山東省青島市萊西市高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)

高二學(xué)業(yè)水平階段性檢測一數(shù)學(xué)試題考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動、用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束，將試題卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.2.過點(diǎn)且方向向量為的直線方程為（）A. B. C. D.3.已知直線與平行，則實(shí)數(shù)a的值為A.－1或2 B.0或2 C.2 D.－14.過點(diǎn)作圓的兩條切線，，則四邊形的面積為（）A. B. C. D.5.如圖，在三棱錐中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且滿足，若，，，則（）A. B.C. D.6.把正方形沿對角線折起，當(dāng)以，，，四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時(shí)，直線和平面所成角的大小為（）A. B.C. D.7.已知圓，直線l：，若圓上恰有4個(gè)點(diǎn)到直線l的距離都等于1，則b的取值范圍為

A. B. C. D.8.已知橢圓，，為兩個(gè)焦點(diǎn)，為原點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，，則（）A. B. C. D.1二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的有（）A.已知向量，則、與任意向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底B.若，，，四點(diǎn)共面，則C.若是空間的一個(gè)基底，則也是空間的一個(gè)基底D.四面體，，，中，若，，則10.已知曲線．下列結(jié)論正確的有（）A.若，則是橢圓，其焦點(diǎn)在軸上B.若，則是橢圓，其焦點(diǎn)在軸上C.若，則是圓，其半徑為D.若，，則是兩條直線11.已知圓，圓，則下列說法正確的是（）A.點(diǎn)在圓內(nèi)B.圓上的點(diǎn)到直線的最小距離為1C.圓和圓的公切線長為2D.圓和圓的公共弦所在的直線方程為12.通常稱離心率為的橢圓為“黃金橢圓”．已知橢圓，，分別為左、右頂點(diǎn)，，分別為上、下頂點(diǎn)，，分別為左、右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，則滿足下列條件能使橢圓為“黃金橢圓”的有（）A. B.C.四邊形的內(nèi)切圓過焦點(diǎn)， D.軸，且三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知向量，，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為__________．14.若中心在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓過點(diǎn)，且長軸長是短軸長的2倍，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為__________．15.如圖，二面角的棱上有兩個(gè)點(diǎn)，，線段與分別在這個(gè)二面角兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱．若二面角的平面角為，且，，，則______.16.若關(guān)于的方程有且只有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是__________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知直線過定點(diǎn)．（1）若直線與直線垂直，求直線的方程；（2）若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程．18.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，平面，，．（1）求異面直線與所成角的大?。?）求直線到平面的距離．19.已知直線和圓．（1）若直線交圓于兩點(diǎn)，求弦的長；（2）求過點(diǎn)且與圓相切的直線方程．20已知定圓，動圓過點(diǎn)，且和圓相切．（1）求動圓圓心軌跡方程；（2）若直線與圓心的軌跡交于，兩點(diǎn)，，且，求的值．21.如圖，直三棱柱底面邊長和側(cè)棱長都為2，點(diǎn)在棱上運(yùn)動（不包括端點(diǎn)）．（1）若為中點(diǎn)，證明：．（2）設(shè)平面與平面的夾角為，求的取值范圍．22.已知橢圓的離心率為，上下頂點(diǎn)分別為，，．過點(diǎn)，且斜率為的直線與軸相交于點(diǎn)，與橢圓相交于兩點(diǎn)．（1）求橢圓的方程．（2）若，求的值．（3）是否存在實(shí)數(shù)，使直線平行于直線？證明你的結(jié)論．

高二學(xué)業(yè)水平階段性檢測一數(shù)學(xué)試題考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動、用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束，將試題卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，即可求出焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】由可得，因此，且焦點(diǎn)在軸上，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：A.2.過點(diǎn)且方向向量為的直線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)方向向量確定出直線的斜率，然后可得到直線的點(diǎn)斜式方程，將其轉(zhuǎn)化為一般式方程即可.【詳解】因?yàn)橹本€的方向向量為，所以，所以直線方程為，即為，故選：D.3.已知直線與平行，則實(shí)數(shù)a的值為A.－1或2 B.0或2 C.2 D.－1【答案】D【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行，列方程，求的a的值.【詳解】已知兩直線平行，可得a?a（a+2）=0，即a2a2=0，解得a=2或1．經(jīng)過驗(yàn)證可得：a=2時(shí)兩條直線重合，舍去．∴a=1．故選D【點(diǎn)睛】對于直線若直線4.過點(diǎn)作圓的兩條切線，，則四邊形的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)點(diǎn)距離公式可得，即可由勾股定理求解，由三角形面積公式即可求解.【詳解】由可得，所以,進(jìn)而可得，故，所以四邊形的面積為，故選：C5.如圖，在三棱錐中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且滿足，若，，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】運(yùn)用空間向量的加減法和題設(shè)條件，將所求向量用空間的基向量表示即得.