解三角最值問題-考點測試 高三數(shù)學綜合復習卷

試卷第=page33頁，總=sectionpages44頁試卷第=page44頁，總=sectionpages44頁高中數(shù)學-解三角形最值問題-（解答題）學校班級姓名學號1．已知，中，角，，所對的邊為，，.（1）求的單調遞增區(qū)間；（2）若，，求周長的最大值2．已知在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求角C的大?。唬?）若，求面積的最大值.3．的內角的對邊分別為，已知函數(shù)一條對稱軸為，且．（1）求的值；（2）若，求的面積最大值．4．設的內角所對邊的長分別為，且.（1）求角；（2）設為的中點，且，求面積的最大值.5．已知的內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，A為銳角，在以下三個條件中任選一個：①(b﹣3c)cosA＋acosB＝0；②sin2＋cos2A＝；③；并解答以下問題：（1）若選_______（填序號），求cosA的值；（2）在（1）的條件下，若a＝2，求面積S的最大值．6．在中，角，，的對邊分別為，，，且，.（1）求的外接圓半徑；（2）求面積的最大值.7．在中，角，，所對的邊分別為，，，且滿足．（1）求角；（2）若，求面積的最大值．8．在中的內角分別為，向量，向量且.（1）求銳角的大小.（2）如果，求的面積的最大值.9．已知的內角所對的邊分別為，若，，且.（1）求角；（2）若為銳角三角形，，求面積的取值范圍.10．在銳角三角形ABC中，分別為角A，B，C的對邊，且.(1)求角C；(2)若，求的周長的取值范圍.11．設的內角的對邊分別為，已知且，.（1）求角；（2）若，求周長的取值范圍.12．已知的內角，，的對邊分別為，，，且.（1）求角；（2）若是銳角三角形，求的取值范圍.13．在中，角所過的邊分別為，且，．（1）求面積的最大值；（2）若為銳角三角形，求周長的取值范圍．14．設函數(shù).（1）求的最小正周期和值域；（2）在銳角中，設角，，的對邊長分別為，，．若，，求周長的取值范圍．15．在中，角，，的對邊分別為，，，為的面積，滿足.（1）求角的大??；（2）若，求的取值范圍.16．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，為△的面積，且.（1）求；（2）設，求的最大值，并指出此時的值.17．在中，角、、所對的邊分別為、、，已知.（1）求的值；（2）若，求的取值范圍.18．設的內角所對的邊分別是，且是與的等差中項．（1）求角；（2）設，求周長的最大值．19．在中，的內角、、的對邊分別為、、，為銳角三角形，且滿足條件．（1）求的大??；（2）若，求周長的取值范圍．20．已知在中，.（1）求角的大??；（2）若與的內角平分線交于點，的外接圓半徑為4，求周長的最大值.21．已知中，內角、、所對的邊分別為、、，且滿足.（1）求角的大?。唬?）若邊長，求的周長最大值.22．在中，，，分別為的內角，，所對的邊，且.（1）求角的大小；（2）若的面積等于，求的最小值.23．已知的內角所對的邊分別為（1）求；（2）已知，求三角形周長的取值范圍.24．在銳角中，角，，所對的邊分別為，，，且.（1）求角；（2）求的取值范圍.本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細校對后使用，答案僅供參考。答案第=page1313頁，總=sectionpages2626頁本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細校對后使用，答案僅供參考。答案第=page1414頁，總=sectionpages2626頁參考答案1．（1），；（2）.【分析】（1）首先利用降冪公式和輔助角公式化簡函數(shù)，再求函數(shù)的單調遞增區(qū)間；（2）先求角，再根據(jù)余弦定理和基本不等式求周長的最大值.