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文檔簡介
2023年中考數(shù)學(xué)模擬試卷
請考生注意:
1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答
案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。
2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。
一、選擇題(本大題共12個(gè)小題,每小題4分,共48分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)
1.在RtAABC中NC=90。,NA、ZB.NC的對邊分別為a、b、c,c=3a,tanA的值為()
A.-B.—C.41D.3
34
2.在-3,0,4,卡這四個(gè)數(shù)中,最大的數(shù)是()
A.-3B.0C.4D.娓
3.下列計(jì)算錯(cuò)誤的是()
A.a?a=a2B.2a+a=3aC.(a3)2=a5D.a3-ra-1=a4
4.如圖,在等腰直角三角形ABC中,ZC=90°,D為BC的中點(diǎn),將△ABC折疊,使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合,EF為折痕,
則sinZBED的值是()
3325
A.-B.-c.一D.-
5437
5.如圖所示,如果將一副三角板按如圖方式疊放,那么Z1等于()
be__
A.120°B.105°C.60°D.45°
6.如圖,等腰三角形ABC底邊BC的長為4cm,面積為12cm2,腰AB的垂直平分線E尸交A8于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)
F,若。為BC邊上的中點(diǎn),M為線段EF上一點(diǎn),則A的周長最小值為()
A
瓦
A.5cmB.6cmC.8cmD.10cm
7.tan45°的值為()
A.-L
D.y[2
2
8.如圖,要使nABCD成為矩形,需添加的條件是。
C.AC±BDD.N1=N2
9.下列運(yùn)算正確的是()
A.a3*a2=a6B.(a2)3=a5C.V9=3D.2+75=275
10.如圖,把一個(gè)直角三角尺的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上,若Nl=50。,則N2=()
C.40°D.50°
11.已知拋物線,=。必+(2一。口一2(。>0)的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)),與)'軸交于點(diǎn)C.
給出下列結(jié)論:①當(dāng)4>0的條件下,無論“取何值,點(diǎn)A是一個(gè)定點(diǎn);②當(dāng)4>()的條件下,無論。取何值,拋物線
的對稱軸一定位于》軸的左側(cè):③y的最小值不大于-2;④若AB=AC,則a=11且.其中正確的結(jié)論有()個(gè).
2
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
12.某居委會(huì)組織兩個(gè)檢查組,分別對“垃圾分類”和“違規(guī)停車”的情況進(jìn)行抽查.各組隨機(jī)抽取轄區(qū)內(nèi)某三個(gè)小區(qū)中
的一個(gè)進(jìn)行檢查,則兩個(gè)組恰好抽到同一個(gè)小區(qū)的概率是()
二、填空題:(本大題共6個(gè)小題,每小題4分,共24分.)
13.計(jì)算(6+J5)-G的結(jié)果是
14.如圖1是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖,它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成.若較短的直角邊8c=5,將
四個(gè)直角三角形中較長的直角邊分別向外延長一倍,得到圖2所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”,若A的周長是30,則這個(gè)風(fēng)車
的外圍周長是.
15.分解因式:x3-2x2+x=.
16.如圖,AC是正五邊形ABCDE的一條對角線,則NACB=
17.化簡:①標(biāo)=;②?一5¥=;?V5xVl()=
18.如圖的三角形紙片中,AB=8cm,BC=6cm,AC=5cm,沿過點(diǎn)8的直線折疊這個(gè)三角形,使點(diǎn)。落在邊
上的點(diǎn)E處,折痕為BO,則的周長為.
三、解答題:(本大題共9個(gè)小題,共78分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
19.(6分)如圖1,是一個(gè)材質(zhì)均勻可自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤,轉(zhuǎn)盤的四個(gè)扇形面積相等,分別有數(shù)字1,2,3,1.如圖2,
正方形ABCD頂點(diǎn)處各有一個(gè)圈.跳圈游戲的規(guī)則為:游戲者每轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次,當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止運(yùn)動(dòng)時(shí),指針?biāo)渖刃沃?/p>
的數(shù)字是幾(當(dāng)指針落在四個(gè)扇形的交線上時(shí),重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤),就沿正方形的邊順時(shí)針方向連續(xù)跳幾個(gè)邊長.
