重難專題06 將軍飲馬之兩點(diǎn)一線模型（解析版）

2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊重難點(diǎn)突破專題06將軍飲馬之兩點(diǎn)一線模型一、異側(cè)兩點(diǎn)求線段和最小值條件：兩定點(diǎn)A、B位于直線l異側(cè)，在直線l上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小。結(jié)論：連接AB交直線l與點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB的值最小，最小值為AB的長。二、同側(cè)兩點(diǎn)求線段和最小值條件：兩定點(diǎn)A，B位于直線l同側(cè)，在直線l上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小結(jié)論：作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B'，連接AB'，交直線l于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB的值最小，最小值為AB'的長。三、同側(cè)兩點(diǎn)求線段差最大值條件：兩定點(diǎn)A、B位于直線l同側(cè)，在直線l上找一點(diǎn)P，使|PA-PB|值最大。結(jié)論：連接AB并延長，與直線l交于點(diǎn)P，此時(shí)|PA-PB|的值最大，最大值為線段AB的長。四、異側(cè)兩點(diǎn)求線段差最大值條件：兩定點(diǎn)A、B位于直線l異側(cè)，在直線l上找一點(diǎn)P，使得lPA-PB|值最大結(jié)論：作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B'，連接AB'并延長，與直線l交于點(diǎn)P，此時(shí)|PA-PBI的值最大，最大值為線段AB'的長。如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)M在DC上，且DM=1，N是AC上一動點(diǎn)，則DN+MN的最小值為（

）A．4 B． C． D．5【答案】D【分析】由正方形的對稱性可知點(diǎn)B與D關(guān)于直線AC對稱，連接BM交AC于N′，N′即為所求在Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的長即可．【詳解】∵四邊形ABCD是正方形，∴點(diǎn)B與D關(guān)于直線AC對稱，∴DN=BN，連接BD，BM交AC于N′，連接DN′，∴當(dāng)B、N、M共線時(shí)，DN+MN有最小值，則BM的長即為DN+MN的最小值，∴AC是線段BD的垂直平分線，又∵CD=4，DM=1∴CM=CD-DM=4-1=3，在Rt△BCM中，BM=故DN+MN的最小值是5．故選：D．如圖，在菱形中，，對角線交于點(diǎn)，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，點(diǎn)為上一動點(diǎn)，連接，則的最大值為．【答案】【分析】作的對稱點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得到，最后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及菱形的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：作的對稱點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，∴，∴，當(dāng)在同一條直線上時(shí)，有最大值，∵在菱形中，，∴，，∴是等邊三角形，∴，，，∵，∴，∵，∴，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴為的中點(diǎn)，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，故答案為；

一、單選題1．如圖，直線是一條輸氣管道，M，N是管道同側(cè)的兩個(gè)村莊，現(xiàn)計(jì)劃在直線上修建一個(gè)供氣站O，向M，N兩村莊供應(yīng)天然氣．在下面四種方案中，鋪設(shè)管道最短的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用對稱的性質(zhì)，通過等線段代換，將所求路線長轉(zhuǎn)化為兩定點(diǎn)之間的距離．【詳解】解：作點(diǎn)M關(guān)于直線a的對稱點(diǎn)，連接交直線a于O．根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，可知選項(xiàng)C修建的管道，則所需管道最短．故選：C．2．如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為8，面積是24，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB于E，F(xiàn)點(diǎn)，若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動點(diǎn)，則的周長的最小值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】先根據(jù)對稱性判斷點(diǎn)M的位置，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積求出，即可求出答案．【詳解】解：∵是的垂直平分線，∴點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于對稱．連接與的交點(diǎn)為M，則此時(shí)點(diǎn)M為使周長最小時(shí)的位置．∵點(diǎn)D是底邊上的中點(diǎn)，且是等腰三角形，∴．，∵，，∴．∵，∴的周長．故選：D．3．如圖，在銳角三角形中，，的面積為，平分，若、分別是、上的動點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作N關(guān)于的對稱點(diǎn)，連結(jié)，與交于點(diǎn)O，過點(diǎn)C作于點(diǎn)E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，則，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得的最小值為，再根據(jù)垂線段最短，的最小值為C點(diǎn)到AB的垂線段CE的長度，最后由的面積求出，即可求解．【詳解】解：如圖，作N關(guān)于的對稱點(diǎn)，連結(jié)，與交于點(diǎn)O，過C作于E，∵平分∴在上，且∴，∴根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得的最小值為，即C點(diǎn)到線段某點(diǎn)的連線，∴根據(jù)垂線段最短，的最小值為C點(diǎn)到的垂線段的長度，∵的面積為10∴∴故選B．4．如圖，已知點(diǎn)，，點(diǎn)P在直線上運(yùn)動，則的最大值為（

）A． B． C．4 D．【答案】D【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可求得答案．【詳解】解：作A關(guān)于直線對稱點(diǎn)C，∴，∵，∴C的坐標(biāo)為；連接并延長，交直線于P點(diǎn)，此時(shí)，取得最大值，∴．故選D．5．如圖，等邊的邊長為1，過點(diǎn)B的直線，且與關(guān)于直線l對稱，D為線段上的一個(gè)動點(diǎn)，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】連接交于點(diǎn)，，關(guān)于直線對稱，推出當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，的值最小，最小值為線段的長．【詳解】解：連接交于點(diǎn)，直線，且與△關(guān)于直線對稱，，，共線，，，，，，，，關(guān)于直線對稱，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，的值最小，最小值為線段的長，故選B．6．如圖，在中，，，，，是的平分線，若P，Q分別是和上的動點(diǎn)，則的最小值是（

