2023年廣東省茂名市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（5月份）

2023年廣東省茂名市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（5月份）

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.已知集合4={%€/7|--%一230},8={劃-1式刀<2},則408=()

A.{x|-1<%<2}B.{x|0<x<2}

C.{0,1}D.{-1,0,1,2）

2.i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=再，復(fù)數(shù)z的共朝復(fù)數(shù)為2,則3的虛部為（）

1—ZI

A.iB.—iC.—1D.1

3.已知單位向量落B滿足?為+旬=1,則a在B方向上的投影向量為（）

A.gbB.-3bC.aD.—^3

4.甲、乙兩人進(jìn)行象棋比賽，已知甲勝乙的概率為0.5,乙勝甲的概率為0.3,甲乙兩人平局

的概率為02若甲乙兩人比賽兩局，且兩局比賽的結(jié)果互不影響，則乙至少贏甲一局的概率為

()

A.0.36B.0.49C.0.51D.0.75

5.五星紅旗的五顆星是最美的星，每顆五角星是由一個(gè)正五邊形及五個(gè)全

等的等腰三角形組成，每個(gè)等腰三角形的底邊與正五邊形的邊重合，如圖,

已知等腰三角形的頂角為36。，頂角的余弦值為與1,則五角星中間的正五

4

邊形的一個(gè)內(nèi)角的余弦值為（）

A.手BWCWD.年

6.已知a=6一仇2一m3,b=e—ln3,c=e2—2,則()

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b

7.菱形ABC。的邊長為4,乙4=60。，E為/B的中點(diǎn)（如圖1）,將△ADE沿直線DE翻折至△

A'OE處（如圖2）,連接AB,4C,若4一E8CD的體積為4/?,點(diǎn)F為4。的中點(diǎn)，則尸到直線

的距離為（）

A.粵B.罕c.嚏

8.已知拋物線C：y2=i2x的焦點(diǎn)為F,動(dòng)點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)（PF與x軸不垂直），過點(diǎn)P作

PMlx軸于點(diǎn)M,作PNd.PF交x軸于點(diǎn)N,若麗.兩+|MF||MN|>m（nieR），則實(shí)數(shù)血

的最大值為（）

A.3B.6C.9D.12

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.一組樣本數(shù)據(jù)與，%2，…，的平均數(shù)和中位數(shù)均為5,若去掉其中一個(gè)數(shù)據(jù)5,則（）

A.平均數(shù)不變B.中位數(shù)不變C.極差不變D.方差不變

10.已知函數(shù)/'（X）=|cosx|+cos|x|,有下列四個(gè)結(jié)論，其中正確的結(jié)論為（）

A./Q）在區(qū)間陰陽上單調(diào)遞增B.兀是〃乃的一個(gè)周期

C./（x）的值域?yàn)椋?,2］D./（尤）的圖象關(guān)于y軸對稱

11.已知4B為圓。：/+y2=i上的兩點(diǎn)，P為直線I：x+y-2=0上一動(dòng)點(diǎn)，貝！］（）

A.直線［與圓。相離

B.當(dāng)4B為兩定點(diǎn)時(shí)，滿足的點(diǎn)P有2個(gè)

C.當(dāng)時(shí)，|腐+兩|的最大值是2小2+1

D.當(dāng)P4,PB為圓。的兩條切線時(shí)，直線AB過定點(diǎn)?；）

12.己知奇函數(shù)/（x）在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為尸（乃，且f（l-x）-/（I+x）+2x=0恒成立,

若“乃在［0,1］單調(diào)遞增，則下列說法正確的是（）

A./⑺在［1,2］單調(diào)遞減B./（2）=2

C./（2024）=2024D.1（2023）=1

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.己知0<x<$則刀（1-3乃的最大值是.

Ill1

14.將（1+%）九（71EN*）的展開式中/的系數(shù)記為%p則心+瓦+口+…+荷石=

15.與三角形的一條邊以及另外兩條邊的延長線都相切的圓被稱為三角形的旁切圓，旁切圓

的圓心被稱為三角形的旁心，每個(gè)三角形有三個(gè)旁心，如圖1所示.已知6，尸2是雙曲線

169

1的焦點(diǎn)，P是雙曲線右支上一點(diǎn)，Q是的一個(gè)旁心，如圖2所示，直線PQ與x軸交于

16.如圖，在直三棱柱ABC-AiBiQ中，AC1BC,AC=1,

44=2,48=3,點(diǎn)E,尸分別是44「48上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)GE+

EF+FBi的長度最小時(shí)，三棱錐當(dāng)-C】E尸外接球球面上的點(diǎn)

到平面EFC］的距離的最大值為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

△ABC的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c.己知a?sin(A+B)=c?cos?.

