揭陽(yáng)市重點(diǎn)中學(xué)2023年高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析

揭陽(yáng)市重點(diǎn)中學(xué)2023年高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.）1．關(guān)于函數(shù)的敘述中，正確的有（）①的最小正周期為；②在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；③是偶函數(shù)；④的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.A.①③ B.①④C.②③ D.②④2．下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的一組是（）A. B.C. D.3．已知，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.4．已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，則cos(α－β)的值等于A.－ B.C.－ D.5．下列函數(shù)在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)的是（）A. B.C. D.6．集合，，則（）A. B.C. D.7．酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為.為了保障交通安全，根據(jù)國(guó)家有關(guān)規(guī)定：血液中酒精含量達(dá)到的駕駛員即為酒后駕車(chē)，及以上認(rèn)定為醉酒駕車(chē).假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量會(huì)以每小時(shí)30%的速度減少，那么他至少要經(jīng)過(guò)（）小時(shí)才能駕駛.（參考數(shù)據(jù)：，）A.1 B.3C.5 D.78．設(shè)奇函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，且f（1）＝0，則不等式＜0的解集為（）A.(－1，0)∪(1，＋∞) B.(－∞，－1)∪(0，1)C.(－∞，－1)∪(1，＋∞) D.(－1，0)∪(0，1)9．已知冪函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為A. B.C. D.10．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且，則的最小值為（）A. B.C. D.二、填空題（本大題共5小題，請(qǐng)把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11．定義在上的偶函數(shù)滿足，且在上是減函數(shù)，若、是鈍角三角形的兩個(gè)銳角，對(duì)（1），為奇數(shù)；（2）；（3）；（4）；（5）.則以上結(jié)論中正確的有______________.(填入所有正確結(jié)論的序號(hào)).12．某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過(guò)濾后排放，過(guò)濾過(guò)程中廢氣的污染物含量P（單位：mg/L）與時(shí)間t(單位：h)間的關(guān)系為，其中，是正的常數(shù).如果在前5h消除了10%的污染物，那么10h后還剩百分之幾的污染物________.13．設(shè)集合，，則______14．已知函數(shù)，，若對(duì)任意，總存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________.15．已知，若，則__________.三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.）16．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.（1）求實(shí)數(shù)m，n的值；（2）用定義證明在上是增函數(shù)；（3）解關(guān)于t的不等式.17．甲、乙兩家商場(chǎng)對(duì)同一種商品開(kāi)展促銷(xiāo)活動(dòng)，對(duì)購(gòu)買(mǎi)該商品的顧客兩家商場(chǎng)的獎(jiǎng)勵(lì)方案如下：甲商場(chǎng)：顧客轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示圓盤(pán)，當(dāng)指針指向陰影部分(圖中四個(gè)陰影部分均為扇形，且每個(gè)扇形圓心角均為，邊界忽略不計(jì))即為中獎(jiǎng).乙商場(chǎng)：從裝有3個(gè)白球3個(gè)紅球的盒子中一次性摸出2個(gè)球(球除顏色外不加區(qū)分)，如果摸到的是2個(gè)紅球，即為中獎(jiǎng).問(wèn)：購(gòu)買(mǎi)該商品的顧客在哪家商場(chǎng)中獎(jiǎng)的可能性大？