河北省石家莊重點中學2023-2024學年高二上學期期中考試數(shù)學試題(含答案)

-2024學年石家莊重點中學高二（上）期中考試數(shù)學試題一、單選題1．在棱柱中，（

）A． B． C． D．2．已知點在直線上，則直線的傾斜角的大小為（

）A． B． C． D．3．一架飛機向目標投彈，擊毀目標的概率為0.3，目標未受損的概率為0.2，則使目標受損但未擊毀的概率是（

）A．0.8 B．0.56 C．0.5 D．0.064．如圖所示，在平行六面體中，為與的交點，為的中點，若，，，則（

）

A． B．C． D．5．已知是空間的一個基底，，，若，則（

）A．0 B．-6 C．6 D．5．6．已知圓經(jīng)過點，且圓心在直線上，若為圓上的動點，則線段為坐標原點）長度的最大值為（

）A． B． C．10 D．7．已知木盒中有圍棋棋子15枚（形狀大小完全相同，其中黑色10枚，白色5枚），小明有放回地從盒中取兩次，每次取出1枚棋子，則這兩枚棋子恰好不同色的概率是（

）A． B． C． D．8．點到直線（為任意實數(shù)）的距離的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題9．已知是空間中三個向量，則下列說法錯誤的是（

）A．對于空間中的任意一個向量，總存在實數(shù)，使得B．若是空間的一個基底，則也是空間的一個基底C．若，，則D．若所在直線兩兩共面，則共面10．從1，2，3，…9中任取兩個數(shù)，其中：①恰有一個偶數(shù)和兩個都是奇數(shù)；②至少有一個偶數(shù)和兩個都是偶數(shù)；③至少有一個奇數(shù)和兩個都是偶數(shù)；④至少有一個奇數(shù)和至少有一個偶數(shù)．在上述事件中，是互斥事件的是（

）A．① B．② C．③ D．④11．已知直線過點，若與，軸的正半軸圍成的三角形的面積為，則的值可以是（

）A． B． C． D．12．如圖，在正四棱錐中，，，分別是，的中點，則下列說法正確的是（

）

A． B．直線和所成角的余弦值是C．點到直線的距離是 D．點到平面的距離是2三、填空題13．若直線(3-m)x+y+1=0與直線2x-(m-2)y+3=0垂直，則實數(shù)=；14．在用隨機數(shù)（整數(shù)）模擬“有5個男生和5個女生，從中抽選4人，求選出2個男生2個女生的概率”時，可讓計算機產(chǎn)生的隨機整數(shù)，并且代表男生，用代表女生．因為是選出4個，所以每4個隨機數(shù)作為一組．通過模擬試驗產(chǎn)生了20組隨機數(shù)：68303215705664317840452378342604534609526837981657344725657859249768605191386754由此估計“選出2個男生2個女生”的概率為．15．在四棱柱中，四邊形是正方形，，，，則的長為.16．2023年暑期檔動畫電影《長安三萬里》重新點燃了人們對唐詩的熱情，唐詩中邊塞詩又稱出塞詩，是唐代漢族詩歌的主要題材，是唐詩當中思想性最深刻，想象力最豐富，藝術性最強的一部分．唐代詩人李頎的邊塞詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”．詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題一“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設將軍的出發(fā)點是，軍營所在位置為，河岸線所在直線的方程為，若將軍從出發(fā)點到河邊飲馬，再回到軍營（“將軍飲馬”）的總路程最短，則將軍在河邊飲馬地點的坐標為．四、解答題17．已知三條直線，和.(1)若，求實數(shù)的值；(2)若三條直線相交于一點，求實數(shù)的值.18．第19屆亞運會于2023年9月23日至10月8日在杭州舉辦，為做好本次亞運會的服務工作，從某高校選拔志愿者，現(xiàn)對該校踴躍報名的100名學生進行綜合素質考核，根據(jù)學生考核成績分為四個等級，最終的考核情況如下表：等級人數(shù)10404010(1)將頻率視為概率，從報名的100名學生中隨機抽取1名，求其成績等級為或的概率；(2)已知等級視為成績合格，從成績合格的學生中，根據(jù)考核情況利用比例分配的分層隨機抽樣法抽取5名學生，再從這5名學生中選取2人進行座談會，求這2人中有等級的概率．19．已知.(1)求點到直線的距離；(2)求的外接圓的方程.20．如圖，在直三棱柱中，，，D，E，F(xiàn)分別為，，的中點.