⑴求4;

(2)已知b=l,c=3,且邊BC上有一點(diǎn)。滿足S-BD=3SMDC，求》

18.(本小題12.0分)

n+1

已知等差數(shù)列｛冊｝的前n項(xiàng)和為Sn,且=1』=7；數(shù)列｛b｝滿足瓦+b2+-+bn=2-

2.

(1)求數(shù)列｛即｝和｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)記Cn=bn-tan(an7T),求q+c2+C3的值及數(shù)列｛c*｝的前3n項(xiàng)和.

19.(本小題12.0分)

如圖，在三棱柱48。一41當(dāng)。1中，底面AABC為等腰直角三角形，側(cè)面A41cle，底面48C,

。為4c中點(diǎn)，AB-BC=>J_2,AA1=y/-5-

(1)求證：BDlAiD；

(2)再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為己知，求二面角4-CG-B的余弦值.

條件①：&G1BjC；條件②：=BXC.

4￡

20.(本小題12.0分)

某省2021年開始將全面實(shí)施新高考方案,在6門選擇性考試科目中，物理、歷史這兩門科目采

用原始分計(jì)分；思想政治、地理、化學(xué)、生物這4門科目采用等級轉(zhuǎn)換賦分，將每科考生的原

始分從高到低劃分為4B,C,D,E共5個(gè)等級，各等級人數(shù)所占比例分別為15%、35%、35%、

13%和2%,并按給定的公式進(jìn)行轉(zhuǎn)換賦分.

該省組織了一次高一年級統(tǒng)一考試，并對思想政治、地理、化學(xué)、生物這4門科目的原始分進(jìn)

行了等級轉(zhuǎn)換賦分.

(1)某校生物學(xué)科獲得4等級的共有10名學(xué)生，其原始分及轉(zhuǎn)換分如表：

原始分9190898887858382

轉(zhuǎn)換分10099979594918886

人數(shù)11212111

現(xiàn)從這10名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)這3人中生物轉(zhuǎn)換分不低于95分的人數(shù)為X,求X的分布

列和數(shù)學(xué)期望；

(2)假設(shè)該省此次高一學(xué)生生物學(xué)科原始分丫服從正態(tài)分布N(75.8,36).若丫?NO，/),令斗=

與匕則[?N(0,l)，請解決下列問題：

①若以此次高一學(xué)生生物學(xué)科原始分C等級的最低分為實(shí)施分層教學(xué)的劃線分，試估計(jì)該劃

線分大約為多少分？(結(jié)果保留為整數(shù))

②現(xiàn)隨機(jī)抽取了該省800名高一學(xué)生的此次生物學(xué)科的原始分，若這些學(xué)生的原始分相互獨(dú)

立，記f為被抽到的原始分不低于71分的學(xué)生人數(shù)，求P(f=k)取得最大值時(shí)k的值.

附:若牛?N(0,l),則P(〃W0.8)*0.788,P(T]<1.04)?0.85.

21.(本小題12.0分)

已知平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)p(x,y),P到定點(diǎn)F(，飛,0)的距離與p到定直線2：x=號的距離之比為雷.

(1)記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線c,求c的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)已知點(diǎn)M是圓+y2=10上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作做曲線C的兩條切線，切點(diǎn)分別是4B,

求^M4B面積的最大值，并確定此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).

注：橢圓：W+\=l(a>b>°)上任意一點(diǎn)P3，y。)處的切線方程是：袈+等=L

22.(本小題12.0分)

若對任意的實(shí)數(shù)k，b,函數(shù)y-/(x)+kx+b與直線y=kx+b總相切，則稱函數(shù)/'(x)為''恒

切函數(shù)”.

(1)判斷函數(shù)/Xx)=爐是否為“恒切函數(shù)”；

(2)若函數(shù)/'(X)=；(e*-x-l)e*+m是"恒切函數(shù)"，求證：<mW0.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：?集合A={xeN\x2-x-2<0}=(xG/V|-l<%<2}={0,1,2},

={x|-1<%<2},

???An8={0,1}.