如:若從圖A起跳,第一次指針?biāo)渖刃沃械臄?shù)字是3,就順時(shí)針連線跳3個(gè)邊長,落到圈D;若第二次指針?biāo)渖?/p>
形中的數(shù)字是2,就從D開始順時(shí)針續(xù)跳2個(gè)邊長,落到圈B;……設(shè)游戲者從圈A起跳.
(1)嘉嘉隨機(jī)轉(zhuǎn)一次轉(zhuǎn)盤,求落回到圈A的概率P.;
(2)琪琪隨機(jī)轉(zhuǎn)兩次轉(zhuǎn)盤,用列表法求最后落回到圈A的概率P2,并指出她與嘉嘉落回到圈A的可能性一樣嗎?
20.(6分)如圖,AB是半圓O的直徑,過點(diǎn)O作弦AD的垂線交半圓O于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)C,使NBED=NC.
⑴判斷直線AC與圓O的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)若AC=8,cosZBED=;,求AD的長.
21.(6分)計(jì)算:5-1)ft+|-l|-V244-V6+(-1)
22.(8分)如圖,在AABC中,AB=A。,以AC邊為直徑作。。交8C邊于點(diǎn)。,過點(diǎn)。作于點(diǎn)E,ED、
AC的延長線交于點(diǎn)尸.
求證:EF是。0的切線;若E8=二,且;加工鯨衿=二,求。O的半徑與線段
;;的長.
23.(8分)如圖,在QABCD中,過點(diǎn)A作AEJLBC于點(diǎn)E,AFJ_DC于點(diǎn)F,AE=AF.
(D求證:四邊形ABCD是菱形;
(2)若NEAF=60。,CF=2,求AF的長.
24.(10分)如圖1,已知扇形MON的半徑為夜,ZMON=90°,點(diǎn)B在弧MN上移動(dòng),聯(lián)結(jié)BM,作OD_LBM,
垂足為點(diǎn)D,C為線段OD上一點(diǎn),且OC=BM,聯(lián)結(jié)BC并延長交半徑OM于點(diǎn)A,設(shè)OA=x,NCOM的正切值為
(1)如圖2,當(dāng)ABJLOM時(shí),求證:AM=AC;
(2)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出定義域;
(3)當(dāng)AOAC為等腰三角形時(shí),求x的值.
25.(10分)如圖,已知拋物線,=公2+3奴-4。與工軸負(fù)半軸相交于點(diǎn)4,與y軸正半軸相交于點(diǎn)8,OB=OA,
直線,過A、B兩點(diǎn),點(diǎn)。為線段A5上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)。作軸于點(diǎn)C,交拋物線于點(diǎn)E.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)F,設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為X,四邊形FAEB的面積為S,請寫出S與x的函數(shù)關(guān)系式,
并判斷S是否存在最大值,如果存在,求出這個(gè)最大值;并寫出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.
(3)連接3E,是否存在點(diǎn)O,使得DBE和D4C相似?若存在,求出點(diǎn)。的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
26.(12分)為了獎(jiǎng)勵(lì)優(yōu)秀班集體,學(xué)校購買了若干副乒乓球拍和羽毛球拍,購買2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116
元,購買3幅乒乓球拍和2幅羽毛球拍共需204元.每副乒乓球拍和羽毛球拍的單價(jià)各是多少元?若學(xué)校購買5副乒乓球
拍和3副羽毛球拍,一共應(yīng)支出多少元?