【詳解】如圖，連接因點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且滿足則即：故選：C.6.把正方形沿對角線折起，當(dāng)以，，，四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時(shí)，直線和平面所成角的大小為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐體積最大，由此能求出結(jié)果．【詳解】解：如圖，當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐體積最大取中點(diǎn)，則平面，故直線和平面所成的角為，．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面所成角的求法，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)，屬于中檔題．7.已知圓，直線l：，若圓上恰有4個(gè)點(diǎn)到直線l的距離都等于1，則b的取值范圍為

A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】圓上恰有4個(gè)點(diǎn)到直線l的距離都等于1，所以圓心到直線l：的距離小于1，利用點(diǎn)到直線距離求出b的取值范圍.【詳解】因?yàn)閳A上恰有4個(gè)點(diǎn)到直線l的距離都等于1，所以圓心到直線l：的距離小于1，因此有，故本題選D.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了數(shù)形結(jié)合思想.8.已知橢圓，，為兩個(gè)焦點(diǎn)，為原點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，，則（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義結(jié)合余弦定理求出的值，利用，根據(jù)向量模的計(jì)算即可求得答案.【詳解】由題意橢圓，為兩個(gè)焦點(diǎn)，可得，則①，即，由余弦定理得，即，整理得，②聯(lián)立①②，解得：，則，又因?yàn)?，則，使用.故選：B二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的有（）A.已知向量，則、與任意向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底B.若，，，四點(diǎn)共面，則C.若是空間的一個(gè)基底，則也是空間的一個(gè)基底D.在四面體，，，中，若，，則【答案】ACD【解析】【分析】對于A，直接由空間基底的定義即可判斷；對于B，直接舉出反例即可判斷；對于C，設(shè)，結(jié)合是空間的一個(gè)基底，判斷是否均為0即可；對于D，畫出圖形，選取基底向量，將，，進(jìn)行轉(zhuǎn)換，從而即可證得.【詳解】對于A，若，所以共線，即與空間中其他任何向量一定共面，從而、與任意向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故A正確；對于B，設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)三點(diǎn)重合，且不與點(diǎn)重合，從而，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C，不妨設(shè)，整理得，又是空間的一個(gè)基底，所以當(dāng)且僅當(dāng)，解得，從而也是空間的一個(gè)基底，故C正確；對于D，如圖所示：選作為空間的一組基底向量，若，，則，，即，從而，故D正確.故選：ACD.10.已知曲線．下列結(jié)論正確有（）A.若，則是橢圓，其焦點(diǎn)在軸上B.若，則是橢圓，其焦點(diǎn)在軸上C.若，則是圓，其半徑為D.若，，則是兩條直線【答案】AD【解析】【分析】將方程，轉(zhuǎn)化為，判斷選項(xiàng)ABC，再根據(jù)，判斷選項(xiàng)D.【詳解】方程，化為，表示橢圓，且其焦點(diǎn)在軸上，則，即，故A正確；若，表示橢圓，且其焦點(diǎn)在x軸上，則，即，故B錯(cuò)誤；，表示圓，即，其半徑為故C錯(cuò)誤；當(dāng)，時(shí)，，則是兩條直線，故D正確，故選：AD11.已知圓，圓，則下列說法正確的是（）A.點(diǎn)在圓內(nèi)B.圓上的點(diǎn)到直線的最小距離為1C.圓和圓的公切線長為2D.圓和圓的公共弦所在的直線方程為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的關(guān)系即可求解A,根據(jù)圓心到直線的距離即可求解B，根據(jù)相交弦的定義即可求解D，根據(jù)相交時(shí)兩圓的外公切線的求解即可判定C.【詳解】圓的圓心和半徑分別為,圓的圓心和半徑為，對于A，由于，故點(diǎn)在圓外，故A錯(cuò)誤，對于B，到的距離為，所以圓上的點(diǎn)到直線的最小距離為，B正確，對于D,由于,故兩圓相交，兩圓方程相減可得公共弦所在直線方程為：，故D正確，對于C，由于兩圓相交，所以外公切線的長度為，C正確，故選：BCD12.通常稱離心率為的橢圓為“黃金橢圓”．已知橢圓，，分別為左、右頂點(diǎn)，，分別為上、下頂點(diǎn)，，分別為左、右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，則滿足下列條件能使橢圓為“黃金橢圓”的有（）A. B.C.四邊形的內(nèi)切圓過焦點(diǎn)， D.軸，且【答案】BC【解析】【分析】先求出橢圓的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)橢圓的基本性質(zhì)求出離心率判斷A；根據(jù)向量數(shù)量積判斷B；由四邊形的內(nèi)切圓過焦點(diǎn)，，結(jié)合面積公式求出判斷C；由軸求出的坐標(biāo)，結(jié)合斜率公式計(jì)算離心率判斷D.【詳解】由可知：，，，，，，對于A，若，則，所以，即，所以，與已知不符，故A錯(cuò)誤；對于B，，，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，故B正確；對于C，四邊形的內(nèi)切圓過焦點(diǎn)，，所以，所以，整理得，所以，解得（舍去）或所以，故C正確；對于D，當(dāng)軸，時(shí)，則，，，所以，所以，整理得，所以，所以，與已知不符，故D錯(cuò)誤.故選：BC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知向量，，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為__________．【答案】【解析】【分析】先求解出在方向上的投影，然后求解出同方向的單位向量，根據(jù)二者的乘積即可求得結(jié)果.【詳解】在方向上的投影為，因?yàn)?，所以同方向的單位向量為，所以在方向上的投影向量的坐?biāo)為，故答案為：.14.