第四章 函數(shù)的數(shù)值逼近

第四章函數(shù)的數(shù)值逼近§4.0插值與擬合§4.1插值的基本理論§4.2Lagrange插值多項式§4.3分段插值與保形插值§4.4樣條插值§4.5曲線擬合的最小二乘方法§4.6函數(shù)的最佳平方逼近1§4.0插值與擬合1、問題的提出

◆函數(shù)沒有明確的表達式

◆函數(shù)有明確的表達式，但不是（分段）有理函數(shù)2、插值與擬合

◆插值問題：作一條曲線，其類型是事先人為給定的（比如：代數(shù)多項式），使該曲線經(jīng)過所有已知點?！魯M合問題：作一條指定類型的曲線，使該曲線能在“一定意義”下逼近已知點。下一頁零件2圖4.1心形圖上一頁3§4.1插值的基本理論1、插值問題的提法◆基本提法：對于給定函數(shù)表yn…y1y0y=f(x)xn…x1x0x表4.1（其中f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，x0,x1,…,xn

是[a,b]上n+1個互異點），要求在某函數(shù)類{φ(x)}中求一個函數(shù)φ(x)，使（4.1)4通常，稱區(qū)間[a,b]為插值區(qū)間，稱點xi(i=0,1,…,n)為插值結(jié)點，稱(4.1)為插值條件，φ(x)為函數(shù)f(x)在結(jié)點xi(i=0,1,…,n)上的插值函數(shù)，f(x)為被插值函數(shù)。函數(shù)類{φ(x)}的取法有很多種，常用的有代數(shù)多項式，三角函數(shù)和有理函數(shù)。本章只討論代數(shù)多項式，相應的插值問題稱為多項式插值。并用φ(x)作為函數(shù)f(x)的近似函數(shù)，即5根據(jù)給出的函數(shù)表(4.1)，求不高于n次的代數(shù)多項式

(4.2)使(4.3)

幾何意義：通過曲線y=f(x)上的n+1個點Mi(xi,yi)(i=0,1,…,n)，作一條n次代數(shù)多項式曲線y=Pn(x)近似代替曲線y=f(x)，如圖(4.2)所示。圖4.22、多項式插值問題的基本提法滿足插值條件(4.3)的多項式(4.2)，稱為函數(shù)f(x)在結(jié)點xi(i=0,1,…,n)上的n次插值多項式。63、插值多項式的存在唯一性由插值條件(4.3)知，插值多項式Pn(x)的系數(shù)a0,a1,…,an

滿足線性方程組(4.4)其系數(shù)行列式7系數(shù)行列式D是一個n+1階的Vandermond行列式，因結(jié)點互異，故D≠0。再由Cramer法則，線性方程組有唯一解。于是有定理1.當插值結(jié)點互異時，滿足插值條件(4.3)的n次插值多項式Pn(x)存在且唯一。84、插值余項記Rn(x)=f(x)–Pn(x),則Rn(x)是用代數(shù)多項式Pn(x)近似代替函數(shù)f(x)的截斷誤差，通常稱Rn(x)為n次插值多項式Pn(x)的余項。(4.5)定理2.若f(x)在區(qū)間[a,b]上有直到n+1階導數(shù)，Pn(x)為f(x)在n+1個結(jié)點xi∈[a,b](i=0,1,…,n)上的n次插值多項式，則對任何x∈[a,b]有9證：由插值條件(4.3)可知，Rn(xi)=0(i=0,1,…,n)

故可設(shè)Rn(x)=k(x)ωn+1(x)(4.6)其中k(x)為待定函數(shù)。對于[a,b]上異于xi

的任一點x，作輔助函數(shù)F(t)=f(t)–Pn(t)–k(x)ωn+1(t)則F(t)在[a,b]上具有n+1階導數(shù)F(n+1)(t)=f(n+1)(t)–k(x)(n+1)!(4.7)且F(x)=F(x0)=F(x1)=…=F(xn)=0即F(t)在[a,b]上至少有n+2個互異的零點x,x0,x1,…,xn.由洛爾定理知，F(xiàn)(t)在兩個零點間F’(t)至少有一個零點，故F’(t)在(a,b)上至少有n+1個互異零點。對F’(t)再應用洛爾定理，依次類推，可知F(n+1)(t)在(a,b)內(nèi)至少有一個零10注意：利用解方程組(4.4)去建立形如(4.2)的插值多項式，計算量大，有時還會對精度有較大的影響，因而是不可取的。點ξ，即F(n+1)(ξ)=0.

