新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)專題8.2空間幾何體的表面積和體積（講）解析版

專題8.2空間幾何體的表面積和體積新課程考試要求1.理解三視圖和直觀圖間的關(guān)系，掌握三視圖所表示的空間幾何體.2.會(huì)計(jì)算柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積.核心素養(yǎng)本節(jié)涉及的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象等.考向預(yù)測(cè)（1）以結(jié)合三視圖、幾何體的結(jié)構(gòu)特征考查幾何體的面積體積計(jì)算為主，題型基本穩(wěn)定為選擇題或填空題，難度中等以下；也有幾何體的面積或體積在解答題中與平行關(guān)系、垂直關(guān)系等相結(jié)合考查的情況.（2）與立體幾何相關(guān)的“數(shù)學(xué)文化”等相結(jié)合，考查數(shù)學(xué)應(yīng)用.（3）幾何體的表面積與體積與三視圖結(jié)合是主要命題形式.有時(shí)作為解答題的一個(gè)構(gòu)成部分考查幾何體的表面積與體積，有時(shí)結(jié)合面積、體積的計(jì)算考查等積變換等轉(zhuǎn)化思想．【知識(shí)清單】知識(shí)點(diǎn)1．幾何體的表面積圓柱的側(cè)面積圓柱的表面積圓錐的側(cè)面積圓錐的表面積圓臺(tái)的側(cè)面積圓臺(tái)的表面積球體的表面積柱體、錐體、臺(tái)體的側(cè)面積，就是各個(gè)側(cè)面面積之和；表面積是各個(gè)面的面積之和，即側(cè)面積與底面積之和.把柱體、錐體、臺(tái)體的面展開(kāi)成一個(gè)平面圖形，稱為它的展開(kāi)圖，圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖分別是矩形、扇形、扇環(huán)形它的表面積就是展開(kāi)圖的面積.知識(shí)點(diǎn)2．幾何體的體積圓柱的體積圓錐的體積圓臺(tái)的體積球體的體積正方體的體積正方體的體積【考點(diǎn)分類剖析】考點(diǎn)一：幾何體的面積【典例1】（2021·全國(guó)高考真題）北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國(guó)航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為SKIPIF1<0（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）．將地球看作是一個(gè)球心為O，半徑r為SKIPIF1<0的球，其上點(diǎn)A的緯度是指SKIPIF1<0與赤道平面所成角的度數(shù)．地球表面上能直接觀測(cè)到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為SKIPIF1<0，記衛(wèi)星信號(hào)覆蓋地球表面的表面積為SKIPIF1<0（單位：SKIPIF1<0），則S占地球表面積的百分比約為（）A．26% B．34% C．42% D．50%【答案】C【解析】由題意結(jié)合所給的表面積公式和球的表面積公式整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.【詳解】由題意可得，S占地球表面積的百分比約為：SKIPIF1<0.故選：C.【典例2】（2021·全國(guó)高考真題（文））已知一個(gè)圓錐的底面半徑為6，其體積為SKIPIF1<0則該圓錐的側(cè)面積為_(kāi)_______.【答案】SKIPIF1<0【解析】利用體積公式求出圓錐的高，進(jìn)一步求出母線長(zhǎng)，最終利用側(cè)面積公式求出答案.【詳解】∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【規(guī)律方法】幾類空間幾何體表面積的求法(1)多面體：其表面積是各個(gè)面的面積之和．(2)旋轉(zhuǎn)體：其表面積等于側(cè)面面積與底面面積的和．(3)簡(jiǎn)單組合體：應(yīng)搞清各構(gòu)成部分，并注意重合部分的刪、補(bǔ)．(4)若以三視圖形式給出，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三視圖，想象出原幾何體及幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．【變式探究】1．（2020·全國(guó)高考真題（理））已知為球的球面上的三個(gè)點(diǎn)，⊙為的外接圓，若⊙的面積為，，則球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)圓半徑為，球的半徑為，依題意，得，為等邊三角形，由正弦定理可得，，根據(jù)球的截面性質(zhì)平面，，球的表面積.故選：A

2．（2020·北京高考真題）某三棱柱的底面為正三角形，其三視圖如圖所示，該三棱柱的表面積為（）．

A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可得，三棱柱的上下底面為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，側(cè)面為三個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，則其表面積為：.故選：D.【總結(jié)提升】計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積時(shí)，一般采用轉(zhuǎn)化的方法來(lái)進(jìn)行，即將側(cè)面展開(kāi)化為平面圖形，“化曲為直”來(lái)解決，因此要熟悉常見(jiàn)旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開(kāi)圖的形狀及平面圖形面積的求法.