(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.21．一題多解是由多種途徑獲得同一數(shù)學問題的最終結論，一題多解不但達到了解題的目標要求，而且讓學生的思維得以拓展，不受固定思維模式的束縛．學生多角度、多方位地去思考解題的方案，讓解題增添了新穎性和趣味性，并在解題中解放了解題思維模式，使得枯燥的數(shù)學解題更加豐富而多彩．假設某題共存在4種常規(guī)解法，已知小紅使用解法一、二、三、四答對的概率分別為，且各種方法能否答對互不影響，小紅使用四種解法全部答對的概率為．(1)求的值；(2)求小紅不能正確解答本題的概率；(3)求小紅使用四種解法解題，其中有三種解法答對的概率．22．如圖，在三棱臺中，是等邊三角形，，，側棱平面，點是棱的中點，點是棱上的動點（不含端點）.(1)證明：平面平面；(2)若平面與平面所成角的余弦值的最小值.答案解析一、單選題1．在棱柱中，（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，故選：B.2．已知點在直線上，則直線的傾斜角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】直線的斜率為，設直線的傾斜角為，則，因為，所以.故選：B.3．一架飛機向目標投彈，擊毀目標的概率為0.3，目標未受損的概率為0.2，則使目標受損但未擊毀的概率是（

）A．0.8 B．0.56 C．0.5 D．0.06【答案】C【解析】目標受損但未擊毀的概率是1-0.3-0.2=0.5.故選：C4．如圖所示，在平行六面體中，為與的交點，為的中點，若，，，則（

）

A． B．C． D．【答案】B【解析】因為為與的交點，所以，故.故選：B.5．已知是空間的一個基底，，，若，則（

）A．0 B．-6 C．6 D．5．【答案】C【解析】易知，因為，所以存在實數(shù)，使得，所以，所以，所以．故選：C．6．已知圓經(jīng)過點，且圓心在直線上，若為圓上的動點，則線段為坐標原點）長度的最大值為（

）A． B． C．10 D．【答案】A【解析】解：線段中點的坐標為，所以線段的中垂線的斜率為，所以線段的中垂線的方程為，又圓心在直線上，由，解得，所以圓心為．

所以.故選：A．7．已知木盒中有圍棋棋子15枚（形狀大小完全相同，其中黑色10枚，白色5枚），小明有放回地從盒中取兩次，每次取出1枚棋子，則這兩枚棋子恰好不同色的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】從盒中隨機取出1枚棋子，“是黑棋子”記為事件，“是白棋子”記為事件，則，，兩枚棋子恰好不同色包含：第一次取出黑棋子，第二次取出白棋子；第一次取出白棋子，第二次取出黑棋子，這兩個事件是互斥事件．第一次取出黑棋子，第二次取出白棋子相互獨立，概率為；第一次取出白棋子，第二次取出黑棋子也相互獨立，概率為．所以這兩枚棋子恰好不同色的概率是．故選：B．8．點到直線（為任意實數(shù)）的距離的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】解：將直線方程變形為，由，解得，由此可得直線恒過點，所以到直線的最遠距離為，此時直線垂直于到直線的最短距離為0，此時直線經(jīng)過點．又，所以到直線的距離的取值范圍是．故選：D．二、多選題9．已知是空間中三個向量，則下列說法錯誤的是（