27.(12分)⑴觀察猜想
如圖①點(diǎn)B、A、C在同一條直線上,DB±BC,ECJLBC且NDAE=90。,AD=AE,貝BC、BD>CE之間的數(shù)量關(guān)系
為;
(2)問題解決
如圖②,在RtAABC中,NABC=90。,CB=4,AB=2,以AC為直角邊向外作等腰RtADAC,連結(jié)BD,求BD的長;
(3)拓展延伸
如圖③,在四邊形ABCD中,ZABC=ZADC=90°,CB=4,AB=2,DC=DA,請直接寫出BD的長.
參考答案
一、選擇題(本大題共12個(gè)小題,每小題4分,共48分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)
1、B
【解析】
根據(jù)勾股定理和三角函數(shù)即可解答.
【詳解】
解:已知在RtAABC中NC=90。,NA、NB、NC的對邊分別為a、b、c,c=3a,
22
設(shè)a=x,則c=3x,b=^9X_x=2垃x.
即tanA=—7=~=.
2V2x4
故選B.
【點(diǎn)睛】
本題考查勾股定理和三角函數(shù),熟悉掌握是解題關(guān)鍵.
2、C
【解析】
試題分析:根據(jù)實(shí)數(shù)的大小比較法則,正數(shù)大于0,。大于負(fù)數(shù),兩個(gè)負(fù)數(shù)相比,絕對值大的反而小.因此,
在-3,0,1,指這四個(gè)數(shù)中,-3V0V"VL最大的數(shù)是1.故選C.
3、C
【解析】
解:A、a?a=a2,正確,不合題意;
B、2a+a=3a,正確,不合題意;
C、(a3)2=a6,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤,符合題意;
D、a34-a'=a4,正確,不合題意;
故選C.
【點(diǎn)睛】
本題考查幕的乘方與積的乘方;合并同類項(xiàng);同底數(shù)幕的乘法;負(fù)整數(shù)指數(shù)募.
4、A
【解析】
VADEF是AAEF翻折而成,
/.△DEF^AAEF,ZA=ZEDF,
VAABC是等腰直角三角形,
:.ZEDF=45°,由三角形外角性質(zhì)得NCDF+45o=NBED+45。,
,NBED=NCDF,
設(shè)CD=LCF=x,貝!|CA=CB=2,
DF=FA=2-x,
工在RtACDF中,由勾股定理得,CF2+CD2=DF2,即x?+l=(2-x)2,
3
解得x=-,
4
CF3
sinBED=sin2^CDF=-----=—.
DF5
故選:A.
5、B
【解析】
解:如圖,Z2=90°-45°=45°,由三角形的外角性質(zhì)得,Zl=Z2+60o=45°+60o=105°.故選B.
45Z\
X260°
點(diǎn)睛:本題考查了三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì),熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
6、C
【解析】
連接AO,由于AABC是等腰三角形,點(diǎn)。是5c邊的中點(diǎn),故AO_L5C,再根據(jù)三角形的面積公式求出40的長,
再根據(jù)EF是線段A6的垂直平分線可知,點(diǎn)8關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A,故AO的長為8M+MO的最小值,由
此即可得出結(jié)論.
【詳解】
如圖,連接40.
,..△A5C是等腰三角形,點(diǎn)。是BC邊的中點(diǎn),...AOL5C,...SAABQL5c?AO='x4xAO=12,解得:AO=6(cm').
22
YE尸是線段A3的垂直平分線,,點(diǎn)8關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A,...AO的長為8M+MO的最小值,.?.△BUM
的周長最短=(BM+MD)+BD=AD+-BC=6+-x4=6+2=8(.cm).
22
故選C.
【點(diǎn)睛】
本題考查的是軸對稱-最短路線問題,熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.
7、B
【解析】
解:根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值可得tan45u=l,
故選B.
【點(diǎn)睛】
本題考查特殊角的三角函數(shù)值.
8、B
【解析】
根據(jù)一個(gè)角是90度的平行四邊形是矩形進(jìn)行選擇即可.
【詳解】
解:A、是鄰邊相等,可判定平行四邊形ABCD是菱形;
B、是一內(nèi)角等于90。,可判斷平行四邊形ABCD成為矩形;
C、是對角線互相垂直,可判定平行四邊形ABCD是菱形;
D、是對角線平分對角,可判斷平行四邊形ABCD成為菱形;
故選:B.
