一定的功能?；谏鲜龅牧孔覯-P模型，權(quán)值更新可以按照如下步驟進(jìn)行：Step1 準(zhǔn)備一個(gè)初始權(quán)值矩陣Step2 根據(jù)實(shí)際問(wèn)題準(zhǔn)備輸入一輸出對(duì)Step3 計(jì)算實(shí)際輸出，其中t為迭代代數(shù)，自0開(kāi)始Step4 更新網(wǎng)絡(luò)權(quán)值，其中為學(xué)習(xí)控制因子Step5 反復(fù)執(zhí)行步驟3和4至到滿足誤差允許的范圍。233.2.2量子Hopfield網(wǎng)絡(luò)第二個(gè)我們介紹量子Hopfield網(wǎng)絡(luò)。在20世紀(jì)80年代初期，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)研究的重新興起可歸功于JohnHopfield的工作。作為一個(gè)著名的物理學(xué)家，Hopfield的名聲和科學(xué)資歷使人們對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究恢復(fù)了信心，他在該網(wǎng)絡(luò)中引入了“能量函數(shù)”的概念，建立了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性判據(jù)，使反饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以成為一個(gè)具有反饋的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，解決動(dòng)態(tài)問(wèn)題和一些優(yōu)化問(wèn)題。仿照經(jīng)典的Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，一個(gè)量子Hopfiled網(wǎng)絡(luò)（QHNN）的概念模型如圖3-3所示：

圖3-3QHNN的概念模型243.2.2量子Hopfield網(wǎng)絡(luò)從圖中可以看到網(wǎng)絡(luò)有N個(gè)神經(jīng)元，每個(gè)神經(jīng)元的輸出都反饋到其他神經(jīng)元作為它們的一個(gè)輸入，但不反饋到自身作為輸入。所有的模式或圖像都是存儲(chǔ)在網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值里，所以確定網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值是主要工作。QHNN網(wǎng)絡(luò)沒(méi)有自反饋的,即滿足下式：

(3-16)從圖3-3可以看出，權(quán)值矩陣是一個(gè)對(duì)角陣，且對(duì)角線上的元素為0?；贔eynman路徑積分的類(lèi)量子Hopfield網(wǎng)絡(luò)工作原理[22]，可得式子如下： (3-17)式中，

，（

表示復(fù)共軛，

表示網(wǎng)絡(luò)存儲(chǔ)的模式數(shù)，

是網(wǎng)絡(luò)存儲(chǔ)矩陣，m和n分別表示矩陣的行和列）。253.2.2量子Hopfield網(wǎng)絡(luò)

相當(dāng)于傳統(tǒng)的Hopfield網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值矩陣，即Lyapunov函數(shù)，或二次性能函數(shù)?；陬?lèi)似的思想，以量子思維處理Hopfield網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)權(quán)值。根據(jù)薛定諤方程和量子線性疊加原理，QHNN的權(quán)值可以寫(xiě)為下式： (3-18)其中

是

坍縮到

的概率，

是QHNN中存儲(chǔ)的圖像或模式總數(shù)，也是能夠識(shí)別的圖像或模式總數(shù)，

是存儲(chǔ)的單個(gè)圖像或模式，

是

的復(fù)共軛。當(dāng)給網(wǎng)絡(luò)輸入一個(gè)外界待識(shí)別的圖像時(shí)，網(wǎng)絡(luò)經(jīng)過(guò)量子測(cè)量就可以以一定的概率坍縮到它的一個(gè)存儲(chǔ)圖像或模式中，這樣即實(shí)現(xiàn)了圖像識(shí)別的功能。263.2.2量子Hopfield網(wǎng)絡(luò)根據(jù)量子線性疊加原理和由量子狀態(tài)或向量構(gòu)成的矩陣，通過(guò)量子幺正演化來(lái)確定權(quán)值的量子學(xué)習(xí)算法如下：Step1 根據(jù)提供的圖像或模式進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)計(jì)算權(quán)值矩陣。為了滿足么正性，要求提供的圖像或模式向量是正交向量，由于一般情況下他們不是正交的，所以必需變換成正交向量，其變換可以采用Gram-Schmidt正交化方法進(jìn)行。Step2 先把第1步計(jì)算得到的矩陣的元素看成是一種隨機(jī)變量或隨機(jī)數(shù)值，再根據(jù)的數(shù)值大小在一個(gè)坐標(biāo)軸上劃分成若干等份。設(shè)矩陣元素屬于的概率為，那么，屬于的概率大小為，其中

(3-19)273.2.2量子Hopfield網(wǎng)絡(luò)Step3 因?yàn)槊總€(gè)都有兩種可能的取值，根據(jù)神經(jīng)元的個(gè)數(shù)N，就會(huì)有個(gè)不同的，即為存儲(chǔ)在QHNN網(wǎng)絡(luò)中的圖像或模式，網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練后輸入的待識(shí)別圖像就是經(jīng)測(cè)量坍縮到不同的，從而達(dá)到圖像識(shí)別的目的。從這里可以看出有N個(gè)神經(jīng)元構(gòu)成的QHNN網(wǎng)絡(luò)可以識(shí)別個(gè)圖像。識(shí)別容量，即存儲(chǔ)容量比傳統(tǒng)的Hopfield網(wǎng)絡(luò)有了指數(shù)級(jí)的提高。Step4 按照3-20計(jì)算的概率：