考點(diǎn)二：幾何體的體積【典例3】（2021·天津高考真題）兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為SKIPIF1<0，兩個(gè)圓錐的高之比為SKIPIF1<0，則這兩個(gè)圓錐的體積之和為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】作出圖形，計(jì)算球體的半徑，可計(jì)算得出兩圓錐的高，利用三角形相似計(jì)算出圓錐的底面圓半徑，再利用錐體體積公式可求得結(jié)果.【詳解】如下圖所示，設(shè)兩個(gè)圓錐的底面圓圓心為點(diǎn)SKIPIF1<0，設(shè)圓錐SKIPIF1<0和圓錐SKIPIF1<0的高之比為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，設(shè)球的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此，這兩個(gè)圓錐的體積之和為SKIPIF1<0.故選：B.【典例4】（2018·全國(guó)高考真題（文））在長(zhǎng)方體中，，與平面所成的角為，則該長(zhǎng)方體的體積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】在長(zhǎng)方體中，連接，根據(jù)線面角的定義可知，因?yàn)?，所以，從而求得，所以該長(zhǎng)方體的體積為，故選C.【總結(jié)提升】（1）已知幾何體的三視圖求其體積，一般是先根據(jù)三視圖判斷空間幾何體的形狀，再根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)與幾何體的表體積公式求其體積.(2)若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等積法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解．（3）規(guī)則幾何體：若所給定的幾何體是柱體、錐體或臺(tái)體等規(guī)則幾何體，則可直接利用公式進(jìn)行求解．其中，求三棱錐的體積常用等體積轉(zhuǎn)換法（4）不規(guī)則幾何體：若所給定的幾何體是不規(guī)則幾何體，則將不規(guī)則的幾何體通過(guò)分割或補(bǔ)形轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體，再利用公式求解.（5）三視圖形式：若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解提醒：處理高線問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常利用的方法就是“等積法”．【變式探究】1．（2018·全國(guó)高考真題（文））已知圓錐的頂點(diǎn)為，母線，互相垂直，與圓錐底面所成角為，若的面積為，則該圓錐的體積為_(kāi)_________．【答案】8π【解析】分析：作出示意圖，根據(jù)條件分別求出圓錐的母線，高，底面圓半徑的長(zhǎng)，代入公式計(jì)算即可.詳解：如下圖所示，又，解得，所以，所以該圓錐的體積為.2．（2019·山西高三月考）已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為的球面上，，則該三棱錐體積的最大值是__．【答案】【解析】如圖所示，設(shè)，則，外接圓的半徑為則三棱錐的高為，三棱錐的體積公式為，設(shè)，則，，令，解得，在單增，單減，，所以三棱錐體積最大值為【方法總結(jié)】求體積的兩種方法：①割補(bǔ)法：求一些不規(guī)則幾何體的體積時(shí)，常用割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾何體進(jìn)行解決.②等積法：等積法包括等面積法和等體積法.等體積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過(guò)已知條件可以得到，利用等積法可以用來(lái)求解幾何圖形的高或幾何體的高，特別是在求三角形的高和三棱錐的高時(shí)，這一方法回避了通過(guò)具體作圖得到三角形(或三棱錐)的高，而通過(guò)直接計(jì)算得到高的數(shù)值.考點(diǎn)三：幾何體的展開(kāi)、折疊、切、截問(wèn)題【典例5】（2019·天津高考真題（理））已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均為.若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過(guò)四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為_(kāi)_________.【答案】.【解析】由題意四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均為，借助勾股定理，可知四棱錐的高為，.若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過(guò)四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，圓柱的底面半徑為，一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，故圓柱的高為，故圓柱的體積為.【規(guī)律方法】幾個(gè)與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論(1)正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為R，①若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R＝eq\r(3)a；②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R＝a；③若球與正方體的各棱相切，則2R＝eq\r(2)a.(2)若長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1.【典例6】（2019·四川高三月考（理））學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用打印技術(shù)制作模型．如圖，該模型為在圓錐底部挖去一個(gè)正方體后的剩余部分（正方體四個(gè)頂點(diǎn)在圓錐母線上，四個(gè)頂點(diǎn)在圓錐底面上），圓錐底面直徑為，高為.