于是，由(4.7)式知，f(n+1)(ξ)–k(x)(n+1)!＝0代入(4.6)式，即得結(jié)論。對于x=xi(i=0,1,…,n)，(4.5)式顯然成立。故11§4.2Lagrange插值多項式①基函數(shù)考慮最簡單的插值問題。設(shè)離散數(shù)據(jù)點為{(xk,δik)}nk=0，這里i是一個非負整數(shù)，0≤i≤n，由于多項式必須滿足插值條件即是的根，故可取(4.8)求插值多項式，記為12且條件滿足條件(4.8)式的n次代數(shù)多項式lk(x)(k=0,1,…,n),稱為在n+1個結(jié)點xi(i=0,1,…,n)上的n次插值基函數(shù)。這時可確定系數(shù)a.于是，13一般離散數(shù)據(jù)的插值多項式是基函數(shù)的線性組合：(4.9)顯然，滿足插值條件，即②Lagrange插值多項式則

我們把滿足以上條件的插值多項式函數(shù)稱為Lagrange插值多項式，記14于是，特例，當n=1時，稱為線性插值當n=2時，稱為拋物插值，圖像如下151617例解:18且19Lagrange插值多項式的缺點：插值基函數(shù)計算復雜高次插值的精度不一定高無承襲性。增加一個節(jié)點，所有的基函數(shù)都要重新計算202、Newton插值為了克服Lagrange插值的缺點，我們把多項式構(gòu)造成如下形式：這種形式的插值多項式稱為n次Newton插值多項式，記為Nn(x),即其中系數(shù)ai(i=0,1,…,n)可由插值條件Nn(xi)=yi(i=0,1,…,n)

確定。引入差商（均差）的概念。(4.10)

21定義1.稱為函數(shù)f(x)關(guān)于點xi,xj

的一階差商；稱(i,j,k互異)為f(x)在點xi,xj,xk

處的二階差商；一般地，稱為f(x)在點xi0,xi1,…,xim

處的m階差商；特別地，規(guī)定零階差商f[xi]=f(xi).◆差商的性質(zhì)Ⅰ.m階差商可表為函數(shù)值f(xi0),f(xi1),…,f(xim)的線性組合，即(4.12)(4.11)22可以用歸納法證明。從(4.12)可以看出，均差與節(jié)點的排列次序無關(guān)，稱為均差的對稱性，即Ⅱ.由性質(zhì)Ⅰ和(4.11)式可得Ⅲ.若f(x)在[a,b]上存在n階導數(shù)，且節(jié)點x0,…,xn∈[a,b]則n階差商與導數(shù)關(guān)系如下：(4.13)注意：對列表函數(shù)或高階導數(shù)不存在的函數(shù)，其余項經(jīng)常由差商的形式給出。23為了便于計算與應用，通常采用表格形式計算差商，如表(4.2).xkf(xk)一階差商二階差商三階差商四階差商x0f(x0)x1f(x1)f[x0,x1]x2f(x2)f[x1,x2]f[x0,x1,x2]x3f(x3)f[x2,x3]f[x1,x2,x3]f[x0,x1,x2,x3]x4f(x4)f[x3,x4]f[x2,x3,x4]f[x1,x2,x3,x4]f[x0,x1,x2,x3,x4]::::::表(4.2)24

用差商表示Newton插值多項式的系數(shù)。事實上，由插值條件Nn(x0)=f(x0)可得a0=f(x0).再由插值條件Nn(x1)=f(x1),

即a0+a1(x1-x0)=f(x1)進一步由插值條件Nn(x2)=f(x2),

即

a0+a1(x2-x0)＋a2(x2-x0)(x2-x1)=f(x2)25

一般地，可由歸納法證明（自己驗證）故滿足插值條件Nn(xi)=f(xi)(i=0,1,…,n)的n次Newton插值多項式為(4.14)例2

給出f(x)的函數(shù)表（見下表），試用線性插值，拋物插值和4次Newton插值求f(0.596)的近似值，并估計它們的截斷誤差。x0.400.550.650.800.901.05f(x)0.410750.578150.696750.888111.026521.2538226解：首先根據(jù)給定的函數(shù)表構(gòu)造差商表，這時，Newton插值多項式（4.14）的系數(shù)依次為0.400.410750.550.578151.116000.650.696751.186000.280000.800.888111.275730.358930.197330.901.026521.384100.433480.213000.031341.051.253821.515330.524930.228630.03126-0.00012f[x0]=0.41075f[x0,x1]=1.11600f[x0,x1,x2]=0.28000f[x0,x1,x2,x3]=0.19733f[x0,x1,x2,x3,x4]=0.0313427故用線性插值得f(0.596)≈N1（0.596）=0.41075＋1.11600×(0.596-0.40)=0.629486用拋物插值得f(0.596)≈N2（0.596）＝N1(0.596)+0.28000×(0.596-0.40)×(0.596-0.55)