故選：c.

求出集合4利用交集定義能求出4nB.

本題考查集合的運(yùn)算，考查交集、并集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基

礎(chǔ)題.

2.【答案】C

…5hn后站2+i(2+0(l+2i)_51_.

“肝團(tuán)/呻：—X_■_(l-2i)(l+2i)一用=I'

二復(fù)數(shù)Z的共鈍復(fù)數(shù)為￡=-i,

則3的虛部是-1,

故選：C.

求出z,求出z的共輪復(fù)數(shù)即可求出答案.

本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查共拆復(fù)數(shù)，是基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：由已知|4+旬2=f+2五不+&2=],

因?yàn)橥?網(wǎng)=I,所以，,b=—

所以日在3方向上的投影向量為萼

1川網(wǎng)2

故選：B.

先將M+力=1兩邊平方得到向量的數(shù)量積，再根據(jù)五在3方向上的投影向量公式得出結(jié)果.

本題考查了平面向量的投影向量公式，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查概率的求法，考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識，是基礎(chǔ)題.

乙至少贏甲一局是指兩局比賽中乙兩局全勝或第一局乙勝第二局乙不勝，或第一局乙不勝第二局

中乙勝，由此能求出乙至少贏甲一局的概率.

【解答】

解：甲、乙兩人進(jìn)行象棋比賽，

甲勝乙的概率為0.5,乙勝甲的概率為0.3,甲乙兩人平局的概率為0.2.

甲乙兩人比賽兩局，且兩局比賽的結(jié)果互不影響，

由乙至少贏甲一局是指兩局比賽中乙兩局全勝或第一局乙勝第二局乙不勝，或第一局乙不勝第二

局中乙勝，

乙至少贏甲一局的概率為：p=0.3X0.3+0.3X0.7+0.7x0,3=0.51.

故選：C.

5.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意可得：等腰三角形的每個(gè)底角為國產(chǎn)=72。，

由題可知：(；0536。=空口，可得cos720=2cos236。-1=一匚，

又正五邊形的一個(gè)內(nèi)角和72?；檠a(bǔ)角，是108。，故cosl08。=—cos72。=上=，

4

故選：C.

等腰三角形的每個(gè)底角為隼至=72。，由COS36。：鴛匚，可求五角星中間的正五邊形的一個(gè)

內(nèi)角的余弦值.

本題考查三角恒等變換的應(yīng)用，屬中檔題.

6.【答案】D

【解析】解：要比較a=6-)2-仇3,b=e—ln3,c=ez—2的大小，需要化簡三個(gè)表達(dá)式為

x—仇式的形式，

222

因?yàn)閍=6—ln2—ln3=6—仇6,b=e—ln3<3—bi3,c=e-2=e-Inef

考慮構(gòu)造函數(shù)f(x)=x-lnxf則f'Qr)=1-:=

當(dāng)X>1時(shí)，f'(x)>0,函數(shù)/(%)在(1,+8)上單調(diào)遞增,

因?yàn)閑2>6>3,所以e?—Ine2>6—ln6>3—Zn3>e—ln3,

所以c>a>b.

故選：D.

構(gòu)造函數(shù)/(x)=利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化求解比較大小即可.

本題考查對數(shù)值的大小比較，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是中檔題.

7.【答案】4

【解析】解：若幾何體A-EBCO的體積為4「，3SDESC，九=4，耳，SDEBC=1(2+4)-2c=

6\/~3>

h=2,又4E=2,所以力'E1平面DEBC,乂DE1平面4BE,

則以E為原點(diǎn)，以EB,ED,E4分別為x,y,z軸建立坐標(biāo)系，

因?yàn)锽(0,2,0),C(-2/3,4,0).F(—G0,l)，

所以死=(-2】5,2,0)，=(-?,；,0)，

\DCI乙乙

五=麗=(C,2,-l)，|方|=33+4+1=2/7,a-c=-j+1=

所以d=J|五|2-0.?)2=J8一；=萼

故選：A.

由己知可得4E_1_平面￡^8。，以E為原點(diǎn),以EB,ED,E4'分別為x,y,z軸建立坐標(biāo)系，利用向

量法可求F到直線BC的距離.

本題考查運(yùn)算向量法求點(diǎn)到線的距離，考查運(yùn)算求解能力，屬中檔題.