【點(diǎn)睛】
本題主要應(yīng)用的知識點(diǎn)為:矩形的判定.①對角線相等且相互平分的四邊形為矩形.②一個(gè)角是90度的平行四邊形
是矩形.
9、C
【解析】
結(jié)合選項(xiàng)分別進(jìn)行塞的乘方和積的乘方、同底數(shù)幕的乘法、實(shí)數(shù)的運(yùn)算等運(yùn)算,然后選擇正確選項(xiàng).
【詳解】
解:A.a3.a2=a\原式計(jì)算錯(cuò)誤,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B.(a2)3=a6,原式計(jì)算錯(cuò)誤,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C.79=3,原式計(jì)算正確,故本選項(xiàng)正確;
D.2和6不是同類項(xiàng),不能合并,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選C.
【點(diǎn)睛】
本題考查了塞的乘方與積的乘方,實(shí)數(shù)的運(yùn)算,同底數(shù)幕的乘法,解題的關(guān)鍵是塞的運(yùn)算法則.
10、C
【解析】
由兩直線平行,同位角相等,可求得N3的度數(shù),然后求得N2的度數(shù).
【詳解】
VZ1=5O°,
.?.N3=N1=5O°,
二Z2=90°-50°=40°.
故選C.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查平行線的性質(zhì),熟悉掌握性質(zhì)是關(guān)鍵.
11、C
【解析】
①利用拋物線兩點(diǎn)式方程進(jìn)行判斷;
②根據(jù)根的判別式來確定a的取值范圍,然后根據(jù)對稱軸方程進(jìn)行計(jì)算;
③利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式進(jìn)行解答;
④利用兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行解答.
【詳解】
①y=axl+(1-a)x-l=(x-1)(ax+1).則該拋物線恒過點(diǎn)A(1,0).故①正確;
②?.?y=ax4(1-a)x-1(a>0)的圖象與x軸有1個(gè)交點(diǎn),
(1-a)'+8a=(a+1),>0,
a^-1.
...該拋物線的對稱軸為:x=『='L無法判定的正負(fù).
2a2a
故②不一定正確;
③根據(jù)拋物線與y軸交于(0,-1)可知,y的最小值不大于-L故③正確;
2
@VA(1,0),B(―,0),C(0,-1),
a
.,.當(dāng)AB=AC時(shí),J(l+:)2=,F+(_2)2,
解得:a=l±1,故④正確.
2
綜上所述,正確的結(jié)論有3個(gè).
故選C.
【點(diǎn)睛】
b
考查了二次函數(shù)與X軸的交點(diǎn)及其性質(zhì).(1).拋物線是軸對稱圖形.對稱軸為直線x=-3,對稱軸與拋物線唯一的
2a
交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P;特別地,當(dāng)b=0時(shí),拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0);(1).拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P,坐標(biāo)
b
為P(-b/la,(4ac-bl)/4a),當(dāng).一=0,(即b=0)時(shí),P在y軸上;當(dāng)A=bl-4ac=0時(shí),P在x軸上;(3).二次項(xiàng)系
2a
數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小;當(dāng)a>0時(shí),拋物線開口向上;當(dāng)a<0時(shí),拋物線開口向下;|a|越大,則拋物線的
開口越小.(4).一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置;當(dāng)a與b同號時(shí)(即ab>0),對稱軸在y軸左;
當(dāng)a與b異號時(shí)(即ab<0),對稱軸在y軸右;(5).常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn);拋物線與y軸交于(0,c);(6).
拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)
A=bL4ac>0時(shí),拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn);A=bl-4ac=0時(shí),拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn);
A=bL4ac<0時(shí),拋物線與x軸沒有交點(diǎn).X的取值是虛數(shù)(x=-b土4bl—4ac乘上虛數(shù)i,整個(gè)式子除以la);當(dāng)a>0
時(shí),函數(shù)在x=-b/la處取得最小值f(-b/la)=(4ac-bl)/4a;在{x[x<-b/la}上是減函數(shù),在{x[x>-b/la}上是增函數(shù);拋物
線的開口向上;函數(shù)的值域是{y|y%ac-bl/4a}相反不變;當(dāng)b=0時(shí),拋物線的對稱軸是y軸,這時(shí),函數(shù)是偶函數(shù),
解析式變形為y=axl+c(a#0).
12、C
【解析】
分析:將三個(gè)小區(qū)分別記為A、B、C,列舉出所有情況即可,看所求的情況占總情況的多少即可.
詳解:將三個(gè)小區(qū)分別記為A、B、C,
列表如下:
ABc
A(A,A)(B,A)(C,A)
B(A,B)(B,B)(C,B)
C(A,C)(B,C)(C,C)
由表可知,共有9種等可能結(jié)果,其中兩個(gè)組恰好抽到同一個(gè)小區(qū)的結(jié)果有3種,
所以兩個(gè)組恰好抽到同一個(gè)小區(qū)的概率為3;=15
故選:C.
點(diǎn)睛:此題主要考查了列表法求概率,列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果,適合于兩步完成的事件;樹
狀圖法適用于兩步或兩步以上完成的事件;解題時(shí)還要注意是放回實(shí)驗(yàn)還是不放回實(shí)驗(yàn).用到的知識點(diǎn)為:概率=所求
情況數(shù)與總情況數(shù)之比.
二、填空題:(本大題共6個(gè)小題,每小題4分,共24分.)
13、V2
【解析】
【分析】根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可求出答案.
【詳解】(6+夜卜山
=A/3+>/2—-^3
=V2,
故答案為夜.
【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的運(yùn)算,解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的運(yùn)算法則.
14、71
【解析】
分析:由題意NACB為直角,利用勾股定理求得外圍中一條邊,又由AC延伸一倍,從而求得風(fēng)車的一個(gè)輪子,進(jìn)一
步求得四個(gè).
詳解:依題意,設(shè)“數(shù)學(xué)風(fēng)車''中的四個(gè)直角三角形的斜邊長為x,AC=y,則
22
x2=4y+5,
VABCD的周長是30,
x+2y+5=30
貝!|x=13,y=l.
這個(gè)風(fēng)車的外圍周長是:4(x+y)=4x19=71.
故答案是:71.
點(diǎn)睛:本題考查了勾股定理在實(shí)際情況中的應(yīng)用,注意隱含的已知條件來解答此類題.
15、x(x-1)2,
【解析】
由題意得,x3-2x2+x=x(x-1)2
16、36°
【解析】
由正五邊形的性質(zhì)得出NB=108。,AB=CB,由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)果.
【詳解】
???五邊形ABCDE是正五邊形,
AZB=108°,AB=CB,
AZACB=(180°-108°)+2=36°;
故答案為36。.
17、45572
【解析】
根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可求出答案.
【詳解】
①原式=?7=4;②原式=卜5|=5;③原式=]為=5近,
故答案為:①4;②5;③5亞
【點(diǎn)睛】
本題考查二次根式的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的性質(zhì),本題屬于基礎(chǔ)題型.
18、1cm
【解析】
由折疊的性質(zhì),可知:BE=BC,DE=DC,通過等量代換,即可得到答案.
【詳解】
???沿過點(diǎn)B的直線折疊這個(gè)三角形,使點(diǎn)C落在A3邊上的點(diǎn)£處,折痕為6。,
.\BE=BC,DE=DC,
:.NXDE的周^:=AD+DE+AE=AD+DC+AE=AC+AE=AB+BC+AC-BC-BE=8+6+5-6-6=7cm,
故答案是:7cm
【點(diǎn)睛】
本題主要考查折疊的性質(zhì),根據(jù)三角形的周長定義,進(jìn)行等量代換是解題的關(guān)鍵.