＝0.63201048用4次Newton插值得f(0.596)≈N4（0.596）

28|R1(x)|≈|f[x0,x1,

x2]ω2(0.596)|≤2.53×10－3|R2(x)|≈|f[x0,x1,

x2,x3]ω3(0.596)|≤9.61×10－5|R4(x)|≈|f[x0,…,x5]ω5(0.596)|≤3.63×10－9

這說明插值多項式的次數(shù)越高，誤差越小，越可能接近真實值。＝N2(0.596)+0.19733(0.596-0.4)(0.596－0.55)(0.596-0.65)+0.03134(0.596-0.4)(0.596-0.55)(0.596-0.65)(0.596-0.8)＝0.63192

由差商的性質(zhì)Ⅲ，插值多項式的余項分別為29余項由插值多項式的唯一性，當f(n+1)(x)存在時，n次Lagrange插值多項式和Newton插值多項式的余項仍為(4.5)式。例題3121517211816654321考慮函數(shù)表生成它的Lagrange插值多項式。Chap4_1.m30例題4考慮在區(qū)間[-1,1]上的函數(shù)構(gòu)造等距節(jié)點上的Lagrange插值多項式。目的

觀察當插值節(jié)點逐漸增多時，插值多項式對原函數(shù)的擬合變化情況。tryrunge.m31§4.3分段插值與保形插值

1、分段插值

引例fenduanex2.m給定n+1個結(jié)點a=x0<x1<…<xn=b上的函數(shù)值y0,y1,…,yn

，求一折線函數(shù)Ih(x)滿足：則稱Ih(x)為分段線性插值函數(shù)。32由定義可知Ih(x)在每一個小區(qū)間[xk,xk+1]上可表示為若用插值基函數(shù)表示，則在整個區(qū)間[a,b]上Ih(x)為33342、保形插值

給定[a,b]上的一種分劃及f(x)在分劃點上的函數(shù)值f(xk)=yk,及f’(xk)=dk

(k=0,1,…,n),則作一個分段三次Hermite

插值多項式P(x),滿足條件

①P(x)∈C1[a,b]；②P(xk)=yk,P’(xk)=dk,k=0,1,…,n；③P(x)在每個小區(qū)間上是三次多項式。根據(jù)前面的結(jié)果，不難作出各個點上的插值基函數(shù)。3536dk未知？37dk的取法記第k個小區(qū)間的區(qū)間長度第k個小區(qū)間分段線性插值斜率如果與符號相同，則令如果與符號相反，則令極值點保持原來曲線的走向38121517211816654321考慮函數(shù)表生成它的保形插值多項式。例題5Chap4_3.m39§4.4樣條插值對于給定函數(shù)表xx0x1…xny=f(x)y0y1…yn表4.2（其中），若函數(shù)S(x)∈C2[a,b]滿足條件：

①S(x)在每個子區(qū)間[xi-1,xi](i=1,2,…,n)上都是不高于三次的多項式；

②S(x),S’(x),S’’(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)；

③S(xi)=yi(i=0,1,…,n).（A－1）則稱S(x)為函數(shù)f(x)關(guān)于結(jié)點x0,x1,…,xn

的三次樣條插值函數(shù)。40條件①表明S(x)是一個分段三次多項式，用Si(x)

表示S(x)在第i個子區(qū)間上的表達式，則Si(x)形如其ai,bi,ci,di

待定，子區(qū)間共有n個，需確定4n個系數(shù)。另外，根據(jù)條件②③，有共有4n-2個方程，顯然要確定S(x)還差兩個條件。41◆邊界條件的取法

Ⅰ.Ⅱ.

特別地，當時，稱為自然邊界條件。

Ⅲ.當原函數(shù)f(x)以b-a為周期的周期函數(shù)，則要求S(x)也是周期函數(shù)。42◆樣條插值函數(shù)的建立

構(gòu)造滿足插值條件（A-1）及相應邊界條件的三次樣條插值函數(shù)S(x)的表達式可以有多種方法。例如，可以直接利用分段三次Hermite插值，只要假定S’(xj)=mj

(j=0,1,…,n),于是其中是插值基函數(shù)。利用插值條件及相應的邊界條件，則可得關(guān)于mj(j=0,1,…,n)的三對角方程組，求出mj則得到所求的三次樣條函數(shù)S(x).