8.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意可得：拋物線C：y2=12x,

所以2P=12,p=6,所以焦點(diǎn)F(3,0),準(zhǔn)線l方程為x=-3,

在RtAPMF中，\MF\=|PF|COSNPFM,MN

則而?而=|而|“而|COSNPFM=|MF『.

又RtAPMFsRt^NMP,則鼠=盟，則|MF|?|MN|=|PM『.

利用勾股定理得到而.前+\MF\'\MN\=\PF\2

所以標(biāo)?PF+\MF\■\MN\=|MF|2+|PM|2=\PF\2.

過點(diǎn)P作準(zhǔn)線1的垂直，垂足點(diǎn)為Q,如圖，

以為|P用=|PQ],所以可知|PQ|>3,

所以而?時(shí)+|MF|?|MN|>9,由加?即+|MF|?|MN|>m(meR)得m<9,

故實(shí)數(shù)ni的最大值為9,

故選：C.

利用拋物線的定義數(shù)形結(jié)合求解.

本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

9.【答案】AC

【解析】解：假設(shè)/<x2<-??<如，則原來的中位數(shù)為分=5,去掉右后，由于去掉的正好是平

均數(shù)，且是中間的數(shù)，

則平均數(shù)和極差(極差是極大值與極小值的差)不變，故A,C正確；

去掉數(shù)據(jù)5后，中位數(shù)為亂棄，這個(gè)值不一定為5,所以B不正確，

2

對于D,原來的方差為s2=2[(/一5)+(尤2—5)2+…+(見-5產(chǎn)+…+(xxl-5)2],

去掉%6后，新的方差/=噌[(%1—5)2+(%2—5/+…+(X5—5)2+(與—5)2...+(XJJ-5)2].

因?yàn)槿サ舻臄?shù)據(jù)恰好等于平均值，有

2

01-5)2+(x2-5)2+…+(%6-5)2+…+(xn-5)=(%!-5)2+(x2-5)2+…+(x5-

5)2+(Xy—5)2...+(X11—5)2,

所以剩下的數(shù)據(jù)的方差增大，

故選：AC.

根據(jù)平均數(shù).中位數(shù).極差.方差概念求解即可

緊扣平均數(shù).中位數(shù).極差.方差定義和公式，屬于簡單題型

10.【答案】CD

2cosx,xe[―^+2kn,+2kn],kEZ

【解析】解:??,/(%)=|cosx|+cos|x|=

0,xG(2+2kTC,■-F2/CTT),kEZ

???/(x)在區(qū)間尊陽上為常函數(shù)，4選項(xiàng)錯(cuò)誤；

.??/(x)的周期為2兀，二B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

???/(x)的值域?yàn)閇0,2],選項(xiàng)正確；

又易知f(-x)=f(x),二f(x)為偶函數(shù),

f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，。選項(xiàng)正確.

故選：CD.

先去掉絕對值，將/。)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，從而可分別求解.

本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)，三角函數(shù)的性質(zhì)，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

11.【答案】AD

【解析】解：對于4圓的圓心到直線的距離為：亮=/克＞1,所以直線(與圓0相離，所以A

正確；

對于B,當(dāng)4B為兩定點(diǎn)時(shí)，如果兩個(gè)定點(diǎn)是圓的直徑上的兩點(diǎn)，4B與直線垂直時(shí)，不可能有滿

足44PB=3的點(diǎn)P,所以B不正確；

對于C,當(dāng)|AB|=C時(shí)，此時(shí)圓的圓心到直線的距離為：只要4B與直線x+y-2=0不平行，

過4B的直線與直線x+y-2=0相交，此時(shí)|成+而|的值沒有最大值，所以C不正確；

對于D,因?yàn)辄c(diǎn)P為直線x+y-2=0上，所以設(shè)P(t,2-t),

圓。：*2+.2=1的圓心為c(o,o),

所以P。中點(diǎn)坐標(biāo)為弓,羊)，且儼。|=Jt2+(2—t)2,

所以以PO為直徑的圓Q方程為(％_另2+(”等)2='+(濘,

即％2+y2-t%-(2-t)y=0,

圓Q與圓。的公共弦直線方程為比+(2-t)y-1=0,

即t(x—y)+2y—1=0,

令《71一=°0,解得x=y=宗

即直線以+(2-t)y-1=0過定點(diǎn)弓弓)，￡＞正確.