【詳解】（1），∴在上單調遞增，∴，（2），得，即，，則，而，由余弦定理知：，有，所以當且僅當時等號成立，∵周長，∴周長最大值為【點睛】思路點睛：已知一邊及一邊所對角求解三角形面積或周長的最大值時，可利用余弦定理構造方程，再利用基本不等式求所需的兩邊和或乘積的最值，代入三角形周長或面積公式，求得結果.2．（1）；（2）.【分析】(1)由正弦定理對已知式子進行邊角互化后得，結合余弦定理即可求出角C的大小.(2)由（1）可知，從而可求出，結合三角形的面積公式即可求出面積的最大值.【詳解】（1），，，.又，.（2）據(jù)（1）求解知，.又，.又，當且僅當時等號成立，，，此時.【點睛】方法點睛：在解三角形時，若已知的式子中既有邊又有角的正弦值，此時?？紤]用正弦定理將角的正弦值用邊來代替。若已知式子中含有邊的平方，此時常采用余弦定理進行化簡.3．（1）；（2）.【分析】（1）利用對稱軸可求得，得到解析式，利用可求得結果；（2）利用余弦定理和基本不等式可求得最大值，代入三角形面積公式可求得結果.【詳解】（1）是的對稱軸，，解得：，又，，，，，，，解得：.（2）由余弦定理得：（當且僅當時取等號），（當且僅當時取等號），，即面積的最大值為.【點睛】方法點睛：已知一邊及一邊所對角求解三角形面積最大值的問題，可利用余弦定理構造方程，利用基本不等式即可求得所需的兩邊之積的最大值，代入三角形面積公式即可求得結果.4．（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)正弦定理，由題中條件，得到，整理得到，進而可求出角；（2）根據(jù)題中條件，由余弦定理，得到，結合基本不等式，求出的最大值，即可得出面積的最值.【詳解】（1）由，根據(jù)正弦定理可得，所以，則，整理得，即，因為角為三角形內角，所以，，則，因此，，所以，則；（2）因為為的中點，且，由余弦定理可得，，即，所以，當且僅當，即時，等號成立；所以面積的最大值.【點睛】方法點睛：求解三角形中有關邊長、角、面積的最值（范圍）問題時，常利用正弦定理、余弦定理與三角形面積公式，建立，，之間的等量關系與不等關系，然后利用函數(shù)或基本不等式求解.5．（1）答案見解析；（2）.【分析】（1）若選①，利用正弦定理的邊角互化以及兩角和的正弦公式可得，從而可得；若選②，利用二倍角的余弦公式即可求解；若選③，利用正弦定理的邊角互化即可求解.（2）由（1）利用余弦定理可得，再利用基本不等式可得，根據(jù)三角形的面積公式即可求解.【詳解】（1）若選①，因為，由正弦定理有：,即，所以，在中，，所以.若選②,，，中，,，，,，或（舍）,.若選③，因為，由正弦定理有：，因為在中，，所以，又，A為銳角，解得.（2）由（1）可知，，由，A為銳角，得，由余弦定理可知，，，當且僅當時等號成立.面積：.所以面積的最大值為.6．（1）；（2）.【分析】（1）先利用正弦定理化角為邊，結合余弦定理求出角C，再利用正弦定理即得外接圓半徑；（2）先利用余弦定理和基本不等式求得的最大值，再利用面積公式即得到面積的最大值.【詳解】（1）由正弦定理得，即，故由余弦定理得，∵，∴，；（2），由，，得，由，得，即，∴，當且僅當時取等號.∴面積的最大值為.7．（1）；（2）．【分析】（1）由正弦定理化邊為角，然后利用誘導公式變形化簡可求得角；（2）由余弦定理及基本不等式求得的最大值，可得面積最大值．【詳解】解：（1）因為，所以，由正弦定理得，所以，即，又，所以，所以，即．由，得．（2）由（1）及余弦定理得，當且僅當時，等號成立．又，則，所以的面積．因此面積的最大值為．【點睛】關鍵點點睛：本題考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形面積．解三角形中利用正弦定理進行邊角轉換，然后利用三角恒等變換公式化簡是常用方法．8．（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)題中條件，得到，化簡整理，結合題中條件，即可得出結果；（2）由（1），分別討論，兩種情況，結合余弦定理，以及基本不等式，即可求出三角形面積的最值.【詳解】（1）∵向量，向量且，∴，∴，即，∴.