三、解答題:(本大題共9個(gè)小題,共78分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
19、(1)落回到圈A的概率P產(chǎn),;(2)她與嘉嘉落回到圈A的可能性一樣.
4
【解析】
(1)由共有1種等可能的結(jié)果,落回到圈A的只有1種情況,直接利用概率公式求解即可求得答案;
(2)首先根據(jù)題意列出表格,然后由表格求得所有等可能的結(jié)果與最后落回到圈A的情況,再利用概率公式求解即
可求得答案;
【詳解】
(1)???共有1種等可能的結(jié)果,落回到圈A的只有1種情況,
...落回到圈A的概率Pi=I;
(2)列表得:
1231
1(1,1)(2,1)(3,1)(1,1)
2(1,2)(2,2)(3,2)(1,2)
3(1,3)(2,3)(3,3)(1,3)
1(1,1)(2,1)(3,1)(1,1)
?.?共有16種等可能的結(jié)果,最后落回到圈A的有(1,3),(2,2)(3,1),(1,1),
41
二最后落回到圈A的概率P=—=-,
2164
???她與嘉嘉落回到圈A的可能性一樣.
【點(diǎn)睛】
此題考查了列表法或樹狀圖法求概率.注意隨機(jī)擲兩次骰子,最后落回到圈A,需要兩次和是1的倍數(shù).
4S
20、(1)AC與。O相切,證明參見解析;(2)
5
【解析】
試題分析:(1)由于OCJLAD,那么/OAD+NAOC=90。,又NBED=NBAD,且NBED=NC,于是NOAD=NC,
從而有NC+NAOC=90。,再利用三角形內(nèi)角和定理,可求NOAC=90。,即AC是。O的切線;(2)連接BD,AB是
4
直徑,那么NADB=90。,在RtAAOC中,由于AC=8,NC=NBED,cosZBED=_,利用三角函數(shù)值,可求OA=6,
5
4
即AB=12,在RtAABD中,由于AB=12,NOAD=NBED,cosZBED=,同樣利用三角函數(shù)值,可求AD.
5
試題解析:(1)AC與。O相切.?弧BD是NBED與NBAD所對的弧,二NBAD=NBED,VOC±AD,
/.ZAOC+ZBAD=90o,AZBED+ZAOC=90°,即NC+NAOC=90。,/.ZOAC=90°,AABXAC,即AC與(DO相
切;(2)連接BD.TAB是(DO直徑,/.ZADB=90°,在RtAAOC中,ZCAO=90°,VAC=8,NADB=90。,
d4
cosZC=cosZBED=,/.AO=6,AB=12,在RtAABD中,?.,cosNOAD=cosNBED=,
55
448
AAD=AB?cosZOAD=12x'=.
55
考點(diǎn):1.切線的判定;2.解直角三角形.
21、2
【解析】
先根據(jù)0次幕的意義、絕對值的意義、二次根式的除法、負(fù)整數(shù)指數(shù)嘉的意義化簡,然后進(jìn)一步計(jì)算即可.
【詳解】
解:原式=2+2-6+2
=2-2+2
=2.
【點(diǎn)睛】
本題考查了0次事的意義、絕對值的意義、二次根式的除法、負(fù)整數(shù)指數(shù)嘉的意義,熟練掌握各知識點(diǎn)是解答本題的
關(guān)鍵.
22、(1)證明參見解析:(2)半徑長為二,AE=6.
4
【解析】
(1)已知點(diǎn)D在圓上,要連半徑證垂直,連結(jié)OO,則OC=QD,所以NOOC=NOC0,???AB=AC,
ODAE3
二ZB=ZACD.:.ZB=ZODC,:.0?!ˋB.由DE_LAB得出ODJ_M,于是得出結(jié)論;(2)由一=——=-
OFAF5
nn4/733
得到——=—==,設(shè)0D=3x,則OF=5x.AB=4C=2OD=6x,AE=3x+5x=8x,AE^6x--,由
OFAF52
R_3
5=3,解得x值,進(jìn)而求出圓的半徑及AE長.