故選：AD.

利用圓的圓心到直線的距離，判斷4利用特殊點(diǎn)，判斷B；利用特殊位置判斷C的正誤：求解相

交弦所在的直線方程，利用直線系轉(zhuǎn)化求解即可判斷D.

本題考查直線與圓位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

12.【答案】BCD

【解析】解：4若/(%)=%,則滿足條件，而/(x)=x在［1,2］上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；

fiC.v/(l-x)-/(l+x)+2x=0,函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，

以x+1代替上式中的X,可得/'(-x)-/(x+2)+2(x+1)=0,

又/'(T)=

■-f(x)+/(%+2)=2(x+1),

令x=0可得f(O)+f(2)=2,(*)

對于f(l-x)-f(l+x)+2x=0,

令x=1可得f(0)—f(2)=-2,

與(*)聯(lián)立解得/(0)=0,f(2)=2,

同理可得/(4)=4,

以此類推，/(2024)=2024.

因此BC正確.

。.對f(l-x)-/(I+x)+2x=0兩邊求導(dǎo)可得：

一/''(1-x)-/'(I+無)+2=0,

令％-o,可得r(i)-1,

:函數(shù)/(X)為奇函數(shù)，

函數(shù)/(X)為偶函數(shù)，

.-.f(x-l)+/,(l+x)=2,

以x+1代替上式中的x,可得尸(x)+f'(x+2)=2,

令x=l,可得=(1)+廣(3)=2,

解得/'(3)=1,

以此類推，［(2023)=1.

因此。正確.

故選：BCD.

若f(x)=x,則滿足條件，而f(x)=%在［1,2］上單調(diào)遞增；對函數(shù)進(jìn)行賦值，利用奇偶性找出函

數(shù)“X)滿足“X)+/(2+x)-2(x+l)=0,再利用導(dǎo)函數(shù)改變函數(shù)奇偶性得到尸(x)+f(x+

2)-2=0,從而進(jìn)行判斷即可得出結(jié)論.

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用、轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)

算能力，屬于難題.

13.【答案】今

【解析】解：令/'(x)=x(l-3x)=-3x2+x=-3(x-1)2+

其圖象為開口朝下，且以尤=J為對稱軸的拋物線

O

又0<x<1.

.,.當(dāng)x=2時(shí)，/(x)=x(l-3x)取最大值看

故答案為：今

構(gòu)造函數(shù)/(x)=x(l-3x),根據(jù)二次函數(shù)的解析式與單調(diào)性的關(guān)系，我們易判斷出函數(shù)f(x)=

x(l-3x)的性質(zhì)，進(jìn)而得到當(dāng)0<x<"時(shí)，〃%)的最大值，從而得到答案.

本題考查的知識點(diǎn)是二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，其中根據(jù)函數(shù)的解析式，分析出二次函數(shù)的圖

象與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

14.【答案】瑞

r

【解析】解：(l+x)n(n>l,neN*)的展開式的通項(xiàng)為：Tr+1=C^x,

令r=2,可得Q九=鬣=1)，

ill12222

則石+石+石+…+石￡=應(yīng)+熱+向+…+

2022x2003

2(1-；+泊+?什”+壺一壺)=2(1-盛)=瑞

故答案為：瑞

由題意，利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求出an,再用裂項(xiàng)法求出所給式子和.

本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，用裂項(xiàng)法求和，屬于中檔題.

15.【答案好

【解析】解:雙曲線會(huì)上1中a?=16,爐=9,所以a=4,

b=3,則c="。2+爐=5,

\MQ\_\MF2\_\MF\\_IMF1HMF2I_2c

由角平分線性質(zhì)知:兩=兩T=西'=IPF1HPP2I=五

e

2愣5

而

b5故

C1-=-

e=-+-=-4

a24

5

4-

根據(jù)旁心為兩外角和一個(gè)內(nèi)角的角平分線交點(diǎn)，利用角平分線性質(zhì)得到偶股1=g1由由

\PF\~,冉由

2|PF1|

合比性質(zhì)、雙曲線定義求結(jié)果即可.