(3-20)283.2.2量子Hopfield網(wǎng)絡(luò)傳統(tǒng)的Hopfield網(wǎng)絡(luò)能存儲(chǔ)的圖像或模式數(shù)一般為P=0.14N,N為神經(jīng)元個(gè)數(shù)，P為存儲(chǔ)的模式數(shù)，由于Hopfield網(wǎng)絡(luò)在識(shí)別大量的圖像或模式時(shí)遇到巨大困難，所以研究人員一直在尋找新的方法。而量子Hopfield網(wǎng)絡(luò)能識(shí)別的圖像或模式為，存儲(chǔ)容量或記憶容量有了指數(shù)級(jí)提高。3.3量子貝葉斯網(wǎng)絡(luò)3.2量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

3.2.1量子M-P模型3.2.2量子Hopfield網(wǎng)絡(luò)29提綱第3章量子學(xué)習(xí)3.1量子聚類(lèi)

3.1.1基于優(yōu)化的量子聚類(lèi)3.1.2基于量子力學(xué)機(jī)制的聚類(lèi)3.4量子小波變換303.3量子貝葉斯網(wǎng)絡(luò)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)(BayesianNetworks,BNs)是表示變量間概率分布及關(guān)系的有向無(wú)環(huán)圖，節(jié)點(diǎn)表示隨機(jī)變量，包括了對(duì)事件、狀態(tài)、屬性等實(shí)體的描述；弧則表示變量之間的相互依賴(lài)關(guān)系。貝葉斯網(wǎng)絡(luò)用圖形模式描述變量集合間的條件獨(dú)立性，而且允許將變量間依賴(lài)關(guān)系的先驗(yàn)知識(shí)和觀察數(shù)據(jù)相結(jié)合，為屬性子集上的一組條件獨(dú)立性假設(shè)提供了更強(qiáng)的表達(dá)能力。80年代以來(lái)，貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的研究已經(jīng)引起了人們相當(dāng)大的興趣。80年代早期，貝葉斯網(wǎng)絡(luò)成功地應(yīng)用于專(zhuān)家系統(tǒng)中對(duì)不確定性知識(shí)的表達(dá);80年代后期，貝葉斯推理得到了迅速發(fā)展;進(jìn)入90年代，面對(duì)信息爆炸的局面，研究人員已經(jīng)開(kāi)始嘗試直接從數(shù)據(jù)中學(xué)習(xí)并生成貝葉斯網(wǎng)的方法，在醫(yī)學(xué)診斷、自然語(yǔ)言理解、故障診斷、啟發(fā)式搜索、目標(biāo)識(shí)別以及不確定推理和預(yù)測(cè)等方面產(chǎn)生了很多成功的應(yīng)用。313.3量子貝葉斯網(wǎng)絡(luò)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)提供了一種把聯(lián)合概率分布分解為局部分布的方法:就是用它的圖形結(jié)構(gòu)編碼了變量間概率依賴(lài)關(guān)系，這樣就具有了清晰的語(yǔ)義特征。設(shè)一組有限集合表示一組離散隨機(jī)變量，它們分別取值的聯(lián)合概率如3-21：

(3-21)其中，是節(jié)點(diǎn)的父母節(jié)點(diǎn)組。構(gòu)建貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的主要任務(wù)就是學(xué)習(xí)它的結(jié)構(gòu)和參數(shù)。323.3量子貝葉斯網(wǎng)絡(luò)貝葉斯量子網(wǎng)是貝葉斯網(wǎng)引入量子機(jī)制后在量子學(xué)習(xí)中的一種推廣，我們的目的是根據(jù)給出的普通的貝葉斯網(wǎng)，構(gòu)造出適用于量子機(jī)制的貝葉斯量子網(wǎng)。如下圖Asia網(wǎng)絡(luò)(也稱(chēng)Chest-clinic網(wǎng))是一個(gè)小型的用在醫(yī)療診斷的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)，共有8個(gè)節(jié)點(diǎn)，8條弧。圖3.4Asia網(wǎng)絡(luò)333.3量子貝葉斯網(wǎng)絡(luò)對(duì)于上述網(wǎng)絡(luò)，依次按從左到右，從上到下的順序?qū)γ總€(gè)節(jié)點(diǎn)編號(hào)為1到8，則我們也可以用一個(gè)矩陣A來(lái)表示上面的網(wǎng)絡(luò)如下:

(3-22)如果我們用量子形式來(lái)表示A的話，即可得如下形式: (3-23)式中，為A中元素，。這樣我們就可以通過(guò)用量子疊加態(tài)來(lái)表示貝葉斯網(wǎng)絡(luò)利用量子態(tài)概率幅的變化來(lái)學(xué)習(xí)整個(gè)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。343.3量子貝葉斯網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造出適用于量子機(jī)制的貝葉斯量子網(wǎng)(BQ-net)以后，我們可以通過(guò)BQ-net中每個(gè)節(jié)點(diǎn)所依附的概率幅矩陣來(lái)計(jì)算網(wǎng)絡(luò)的條件概率。結(jié)合機(jī)器學(xué)習(xí)的方法通過(guò)對(duì)量子態(tài)實(shí)現(xiàn)一系列的酉算子操作，就可以實(shí)現(xiàn)我們的量子學(xué)習(xí)過(guò)程。特別值得注意的是，各個(gè)量子態(tài)之間的所產(chǎn)生的影響和變化就如由微小粒子與液體分子之間的碰撞所引起的布朗運(yùn)動(dòng)一樣，是在一個(gè)隨機(jī)的過(guò)程中完成的。量子學(xué)習(xí)的最終結(jié)果，也是在隨機(jī)的學(xué)習(xí)過(guò)程中各中間量子態(tài)的相互疊加、相互糾纏、相互干涉的總和，因此，設(shè)計(jì)相應(yīng)的隨機(jī)學(xué)習(xí)算法，也是實(shí)現(xiàn)量子學(xué)習(xí)的一個(gè)不可忽視的手段。一個(gè)通用的量子貝葉斯網(wǎng)絡(luò)工作流程如下圖所示[23]。353.3量子貝葉斯網(wǎng)絡(luò)圖3.5貝葉斯量子學(xué)習(xí)模型3.3量子貝葉斯網(wǎng)絡(luò)3.2量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

3.2.1量子M-P模型3.2.2量子Hopfield網(wǎng)絡(luò)36提綱第3章量子學(xué)習(xí)3.1量子聚類(lèi)

3.1.1基于優(yōu)化的量子聚類(lèi)3.1.2基于量子力學(xué)機(jī)制的聚類(lèi)3.4量子小波變換373.4量子小波變換小波變換分析方法是當(dāng)前數(shù)學(xué)物理中一個(gè)迅速發(fā)展的新領(lǐng)域，它同時(shí)具有理論深刻和物理運(yùn)用廣泛的特點(diǎn)。小波變換是一個(gè)時(shí)間和頻率的局域變換，因而能有效地從信號(hào)中提取信息，通過(guò)伸縮和平移等運(yùn)算對(duì)函數(shù)或信號(hào)進(jìn)行多尺度細(xì)化分析。數(shù)學(xué)上，具有實(shí)參數(shù)的小波須滿足下式的條件：

(3-24)小波變換是將信號(hào)用一系列雙參數(shù)的函數(shù)基展開(kāi)，同時(shí)得到信號(hào)在時(shí)域和頻域上的信息。具體而一言，就是從某一個(gè)母小波函數(shù)出發(fā)，通過(guò)膨脹和平移變換，構(gòu)建一組子小波如下：(3-25)383.4量子小波變換其中為膨脹系數(shù)，為平移參量。利用子小波可以對(duì)信號(hào)函數(shù)進(jìn)行小波積分變換如下：

(3-26)

相應(yīng)的，量子力學(xué)態(tài)矢量的小波變換可以定義為如下形式：

(3-27)式中是母小波態(tài)矢，是需要做變換的量子力學(xué)態(tài)矢，是坐標(biāo)本征矢，其中是壓縮平移算符，并可表示如下：

(3-28)由式3-27易得，已知母小波態(tài)矢，對(duì)于任意態(tài)矢求得的矩陣元就對(duì)應(yīng)于信號(hào)的小波變換。39

3.4量子小波變換403.4量子小波變換41本章參考文獻(xiàn)[1]N.Nasios,A.G.Bors,Non-parmetricclusteringusingquantummechanics[C],ProceedingsoftheIEEEInternationalConferenceonImageProcessing,2005,3:820-823.[2]LiZH,WangST.ImprovedAlgorithmofQuantumClustering[J].ComputerEngineering,2007,33(23):189-189.[3]LiZH,WangST.Parameter-EstimatedQuantumClusteringAlgorithm[J].JournalofDataAcquisition&Processing,2008,23(2):211-214.[4]YaoZ,PengW,Gao-YunC,etal.QuantumClusteringAlgorithmbasedonExponentMeasuringDistance[C]//IEEEInternationalSymposiumonKnowledgeAcquisitionandModelingWorkshop,2008.KamWorkshop.2008:436-439.[5]GouS,ZhuangX,JiaoL.SARimagesegmentationusingquantumclonalselectionclustering[C]//SyntheticApertureRadar,2009.Apsar2009.Asian-PacificConferenceon.IEEE,2009:257–282.[6]Nasios

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YQ,HuBQ,ZhangW,etal.Detectingthecommunitystructureincomplexnetworksbasedonquantummechanics[J].PhysicaAStatisticalMechanics&ItsApplications,2008,387(24):6215-6224.42本章參考文獻(xiàn)[9]SunJ,HaoSN.ResearchofFuzzyNeuralNetworkModelBasedonQuantumClustering[C]//InternationalWorkshoponKnowledgeDiscoveryandDataMining.IEEE,2009:133-136.[10]Buccio

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