8x5
【詳解】
解:(1)已知點(diǎn)D在圓上,要連半徑證垂直,如圖2所示,連結(jié)?!辏?VAB^AC,ZB=ZACD.':OC=OD,
AZODC=ZOCD.:.ZB=ZODC,AOD//AB.,:DEA.AB,;.OD_L跖.二所是。。的切線;(2)在
Rt\ODF和Rt^AEF中,==—,==—.設(shè)0D—3x,貝!I
OFAF5OFAF5
3
336x--5
OF=5x.AAB=AC^2OD=6x,AF^3x+5x^Sx.':EB=-,:.AE=6x一一3,解得x=一,
22-----2-=—4
8x5
則3x=",AE=6X'-3=6,.\。。的半徑長為",AE=6.
4424
【點(diǎn)睛】
1.圓的切線的判定;2.銳角三角函數(shù)的應(yīng)用.
23、⑴見解析;(2)
【解析】
(1)方法一:連接AC,利用角平分線判定定理,證明DA=DC即可;
方法二:只要證明△AEBg^AFD.可得AB=AD即可解決問題;
⑵在RtAACF,根據(jù)AF=CF,tanNACF計(jì)算即可.
【詳解】
(1)證法一:連接AC,如圖.
VAE±BC,AFXDC,AE=AF,
二NACF=NACE,
V四邊形ABCD是平行四邊形,
;.AD〃BC.
,NDAC=NACB.
.?.ZDAC=ZDCA,
.,.DA=DC,
二四邊形ABCD是菱形.
證法二:如圖,
■:四邊形ABCD是平行四邊形,
.*.ZB=ZD.
VAE±BC,AF±DC,
.,,ZAEB=ZAFD=90°,
又TAE=AF,
/.△AEB^AAFD.
.,.AB=AD,
???四邊形ABCD是菱形.
VAE±BC,AF±DC,NEAF=60。,
.*.ZECF=120°,
?.?四邊形ABCD是菱形,
.,.ZACF=60°,
在RtACFA中,AF=CF?tanZACF=273.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查三角形的性質(zhì)及三角函數(shù)的相關(guān)知識,充分利用已知條件靈活運(yùn)用各種方法求解可得到答案。
24、(1)證明見解析;(2)、="---7T.(0<x<V2);(3)x=—.
x+722
【解析】
分析:(D先判斷出NA8M=NOOM,進(jìn)而判斷出A。4cg△5AM,即可得出結(jié)論;
(2)先判斷出進(jìn)而得出也=",進(jìn)而得出AE='(0—x),再判斷出空=型=型即可得
BDAE2OEODOD
出結(jié)論;
(3)分三種情況利用勾股定理或判斷出不存在,即可得出結(jié)論.
詳解:(1)':ODA.BM,ABA.OM,AZODM=ZBAM=90°.
VZABM+ZM=ZDOM+ZM,:.NABM=NDOM.
VZOAC=ZBAM,OC=BM,/\OAC^ABAM,
:.AC=AM.
(2)如圖2,過點(diǎn)。作OE〃A8,交OM于點(diǎn)E.
VOB=OM9ODLBM,:.BD=DM.
DMME.廠■1/h、
?:DE"AB,???----=——,:.AE=EM.?:OM=6,:?AE=-Ql2一玲.
BDAE72
.OAPC2DM
?:DE"AB,
"OE~OD~OD'
DMOAx
---=----,*y—-----(0<x<V2)
OD20Ex+6
(3)(i)當(dāng)04=0C時(shí).VDM=^OC=^x.在RtAODM中,ODZOM?-DM
DMx
??v=----解得x=5-亞,或x=-取-&(舍).
?OD22
(H)當(dāng)AO=AC時(shí),貝!JNAOC=NACO.,:ZACO>ZCOB,ZCOB=ZAOC,:.ZACO>ZAOC,二此種情況不存
在.