）A．對于空間中的任意一個向量，總存在實數(shù)，使得B．若是空間的一個基底，則也是空間的一個基底C．若，，則D．若所在直線兩兩共面，則共面【答案】ACD【解析】由空間向量基本定理.可知只有當不共面時.才能作為基底，才能得到，故A錯誤：若是空間的一個基底，則不共面.也不共面，所以也是空間的一個基底，故B正確；若，，則不一定平行，故C錯誤；若所在直線兩兩共面，則不一定共面，故D錯誤.故選：ACD.10．從1，2，3，…9中任取兩個數(shù)，其中：①恰有一個偶數(shù)和兩個都是奇數(shù)；②至少有一個偶數(shù)和兩個都是偶數(shù)；③至少有一個奇數(shù)和兩個都是偶數(shù)；④至少有一個奇數(shù)和至少有一個偶數(shù)．在上述事件中，是互斥事件的是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】AC【解析】根據(jù)題意，從1，2，3，…，9中任取兩數(shù)，其中可能的情況有“兩個奇數(shù)”“兩個偶數(shù)”“一個奇數(shù)與一個偶數(shù)”三種情況．依次分析所給的4個事件可得，①恰有一個偶數(shù)和兩個都是奇數(shù),不能同時發(fā)生，是互斥事件；②至少有一個偶數(shù)包括“兩個偶數(shù)”與“一個奇數(shù)與一個偶數(shù)”兩種情況，與兩個都是偶數(shù)不是互斥事件；③至少有一個奇數(shù)包括“兩個奇數(shù)”與“一個奇數(shù)與一個偶數(shù)”兩種情況，和“兩個都是偶數(shù)”不能同時發(fā)生，是互斥事件；④至少有一個奇數(shù)包括“兩個奇數(shù)”與“一個奇數(shù)與一個偶數(shù)”兩種情況，至少有一個偶數(shù)包括“兩個偶數(shù)”與“一個奇數(shù)與一個偶數(shù)”兩種情況，不是互斥事件．故選:AC．11．已知直線過點，若與，軸的正半軸圍成的三角形的面積為，則的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】CD【解析】由題意知直線在，軸上的截距存在且大于，可設的方程為（，），由直線過點，得，所以，當且僅當，即，時，等號成立，即，所以，故選：CD.12．如圖，在正四棱錐中，，，分別是，的中點，則下列說法正確的是（

）

A． B．直線和所成角的余弦值是C．點到直線的距離是 D．點到平面的距離是2【答案】ABC【解析】A：連接，分別為，的中點，即為中位線，則，由為正四棱錐，故為正方形，則，所以，對；B：過作，交延長線于，若為中點，連接，又，即，則為平行四邊形，故，，而且，故且，即為平行四邊形，所以且，故直線和所成角，即為或其補角，及正四棱錐的性質知：側面為等邊三角形，底面為正方形，且棱長均為，所以，，，故直線和所成角的余弦值是，對；C：中，又，則，所以，則，所以，故，所以點到直線的距離是，對；D：由上分析知：，若為底面中心，則為中點，，連接，交為，則，則，又，，面，所以面，即面，易知：，令到平面的距離為，則，由，則中上的高為，故，由，，則，所以，錯.故選：ABC三、填空題13．若直線(3-m)x+y+1=0與直線2x-(m-2)y+3=0垂直，則實數(shù)=；【答案】8【解析】由題意，因為兩條直線垂直，則2(3-m)+[-(m-2)]=0，即，解得m=83故答案為：8314．在用隨機數(shù)（整數(shù)）模擬“有5個男生和5個女生，從中抽選4人，求選出2個男生2個女生的概率”時，可讓計算機產(chǎn)生的隨機整數(shù)，并且代表男生，用代表女生．因為是選出4個，所以每4個隨機數(shù)作為一組．通過模擬試驗產(chǎn)生了20組隨機數(shù)：68303215705664317840452378342604534609526837981657344725657859249768605191386754由此估計“選出2個男生2個女生”的概率為．【答案】/【解析】在20組數(shù)中，6830，7840，7834，5346，0952，5734，4725，5924，6051，9138滿足要求，共10個，由此估計“選出2個男生2個女生”的概率為．故答案為：15．在四棱柱中，四邊形是正方形，，，，則的長為.【答案】【解析】如圖所示：