若中心在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓過點(diǎn)，且長軸長是短軸長的2倍，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為__________．【答案】或【解析】【分析】分焦點(diǎn)在軸上和焦點(diǎn)在軸上兩種情況討論即可求.【詳解】當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在軸，設(shè)橢圓方程為，因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，所以，又因?yàn)殚L軸長是短軸長的2倍，所以，所以橢圓方程為；當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在軸，設(shè)橢圓方程為，因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，所以，又因?yàn)殚L軸長是短軸長的2倍，所以，所以橢圓方程為.綜上，橢圓的方程為或.故答案為：或15.如圖，二面角的棱上有兩個(gè)點(diǎn)，，線段與分別在這個(gè)二面角兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱．若二面角的平面角為，且，，，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)式子，根據(jù)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律即可求出的長.【詳解】由條件知，，，又二面角的平面角為，則，所以，所以.故答案為：16.若關(guān)于的方程有且只有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】轉(zhuǎn)化為半圓與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.【詳解】解：方程，即為，令，即表示以為圓心，以2為半徑的半圓，直線過定點(diǎn)P，圓心到直線的距離等于半徑為：，解得，關(guān)于的方程有且只有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即半圓于直線有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，由圖象知：則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知直線過定點(diǎn)．（1）若直線與直線垂直，求直線的方程；（2）若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程．【答案】17.；18.或【解析】【分析】（1）求出直線斜率可得l的斜率，再借助直線點(diǎn)斜式方程即可得解；（2）按直線l是否過原點(diǎn)分類討論計(jì)算作答.【小問1詳解】，所以直線的斜率為，因?yàn)橹本€與直線垂直，所以直線的斜率為2．又因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以直線的方程為，即．【小問2詳解】直線過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，所以直線的方程為，即；當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，因?yàn)橹本€l在兩坐標(biāo)軸截距相等，所以設(shè)直線的方程為，即，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，所以直線的方程為．綜上，直線的方程為或．18.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，平面，，．（1）求異面直線與所成角的大小．（2）求直線到平面的距離．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求異面直線所成的角；（2）利用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算，求點(diǎn)到平面的距離即可.【小問1詳解】以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)榈酌鏋橹苯翘菪危?，，，所以，則，，，，，，設(shè)異面直線與所成角為，則，所以異面直線與所成角大小為．【小問2詳解】，平面，平面，平面，直線到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離．設(shè)平面的法向量為，，，則，取，得．，點(diǎn)到平面的距離．19.已知直線和圓．（1）若直線交圓于兩點(diǎn)，求弦的長；（2）求過點(diǎn)且與圓相切的直線方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程求得圓心及半徑，再由點(diǎn)到直線的距離公式求得圓心到直線的距離，再由弦長公式得（2）分兩種情況討論，過點(diǎn)的直線斜率存在與不存在兩種，求得斜率不存在時(shí)直線為；設(shè)斜率存在時(shí)直線為，再由點(diǎn)斜式設(shè)直線方程為，再由點(diǎn)到直線的距離等于圓的半徑，求得，即可求得直線方程.【小問1詳解】將圓，化成標(biāo)準(zhǔn)方程：，圓的圓心，半徑，圓到直線的距離，．【小問2詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，過點(diǎn)的直線為，是圓的一條切線；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)圓的切線方程為，即，圓心到直線的距離，解得．切線方程為，即，綜上所述，所求的直線方程為：或．20.已知定圓，動圓過點(diǎn)，且和圓相切．（1）求動圓圓心的軌跡方程；（2）若直線與圓心的軌跡交于，兩點(diǎn)，，且，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，圓內(nèi)切與圓，得到，利用橢圓的定義求解；（2）聯(lián)立，求得的中點(diǎn)，根據(jù)，由求解；【小問1詳解】解：，半徑，設(shè)動圓的半徑為，由題意知，，點(diǎn)在圓內(nèi)，圓內(nèi)切與圓．，即，動點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓，設(shè)方程為，則，，．圓心的軌跡方程為．【小問2詳解】設(shè)，，聯(lián)立，消去得：，，．的中點(diǎn)，由得，．，，．解得，符合，．21.如圖，直三棱柱的底面邊長和側(cè)棱長都為2，點(diǎn)在棱上運(yùn)動（不包括端點(diǎn)）．（1）若為的中點(diǎn)，證明：．（2）設(shè)平面與平面的夾角為，求的取值范圍．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）分別取，的中點(diǎn)，，連接，則可建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出的坐標(biāo)，計(jì)算其數(shù)量積，即可證明結(jié)論；（2）求出平面的法向量