(iii)當(dāng)CO=C4時(shí),貝ijNCO4=NC4O=a.':ZCAO>ZM,NM=90°-a,.,.a>90°-a,,a>45°,AZBOA=2a
>90°.VZBOA<90°,二此種情況不存在.
即:當(dāng)AQ4C為等腰三角形時(shí),X的值為巫二
2
點(diǎn)睛:本題是圓的綜合題,主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì),圓的有關(guān)性質(zhì),勾股定理,等腰三角形的性質(zhì),建
立y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是解答本題的關(guān)鍵.
25、(1)y=—f_3無+4;(2)S與x的函數(shù)關(guān)系式為S=-21?-8x+10(-4WxW0),S存在最大值,最大值為
18,此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-2,6).(3)存在點(diǎn)。,使得DBE和D4C相似,此時(shí)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(-2,2)或(-3,1).
【解析】
(1)利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)A、8的坐標(biāo),結(jié)合。4=08即可得出關(guān)于。的一元一次方程,解之
即可得出結(jié)論;
(2)由點(diǎn)A、3的坐標(biāo)可得出直線AB的解析式(待定系數(shù)法),由點(diǎn)。的橫坐標(biāo)可得出點(diǎn)E的坐標(biāo),進(jìn)而可得出
DE的長度,利用三角形的面積公式結(jié)合,S=S"BE+S-即可得出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)
即可解決最值問題;
(3)由NAZ)C=NBOE、ZACZ)=90,利用相似三角形的判定定理可得出:若要DBE和D4C相似,只需
NDEB=90或NDBE=90,設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(加,加+4),則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(機(jī),一機(jī)?-3m+4),進(jìn)而可得出OE、
80的長度.①當(dāng)ZDBE=90時(shí),利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得出。石=86。,進(jìn)而可得出關(guān)于機(jī)的一元二次
方程,解之取其非零值即可得出結(jié)論;②當(dāng)28瓦>=90時(shí),由點(diǎn)3的縱坐標(biāo)可得出點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為4,結(jié)合點(diǎn)E
的坐標(biāo)即可得出關(guān)于m的一元二次方程,解之取其非零值即可得出結(jié)論?綜上即可得出結(jié)論.
【詳解】
(1)當(dāng)y=0時(shí),Wax2+3ax—4a=0>
解得:%=-4,々=1,
二點(diǎn)A的坐標(biāo)為(T,0).
當(dāng)x=0時(shí),y=ax2+3ax-4a=-4a,
,點(diǎn)8的坐標(biāo)為(0,Ta).
OA=OB,
-Aa=4,解得:。=一1,
拋物線的解析式為y=-/一3x+4.
(2)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(T,0),點(diǎn)8的坐標(biāo)為(0,4),
直線AB的解析式為y=x+4.
點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為x,則點(diǎn)。的坐標(biāo)為(x,x+4),點(diǎn)E的坐標(biāo)為(蒼―龍2—3x+4),
£)£'=一%2-3%+4-(工+4)=-%2-4%(如圖1).
點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(T,o),點(diǎn)8的坐標(biāo)為(0,4),
;"=5,04=4,03=4,
11
2929
??.S=S1AM/vtJC+,S.f\tir=-2OA-D£+-2AFOB=-2X-8X+10=-2('X+2)/+18.
-2<0,
,當(dāng)x=-2時(shí),S取最大值,最大值為18,此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-2,6),
.?.5與*的函數(shù)關(guān)系式為5=-2^2-8工+10(-44%40),S存在最大值,最大值為18,此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(一2,6).
(3)ZADC=NBDE,ZACD=90,
設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(加,加+4),則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(〃?,一機(jī)2-3m+4),
DE=_T??―3m+4—(7〃+4)=—nV-4m,BD=-41m.
①當(dāng)NO3E=9()時(shí),OA=OB,
...NOAB=45,
ZBDE=ZADC=4
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