本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

16.【答案】史衛(wèi)

【解析】解：把平面441cle沿4必展開到與平面48當(dāng)公共面的

A&Ci'C'的位置，

延長到BJ,使得=連結(jié)Bi'F,如圖1所示，

則8iF=B/F,要使得C1E+EF+FB1的長度最小，則需CJ,E,

當(dāng),四點(diǎn)共線，

此時(shí)C1E+EF+FB]=C；E+EF+FBj=C/Bj,

因?yàn)镚'Bi'=4,BB/=4,NB/BIG'=90。,

所以NBJ=乙BjCi'B[=45°,

所以BF=BB；=2,ArE=&C/=1,

「故AE=AF=1,Z.AFE=乙BFB[=45°,

所以4B/E=90。，EF=B/=2C，EBr=V_10,所以△B/E是直角三角形,

所以△EFB1的外接圓是以Ea的中點(diǎn)。為圓心，等=早為半徑的圓

所以三棱錐Bi-GEF外接球的球心O'到平面EFCi的距離等于當(dāng)?shù)狡矫?Ci的距離八的一半，

由等體積法可得九=2,所以三棱錐當(dāng)-GEF外接球球面上的點(diǎn)到平面EFQ的距離的最大值為

3,\4T02+\<T0

1+—=~T-

故答案為：二衛(wèi).

把平面TMiGC沿展開到與平面ABBMi共面的4Alei'C'的位置，確定當(dāng)C/,E,F,四點(diǎn)共

線時(shí)，GE+EF+FBi的長度最小，求出此時(shí)的線段的長度，AEFBi的外接圓是以EB］的中點(diǎn)。為

圓心，等=子為半徑的圓，三棱錐Bi-QE尸外接球的球心O'到平面EFC］的距離等于當(dāng)?shù)狡矫?/p>

EFCi的距離九的一半，利用等體積法求得無即可.

本題考查空間幾何體的性質(zhì)，求距離的最小值問題，考查空間想象能力，運(yùn)算求解能力，屬中檔

題,

17.【答案】解：⑴因?yàn)閠zsinC=ccosp

由正弦定理得sinAsinC=sinCcos^,

因?yàn)閟inC>0,

所以si幾4=cos?，

所以2siWcos齊cos今

因?yàn)?<4<*

所以cos"0,sin

所明=%

LO

所以4=宗

(2)解法一：設(shè)△"￡>的AB邊上的高為砥，△4DC的2C邊上的高為九2,

因?yàn)镾MBD=3s—DC，c=3,b=1,

所以gc?hi=3x,b?九2，

所以九1=九2,AD是△ABC角力的內(nèi)角平分線，所以々BAD=30。,

因?yàn)镾/U8O=3sMDC，可知SM80=4^^ABCf

1Q1

所以《ABxADxsin300=[xXACXsin600,

242

所以AD=浮.

4

解法二：設(shè)NB4D=a,aE(()W),

則4LMC=>%

因?yàn)镾080=3s△人0「c=3tb=1,

所以gcxADxsina=3xxADxsin(^—a),

所以s譏Q=sin?-a),

所以sina=?cosa—|sina,即tana=?,4BAD=

30°,

因?yàn)镾"BD=3s—DC，可知SfBD=彳SfBC，

1Q1

所以xADxsm30°=：x:ABxACxsm60°,

242

所以=注1

解法三：ViAD=x,/.BDA=a,貝IJNADC=兀-a,

在△ABC中，由c=3,b=1及余弦定理得a=「

因?yàn)镾AABD=3SAADC，可知8。=3DC=—>

在44BD中，AB2=BD2+AD2-2BD-AD-cosa,

即9=77+AD2—警N-AD-cosa，

16L

在^ADC中，1=[+AD2—-AD?cos(7T—Q)，

162

即1=j+AD2+，-AD?cosa，

16L

所以

4

【解析】(1)由已知結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，誘導(dǎo)公式，和差角公式進(jìn)行化簡可求，

(2)法一：由SAABD=3SA.DC，c=3,b=1,結(jié)合三角形的面積公式可轉(zhuǎn)化為高的關(guān)系，進(jìn)而可

求，

法二：設(shè)NBAO=a(0<a<9,則功4C4-a,然后結(jié)合三角形面積關(guān)系可得sina=sin?-

a),結(jié)合和差角公式展開可求tana=?，再由"ABO=結(jié)合三角形面積公式可求，

法三：設(shè)4。=%,Z.BDA=a,則乙4OC=TT-Q,在△力BC中，由余弦定理求a,然后由=

3sA4DC，可知B。=3DC=彳，再由余弦定理可求

本題綜合考查了和差角公式，正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式在求解三角形中的應(yīng)用，