又為銳角，∴，∴，則；（2）當，時，由余弦定理得：，又，所以，即，當且僅當時，等號成立；則，當且僅當時，等號成立；當，時，由余弦定理得：，即當且僅當時，等號成立；∴(當且僅當時等號成立)，綜上，的最大值為.【點睛】方法點睛：求解三角形中有關邊長、角、面積的最值（范圍）問題時，常利用正弦定理、余弦定理與三角形面積公式，建立，，之間的等量關系與不等關系，然后利用函數(shù)或基本不等式求解.9．（1）；（2）.【分析】（1）利用，再利用正弦定理作邊化角，可得，進而利用正弦函數(shù)的兩角和與差公式即可求解（2）利用面積公式、正弦定理和三角形內角和進行求解即可【詳解】（1）因為，所以，所以，由正弦定理得，即，又，所以所以，因為，所以，所以.（2）因為，由正弦定理得，因為為銳角三角形，，所以角和均為銳角，，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以面積的取值范圍是.【點睛】關鍵點睛：（1）解題的關鍵是，利用正弦定理作邊化角，正弦函數(shù)的兩角和與差公式，得到；（2）利用正弦定理得出，然后利用三角形內角和，得出的范圍，進而求解；難度屬于中檔題10．（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)已知及正弦定理得到，再根據(jù)余弦定理可得到結果；（2）利用正弦定理將周長表示關于內角A的三角函數(shù)，最后根據(jù)銳角三角形中角的范圍及三角函數(shù)的性質求解.【詳解】(1)由已知及正弦定理可得，即，則，因為，所以．(2)因為，，所以由正弦定理得，則，的周長，在銳角三角形ABC中得，所以所以，所以，所以的周長．【點睛】本題考查正、余弦定理在解三角形中的應用，考查考生的運算求解能力、化歸與轉化能力，關鍵在于三角形的周長轉化為關于三角形內角的三角函數(shù)，屬于中檔題.11．（1）；（2）.【分析】（1）由向量垂直有，結合其坐標表示可得，應用余弦定理即可求角；（2）應用正弦定理有，進而得到，根據(jù)三角形內角和性質及周長公式即可求周長的取值范圍.【詳解】(1)∵，∴∴，即，∴.∵B∈(0,π)，∴.（2）由正弦定理，得，又因為所以又因為，所以所以所以△ABC周長的取值范圍【點睛】關鍵點點睛：本題綜合考查了向量垂直的坐標表示、正余弦定理的應用，注意觀察正弦定理中邊角互化、余弦公式形式的辨析，以及應用三角恒等變換化簡三角函數(shù)式并結合三角形的內角性質求周長范圍.12．（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理進行邊化角，求解出角的大??；（2）根據(jù)已知條件將轉化為的表示形式，然后利用三角恒等變換的公式并結合的范圍求解出原式的取值范圍.【詳解】解：（1）因為，所以，由正弦定理得，，.在中，，故，因為，所以.（2）.由，可得，，則，.即的取值范圍是.【點睛】關鍵點睛：解題關鍵在于件將轉化為的表示形式，然后利用三角恒等變換的公式并結合的范圍求解，即，進而通過判斷的范圍進行求解原式范圍，難度屬于中檔題13．（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)條件利用余弦定理求出，再由基本不等式求出，即可求出面積最大值；（2）由正弦定理可得，根據(jù)三角函數(shù)的性質可求出取值范圍.【詳解】解（1），，，即，，，當且僅當時等號成立，，，即，；（3）由正弦定理可知，，為銳角三角形，且，，，即的取值范圍為.【點睛】關鍵點睛：第一問關鍵是利用基本不等式求出；第二問需要利用正弦定理化邊為角得到，再結合三角函數(shù)性質求解.14．（1）；；（2）.【分析】（1）根據(jù)二倍角公式和兩角和的余弦公式化簡得，再根據(jù)周期公式可得周期，根據(jù)余弦函數(shù)的值域可得值域；（2）由，得，根據(jù)正弦定理將用表示，用兩角和的正弦公式將周長表示為的三角函數(shù)，利用銳角三角形求出的范圍，利用三角函數(shù)的圖象求出周長的取值范圍.【詳解】（1）因為所以的最小正周期為.因為，所以.所以，函數(shù)的值域為.