）A．2.4 B．3 C．4.8 D．5【答案】A【分析】作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)．利用垂線段最短解決問題即可．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，，過點(diǎn)作于點(diǎn)．是的角平分線，與關(guān)于對稱，點(diǎn)值上，，，，，，，，的最小值為2.4．故選：A．二、填空題7．如圖，在中，，平分，P為線段上一動點(diǎn)，Q為邊上一動點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的度數(shù)是．【答案】【分析】在上截取，連接，證明得出，從而證明當(dāng)點(diǎn)A、P、E在同一直線上，且時(shí)，的值最小，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可求出結(jié)果．【詳解】解：在上截取，連接，如圖所示：平分，，在和中，，，，，∴當(dāng)點(diǎn)A、P、E在同一直線上，且，的值最小，即的值最小，∴當(dāng)點(diǎn)A、P、E在同一直線上，且時(shí)，，，，，故答案為：．8．如圖，等腰三角形的底邊長為2，面積是6，腰的垂直平分線分別交，于點(diǎn)E、F，若點(diǎn)D為底邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段上一動點(diǎn)，則的周長的最小值為．【答案】7【分析】連接，由于是等腰三角形，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，故，再根據(jù)三角形的面積公式求出的長，再再根據(jù)是線段的垂直平分線可知，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，故的長為的最小值，由此即可得出結(jié)論．【詳解】解：連接，是等腰三角形，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，，解得，是線段的垂直平分線，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，的長為的最小值，的周長最短．故答案為：7．9．如圖，在中，，，點(diǎn)在直線上，，點(diǎn)為上一動點(diǎn)，連接，．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的度數(shù)為度．【答案】【分析】如圖，作B關(guān)于的對稱點(diǎn)D，連接，的值最小，則交于P，由軸對稱易證，結(jié)合證得是等邊三角形，可得，結(jié)合已知根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可求出，即可解決問題．【詳解】如圖，作B關(guān)于的對稱點(diǎn)D，連接，的值最小，則交于P，由軸對稱可知：，，，，，是等邊三角形，，，，，，，，故答案為：．10．如圖，等邊和等邊的邊長都是4，點(diǎn)在同一條直線上，點(diǎn)P在線段上，則的最小值為．【答案】8【分析】連接，根據(jù)和都是邊長為4的等邊三角形，證明，可得，所以，進(jìn)而可得當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，的值最小，正好等于的長，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，∵和都是邊長為4的等邊三角形，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)關(guān)于對稱，的值最小，正好等于的長，∴的最小值為，故答案為：8．三、解答題11．在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長為1，格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)是網(wǎng)格線的交點(diǎn)的三角形）的頂點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，．(1)請作出關(guān)于y軸對稱的，并寫出和的坐標(biāo)；(2)在軸上找一點(diǎn)，使最小，在圖中標(biāo)出點(diǎn)．【分析】（1）分別作出A，B，C關(guān)于y軸的對應(yīng)點(diǎn)，，，依次連接三點(diǎn)即可得，再結(jié)合網(wǎng)格圖即可寫出坐標(biāo)；（2）連接，交y軸于點(diǎn)P，即可作答．【詳解】（1）作圖如下：

即為所求，由網(wǎng)格圖可知：，；（2）連接，交y軸于點(diǎn)P，如圖，

P點(diǎn)即為所求．證明：連接，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知：，即，由作圖可知：點(diǎn)、、三點(diǎn)共線，此時(shí)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可知此時(shí)有最小值，即P點(diǎn)滿足要求．12．如圖所示，牧馬人從A地出發(fā)，到一條直的河流l邊的C處飲馬，然后到達(dá)B地．牧馬人到河邊的什么地點(diǎn)飲馬，可以使所走的路程最短？請用尺規(guī)作圖，在圖中找出路程最短的飲馬點(diǎn)C，并用軸對稱的性質(zhì)說明理由．【答案】牧馬人到河邊的點(diǎn)C處飲馬，可以使所走的路程最短，見解析【分析】過點(diǎn)B作直線l的對稱點(diǎn)，連接，與直線l的交點(diǎn)即為點(diǎn)C，此時(shí)所走的路程最短，取直線l上另一點(diǎn)，根據(jù)三角形三邊關(guān)系證明得到牧馬人到河邊的點(diǎn)C處飲馬，可以使所走的路程最短．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)B作直線l的對稱點(diǎn)，連接，與直線l的交點(diǎn)即為點(diǎn)C，此時(shí)所走的路程最短，即，取直線l上另一點(diǎn)，根據(jù)軸對稱得到，∴牧馬人到河邊的點(diǎn)C處飲馬，可以使所走的路程最短．．13．如圖，點(diǎn)，且a，b滿足．若P為x軸上異于原點(diǎn)O和點(diǎn)A的一個(gè)動點(diǎn)，連接，以線段為邊構(gòu)造等腰直角（P為頂點(diǎn)），連接．(1)如圖1，直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)為___________，點(diǎn)B的坐標(biāo)為___________；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O，A之間時(shí)，連接，，證明；(3)如圖3，點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動過程中，若所在直線與y軸交于點(diǎn)F，請直接寫出F點(diǎn)的坐標(biāo)為___________，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，請直接寫出此時(shí)與之間的數(shù)量關(guān)系___________．【答案】(1)，(2)見解析(3)，【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到，，得到，，于是得到結(jié)果；（2）過點(diǎn)作軸于，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，，由等腰直角三