利用S(x)的二階導數(shù)值S’’(x)=Mj(j=0,1,…,n)表示S(x)43交互實驗：插值方法比較目的：通過比較幾種不同插值方法，使大家對四種插值效果在感性上有所認識，便于以后使用。tryinterp.m44實例：考察某種纖維的強度與其拉伸倍數(shù)的關(guān)系,下表是實際測定的24個纖維樣品的強度與相應的拉伸倍數(shù)是記錄:§4.5曲線擬合的最小二乘方法45纖維強度隨拉伸倍數(shù)增加而增加并且24個點大致分布在一條直線附近---------(1)46必須找到一種度量標準來衡量什么曲線最接近所有數(shù)據(jù)點一、最小二乘法的基本概念一般使用在回歸分析中稱為殘差稱為平方誤差47在回歸分析中稱為殘差平方和從而確定(1)中的待定系數(shù)注意(1)式是一條直線因此將問題一般化48仍然定義平方誤差49我們選取的度量標準是---------(2)---------(3)5051二、法方程組由可知因此可假設(shè)因此求最小二乘解轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)52由多元函數(shù)取極值的必要條件得即53---------(4)即54引入記號則由內(nèi)積的概念可知---------(5)---------(6)顯然內(nèi)積滿足交換律55方程組(4)便可化為---------(7)將其表示成矩陣形式-----(8)56并且其系數(shù)矩陣為對稱陣所以法方程組的系數(shù)矩陣非奇異,即根據(jù)Cramer法則,法方程組有唯一解57即是的最小值所以因此58作為一種簡單的情況,基函數(shù)之間的內(nèi)積為平方誤差59

回到本節(jié)開始的實例，從散點圖可以看出纖維強度和拉伸倍數(shù)之間近似與線性關(guān)系故可選取線性函數(shù)為擬合函數(shù)，其基函數(shù)為建立法方程組根據(jù)內(nèi)積公式，可得60法方程組為解得平方誤差為61擬合曲線與散點的關(guān)系如右圖:62三、數(shù)據(jù)擬合的Matlab實現(xiàn)1、polyfit()p=polyfit(x,y,n)其中x,y是數(shù)據(jù)點，n是擬合多項式次數(shù)，p是多項式系數(shù)（由高到低）2、polyval()y=polyval(p,x)其中p是擬合多項式系數(shù)，y是擬合多項式在x點的值。注意：當已知n個點處的函數(shù)值，而擬合多項式的次數(shù)為n-1時，則擬合函數(shù)polyfit()就是計算n-1階插值多項式的值。Least.m63應用實例：人口預測概念：內(nèi)插、外推censusgui.m64§4.6函數(shù)的最佳平方逼近設(shè)有函數(shù)，總可以在一定意義下，確定的空間中求已知函數(shù)的近似，這類問題稱為函數(shù)逼近。例如是n+1維的線性空間。在Pn上定義內(nèi)積其中稱為權(quán)函數(shù)。65若存在，使得則稱為函數(shù)的最佳平方逼近多項式?？紤]一般的最佳平方逼近問題是一線性空間。66若存在，使得則稱為函數(shù)在Φ上的最佳平方逼近多項式。即求解函數(shù)的極值問題。該函數(shù)取得極值的必要條件是67類似前面討論用內(nèi)積符號寫出來，即稱為最佳平方逼近問題的法方程。定理：設(shè)法方程的解為，則確為函數(shù)在Φ上的最佳平方逼近多項式。68小結(jié)函數(shù)的數(shù)值逼近：插值問題Lagrange插值

Newton插值分段插值和保形插值樣條插值擬合最小二乘擬合－－最佳平方逼近69作業(yè)P902、5（a）補充：1、求一個次數(shù)不高于4次的多項式P(x)，使它滿足P(0)=P’(0)=0,P(1)=P’(1)=1,P(2)=1.2、用最小二乘法求一形如y=a+bx2的多項式，使與下列數(shù)據(jù)相擬合：xi1925313844yi19.032.349.073.397.8703、求解矛盾方程組71補充：Hermite插值

插值函數(shù)在節(jié)點上函數(shù)值、對應的導數(shù)值、甚至高階導數(shù)值相等，則滿足這種要求的插值多項式稱為Hermite

插值多項式。

下面只討論函數(shù)值與導數(shù)個數(shù)相等的情形。設(shè)在上，yi=f(xi),mi=f’(xi)(i=0,1,…,n)

，要求插值多項式H(x)滿足條件

(A－1)這里給出2n+2個相互獨立的條件，可唯一確定一個次數(shù)不超過2n+1的多項式H2n+1(x)=H(x),其形式為72采用基函數(shù)方法確定系數(shù)。先求插值基函數(shù)及