由題意知，所以，所以，即的長為.故答案為：.16．2023年暑期檔動畫電影《長安三萬里》重新點燃了人們對唐詩的熱情，唐詩中邊塞詩又稱出塞詩，是唐代漢族詩歌的主要題材，是唐詩當中思想性最深刻，想象力最豐富，藝術性最強的一部分．唐代詩人李頎的邊塞詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”．詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題一“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設將軍的出發(fā)點是，軍營所在位置為，河岸線所在直線的方程為，若將軍從出發(fā)點到河邊飲馬，再回到軍營（“將軍飲馬”）的總路程最短，則將軍在河邊飲馬地點的坐標為．【答案】【解析】

由題可知在的同側，設點關于直線的對稱點為，則，解得即．將軍從出發(fā)點到河邊的路線所在直線即為，又，所以直線的方程為，設將軍在河邊飲馬的地點為，則即為與的交點，，解得，所以．故答案為：四、解答題17．已知三條直線，和.(1)若，求實數(shù)的值；(2)若三條直線相交于一點，求實數(shù)的值.【答案】(1)(2)【解析】（1）因為，且.所以.解得.經(jīng)檢驗，時，.（2）由，解得即與的交點為，因為三條直線相交于一點，所以點在上，所以.解得.18．第19屆亞運會于2023年9月23日至10月8日在杭州舉辦，為做好本次亞運會的服務工作，從某高校選拔志愿者，現(xiàn)對該校踴躍報名的100名學生進行綜合素質考核，根據(jù)學生考核成績分為四個等級，最終的考核情況如下表：等級人數(shù)10404010(1)將頻率視為概率，從報名的100名學生中隨機抽取1名，求其成績等級為或的概率；(2)已知等級視為成績合格，從成績合格的學生中，根據(jù)考核情況利用比例分配的分層隨機抽樣法抽取5名學生，再從這5名學生中選取2人進行座談會，求這2人中有等級的概率．【答案】(1)(2)【解析】（1）由題知，任意抽取1人，抽到的學生成績等級為或的概率為．（2）由題知，抽取的5名學生中成績?yōu)榈燃壍娜藬?shù)分別為1，4，記這5人分別為，從中抽取2人的樣本空間為，共10個樣本點，其中有等級的樣本點有，共4個，所以這2人中有等級的概率為．19．已知.(1)求點到直線的距離；(2)求的外接圓的方程.【答案】(1)(2)【解析】（1）直線的方程為，化簡可得，所以點到直線的距離.（2）設的外接圓的方程為，將的坐標代入，得，即解得；故所求圓的方程為.20．如圖，在直三棱柱中，，，D，E，F(xiàn)分別為，，的中點.

(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）證明：取的中點，連接，，因為F，G分別為，的中點，所以，，又E為的中點，，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）

解：在直三棱柱中，平面，又平面，平面，所以，，又，故以B為原點，，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系如圖所示，則，，，，所以，，，設平面的法向量為，則令得，，所以平面的一個法向量為，設直線與平面所成的角為，則，即直線與平面所成的角的正弦值為.21．一題多解是由多種途徑獲得同一數(shù)學問題的最終結論，一題多解不但達到了解題的目標要求，而且讓學生的思維得以拓展，不受固定思維模式的束縛．學生多角度、多方位地去思考解題的方案，讓解題增添了新穎性和趣味性，并在解題中解放了解題思維模式，使得枯燥的數(shù)學解題更加