打印所用部料密度為．不考慮打印損耗．制作該模型所需原料的質(zhì)量為_(kāi)_______.（?。敬鸢浮俊窘馕觥吭O(shè)被挖去的正方體的棱長(zhǎng)為，圓錐底面半徑為，取過(guò)正方體上下底面面對(duì)角線的軸截面，由相似三角形得則，解得．模型的體積為，因此，制作該模型所需材料質(zhì)量約為．故答案為：.【典例7】（2021·上海高二期末）已知正三棱柱SKIPIF1<0的側(cè)棱長(zhǎng)為4，底面邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0，且它的六個(gè)頂點(diǎn)均在球SKIPIF1<0的球面上，則球SKIPIF1<0的體積為_(kāi)_________.【答案】SKIPIF1<0【解析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，由正弦定理求出SKIPIF1<0的外接圓半徑，再根據(jù)勾股定理，求出球的半徑，根據(jù)球的體積公式即可求解.【詳解】解：如圖所示，設(shè)SKIPIF1<0中心為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)知：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0外接圓半徑，根據(jù)正弦定理得：SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，故球SKIPIF1<0的體積為：SKIPIF1<0.故答案為:SKIPIF1<0.【總結(jié)提升】1.與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接．球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常是作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過(guò)多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點(diǎn)”、“接點(diǎn)”作出截面圖，把空間問(wèn)題化歸為平面問(wèn)題．2．若球面上四點(diǎn)P，A，B，C中PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可構(gòu)造長(zhǎng)方體或正方體確定直徑解決外接問(wèn)題．【典例8】（2021·浙江高二期末）某四棱錐三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是______，其內(nèi)切球半徑為_(kāi)____.【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0；【解析】根據(jù)三視圖畫(huà)出原幾何體，如圖所示，是從正方體中截得的四棱錐SKIPIF1<0，從而可求出其體積，然后利用等體積法可求出內(nèi)切球的半徑【詳解】解：由三視圖可知，原幾何體是如圖所示的四棱錐SKIPIF1<0，所以該幾何體的體積為SKIPIF1<0，設(shè)該幾何體的內(nèi)切球的半徑為SKIPIF1<0，則由圖可知SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【總結(jié)提升】看個(gè)性考向(一)是幾何體的外接球一個(gè)多面體的頂點(diǎn)都在球面上即為球的外接問(wèn)題，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住外接球的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑.考向(二)是幾何體的內(nèi)切球求解多面體的內(nèi)切球問(wèn)題，一般是將多面體分割為以內(nèi)切球球心為頂點(diǎn)，多面體的各側(cè)面為底面的棱錐，利用多面體的體積等于各分割棱錐的體積之和求內(nèi)切球的半徑.找共性解決與球有關(guān)的切、接問(wèn)題，其通法是作截面，將空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題求解，其解題的思維流程是：【變式探究】1.（2020·佛山市第四中學(xué)高二月考）《九章算術(shù).商功》中有這樣段話：“斜解立方，得兩壍堵(qiandu).斜解壍堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉臑(bienao).”這里所謂的“鱉臑”，就是在對(duì)長(zhǎng)方體進(jìn)行分割時(shí)所產(chǎn)生的四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐.已知三棱錐SKIPIF1<0是一個(gè)“鱉臑”，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】將三棱錐SKIPIF1<0補(bǔ)為長(zhǎng)方體可求得結(jié)果.【詳解】如圖所示，將三棱錐SKIPIF1<0補(bǔ)為一個(gè)長(zhǎng)寬高分別為SKIPIF1<0的長(zhǎng)方體，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球即長(zhǎng)方體的外接球.設(shè)外接球的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積SKIPIF1<0.故選：B.2．【多選題】（2021·江蘇高一期末）已知正四面體SKIPIF1<0的棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0，則（）．A．SKIPIF1<0 B．四面體SKIPIF1<0的表面積為SKIPIF1<0C．四面體SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0 D．