18．已知函數(shù).（1）求在閉區(qū)間的最大值和最小值；（2）設(shè)函數(shù)對(duì)任意，有，且當(dāng)時(shí)，.求在區(qū)間上的解析式.19．已知能表示成一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)的和.（1）請(qǐng)分別求出與的解析式；（2）記，請(qǐng)判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，并分別說(shuō)明理由.（3）若存在，使得不等式能成立，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)的取值范圍.20．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.（1）求a，b的值；（2）用定義證明在上是增函數(shù)；（3）解不等式：.21．我國(guó)是世界上人口最多的國(guó)家，1982年十二大，計(jì)劃生育被確定為基本國(guó)策.實(shí)行計(jì)劃生育，嚴(yán)格控制人口增長(zhǎng)，堅(jiān)持少生優(yōu)生，這是直接關(guān)系到人民生活水平的進(jìn)一步提高，也是造福子孫后代的百年大計(jì).（1）據(jù)統(tǒng)計(jì)1995年底，我國(guó)人口總數(shù)約12億，如果人口的自然年增長(zhǎng)率控制在1%，到2020年底我國(guó)人口總數(shù)大約為多少億（精確到億）；（2）當(dāng)前，我國(guó)人口發(fā)展已經(jīng)出現(xiàn)轉(zhuǎn)折性變化，2015年10月26日至10月29日召開(kāi)的黨的十八屆五中全會(huì)決定，堅(jiān)持計(jì)劃生育的基本國(guó)策，完善人口發(fā)展戰(zhàn)略，全面實(shí)施一對(duì)夫婦可生育兩個(gè)孩子政策，積極開(kāi)展應(yīng)對(duì)人口老齡化行動(dòng).這是繼2013年，十八屆三中全會(huì)決定啟動(dòng)實(shí)施“單獨(dú)二孩”政策之后的又一次人口政策調(diào)整.據(jù)統(tǒng)計(jì)2015年中國(guó)人口實(shí)際數(shù)量大約14億，若實(shí)行全面兩孩政策后，預(yù)計(jì)人口年增長(zhǎng)率實(shí)際可達(dá)1%，那么需經(jīng)過(guò)多少年我國(guó)人口可達(dá)16億.（參考數(shù)字：，，，）

參考答案一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.）1、C【解析】應(yīng)用差角余弦公式、二倍角正余弦公式及輔助角公式可得，再根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合各項(xiàng)描述判斷正誤即可.【詳解】，∴最小正周期，①錯(cuò)誤；令，則在上遞增，顯然當(dāng)時(shí)，②正確；，易知為偶函數(shù)，③正確；令，則，，易知的圖象關(guān)于對(duì)稱，④錯(cuò)誤；故選：C2、A【解析】判斷兩函數(shù)定義域與函數(shù)關(guān)系式是否一致即可；【詳解】解：．和的定義域都是，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，是同一函數(shù)；的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)?，，定義域不同，不是同一函數(shù)；的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，定義域不同，不是同一函數(shù)；的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)榛?，定義域不同，不是同一函數(shù)故選：3、B【解析】首先求出、，即可判斷，再利用作差法判斷，即可得到，再判斷，即可得解；【詳解】解：由，所以，可知，又由，有，又由，有，可得，即，故有.故選：B4、D【解析】∵α∈，∴2α∈(0，π)．∵cosα＝，∴cos2α＝2cos2α－1＝－，∴sin2α＝，而α，β∈，∴α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝，∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝＝.5、D【解析】利用常見(jiàn)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，，是偶函數(shù)，不滿足題意對(duì)于B，是奇函數(shù)，但不是減函數(shù)，不滿足題意對(duì)于C，，是奇函數(shù)，因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，是減函數(shù)，所以是增函數(shù)，不滿足題意對(duì)于D，是奇函數(shù)且是減函數(shù)，滿足題意故選：D6、B【解析】解不等式可求得集合，由交集定義可得結(jié)果.【詳解】，，.