（2）由，得.因為為銳角，所以，所以，即.因為，所以.由正弦定理，得，，所以.因為為銳角三角形，所以，，即，解得.所以，所以，即.所以周長的取值范圍為區(qū)間.【點睛】關鍵點點睛：利用正弦定理將邊化角，利用三角函數(shù)的圖象求取值范圍是解題關鍵，屬于中檔題.15．（1）；（2）.【分析】（1）利用三角形的面積公式以及余弦定理即可求解.（2）利用正弦定理可得，再根據(jù)兩角差的正弦公式以及輔助角公式即可求解.【詳解】（1）由三角形面積公式得：（2）在中，由正弦定理得，又，所以，，故，因為故，所以，，故的取值范圍是.16．（1）；（2）最大值3，B＝.【分析】（1）利用余弦定理結合條件可求解出的值，由此可求解出的值；（2）根據(jù)三角形的面積公式將表示為，利用條件化簡的表達式，最后根據(jù)兩角差的余弦公式求解出對應最大值，并確定的值.【詳解】(1)由余弦定理得.又因為，所以.(2)由(1)得.又由正弦定理及得，因此，.所以，當，即時，取最大值.【點睛】關鍵點點睛：求解的最大值的關鍵處理是將表示并化簡為.17．（1）；（2）.【分析】（1）由于，所以，再代入中化簡，可求得的值；（2）由余弦定理結合已知條件可得，從而可求得的取值范圍【詳解】（1）在中，，所以，由已知得：，即，∵，∴，，又∵，∴，∴；（2）由余弦定理得：，∵，，∴，又，于是有，即有.【點睛】關鍵點點睛：此題考查余弦定理的應用，考查三角恒等變換公式的應用，解題的關鍵是把代入已知的式子中利用三角恒等變換公式公簡，屬于中檔題18．（1）；（2）9．【分析】（1）由正弦定理得，再結合三角恒等換公式可求出角；（2）由正弦定理得，則，從而可得，而，代入上式化簡可得，再利用三角函數(shù)的性質可得結果【詳解】解：（1）由題得，，由正弦定理，，即得，所以．（2）由正弦定理，，所以，故周長，因為，所以，所以當時，周長的最大值為9．【點睛】關鍵點點睛：此題考查正弦定理的應用，考查三角函數(shù)恒等變換公式的應用，解題的關鍵是由正弦定理表示出，從而可得，再利用三角恒等變換公式可求解，考查轉化思想和計算能力19．（1）；（2）．【分析】（1）利用正弦定理和正弦函數(shù)的兩角和公式進行求解即可；（2）利用正弦定理，作邊化角，則可整理得，周長，進而可求解【詳解】解：（1），且，，即，即．即．即，即．因為，．（2），，，周長，，．又為銳角三角形，，，，周長的范圍為．【點睛】關鍵點睛：解題關鍵在于利用正弦定理作邊化角，再利用正弦的兩角和與差的公式進行化簡求解，主要考查學生的運算能力，難度屬于中檔題20．（1）；（2）最大值為.【分析】（1）先用三角形內角和定理?誘導公式?同角三角函數(shù)的基本關系化簡已知等式，得到關于的方程，解方程可得的值，再結合角的范圍即可求出角；（2）由的外接圓半徑為4，利用正弦定理求出，根據(jù)三角形內角和為，，得，則，可求出，設，在中根據(jù)正弦定理將邊用表示，可得周長的表達式，根據(jù)三角函數(shù)的有界性可求得周長的最大值.【詳解】解：（1）∵，∴，∴，又，∴，即，解得.又，∴.（2）∵的外接圓半徑為4，所以由正弦定理得∵，∴，，又與的內角平分線交于點，∴.∴設，則，，在中，由正弦定理得，得，，∴的周長為.∵，∴，∴當，即時，的周長取得最大值，為，∴周長的最大值為.【點睛】結論點睛：解決解三角形問題的關鍵是靈活運用正弦定理?余弦定理求邊和角，如果給出的等式中既有邊又有角，則可考慮利用正弦定理將已知等式轉化為關于邊或關于角的關系式進行求解，若給出的等式是關于邊的二次式，則一般需利用余弦定理求解.21．（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理邊角互化可得出，利用余弦定理求出的值，再結合角的取值范圍可求得角的值；（2）利用正弦定理結合三角函數(shù)可得，由可得，結合正弦函數(shù)的基本性質可求得的周長最大值.【詳解】（1），根據(jù)正弦定理得，，即，由余弦定理得.又，所以；（2），，，由正弦定理得，可得：，，，由可得，可得..因此，的周長的最大值為.【點睛】方法點睛：1.解三角形的基本策略：（1）