四面體SKIPIF1<0的外接球半徑為SKIPIF1<0【答案】ABD【解析】取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0由已知條件可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0可判斷A；求出正四面體SKIPIF1<0表面積可判斷B；由A選項(xiàng)得知，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，可得四面體SKIPIF1<0的體積可判斷C；將正四面體SKIPIF1<0補(bǔ)成正方體，正方體的對(duì)角線即為外接球的直徑，正四面體的棱長(zhǎng)即為正方體面對(duì)角線長(zhǎng)，計(jì)算出正方體對(duì)角線長(zhǎng)可求出外接球的半徑可判斷D.【詳解】對(duì)于A，取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0是正四面體，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故正確；正四面體SKIPIF1<0的一個(gè)側(cè)面的面積為SKIPIF1<0，所以表面積為SKIPIF1<0，故B正確；由A選項(xiàng)得知，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0是正四面體，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，四面體SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，故C錯(cuò)誤；將正四面體SKIPIF1<0補(bǔ)成正方體，則正四面體和長(zhǎng)方體有相同的外接球，正方體的對(duì)角線即為外接球的直徑，正四面體的棱長(zhǎng)即為正方體面對(duì)角線長(zhǎng)，因?yàn)檎拿骟wSKIPIF1<0的棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0，所以正方體的棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0，對(duì)角線長(zhǎng)為SKIPIF1<0，所以外接球的半徑為SKIPIF1<0，故D正確.故選：ABD.3．（2018·天津高考真題（文））如圖，已知正方體ABCD–A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，則四棱錐A1–BB1D1D的體積為_(kāi)_________．【答案】【解析】如圖所示，連結(jié)，交于點(diǎn)，很明顯平面，則是四棱錐的高，且，，結(jié)合四棱錐體積公式可得其體積為，故答案為.【典例9】（2020-2021學(xué)年江蘇省連云港市）已知正方形SKIPIF1<0的邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0沿對(duì)角線SKIPIF1<0折起，使平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，得到三棱錐SKIPIF1<0．若O為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），且SKIPIF1<0，則當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為_(kāi)_______時(shí)，三棱錐SKIPIF1<0的體積取得最大值，且最大值是________．【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0【解析】首先證明SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0即為三棱錐的高，設(shè)SKIPIF1<0SKIPIF1<0，將三棱錐的體積表示為關(guān)于SKIPIF1<0的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)樗倪呅蜸KIPIF1<0是正方形，所以SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是等腰直角三角形，因?yàn)镺為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)槠矫鍿KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以三棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，三棱錐SKIPIF1<0的體積最大為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.【規(guī)律方法】有關(guān)折疊問(wèn)題，一定要分清折疊前后兩圖形(折前的平面圖形和折疊后的空間圖形)各元素間的位置和數(shù)量關(guān)系，哪些變，哪些不變．研究幾何體表面上兩點(diǎn)的最短距離問(wèn)題，常選擇恰當(dāng)?shù)哪妇€或棱展開(kāi)，轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的最短距離問(wèn)題．【變式探究】（2017課標(biāo)1，理16）如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D、E、F為圓O上的點(diǎn)，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開(kāi)后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱錐.當(dāng)△ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí)，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為_(kāi)______.【答案】【解析】【典例10】（2020·浙江溫州中學(xué)高三3月月考）單位正方體內(nèi)部或邊界上不共面的四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的四面體體積的最大值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF