熱點03 與三角形有關(guān)的線段、面積及角度的6種題型（解析版）

熱點03與三角形有關(guān)的線段、面積及角度的6種題型熟悉三角形的角平分線、中線和高的有關(guān)概念與圖形表示，理解三角形三邊關(guān)系定理及推論，掌握三角形的內(nèi)角和定理、外角性質(zhì)，牢記多邊形的內(nèi)角和公式、外角和度數(shù)；期末試卷中通常會考察3~4道小題，若涉及三邊關(guān)系或角度問題，難度一般較低，若涉及面積問題，難度一般中等偏上；（1）對于三角形的角平分線、中線和高的概念辨析題，要謹(jǐn)記三角形的角平分線、中線和高都是線段，角平分線和中線都在三角形的內(nèi)部，高有可能在三角形的內(nèi)部、也有可能在外部，也有可能在三角形的邊上，注意一旦出現(xiàn)概念混淆，必須立即畫圖，銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的圖示各畫一個；（2）對于考察三角形的三邊關(guān)系的題，要學(xué)會靈活運用三角形三邊關(guān)系定理及推論，比如在判段三條線段能否構(gòu)成三角形時，并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度，即可判定這三條線段能構(gòu)成一個三角形；同時注意在涉及三角形的邊長或周長的計算時，一定要先檢驗?zāi)芊駱?gòu)成三角形，不能構(gòu)成三角形的情況要舍去，這是大家比較容易忽略的點；（3）對于三角形的面積問題，若題目給出三角形的底或高有關(guān)的長度條件，先直接用“底×高的一半”去計算面積，若無法直接計算，再嘗試用割補法；若涉及中點、三等分點等條件，則多是去找等高或等底的三角形進(jìn)行面積的換算，比如三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分；（4）對于利用三角形的內(nèi)角和定理、外角性質(zhì)求角度的題，常與角平分線、直角三角形等知識點綜合考察，必要的時候，可設(shè)未知數(shù)，用代數(shù)方法進(jìn)行計算；若研究的角比較多，可設(shè)法利用三角形的外角性質(zhì)，將它們轉(zhuǎn)化到一個三角形中去；（5）對于多邊形的內(nèi)角和外角的簡單計算題，牢記多邊形的內(nèi)角和公式、外角和度數(shù)即可，若涉及求正多邊形的邊數(shù)，建議從外角入手，360°÷一個外角的度數(shù)=正多邊形的邊數(shù)。【題型1三角形的角平分線、中線和高的概念辨析】1．（2023·蘇州·期中）下面的說法正確的是A．三角形的角平分線、中線和高都在三角形內(nèi) B．直角三角形的高只有一條 C．三角形的高至少有一條在三角形內(nèi) D．鈍角三角形的三條高都在三角形外面【詳解】解：、三角形的角平分線、中線都在三角形內(nèi)，但三角形的高都不一定在三角形內(nèi)，故說法錯誤，不合題意；、直角三角形的高有三條，故說法錯誤，不合題意；、三角形的高至少有一條在三角形內(nèi)，說法正確，符合題意；、鈍角三角形的三條高不都在三角形外面，至少有一條在三角形內(nèi)，故說法錯誤，不合題意．故本題選：．2．（2023·韶關(guān)·期中）下列說法正確的是A．三角形的高所在的直線交于一點，這一點不在三角形內(nèi)就在三角形外 B．三角形的角平分線是射線 C．三角形的三條中線交于一點 D．三角形的一條角平分線能把三角形分成兩個面積相等的三角形【詳解】解：、直角三角形的三條高線的交點是三角形的直角頂點，在三角形上，故選項錯誤；、三角形的角平分線是線段，故選項錯誤；、正確；、三角形的一條中線能把三角形分成兩個面積相等的三角形，故選項錯誤．故本題選：．3．（2023·沈陽·期中）下列說法錯誤的個數(shù)①過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；②不相交的兩條直線必平行；③三角形的三條高線交于一點：④直線外一點到已知直線的垂線段叫做這點到直線的距離；⑤過一點有且只有一條直線與已知直線平行．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【詳解】解：①平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，故原題說法錯誤；②平面內(nèi)，不相交的兩條直線必平行，故原題說法錯誤；③三角形的三條高線交于一點，應(yīng)該是三條高線所在直線交于一點，故原題說法錯誤：④直線外一點到已知直線的垂線段的長度叫做這點到直線的距離，故原題說法錯誤；⑤過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故原題說法錯誤；綜上，錯誤的說法有5個．故本題選：．【題型2三角形的三邊關(guān)系】1．（2022·靖江·期末）在中，，，，的值可能是A．1 B．3 C．5 D．7【詳解】解：根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理得：，即．故本題選：．2．（2022·鎮(zhèn)江·期末）下列長度的各組線段中，不能組成一個三角形的是A．，， B．，， C．，， D．，，【詳解】解：、，能組成三角形；、，不能組成三角形；、，能組成三角形；、，能組成三角形．故本題選：．3．（2023·德州·二模）已知，，是三角形的三條邊，則的化簡結(jié)果為A．0 B． C． D．【詳解】解：，，是三角形的三條邊，，，，，．故本題選：．4．（2022·無錫·期末）一個三角形的3邊長分別是、、，它的周長不超過．則的取值范圍是A． B． C． D．【詳解】解：由題意得：，解得：，由三角形的三邊關(guān)系可知：，，解得：，，．故本題選：．5．（2022·丹陽·期末）如圖，于點，，，，點是線段上的一個動點（含端點），連接，那么的長為整數(shù)值的線段有A．4條 B．5條 C．6條 D．7條【詳解】解：于點，，，，長的范圍是，當(dāng)點由向運動時，所得的整數(shù)值線段長度分別為：6、5、4、3、4、5，符合題意的共有6條．故本題選：．【題型3三角形的面積問題】1．（2022·連云港·期末）如圖，在三角形中，點、、分別是、、的中點，且，則陰影部分的面積是．【詳解】解：點為的中點，，點為的中點，，，，點為的中點，．故本題答案為：．2．（2022·鎮(zhèn)江·期末）如圖，在中，是上的一點，且，是的中點，與相交于點，若的面積為1，則的面積為．【詳解】解：如圖，連接，設(shè)的面積為，，的面積為1，的面積為4，是的中點，，，，，，．故本題答案為：20．3．（2022·儀征·期末）如圖，在中，依次取的中點、的中點、的中點、的中點、．并連接、、、、若的面積是1，則△的面積是．【詳解】解：是的中點，的面積的面積，是的中點，△的面積的面積，同理：△的面積△的面積，，則△的面積，△的面積是．故本題答案為：．4．（2022·淮安·期末）在中，已知點、、分別是邊、、上的中點，若的面積是14，則的面積為．【詳解】解：如圖，連接，，設(shè)的面積為，是的中點，由三角形中線等分三角形的面積，，，點是線段的中點，，是的中點，，，的面積是14，，，的面積為2．故本題答案為：2．5．（2022·南京·期末）如圖，為內(nèi)一點，連接、、并延長分別交邊、、于點、、，則把分成六個小三角形，其中四個小三角形面積已在圖上標(biāo)明，則的面積為A．300 B．315 C．279 D．342【詳解】解：設(shè)的面積為，的面積為，由等高不等底的三角形的面積的比等于底邊的比得：，①，②兩式聯(lián)立解得：，，的面積．故本題選：．6．（2022·蘇州·期末）如圖，在中，是邊上的點，是邊上的點，且，，若的面積為1，則的面積為A． B． C． D．【詳解】解：如圖，連接，令、、、的面積分別為、、、，，，，，，，，，又的面積為1，，，解得：，，，，．故本題選：．【題型4利用三角形內(nèi)角和定理求角度】1．（2022·無錫·期末）如圖，在中，點、分別在、上，且平分，，若，則的度數(shù)是A． B． C． D．【詳解】解：平分，，；，，．故本題選：．2．（2022·海安·期末）在中，若，，則等于A． B． C． D．【詳解】解：，又，，，，，．故本題選：．3．（2022·淮安·期末）如圖，在中，，點在上，將沿折疊，點落在邊的點處．若，則的度數(shù)為A． B． C． D．【詳解】解：，，將沿折疊，點落在邊的點處，，，，，．故本題選：．4．（2022·蘇州·期末）如圖，的角平分線，相交于點，，，下列結(jié)論中不一定成立的是A． B． C． D．【詳解】解：、平分，，，，，選項成立；、，平分，平分，，，，，選項成立；、，，，，平分，，，，選項成立；平分，平分，，，，，與不一定相等，與不一定相等，選項不一定成立．故本題選：．5．（2023·蘇州·期中）如圖，是的角平分線，，垂足為，與交于點．（1）如圖1，若，，求的度數(shù)；（2）如圖2，點在線段上，滿足，求證：與互余．【詳解】（1）解：，，，平分，，，，，；（2）證明：，，，，，，，即與互余．6．（2023·邳州·期中）如圖，是的角平分線，點是延長線上一點，，垂足為．（1）若，，求的度數(shù)；（2）若，請直接寫出的度數(shù)．（用含的代數(shù)式表示）【詳解】解：（1），，，是的角平分線，，，，，，；（2）是的角平分線，，，，，，故本題答案為：．【題型5利用三角形的外角性質(zhì)求角度】1．（2022·南京·期末）如圖，將分別含有、角的一副三角尺重疊，使直角頂點重合，若兩直角重疊形成的角為，則圖中的度數(shù)為A． B． C． D．【詳解】解：如圖，，，，．故本題選：．2．（2022·丹陽·期末）如圖，點為邊上一點，且，平分交于點，若，則的度數(shù)為A． B． C． D．【詳解】解：，，，，，，平分，，，即，則，，．故本題選：．3．（2022·宿遷·期末）將一副直角三角板如圖放置，，．若邊經(jīng)過點，則．【詳解】解：，，，，，，，．故本題答案為75．4．（2023·蘇州·期中）如圖，小亮從點出發(fā)前進(jìn)，向右轉(zhuǎn)，再前進(jìn)，又向右轉(zhuǎn)，這樣一直走下去，他第一次回到出發(fā)點時，一共走了．A．24 B．60 C．100 D．120【詳解】解：小亮從點出發(fā)最后回到出發(fā)點時正好走了一個正多邊形，根據(jù)外角和定理可知正多邊形的邊數(shù)為，則一共走了（米）．故本題選：．5．（2022·無錫·期末）在中，，，的角平分線交于，為線段上的動點，當(dāng)是直角三角形時，的度數(shù)是．（寫出所有的正確結(jié)果）【詳解】解：如圖，當(dāng)時，平分，，；如圖，當(dāng)時，平分，，，，此種情況成立，，平分，，，不會是直角；綜上，的度數(shù)為或．故本題答案為：或．【題型6多邊形的內(nèi)角與外角的簡單計算】1．（2022·泰州·期末）已知一個正多邊形的內(nèi)角是，則它是幾邊形A．10 B．9 C．8 D．7【詳解】解：設(shè)正邊形的邊數(shù)是，由內(nèi)角和公式得：，解得：．故本題選：．2．（2022·海門·期末）已知一個多邊形的內(nèi)角和等于外角和，則這個多邊形是A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【詳解】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為，根據(jù)題意列方程得：，解得：．故本題選：．3．（2022·高郵·模擬）已知正多邊形的一個外角是，則這個正多邊形的邊數(shù)是A．九 B．八 C．七 D．六【詳解】解：根據(jù)題意可得：這個正多邊形的邊數(shù)是．故本題選：．4．（2022·靖江·期末）一個多邊形的每個外角都相等，且是它相鄰內(nèi)角的，則此多邊形是邊形．【詳解】解：設(shè)這個多邊形的一個外角的度數(shù)為，則，解得：，，故此多邊形為八邊形．故本題答案為：八．1．（2022·重慶·期末）下列說法中正確的是A．平分三角形內(nèi)角的射線叫做三角形的角平分線 B．三角形的中線是經(jīng)過頂點和對邊中點的直線 C．鈍角三角形的三條高都在三角形外 D．三角形的三條中線總在三角形內(nèi)【詳解】解：、三角形的角平分線是一條線段，故說法錯誤，不符合題意；、三角形的中線是經(jīng)過頂點和對邊中點的線段，故說法錯誤，不符合題意；、鈍角三角形的二條高都在三角形外，最長邊上的高在三角形內(nèi)，故說法錯誤，不符合題意；、三角形的三條中線總在三角形內(nèi)，說法正確，符合題意．故本題選：．2．（2023·南京·二模）下列長度的三條線段能組成三角形的是A．3，3，6 B．3，5，10 C．4，6，9 D．4，5，9【詳解】解：、，長度為3，3，6的三條線段不能組成三角形，不合題意；、，長度為3，5，10的三條線段不能組成三角形，不合題意；、，長度為4，6，9的三條線段能組成三角形，符合題意；、，長度為4，5，9的三條線段不能組成三角形，不合題意．故本題選：．3．（2023·鹽城·模擬）已知、、為的三邊長，且、滿足，為奇數(shù)，則的取值為．【詳解】解：，滿足，則，，，，是的三邊長，則，即，為奇數(shù)，或7．故本題答案為：5或7．4．（2022·常熟·期末）如圖，在中，是中線，點是中點，且，若的面積是2，則的面積為．【詳解】解：，，，點是中點，，，是中線，，，．故本題答案為：8．5．（2022·蘇州·二模）如圖，四邊形中，，且與不平行，、、分別是、、的中點，設(shè)的面積為，則的最大值是．【詳解】解：如圖，作于點，，，分別是，，中點，，，，與不平行，，不能重合，、、是三角形的三個頂點，，是的邊上的高，，，，的最大值是2．故本題答案為：2．6．（2023·宿遷·期中）一個三角形三個內(nèi)角的度數(shù)之比是，則這個三角形一定是A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形【詳解】解：設(shè)一份為，則三個內(nèi)角的度數(shù)分別為，，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可知：，解得：，所以，，，即這個三角形是直角三角形．故本題選：．7．（2023·江陰·期中）如圖，中，點、分別在邊、上，，點在上，點在的延長線上，．若，則度數(shù)為A． B． C． D．【詳解】解：設(shè)，，，，，，．故本題選：．8．（2023·蘇州·模擬）如圖，五邊形中，，、、分別是、、的外角，則等于A． B． C． D．【詳解】解：如圖，延長，，，，根據(jù)多邊形的外角和定理可得：，．故本題選：．9．（2023·徐州·期中）如圖，在中，，點在邊上（如圖，先將沿著翻折，使點落在點處，交于點（如圖，再將沿著翻折，點恰好落在上的點處，此時（如圖，則的度數(shù)為A． B． C． D．【詳解】解：由題意可得：，，設(shè)，則，三角形的內(nèi)角和等于，在中，，即；在中，，即；，解得：．故本題選：．10．（2023·無錫·期中）若一個三角形的3個外角的度數(shù)之比，則與之對應(yīng)的3個內(nèi)角的度數(shù)之比為A． B． C． D．【詳解】解：設(shè)一份為，則三個外角的度數(shù)分別為，，，根據(jù)三角形外角和定理可知：，解得，三個外角分別為，和，根據(jù)三角形外角與它相鄰的內(nèi)角互補，與之對應(yīng)的三個內(nèi)