故選：B.7、C【解析】設(shè)經(jīng)過(guò)個(gè)小時(shí)才能駕駛，則，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及對(duì)數(shù)的運(yùn)算計(jì)算可得.詳解】設(shè)經(jīng)過(guò)個(gè)小時(shí)才能駕駛，則，即由于在定義域上單調(diào)遞減，∴∴他至少經(jīng)過(guò)5小時(shí)才能駕駛.故選：C8、C【解析】利用函數(shù)奇偶性，等價(jià)轉(zhuǎn)化目標(biāo)不等式，再結(jié)合已知條件以及函數(shù)單調(diào)性，即可求得不等式解集.【詳解】∵f(x)為奇函數(shù)，故可得，則＜0等價(jià)于.∵f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)且f（1）＝0，∴當(dāng)x＞1時(shí)，f(x)＜0.∵奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴在(－∞，0)上f(x)為減函數(shù)且f(－1)＝0，即x＜－1時(shí)，f(x)＞0.綜上使＜0的解集為(－∞，－1)∪(1，＋∞)故選：.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性解不等式，屬綜合基礎(chǔ)題.9、D【解析】將點(diǎn)代入函數(shù)解析式，求出參數(shù)值，令函數(shù)值等于3，可求出自變量的值.詳解】依題意有2＝4a，得a＝，所以，當(dāng)時(shí)，m＝9.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)解析式以及由函數(shù)值求自變量，一般由函數(shù)值求自變量的值時(shí)要注意自變量取值范圍以及題干的要求，避免多解.10、D【解析】由輔助角公式可得，由函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，可得，可?。畯亩傻茫纱私Y(jié)合，可得一個(gè)最大值一個(gè)最小值，從而可得結(jié)果.【詳解】，，函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，，即，，故可取故，，即可得：，故可令，，，，即，，其中，，，故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查輔助角公式的應(yīng)用、三角函數(shù)的最值、三角函數(shù)的對(duì)稱性，轉(zhuǎn)化與劃歸思想的應(yīng)用，屬于難題.由函數(shù)可求得函數(shù)的周期為；由可得對(duì)稱軸方程；由可得對(duì)稱中心橫坐標(biāo).二、填空題（本大題共5小題，請(qǐng)把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11、（1）（4）（5）【解析】令，結(jié)合偶函數(shù)得到，根據(jù)題意推出函數(shù)的周期為，可得（1）正確；根據(jù)函數(shù)在上是減函數(shù)，結(jié)合周期性可得在上是增函數(shù)，利用、是鈍角三角形的兩個(gè)銳角，結(jié)合正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性可得，，再利用函數(shù)的單調(diào)性可得（4）（5）正確，當(dāng)時(shí)，可得（2）（3）不正確.【詳解】∵，令，得，又是偶函數(shù)，則，∴，且，可得函數(shù)是周期為2的函數(shù).故，為奇數(shù).故（1）正確；∵、是鈍角三角形的兩個(gè)銳角，∴，可得，∵在區(qū)間上是增函數(shù)，，∴，即鈍角三角形的兩個(gè)銳角、滿足，由在區(qū)間上是減函數(shù)得，∵函數(shù)是周期為2的函數(shù)且在上是減函數(shù)，∴在上也是減函數(shù)，又函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，可得在上是增函數(shù).∵鈍角三角形的兩個(gè)銳角、滿足，，且，，∴，.故（4）（5）正確；當(dāng)時(shí)，，，，，故（2）（3）不正確.故答案為：（1）（4）（5）【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性求解是解題關(guān)鍵.12、81%【解析】根據(jù)題意，利用函數(shù)解析式，直接求解.【詳解】由題意可知,，所以.所以10小時(shí)后污染物含量，即10小時(shí)后還剩81%的污染物.故答案為:81%13、【解析】聯(lián)立方程組，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到答案【詳解】解方程組，得或.故答案為：14、【解析】由題分析若對(duì)任意,總存在,使得成立,則的最大值小于等于的最大值,進(jìn)而求解即可【詳解】由題,因?yàn)?對(duì)于函數(shù),則當(dāng)時(shí),是單調(diào)遞增的一次函數(shù),則；當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,則,所以的最大值為4；對(duì)于函數(shù),,因?yàn)?所以,所以；所以,即,故,故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題,考查分段函數(shù)的最值,考查正弦型函數(shù)的最值,考查轉(zhuǎn)化思想15、【解析】由已知先求得，再求得，代入可得所需求的函數(shù)值.【詳解】由已知得，即，所以，而，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)求值中的給值求值問(wèn)題，關(guān)鍵在于由已知的函數(shù)值求得其數(shù)量關(guān)系，代入所需求的函數(shù)解析式中，可得其值，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.）16、（1），；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.【解析】（1）根據(jù)和列式計(jì)算即可；（2）根據(jù)單調(diào)性的定義，設(shè)，計(jì)算，判斷其符號(hào)即可；（3）利用函數(shù)奇偶性得，再根據(jù)單調(diào)性去掉，可得不等式，解不等式即可.【小問(wèn)1詳解】為奇函數(shù)，恒成立，即，，，即即，；【小問(wèn)2詳解】由（1）得，設(shè)則即在上是增函數(shù)；【小問(wèn)3詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)由得又在上是增函數(shù)，，解得.即不等式解集為17、乙商場(chǎng)中獎(jiǎng)的可能性大.【解析】分別計(jì)算兩種方案中獎(jiǎng)的概率．先記出事件，得到試驗(yàn)發(fā)生包含的所有事件，和符合條件的事件，由等可能事件的概率公式得到試題解析：如果顧客去甲商場(chǎng)，試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閳A盤(pán)的面積，陰影部分的面積為，則在甲商場(chǎng)中獎(jiǎng)的概率為；如果顧客去乙商場(chǎng)，記3個(gè)白球?yàn)椋?，?個(gè)紅球?yàn)?，，，?，)為一次摸球的結(jié)果，則一切可能的結(jié)果有：，，，，，，，，，，，，，，，共15種，摸到的是2個(gè)紅球有，，，共3種，則在乙商場(chǎng)中獎(jiǎng)的概率為，又，則購(gòu)買(mǎi)該商品的顧客在乙商場(chǎng)中獎(jiǎng)的可能性大.18、（1）最大值為，最小值為；（2）.【解析】（1）利用兩角和的正弦公式，二倍角公式以及輔助角公式將化簡(jiǎn)，再由三角函數(shù)的性質(zhì)求得最值；（2）利用時(shí)，，對(duì)分類求出函數(shù)的解析式即可.【詳解】（1），因?yàn)椋?，則，，所以的最大值為；的最小值為；（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，；，綜上：在區(qū)間上的解析式為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，三角函數(shù)的周期性及其求法.熟練掌握兩角和的正弦公式，二倍角公式以及輔助角公式是解決本題的關(guān)鍵.19、（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）.【解析】（1）由函數(shù)方程組可求與的解析式.（2）利用奇函數(shù)的定義和函數(shù)單調(diào)性定義可證明為奇函數(shù)且為上的增函數(shù).（3）根據(jù)（2）中的結(jié)果可以得到在上有解，參變分離后利用換元法可求的取值范圍.【詳解】（1）由已知可得，則，由為奇函數(shù)和為偶函數(shù)，上式可化為，聯(lián)合，解得.（2）由（1）得定義域，①由，可知為上的奇函數(shù).②由，設(shè)，則，因?yàn)?，故，，故即，故在上單調(diào)遞增（3）由為上的奇函數(shù)，則等價(jià)于，又由在上單調(diào)遞增，則上式等價(jià)于，即，記，令，可得，易得當(dāng)時(shí)，即時(shí)，由題意知，，故所求實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性以及函數(shù)不等式有解，前者根據(jù)定義進(jìn)行判斷，后者利用單調(diào)性和奇偶性可轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)不等式有解，本題綜合性較高.20、（1），；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.【解析】(1)根據(jù)奇函數(shù)定義及給定函數(shù)值列式計(jì)算作答.(2)用函數(shù)單調(diào)性定義證明單調(diào)性的方法和步驟直接證明即可.(3)利用(1)，(2)的結(jié)論脫去法則“f”，解不等式作答.【小問(wèn)1詳解】因數(shù)是定義在