考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

2

18.【答案】解：(1)設(shè)等差數(shù)列5｝的公差為d,則優(yōu)—4fs)7，

解得的=d=g,

所以an=g+(九—1)Xg

n+1

因?yàn)橥?壇++bn-2—2>

所以當(dāng)n=1時(shí)，瓦=2；

71

當(dāng)n22時(shí)，瓦+歷+…+bn-2"+i—2.(J),瓦+尻+…+bn-1=2—2,(2)1

n+1M

所以①-②得，bn=(2-2)-(2-2)=2",

顯然瓦=2符合勾=2n,

綜上可知心=2n.

n

(2)vcn=bn-tan(an7T),①由(1)知7=2-tany,c1+c2+c3=-2y/~3,

設(shè)%=C3n-2+c3n-l+c3n'

則%=23n-2Xyf3+2311Tx(-V3)+o=-y/~3X23n-2,

所以｛dn｝是以8為公比，-2/谷為首項(xiàng)的等比數(shù)列，

所以數(shù)列｛7｝的前3n項(xiàng)和為73n=-2坐-8")=2GL8").

1—87

【解析】本題根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出｛a,｝的通項(xiàng)公式，再利用遞推公式求出｛%｝的通項(xiàng)公式：

再設(shè)％=C3n_2+C3ri-i+C3n,所以｛%｝是以8為公比，-2，豆為首項(xiàng)的等比數(shù)列,求Q+C2+C3

的值及數(shù)列｛呢｝的前3n項(xiàng)和.

本題考查數(shù)列的遞推公式和數(shù)列求和，屬于中檔題.

19.【答案】證明：（1）因?yàn)?B=BC,。為4c中點(diǎn)，

所以8。VAC,

又因?yàn)槊鍶?面ABC,面n面4BC=AC,BDu面4BC,

所以BC1平面441GC,

又占Du平面4&GC,所以BDJ.41D；

解：（2）選①，取&C]的中點(diǎn)E,連接當(dāng)E,CE,

則4E//DC且&E=DC,

所以四邊形4DCE為平行四邊形，所以&D〃CE,

因?yàn)?Bi=BiG，E為41cl的中點(diǎn)，

所以4G1B]E,

又4iG_LB]C,B[CCB/=B],B[C,B】Eu平面CB】E,

所以4G平面C&E,

又4c〃&G，所以ACJ■平面CB1E,

又CEu平面CBiE,所以力CICE,

因?yàn)?O//CE,所以4C_L4i。，

如圖，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，

由力B=BC=n,AAl=V_5,得AC=2,AID=2,

則。(0,0,0),5(0,1,0),C(-l,0,0),Ci(-2,0,2),則艱=(1,1,0),鬲=(—1,0,2),

因?yàn)锽D_L平面/MiGC,

所以麗=(0,1,0)即為平面441GC的一條法向量,

設(shè)平面BCG的法向量為元=(x,y,z),

n-CB=x+y=0

則有可取元=(2,—2,1),

.n-CC1=—x+2z=0

則COS(ji,而〉=布而_-22

|n||DB|-1x33,

由圖可知，二面角4一CG-B為銳二面角,

所以二面角A-CC]-8的余弦值為半

選②，取41cl的中點(diǎn)E,連接&E,CE,DE,

則4E//DC且&E=DC,

所以四邊形4DCE為平行四邊形，所以4D〃CE且4山=CE,

因?yàn)镃iE〃DC且CiE=DC,

所以四邊形&OCE為平行四邊形，所以8D〃B]E且8。=BrE,

又因?yàn)樗訡E1B1E,

又力&=BiC=\TS.BD=BiE=1，

所以CE=2,則&D=CE=2,

在△力O4中，因?yàn)?=4]42,

所以AD_La。，

如圖，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，

下同選①的答案.

【解析】(1)根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得BD1平面A&CiC,再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；

(2)選①，取&G的中點(diǎn)E,連接BiE,CE,證明4c_L&D,再以點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)

系，利用向量法求解即可；

選②，取&G的中點(diǎn)E,連接B1E,CE,DE,利用勾股定理證明力。1&C,再以點(diǎn)。為原點(diǎn)，建

立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.

本題考查了線線垂直的證明和二面角的計(jì)算，屬于中檔題.

20.【答案】解：（1）由題知：隨機(jī)變量X的所有可能的取值為0,1,2,3.

根據(jù)條件得昭=0）=警=蒜=強(qiáng);

505

P(X=

1)=%一120=12;

c|c|505

rD(fAV—一一=

2)-%一120=12;

33)=熱—.

則隨機(jī)變量X的分布列為

X0123

1551

p

12121212

數(shù)學(xué)期望E(X)=0x-^+lx^4-2x-^+3x-^=^.

(2)①設(shè)該劃線分為zn,

由Y?N(75.8,36)得〃=75.8,<r=6,

令匕=三絲

1o6

則V=6〃+75.8.

依題意P。>m)?0.85,

即P(6〃+75.8>m)=P(j]>空譽(yù))。0.85,

因?yàn)楫?dāng)7??N(0,1)時(shí)，P(r]<1.04)x0.85,

所以PS>-1.04)*0.85,

所以”一I。生

6

故mx69.56.

?,?取?n=69.

②由①討論及參考數(shù)據(jù)得P(Y>71)=P(6r)+75.8>71)=P(r)>-0.8)=P(rj<0.8)?0.788,

即每個(gè)學(xué)生生物統(tǒng)考成績不低于71分的事件概率約為0.788,

故f?B(800,0.788),=k)=C%0.788k(l-0.788)80°-fc.

|P(f=k)>P(f=k-1),

出lP(f=k)>P(f=k+1),

伴0。.788氣1-0.788)8。。-">面-0-788嚴(yán)一”，

l1fc+17fc

KoO.788/1-O.788)8oof>C^ooO.788(l-0.788)"-,

解得630.188<k<631.188,

又keN,所以k=631,

故當(dāng)k=631時(shí)，P(f=k)取得最大值.

【解析】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，正態(tài)分布的概念、性質(zhì)與應(yīng)用，屬于中

檔題.

(1)結(jié)合題設(shè)條件先得到隨機(jī)變量X的所有可能的取值，然后結(jié)合概率計(jì)算公式求得隨機(jī)變量X的

可能取值對應(yīng)的概率，最后列出分布列，結(jié)合期望計(jì)算公式代入計(jì)算即可；

(2)①設(shè)該劃線分為由丫?N(75.8,36)得〃=75.8,=6,由〃=一=上譽(yù),則丫=6〃+75.8,

轉(zhuǎn)化求解小即可.

②由①討論及參考數(shù)據(jù)得P(Y>71)=P(6T;+75.8>71)=P(7)>-0.8)=P(rj<0.8)?0.788,

k80fc

得到f?8(800,0.788),P(f=k)=C^)oO.788(l-0.788)0-.

由朦=2!*求出k的范圍，即可推出結(jié)果.

=k)>=k+1),

21.【答案】解：(1)設(shè)d是點(diǎn)P到直線%=等的距離，

根據(jù)題意，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡就是集合P={M|等=年}.

由此得J(7?)2+y2;號,

厚r|2

化簡得<+4=1.

oZ

(2)設(shè)4。1％),8(如丫2)，時(shí)值加,則加+羽=10,

切線M4方程：平+#=1,切線MB方程：等+孚=1,兩直線都經(jīng)過點(diǎn)M,

oZoZ

所以，得竿+華=1,等+第=1

所以直線ZB的方程是：萼x+與y=l,

oL

f比

+

i-XZO2y-

d8

nrl

+21

lX2-y萬=

8

由韋達(dá)定理，得X1+%2=肅簿，X/2=*就%+10，

I,16xo、，_464-32%_2E（3羽+2）

-

\AB\=J1+（一卷）2.%一X2IJ（3%+10）3y2+103y2+10-，

點(diǎn)M到直線4B的距離d=用、。+矍％一"=瀉一"=單皙型=1；。-%+4%一8|=3?+2,

J（第2+（當(dāng)產(chǎn)1.+16%J琢+16*J1。-%+16%辿2+3-

3

所以SAMA"捫8|〃=音磊1其中,代處

4yQ■U

令t=J3光+2,則

所以S^/VMB=片;，

令/（t）=嘉，則吃“4+2牝2）

“2+8）20,

所以/'（t）在tG44^］上遞增,

所以t=4，1,即%=1。時(shí)，AMAB的面積取到最大值差此時(shí)點(diǎn)M（0